правила, примеры, вычитание и сложение с разными знаками
Данная статья посвящена числам с разными знаками. Мы будем разбирать материал и пытаться выполнять вычитание между этими числами. В параграфе мы познакомимся с основными понятиями и правилами, которые пригодятся во время решения упражнений и задач. Также в статье представлены подробно разобранные примеры, которые помогут лучше понять материал.
Как правильно выполнять вычитание
Для того, чтобы лучше понять процесс вычитания, следует начать с основных определений.
Определение 1Если вычесть из числа a число b, то это можно преобразовать как сложение числа a и -b, где b и −b – числа с противоположными знаками.
Если выразить данное правило буквами, то оно выглядит так a−b=a+(−b), где a и b – любые действительные числа.
Данное правило вычитания чисел с разными знаками работает для действительных, рациональных и целых чисел. Его можно доказать на основании свойств действий с действительными числами.
Благодаря им мы может представить числа как несколько равенства (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a. Так как сложение и вычитание тесно связаны, то равным также будет выражение a−b=a+(−b). Это значит, что рассматриваемое правило вычитания также верно.
Данное правило, которое применяется для вычитания чисел с разными знаками, позволяет работать как с положительными, так и с отрицательными числами. Также можно производить процесс вычитания из отрицательного числа из положительного, которое переходит в сложение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, мы рассмотрим типичные примеры и на практике рассмотрим правило вычитания для чисел с разными знаками.
Примеры упражнений на вычитание
Закрепим материал, рассмотрев типичные примеры.
Пример 1Необходимо выполнить вычитание 4 из −16.
Для того, чтобы выполнить вычитание, следует взять число, противоположное вычитаемому 4, есть −4. Согласно рассмотренному выше правилу вычитания (−16) −4=(−16) +(−4). Далее мы должны сложить получившиеся отрицательные числа.
Получаем: (−16) +(−4) =−(16+4) =−20. (−16)−4=−20.
Для того, чтобы выполнять вычитание дробей, необходимо представлять числа в виде обыкновенных или десятичных дробей. Это зависит от того, с числами какого вида будет удобнее проводить вычисления.
Пример 2 Необходимо выполнить вычитание −0,7 от 37.Прибегаем к правилу вычитания чисел. Заменяем вычитание на сложение: 37-(-0,7)=37+0,7.
Мы складываем дроби и получаем ответ в виде дробного числа. 37-(-0,7)=1970.
Когда какое-либо число представлено в виде квадратного корня, логарифма, основной и тригонометрических функций, то зачастую результат вычитания может быть записан в виде числового выражения. Чтобы пояснить данное правило, рассмотрим следующий пример.
Пример 3Необходимо выполнить вычитание числа 5 из числа -2.
Воспользуемся описанным выше правилом вычитания. Возьмем противоположное число вычитаемому 5 – это −5. Согласно работы с числами с разными знаками -2-5=-2+(-5).
Теперь выполним сложение: получаем -2+(-5)=2+5.
Полученное выражение и является результатом вычитания исходных чисел с разными знаками: -2+5.
Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Сложение чисел с разными знаками – правило (6 класс, математика)
4.
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 761.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 761.
Числа с разными знаками хорошо известны нам из повседневной жизни. Например, мы знаем, что температура воздуха на улице может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому нужно научиться производить арифметические операции с этими числами.
Понятие координатной прямой
Рассмотрим, как отображаются числа с разными знаками на числовой оси.
Рассмотрим горизонтальную прямую. Выберем на ней какую-либо точку и обозначим ее буквой О. Она будет соответствовать числу 0. Назовем эту точку началом отсчета.
Точка О разделила прямую на 3 луча. Назовем их ОА и ОВ. Отметим на луче ОА точку М, которая будет отображением числа 1. Тогда длина отрезка ОМ будет равна единице. Отрезок, длина которого равна единице, называют единичным.
Теперь на луче ОА можно отобразить все положительные числа, а на луче ОВ – отрицательные.
Луч ОА задает положительное направление на прямой, а луч ОВ – отрицательное.
Укажем на прямой положительное направление стрелкой.
Прямая, на которой выбрано начало отсчета, единичный отрезок и направление, называется координатной прямой.
Модуль числа
Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, которая отображает число на координатной прямой.
Пример
Изобразим на координатной прямой числа 3 и -3. Точки, отображающие эти числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Это расстояние равно 3. Значит, модули чисел 3 и -3 одинаковы и равны 3.
Значение модуля числа не может быть отрицательным. Модуль числа 0 равен 0.
Противоположные числа
Из рассмотренного примера понятно, что справедливо следующее правило:
модуль положительного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа – числу, взятому с противоположным знаком.
Пусть дано некоторое число a. Число -a называется противоположным числу a. На рис. 2 показано изображение двух противоположных чисел на координатной прямой.
Рис. 2. Изображение противоположных чисел на координатной прямой.Теперь, пользуясь определением противоположного числа, мы можем сказать, что модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.
Сложение чисел с разными знаками
Рассмотрим термометр, который показывает температуру -3°С (рис. 3). Предположим, что температура повысилась на 4°С. Из рис. 3 понятно, что температура станет равна 1°С. Это означает, что сумма чисел -3 и 4 равна 1.
Рис. 3. Пример сложения чисел разного знака.Рассмотрев несколько аналогичных примеров, мы сможем сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.
Чтобы сложить два числа с разными знаками нужно:
- найти модули этих чисел;
- из большего модуля вычесть меньший;
- полученной разности приписать знак слагаемого с большим модулем.
Применим это правило для решения задач из примера.
Пример
Найдем сумму чисел -8 и 2.
- модуль первого числа равен 8, а модуль второго числа – 2;
- находим разность, вычитая из большего модуля меньший: ${8 – 2} = {6}$;
- слагаемое с большим модулем имеет знак « – », поэтому ${-8 + 2} = {-6}$.
Вычислим теперь сумму чисел -2 и 8. Пункты 1) и 2) уже выполнены при решении предыдущей задачи. Начиная с пункта 3), получаем слагаемое с большим модулем имеет знак « + », поэтому ${-2 + 8} = {6}$.
Что мы узнали?
По теме, которая изучается в 6 классе, мы привели примеры отрицательных и положительных чисел, а также ввели понятия координатной оси и модуля числа, после чего дали определение противоположных чисел. Сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Рассмотрели применение этого правила на конкретных примерах.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Иван Железняк
5/5
Никита Поцелуев
5/5
Эсмира Азизова
3/5
Валентина Табачкова
4/5
Павел Бурлаков
3/5
Ярослав Степанов
4/5
Александр Тен
5/5
Татьяна Федорова
5/5
Галина Садыкова
5/5
Сергей Мурашко
5/5
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 761.
А какая ваша оценка?
Правило знаков — Math28
Содержание
Определение положительного или отрицательного знака Знаки, сопровождающие числа, очень важны, так как они указывают, положительное это число или отрицательное. Чтобы определить, является ли число положительным, слева от числа ставится крест, хотя во многих случаях знак не ставится, и считается, что оно положительное, с другой стороны, чтобы определить, является ли число отрицательным, средний тире или черта ставится слева от числа.
+ 3 ← Положительный
— 3 ← Отрицательный
Примечание : Для положительного числа слева от числа у нас нет другого числа, которое можно оставить без знака.
В числовой строке вы можете увидеть разницу между числом с положительным знаком и числом с отрицательным знаком.
- -1
- 0
- 1
Ноль считается нейтральным числом, слева от нуля предыдущей строки соответствуют отрицательные числа до самой бесконечности (-inf), а справа от нуля положительные числа до самой бесконечности (+inf). считается
Законы или правила знаков
Закон или правило знаков указывает на знак, преобладающий при выполнении операций двух одинаковых или разных знаков, и применяется по-разному для различных математических операций:
Правило знаков для сложения и вычитания- При сложении двух положительных чисел результат будет иметь положительный знак.
3 + 5 = 8 - При сложении или вычитании двух чисел, одно с положительным знаком, а другое с отрицательным знаком, результат будет иметь знак наибольшего числа.
5 — 6 = — 1 - При сложении или вычитании двух чисел, одно с отрицательным знаком, а другое с положительным знаком, результат будет иметь знак наибольшего числа.
— 7 + 4 = — 3 - При вычитании двух отрицательных чисел результат будет иметь отрицательный знак.
— 5 — 4 = — 9
Упрощение вышеизложенного:
положительный + отрицательное = наибольшее число
отрицательное + положительное = наибольшее число
отрицательное y отрицательное = отрицательное
Узнать больше о: « Сумма » →
Узнать больше о: « Вычитание » →
Правило знаков для умножения и деления- При умножении или делении двух положительных чисел результат будет иметь положительный знак.
(+) х (+) = +
(+) ÷ (+) = + - При умножении или делении двух чисел, одно с положительным знаком, а другое с отрицательным знаком, результат будет иметь отрицательный знак.
(+) х (-) = —
(+) ÷ (-) = — - При умножении или делении двух чисел, одно с отрицательным знаком, а другое с положительным знаком, результат будет иметь отрицательный знак.
(-) х (+) = —
(-) ÷ (+) = — - При умножении или делении двух отрицательных чисел результат будет иметь положительный знак.
(-) х (-) = +
(-) ÷ (-) = +
Узнать больше о: « Умножение » →
Узнать больше о: « Подразделение » →
Правило знаков для потенцирования- Если показатель степени равен даже , результатом будет знак положительный .
(+) пар = +
(-) пар = + - Если показатель степени равен , нечетное , результат сохранит знак основного числа.
(+) импар = +
(-) импар = —
Узнать больше о: «Экспонент » →
Изолировать переменную (транспонирование) – методы и примеры
Прежде чем мы сможем узнать о транспозиции , давайте рассмотрим, что такое уравнение. В математике алгебраическое уравнение — это математическая фраза, две стороны которой соединены знаком равенства (=).
Например, , 5x + 10 = 15 — это алгебраическое уравнение, где 15 представляет правую часть (RHS), а 5x + 10 — левую часть (LHS) уравнения. Процесс выделения величин по знаку равенства в уравнении называется транспозицией.
Изолирующая переменная является важным навыком, которым учащиеся должны овладеть при переходе с одного уровня изучения алгебры на другой.
Как работает транспозиция?
Решение алгебраического уравнения с нормальным перемещением или изолированием неизвестного значения в одной части уравнения, либо в левой, либо в правой части.
Целесообразно выделять переменную на левой стороне знака равенства, потому что уравнение обычно читается слева направо.
Вспомним еще о Законе уравнений:
Как выделить переменную?
Транспонирование — это метод изоляции переменной в одной части уравнения и всего остального в другой части, чтобы можно было решить уравнение.
Алгебраические уравнения можно решать с помощью Закона уравнений. Закон уравнений гласит, что все, что вы делаете с одной частью уравнения, вы должны делать и с другой.
Давайте посмотрим на различные примеры ниже, чтобы узнать, как изолировать переменные данного уравнения и решить для этой переменной.
Пример 1
2х – 3 = 13
- Добавьте 3 к правой и левой сторонам уравнения
2x – 3 + 3 = 13 + 3 ===>2x = 16
- Затем разделите левую и правую части уравнения на 2;
2x/2 = 16/2
= 8
В качестве альтернативы мы можем решить 2x –3 = 13, изолируя переменные, как показано ниже:
- Переместите -3 слева через знак равенства, чтобы в правой части и измените его знак с «–» на «+».
- Теперь у нас есть 2x = 13 + 3, что становится 2x = 16;
- Разделить на 2 с обеих сторон;
2x/2 = 16/2
- Что дает тот же ответ x = 8, что и в Законе уравнений.
Прелесть метода выделения переменной заключается в том, что мы можем визуально видеть, как меняются разные части уравнения при решении, в отличие от Закона уравнений, где вы выполняете два действия в правой и левой части уравнения. уравнение.
При изоляции переменной мы буквально берем константы и переносим их на другую сторону уравнения. Вам нужно только принять во внимание знак перемещаемого количества.
Пример 2
Решите 3y + 2x – 3 = 7 для y.
Решение
- Поскольку мы хотим изолировать y, мы можем поменять местами 2x и – 3.
- Это дает нам 3y = –2x + 7 + 3.
- Упрощая, мы получаем 3y = –2x + 10;
- Разделите обе части уравнения на 3;
3y/3 = –2x/3 + 10/3
y = (- 2x + 10)/3
Пример 30003 Решение 2x + 4x + 5 = 35 – 4x + 4x = 6x + 5 = 35 6x + 5 — 5 = 35 — 5 6x = 30 x = 5 Пример 4 4x + 3 = 2x + Раствор
.
обе части уравнения;
4х + 3 — 2х = 2х + 11- 2х
- Теперь это похоже на любое другое уравнение;
2x + 3 = 11
- Вычесть 3 с обеих сторон;
2x + 3 – 3 = 11 − 3
- Разделить обе части уравнения на 2;
2x/2 = 8/2
x = 4
Пример 5
Solve 5x + 7 = 32
Раствор
- Подтех.
⇒ 5x = 25
- Разделить обе стороны на 5;
⇒ x = 5
Пример 6
Решение 3 (2y — 12) = 72
Решение
- Начало путем разделения обеих сторон уравнения на 3;
3(2г – 12) = 72⇒ 2г – 12 = 24
- Прибавьте 12 с обеих сторон;
2г – 12 + 12 = 24 + 12 ⇒ 2г = 36
Теперь разделите обе части на 2;
⇒ y = 18
Пример 7
Решите 5x + 2x + 14 + 2 = 30
Решение
Объедините подобные термины;
(5x + 2x) + (14 + 2) = 30
7x + 16 = 30
Изолируйте переменную, вычитая 16 с обеих сторон;
7x + 16 − 16 = 30 − 16
7x = 14
Разделите обе части на 7, чтобы изолировать переменную
7x/7 = 14/7
x = 2
Знаменатель?
Чтобы изолировать переменную, которая находится в знаменателе, вы просто перемножаете уравнение и собираете одинаковые члены.