Правила умножение матриц: Умножение матриц «на пальцах», примеры, правила и пошаговая схема перемножения матриц

Начала квантовой механики

Начала квантовой механики

Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976г. — 376с. Книга написана выдающимся физиком-теоретиком. Она является оригинальным систематическим курсом квантовой механики. Многие ее разделы несут на себе печать научного творчества самого автора, внесшего значительный вклад в создание и развитие квантовой теории. Первое издание этой книги было выпущено в 1932 г. и в течение ряда лет оно было единственным отечественным руководством для изучающих квантовую теорию. Это издание не потеряло своего значения и поныне, но давно уже стало библиографической редкостью. Для настоящего издания автор переработал и значительно дополнил содержание книги, введя в нее результаты своих последних работ по квантовой механике. В ней расширено обсуждение теоретико-познавательных основ квантовой механики, в частности, добавлено несколько параграфов, в которых рассматриваются конкретные вопросы, углубляющие понимание теории; добавлена глава по теории Паули и глава, посвященная решению многоэлектронной задачи с приложением к теории атомов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Часть I. ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Глава I. ФИЗИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 3. Область применимости классического способа описания явлений. Соотношения Гейзенберга и Бора § 4. Относительность к средствам наблюдения как основа квантового способа описания явлений § 5. Понятие потенциальной возможности в квантовой физике Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 1. Квантовая механика и задачи на линейные операторы § 2. Понятие об операторе и примеры операторов § 3. Оператор, сопряженный к данному. Самосопряженность § 4. Произведение операторов. Правило умножения матриц § 5. Собственные значения и собственные функции операторов § 6. Интеграл Стильтьеса и оператор умножения на независимую переменную § 7. Ортогональность и нормировка собственных функций § 8. Разложение по собственным функциям. Замкнутость системы функций Глава III. ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ § 1. Толкование собственных значений оператора § 2. Скобки Пуассона § 3. Операторы для координат и моментов § 4. Собственные значения и собственные функции оператора количества движения § 5. Квантовое описание состояния системы § 6. Коммутативность операторов § 7. Момент количества движения § 8. Оператор энергии § 9. Каноническое преобразование § 10. Пример канонического преобразования § 11. Каноническое преобразование как оператор § 12. Унитарные инварианты § 13. Изменение состояния системы во времени. Операторы как функции от времени § 14. Гейзенберговы матрицы § 15. Полуклассическое приближение § 16. Связь канонического преобразования с касательным преобразованием классической механики Глава IV. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 1. Математическое ожидание в теории вероятностей § 2. Математическое ожидание в квантовой механике § 3. Выражение для вероятностей § 4. Закон изменения математического ожидания во времени § 5. Соответствие между понятиями теории линейных операторов и теории квантов § 6. Понятие статистического коллектива в квантовой механике Часть II. ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА § 1. Волновое уравнение и уравнения движения § 2. Интегралы уравнений движения § 3. Уравнение Шредингера для гармонического вибратора § 4. Вибратор в одном измерении § 5. Полиномы Чебышева — Эрмита § 6. Каноническое преобразование на примере вибратора § 7. Неравенства Гейзенберга § 8. Зависимость матриц от времени. Сравнение с классической теорией § 9. Элементарный критерий применимости формул классической механики Глава II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ § 2. Решение неоднородного уравнения § 3. Простые собственные значения § 4. Кратные собственные значения. Разложение по степеням малого параметра § 5. Собственные функции в нулевом приближении § 6. Первое и последующие приближения § 7. Случай близких собственных значений § 8. Ангармонический вибратор Глава III. ИЗЛУЧЕНИЕ, ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ И ЗАКОН РАСПАДА § 2. Плотность и вектор тока § 3. Частоты и интенсивности § 4. Интенсивности в сплошном спектре § 5. Возмущение атома световой волной § 6. Формула дисперсии § 7. Прохождение частицы сквозь барьер потенциальной энергии § 8. Закон распада почти стационарного состояния Глава IV. ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ § 2. Интегралы площадей § 3. Операторы в сферических координатах. Разделение переменных § 4. Решение дифференциального уравнения для шаровых функций § 5. Некоторые свойства шаровых функций § 6. Нормированные шаровые функции § 7. Радиальные функции. Общее исследование § 8. Описание состояния валентного электрона. Квантовые числа § 9. Правило отбора Глава V. КУЛОНОВО ПОЛЕ § 2. Уравнение для радиальных функций водорода. Атомные единицы меры § 3. Решение одной вспомогательной задачи § 4. Некоторые свойства обобщенных полиномов Лагерра § 5. Собственные значения и собственные функции вспомогательной задачи § 6. Уровни энергии и радиальные функции точечного спектра для водорода § 7. Решение дифференциального уравне им для сплошного спектра в виде определенного интеграла § 8. Вывод асимптотического выражения § 9. Радиальные функции водорода для сплошного спектра § 10. Интенсивности в спектре водорода § 11. Явление Штарка. Общие замечания § 12. Уравнение Шредингера в параболических координатах § 13. Расщепление уровней энергии в электрическом поле § 14. Рассеяние а-частиц. Постановка задачи § 15. Решение уравнений § 16. Формула Резерфорда § 17. Теорема вириала в классической и квантовой механике § 18. Замечания о принципе наложения и о вероятностном толковании волновой функции Часть III. ТЕОРИЯ ПАУЛИ § 1. Момент количества движения электрона § 2. Операторы полного момента количества движения в сферических координатах § 3. Шаровые функции со спином § 4. Некоторые свойства шаровых функций со спином § 5. Волновое уравнение Паули § 6. Преобразование оператора P к цилиндрическим и сферическим координатам и выражение его через оператор M § 7. Электрон в магнитном поле Часть IV. МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И СТРОЕНИЕ АТОМА § 1. Свойства симметрии волновой функции § 2. Оператор энергии и его симметрия § 3. Метод согласованного поля § 4. Уравнение для валентного электрона и оператор квантового обмена § 5. Применение метода согласованного поля к теории строения атома § 6. Симметрия оператора энергии водородоподобного атома Часть V. ТЕОРИЯ ДИРАКА Глава I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА § 2. Классические уравнения движения § 3. Вывод волнового уравнения § 4. Матрицы Дирака § 5. Уравнение Дирака для свободного электрона § 6. Преобразование Лоренца § 7. Вид матрицы S для пространственного поворота осей и для преобразования Лоренца § 8. Вектор тока § 9. Уравнение Дирака при наличии поля. Уравнения движения § 10. Момент количества движения и вектор спина в теории Дирака § 11. Кинетическая энергия электрона § 12. Вторая внутренняя степень свободы электрона § 13. Уравнения второго порядка Глава II. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА К НЕКОТОРЫМ ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ § 1. Свободный электрон § 2. Электрон в однородном магнитном поле § 3. Интегралы уравнений движения в задаче со сферической симметрией § 4. Обобщенные шаровые функции § 5. Уравнение для радиальных функций § 6. Сравнение с уравнением Шредингера § 7. Общее исследование уравнений для радиальных функций § 8. Квантовые числа § 9. Гейзенберговы матрицы и правило отбора § 10. Другой вывод правила отбора § 11. Атом водорода. Радиальные функции § 12. Тонкая структура водородных линий § 13. Явление Зеемана. Постановка задачи § 14. Вычисление матрицы возмущающей энергии § 15. Расщепление уровней в магнитном поле Глава III. О ТЕОРИИ ПОЗИТРОНОВ § 2. Основные идеи теории позитронов § 3. Модель позитронов как незаполненных состояний ПОСЛЕСЛОВИЕ

Факторный анализ (Иберла К.)

Факторный анализ (Иберла К.)

Иберла К. Факторный анализ. Пер. с нем. В. М. Ивановой. М.: Статистика, 1980 — 398 стр. Книга посвящена многомерному статистическому анализу. В ней в комплексе рассматриваются факторный, компонентный, дискриминантный и другие виды анализа. Представлены современные методы оценки весовых коэффициентов, интерпретация факторных решений. Задачи решаются применительно к современным ЭВМ. Для ученых и практиков, занимающихся статистическим исследованием экономических явлений, а также для аспирантов и студентов старших курсов вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 1. ВВЕДЕНИЕ 1.2. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА 1.3. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ 1.4. МАТРИЦЫ, ВЕКТОРЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Умножение матрицы на скалярную величину. Внутреннее (скалярное) произведение двух векторов. Умножение матриц. Обратная матрица. Определители. Линейная зависимость и ранг матрицы. Решение линейных уравнений и обращение матриц. 2. ОБЗОР ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА 2.1. ДВА ВВОДНЫХ ПРИМЕРА 2.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КОНЦЕПЦИИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 2.2.2. Классификация факторов и связь между отдельными видами факторов 2. 2.3. Схема решения и основные проблемы факторного анализа 2.2.4. Наглядное пояснение с помощью числового примера 2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛИ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА 2.3.2. Пространство общих факторов и полное факторное пространство 2.3.3. Геометрическая интерпретация выделения факторов и метод вращения 2.4. ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ КАК ИСХОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА 2.5. МЕСТО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА СРЕДИ МНОГОМЕРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ Множественный регрессионный анализ. Дисперсионный анализ. Дискриминантный анализ. Метод главных компонент. 2.6. ВЫВОДЫ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАСЧЛЕНЕНИЕ МАТЕРИАЛА 3. ПРОБЛЕМА ФАКТОРОВ 3.1. МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ 3.1.2. Алгебраическое решение 3.1.3. Процедура вычисления Вычисление главных факторов с помощью ЭВМ. 3.1.4. Примеры 3.2. ЦЕНТРОИДНЫЙ МЕТОД 3.2.1. Происхождение названия центроидного метода 3.2.2. Вычислительная процедура 3.3. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЧИСЛА ФАКТОРОВ, ПОДЛЕЖАЩИХ ВЫДЕЛЕНИЮ 3. 3.1. Изображение долей дисперсии 3.3.3. Критерий значимости в компонентном анализе 3.3.4. Критерий значимости при использовании модели факторного анализа 3.3.5. Другие критерии оценки числа факторов 3.3.6. Рекомендации по определению числа факторов 3.4. МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ФАКТОРОВ, ПОЯВИВШИЕСЯ ПЕРВЫМИ, НО МАЛО УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ 3.4.2. Однофакторный метод 3.4.3. Двухфакторный метод Спирмэна 3.4.4. Бифакторный метод 3.4.5. Групповой метод 3.5. НОВЫЕ МЕТОДЫ ФАКТОРНОГО РЕШЕНИЯ 3.5.1. Оценка факторных нагрузок методом максимума правдоподобия 3.5.2. Канонический факторный анализ 3.5.3. Альфа-факторный анализ 3.6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ВЫДЕЛЕНИЯ ФАКТОРОВ 3.7. РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ФАКТОРНОЙ ПРОБЛЕМЫ 4. ПРОБЛЕМА ОБЩНОСТИ 4.2. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОЦЕНОК ОБЩНОСТЕЙ 4.2.2. Использование квадрата коэффициента множественной корреляции 4.2.3. Итеративная процедура 4.2.4. Обзор других способов вычисления оценок общностей 4. 3. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ ОЦЕНКИ ОБЩНОСТИ НА ОДНОМ ПРИМЕРЕ 5. ПРОБЛЕМА ВРАЩЕНИЯ 5.1. ПОЛУЧЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО И КОСОУГОЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ 5.2. ПОНЯТИЕ ПРОСТОЙ СТРУКТУРЫ 5.3. ИТЕРАТИВНАЯ ПРОЦЕДУРА ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПОИСКЕ ПРОСТОЙ СТРУКТУРЫ 5.4. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ МАТРИЦАМИ, ПРИМЕНЯЕМЫМИ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ ВРАЩЕНИЯ 5.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПОИСКЕ ПРОСТОЙ СТРУКТУРЫ 5.5.1. Ортогональный метод 5.5.2. Косоугольный метод 5.6. ПРИМЕР ВРАЩЕНИЯ 5.7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВРАЩЕНИЯ И КРИТЕРИИ 5.8. ФАКТОРЫ ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКОВ 5.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 6. ИЗМЕРЕНИЕ ФАКТОРОВ 6.1. ИЗМЕРЕНИЕ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ 6.2. ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИИ ФАКТОРОВ С ПОМОЩЬЮ МНОЖЕСТВЕННОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА 6.3. КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИИ ФАКТОРА 6.4. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИЙ ФАКТОРА 7. ПРОВЕРКА МЕТОДОВ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА НА РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ 7.1. ДВА ПРИМЕРА ИЗ ЛИТЕРАТУРЫ 7. 1.1. Задача о ящиках (бокс-проблема Тэрстоуна) 7.1.2. Задача о мячах Каттелла и Дикмана 7.2. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ 7.2.1. Модель, сконструированная по результатам измерения кровяного давления 7.2.2. Модель с числом жителей 7.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ 7.3.2. Точность факторного анализа с неравными нагрузками 7.3.3. Точность результатов факторного анализа при альтернативных данных 7.3.4. Сравнение точности оценивания в факторном анализе с оцениванием в регрессионном анализе 7.4. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ 8. ЧАСТНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА 8.1. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕХНИКИ ПРОВЕДЕНИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА МАТРИЦЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ 8.2. ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА К ДАННЫМ, ЯВЛЯЮЩИМСЯ РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ 8.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ 8.4. ОБЗОР МЕТОДОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ НАРЯДУ С ФАКТОРНЫМ АНАЛИЗОМ 8.4.1. Кластерный анализ 8.4.2. Анализ образов 8.4.3. Анализ латентных структур 8. 5. ПРОБЛЕМА НЕОДНОРОДНОСТИ 8.6. ПРОБЛЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 8.6.2. Другие методы классификации 8.7. ПРОВЕРКА ТОЧНОСТИ ФАКТОРНОГО РЕШЕНИЯ ПО МАТРИЦЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ 8.8. ОБРАБОТКА ДАННЫХ НА ЭВМ И ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 8.8.2. Влияние ЭВМ на развитие факторного анализа 8.8.3. Пакеты программ факторного анализа 8.8.4. Rotoplot-программа 8.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ БИБЛИОГРАФИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Умножение матриц: определение и правила

Клэр хочет знать, что произойдет, если она возьмет вектор, который начинается в начале координат и заканчивается в (1, 1), и повернет его против часовой стрелки 90 ^o вокруг начала координат. А также, что происходит с вектором, когда она увеличивает его в 3 раза.

Это можно сделать физически, нарисовав вектор на графическом листе, обведя вектор на кальке и повернув кальку 90 ^o против часовой стрелки. Для масштабирования мы могли бы использовать линейку, чтобы увеличить вектор в три раза.

Но есть более простой способ сделать это с помощью умножения матриц!

Мы представляем вектор, который начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в (1, 1), матрицей порядка 2 × 1, где первая строка задает x-компоненту, а вторая строка задает y-компоненту как 11.

Для поворота этого вектора на 90 ^o против часовой стрелки мы просто умножаем матрицу вращения, которая равна 0-110, на матрицу 11, и это дает нам результирующий вектор. Для масштабирования вектора мы просто умножаем матрицу 11 на скаляр 3.

В этой статье мы узнаем, как выполнить умножение двух матриц и как умножить матрицу на скаляр.

Как умножить матрицу на скаляр?

Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто умножаем каждый элемент матрицы на скаляр.

В приведенном выше примере, когда нам нужно масштабировать вектор с коэффициентом 3, нам нужно было умножить скаляр 3 на матрицу 11. Для этого нам просто нужно умножить каждый элемент матрицы на скаляр. В этом случае результатом снова будет матрица 33,9.0005

В общем, если нам нужно умножить скаляр, скажем, u, на матрицу A=abcd, мы получим

uA=u×abcd=u×au×bu×cu×d.

1. Умножив скаляр 4 на матрицу 363340, мы получим 4×34×63×64×34×44×0=12241812160.

2. Если матрица A=123494567, то 2A=2×12×22×32×42×92×42×52×62×7=2468188101214.

Как перемножить две матрицы?

В отличие от сложения и вычитания матриц, мы не требуем, чтобы матрица имела один и тот же порядок для выполнения умножения матриц. Однако количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы. Это условие совместимости, которое необходимо проверить для выполнения матричного умножения.

Для выполнения умножения двух матриц проверка совместимости заключается в том, что количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Матрицы A=124864304,B=356 имеют порядок 3×3 и 1×3 соответственно.

Мы можем умножить матрицу B на A, записанную как BA, так как количество столбцов B и количество строк A одинаковы.

Однако мы не можем умножить A на B, записанное как AB, так как количество столбцов в A равно 3, а количество строк в B равно 1, что не одно и то же.

Также важно отметить, что AB≠BA. Это отличается от умножения целых чисел, где 2×3=3×2=6. При умножении матриц важен порядок, в котором перемножаются матрицы. Как видно из этого примера, мы можем сделать BA, но не AB.

Рассмотрим две матрицы A и B с порядками m×n и p×q. Предположим, мы хотим перемножить их, где A — первая матрица, а B — вторая матрица, тогда

• по тесту на совместимость, количество столбцов в A = количеству столбцов в B, то есть n = p;
• порядок матрицы AB будет равен количеству строк в A × количеству столбцов в B, то есть m × q;
• ^{элемент в строке i и столбце j матрицы AB находится путем суммирования произведения всех элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.}

Рассмотрим две матрицы A=24 ,В=57.

Порядок этих матриц 1×2 и 2×1 соответственно.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Мы можем найти AB, поскольку количество столбцов в A = количеству строк в B = 2.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Матрица AB будет иметь то же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, как B. В этом случае порядок AB будет 1×1.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

AB=2457=_

Единственный элемент матрицы AB можно получить, умножив элементы первой строки A24 на соответствующие элементы первого столбца B57 и сложив результаты.

То есть (2×5)+(4×7)=10+28=38.

Это причина проверки совместимости. Количество элементов в каждой строке A будет таким же, как количество элементов в каждом столбце B. Таким образом, произведение AB = 38.

Теперь найдем BA для того же примера.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Совместимость для этого умножения состоит в том, что количество столбцов B = количеству строк A = 1.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Порядок матрицы BA = количество строк B × количество столбцов A = 2×2.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

BA=5724=____

Элемент в строке 1 и столбце 1 BA находится путем умножения соответствующих элементов первой строки B5 на первый столбец A2. В этом случае, поскольку у нас есть только один элемент, мы имеем 5×2=10.

Элемент в строке 1 и столбце 2 БА находится путем умножения соответствующих элементов первой строки B5 на второй столбец A4. То есть 5×4=20.

Элемент в строке 2 и столбце 1 BA находится путем умножения соответствующих элементов второй строки B7 на первый столбец A2. То есть 7×2=14.

Аналогично t элемент в строке 2 и столбце 2 из ВА =7×4=28. Следовательно, матрица BA равна 10201428.

В общем, рассмотрим две матрицы A=abcd,B=efgh.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Количество столбцов A = количеству строк B = 2, поэтому мы можем найти AB.

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Результирующая матрица имеет то же количество строк, что и A, и такое же количество столбцов, что и B. В этом случае порядок AB будет 2×2.

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведений .

Элемент в строке 1 и столбце 1 таблицы AB находится из первой строки строки Aab и первого столбца таблицы Beg. Умножаем соответствующие элементы и складываем результаты. То есть (а×е)+(б×г).

Элемент в строке 1 и столбце 2 таблицы AB определяется из первой строки таблицы Aab и второго столбца таблицы Bfh. То есть (a×f)+(b×h).

Аналогично находим остальные элементы матрицы и получаем

AB=abcdefgh=(a×e)+(b×g)(a×f)+(b×h)(c×e)+(d×g)(c×f)+(d×h) .

Мы хотим найти произведение матриц AB

A=123246,B=124635.

Решение

Шаг 1 — Проверка совместимости: количество столбцов A = количество строк B = 3.

Шаг 2 — Порядок матрицы произведения: количество строк A ×количество столбцов B = 2×2.

Шаг 3 — Нахождение элементов матрицы произведения:

Элемент в строке 1 и столбце 1 AB получается из

123 и 143 как (1×1)+(2×4)+(3×3)=18.

Элемент в строке 1 и столбце 2 AB получается из

123 и 265 как (1×2)+(2×6)+(3×5)=29.

Аналогично получаем остальные элементы AB. Следовательно,

АВ=18293658.

Дано A=20131440-2,B=1230-214-10, найти матрицу AB.

Решение

Шаг 1 — Проверка совместимости: количество столбцов A = количество строк B = 3.

Шаг 2 — Порядок матрицы произведения: количество строк A × количество столбцов B = 3×3.

Шаг 3 — Нахождение элементов AB:

AB=(2×1)+(0×0)+(1×4)(2×2)+(0×-2)+(1× -1)(2×3)+(0×1)+(1×0)(3×1)+(1×0)+(4×4)(3×2)+(1×-2)+ (4×-1)(3×3)+(1×1)+(4×0)(4×1)+(0×0)+(-2×4)(4×2)+(0× -2)+(-2×-1)(4×3)+(0×1)+(-2×0)=2+0+44+0-16+0+03+0+166-2- 49+1+04+0-88+0+212+0+0=63619010-41012

Умножение матриц — ключевые выводы

• Умножение матрицы на скаляр: Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто умножаем каждый элемент матрицы на скаляр.
• Умножение двух матриц: Порядок умножения матриц имеет значение.

Шаг 1: Выполните тест на совместимость.

Количество столбцов первой матрицы = количеству строк второй матрицы

Шаг 2: Найдите порядок матрицы произведения.

Количество строк первой матрицы × количество столбцов второй матрицы

Шаг 3: Найдите элементы матрицы произведения.

Умножить соответствующие элементы строк первой матрицы на элементы столбцов второй матрицы и сложить их.

Правила умножения матриц и формула

В этом уроке вы узнаете все об умножении матриц. Здесь я показал шаги, связанные с умножением матриц с помощью иллюстраций. представление. И я считаю, что графическое изображение — лучший способ определить любые несложные темы. В итоге вот две темы вы должны знать:

• Что такое матрица
• Как работает умножение матриц

Я объясню эти две темы в терминах, понятных любому программисту.

Что такое матрица?

В мире программирования матрица — это, по сути, двумерный (2D) массив. Здесь «двухмерность» означает элемент массива, организованный в два измерения, которые представляют собой строки и столбцы. Строки располагаются сверху вниз, а столбцы слева направо. Например,

Как видно из приведенной выше матрицы, всего имеется m строк и n столбцов. А А ₁₁ , А ₁₂ , . …., А _mn — матричные элементы, расположенные таким образом, что элемент

• A ₁₁ находится в 1 ^st строке и 1 ^st столбце
• A ₁₂ находится в строке 1 ^st и столбце 2 ^nd
• A _1n находится в строке 1 ^st и n ^th в столбце
• A ₂₁ находится во 2-м ^{-м ряду} и в 1-м ^{-м столбце}
.
• А ₂₂ находится в строке 2 ^nd и столбце
2 ^nd .
• A _2n находится во 2 ^nd ряду и n ^th столбце
• A _m1 находится в m ^th строке и 1 ^st столбце
• A _м2 находится в m ^th строке и 2 ^nd столбце
• A _mn находится в строке m ^th и столбце
n ^th .

Как работает умножение матриц

Чтобы умножить любые две матрицы, нам нужно выполнить скалярное произведение строк и столбцов. Прежде чем перейти к пошаговому процессу матрицы умножение. Давайте сначала разберемся с матричным скалярным произведением. Итак, чтобы сделать скалярное произведение (1, 2, 3).(4, 5, 6). Вот шаги:

 (1,2,3).(4,5,6)
= (1x4)+(2x5)+(3x6)
= 4+10+18
= 32 

Теперь давайте разберемся с умножением матриц, используя пошаговый процесс, описанный ниже.

Процедура умножения матриц в шагах

Вот пошаговый процесс умножения двух заданных матриц:

На первом этапе выполните скалярное произведение элементов первой строки (первой матрицы) на элементы первого столбца (второй матрицы) ), как показано ниже:

На втором шаге выполните скалярное произведение элементов первой строки (первой матрицы) на элементы второго столбца (второй матрицы) как показано ниже:

На третьем шаге выполните скалярное произведение элементов во второй строке (первой матрицы) на элементы в первом столбце (матрицы). вторая матрица), как показано ниже:

На четвертом шаге выполните скалярное произведение элементов второй строки (первой матрицы) на элементы второго столбца (второй матрица), как показано ниже:

Таким образом, вы можете выполнить умножение матриц.

Условие выполнения умножения матриц

Чтобы умножение матриц было выполнено или определено, количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк в вторая матрица.

Дальнейшее объяснение умножения матриц

Бинарный процесс, известный как «умножение матриц», создает матрицу из двух матриц. Столбцы первой матрицы должны иметь одинаковое количество строки как строки следующей матрицы для умножения матриц.

Количество строк в первой матрице и количество столбцов во вторичной матрице складываются вместе, чтобы сформировать окончательную матрицу или матрицу продукт. Буквы AB обозначают результат матриц A и B. Таким образом, умножение матриц является фундаментальным инструментом линейной алгебры и уже имеет различное применение во многих областях чистой и практической арифметики, в том числе в статистике, физике, экономике и технике.

Предположим, что у нас есть две матрицы A и B, матрицу A можно умножить на матрицу B по формуле (AB). Другими словами, в результате матрица для умножения любой m x n матрицы «A» на n x q матрицу «B» может быть выражена как матрица «C» порядка m x q.

Мы можем понять общую процедуру умножения матриц, используя концепцию, что «исходные строки были умножены на столбцы (компонент на компонент), а затем все строки были полностью заполнены. «Чтобы умножить матрицу, используйте один из следующих основных методов:
Первый шаг — убедиться, что количество строк во второй матрице соответствует количеству столбцов в первой матрице.

Второй шаг включает умножение компонентов строки i ^th первой матрицы на компоненты столбца j ^th матрицы. другую матрицу, а затем сложение результатов. Это будет компонент результирующей матрицы, который находится под i ^-й -й строкой, а также j ^-й -й столбец.

Этап 3 заключается в размещении дополнительных товаров в соответствующих местах.

Умножение матрицы 2×2

Умножение матрицы 3×3

Пример умножения матрицы

Найдите произведение матриц A и B.