Сложение и умножение вероятностей
Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу классической вероятности (советую повторить).
Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения и правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто )). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.
Немного важной и простой теории:
Определение: События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.
д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».
Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то промежутка времени. Существуют следующие варианты:
- Перегорает первая и перегорает вторя
- Перегорает первая и не перегорает вторая
- Не перегорает первая и перегорает вторая
- Не перегорает первая и не перегорает вторая.
Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут (никакой из них с другим вариантом произойти не может).
Определение: События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого.
Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик.
Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события .
О сумме вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.
Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:
Пример с игральной костью:
Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?
Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:
Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки).
Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6 = 0,5.
*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта вероятности их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)
Об умножении вероятностей
Пусть происходят два независимых события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий А и В называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:
Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.
Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?
Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:
Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.
Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.
Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит что они происходят в некоторый промежуток времени (в один день или год, при проведении нескольких испытаний следующих друг за другом).
Например:
Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)
Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)
Игральная кость бросается три раза.
Биатлонист делает пять выстрелов.
События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события.
Рассмотрим задачи:
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.
Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.
Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:
0,0140 + 0,0130 = 0,027
Ответ: 0,027
Если гроссмейстер А.
играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.
Вероятность произведения указанных событий будет равна 0,62∙0,2 = 0,124.
Ответ: 0,124
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий: 0,3 + 0,25 = 0,55.
*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.
Ответ: 0,55
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.
Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1
*Промах и попадание это события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.
Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий.
Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.
Округляем до сотых, получаем 0,07
Ответ: 0,07
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.
Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.
Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951.
*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию «хотя бы один».
Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:
1.
«неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049
2. «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651
3. «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651
4. «исправен-исправен» 0,93∙0,93 = 0,8649
Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4:
0,0651 + 0,0651 + 0,8649 = 0,9951
Ответ: 0,9951
Посмотреть решение
Есть ещё два определения (из основ теории вероятностей):
Определение: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.
Определение: События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.
На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Лекция 1. Правила сложения и умножения · Теория вероятностей и математическая статистика
Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).
Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без). Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах. Два основных правила комбинаторной теории:
Правило сложения
Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример –
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только 1 элемент.
Пример 1.
Вика должна выбрать только один десерт из 8 видов коктейля, 5 видов мороженого и 5 видов йогурта.
Сколькими способами она может выбрать десерт?
Решение.
Используется закон сложения, т.к. Вика должна выбрать или коктейль, или мороженое, или йогурт.
Ответ: Вика может выбрать десерт 18 способами.
При использовании закона сложения надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта a не совпадал с каким-либо способом выбора объекта b.
Если объект a можно получить способами, объект — способами, то объект « или » можно получить способами, где — это количество повторяющихся способов.
Пример 2.
В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек — «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение.
Правило умножения Пусть объект А выбирается m способами, объект В выбирается n способами, то оба объекта можно выбрать m·n способами.
Все очень просто – каждый из m способов выбора объекта А комбинируется с каждым из n способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.
Пример3.
Сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
Решение.
Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9·10=90 чисел.
Пример 4.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Решение.
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26·25=650 способами.
Пусть требуется выполнить последовательно действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе действие способами, третье – способами и так до -го действия, которое можно выполнить способами, то все действий вместе могут быть выполнены: способами.
На стоянке такси находятся 3 автомобиля Audi, 5 автомобилей Hyundai и 7 автомобилей Toyota. Сколькими способами можно выбрать машину для поездки?
1121522В группе 7 человек имеют «5» за экзамен по математике, 9 человек — «5» за экзамен по философии. В сессии 2 экзамена: математика и философия. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
12162032Закон сложения используется тогда, когда надо выбрать …
1 элемент2 элемента3 элементаСколько угодно элементовВ классе учится 17 мальчиков и 9 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
На стоянке такси находятся 3 автомобиля Audi, 5 автомобилей Hyundai и 7 автомобилей Toyota.
Сколькими способами можно выбрать три машины для поездки?
Правило сложения в вероятности
Горячая математикаЕсли А а также Б являются двумя событиями в вероятностном эксперименте, то вероятность того, что одно из этих событий произойдет, равна:
п ( А или же Б ) знак равно п ( А ) + п ( Б ) − п ( А а также Б )
Это может быть представлено в виде Диаграмма Венна в качестве:
п ( А ∪ Б ) знак равно п ( А ) + п ( Б ) − п ( А ∩ Б )
Если
А
а также
Б
два
взаимоисключающие события
,
п
(
А
∩
Б
)
знак равно
0
.
Тогда вероятность того, что произойдет одно из событий, равна:
п
(
А
или же
Б
)
знак равно
п
(
А
)
+
п
(
Б
)
Это можно представить на диаграмме Венна как:
п ( А ∪ Б ) знак равно п ( А ) + п ( Б )
Пример:
Если вы достанете одну карту из обычной колоды, какова вероятность того, что это туз или пика?
Позволять Икс быть событием выбора туза и Д быть событие выбора пики.
п ( Икс ) знак равно 4 52
п ( Д ) знак равно 13 52
Эти два события не исключают друг друга, так как есть один благоприятный исход, при котором карта может быть как тузом, так и пикой.
п ( Икс а также Д ) знак равно 1 52
п ( Икс или же Д ) знак равно 4 52 + 13 52 − 1 52 знак равно 16 52 знак равно 4 13
БЕСПЛАТНЫЙ пошаговый урок по правилу вероятностного сложения с интерактивными упражнениями
Форма поиска
Поиск
Изучение правила сложения вероятностей и сложение вероятностей с помощью примеров задач и интерактивных упражнений
Эксперимент: Бросается один шестигранный кубик.
Какова вероятность того, что выпадет 2 или 5?
Возможности:
1. Выпавшее число может быть 2.
2. Выпавшее число может быть 5.
События: Эти события являются взаимоисключающими, поскольку они не могут произойти одновременно.
Вероятности: как найти вероятности этих взаимоисключающих событий? Нам нужно правило, чтобы вести нас.
Правило сложения 1: Когда два события, A и B, являются взаимоисключающими, вероятность того, что произойдет A или B, равна сумме вероятностей каждого события.
Р(А или В) = Р(А) + Р(В)
Давайте воспользуемся этим правилом сложения, чтобы найти вероятность для эксперимента 1.
Эксперимент 1: Бросается один шестигранный кубик. Какова вероятность того, что выпадет 2 или 5?
Вероятности:
| P(2) | = | | ||
| 6 | ||||
| Р(5) | = | 1 | ||
| 6 | ||||
| Р(2 или 5) | = | Р(2) | + | Р(5) |
| = | 1 | + | 1 | |
| 6 | 6 | |||
| = | 2 | |||
| 6 | ||||
| = | 1 | |||
| 3 | ||||
Эксперимент 2.
Спиннер имеет 4 равных сектора желтого, синего, зеленого и красного цветов. Какова вероятность приземлиться на красное или синее после вращения этого блесны?
Вероятности:
| P(красный) | = | 1 | ||
| 4 | ||||
| P (синий) | = | 1 | ||
| 4 | ||||
| P (красный или синий) | = | P(красный) | + | P (синий) |
| = | 1 | + | 1 | |
| 4 | 4 | |||
| = | 2 | |||
| 4 | ||||
| = | 1 | |||
| 2 | ||||
Эксперимент 3.
В стеклянной банке находятся 1 красный, 3 зеленых, 2 синих и 4 желтых шарика. Если из банки наугад выбрать один шарик, какова вероятность того, что он будет желтым или зеленым?
Вероятности:
| P(желтый) | = | 4 | ||
| 10 | ||||
| P (зеленый) | = | 3 | ||
| 10 | ||||
| P (желтый или зеленый) | = | P(желтый) | + | P (зеленый) |
| = | 4 | + | 3 | |
| 10 | 10 | |||
| = | 7 | |||
| 10 | ||||
В каждом из трех приведенных выше экспериментов события являются взаимоисключающими.
Давайте рассмотрим некоторые эксперименты, в которых события не исключают друг друга.
Эксперимент 4. Из стандартной колоды из 52 игральных карт случайным образом выбирается одна карта. Какова вероятность выбора короля или трефы?
Вероятности:
| P(король или трефа) | = | П(король) | + | P(клуб) | — | P(король треф) |
| = | 4 | + | 13 | — | 1 | |
| 52 | 52 | 52 | ||||
| = | 16 | |||||
| 52 | ||||||
| = | 4 | |||||
| 13 | ||||||
В эксперименте 4 события не исключают друг друга.
Сложение приводит к тому, что король треф считается дважды, поэтому его вероятность необходимо вычесть. Когда два события не являются взаимоисключающими, необходимо использовать другое правило сложения.
Дополнительное правило 2: Когда два события, A и B, не исключают друг друга, вероятность того, что произойдет A или B, равна:
P(A или B) = P(A) + P(B) — P (A и B)
В приведенном выше правиле P(A и B) относится к перекрытию двух событий. Применим это правило к некоторым другим экспериментам.
Эксперимент 5. В математическом классе из 30 учеников 17 мальчиков и 13 девочек. В модульном тесте 4 мальчика и 5 девочек получили оценку «А». Если ученица выбрана случайным образом из класса, какова вероятность того, что она выберет девочку или отличницу?
Вероятности: Р(девушка или А) = Р(девушка) + Р(А) — Р(девушка и А)
| = | 13 | + | 9 | — | 5 | |
| 30 | 30 | 30 | ||||
| = | 17 | |||||
| 30 | ||||||
Эксперимент 6: В канун Нового года вероятность попасть в автомобильную аварию равна 0,09.
. Вероятность того, что человек будет управлять автомобилем в состоянии алкогольного опьянения, равна 0,32, а вероятность того, что человек попадет в автомобильную аварию в состоянии алкогольного опьянения, равна 0,15. Какова вероятность того, что человек за рулем в состоянии алкогольного опьянения или попадет в автомобильную аварию?
Вероятности:
| P(пьянство или несчастный случай) | = | П(в состоянии алкогольного опьянения) | + | П(авария) | — | P(пьянство и несчастный случай) |
| = | 0,32 | + | 0,09 | — | 0,15 | |
| = | 0,26 | |||||
Резюме: Чтобы найти вероятность события A или B, мы должны сначала определить, являются ли события взаимоисключающими или нет.
Затем мы можем применить соответствующее правило сложения:
Правило сложения 1: Если два события, A и B, являются взаимоисключающими, вероятность того, что произойдет A или B, равна сумме вероятностей каждого события.
P(A или B) = P(A) + P(B)
Правило сложения 2: Если два события, A и B, не исключают друг друга, между этими событиями существует некоторое перекрытие. Вероятность того, что произойдет A или B, представляет собой сумму вероятности каждого события за вычетом вероятности совпадения.
P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)
Упражнения
Указания: Прочтите каждый вопрос ниже. Выберите свой ответ, нажав на его кнопку. Обратная связь по вашему ответу представлена в ОКНО РЕЗУЛЬТАТЫ. Если вы ошиблись, выберите другую кнопку.
| 1. | День недели выбирается случайным образом. Какова вероятность того, что вы выберете понедельник или вторник? |
Ничего из вышеперечисленного. ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: |
| 2. | В зоомагазине есть 6 щенков, 9котят, 4 песчанки и 7 попугаев. Если домашнее животное выбрано наугад, какова вероятность того, что вы выберете щенка или попугая? |
| 1 Ничего из вышеперечисленного. ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: |
| 3. | Вероятность того, что у подростка из Нью-Йорка будет скейтборд, равна 0,37, велосипеда — 0,81, а того и другого — 0,36. Если наугад выбрать подростка из Нью-Йорка, какова вероятность того, что у него есть скейтборд или велосипед? |
| 1,18 0,7 0,82 Ничего из вышеперечисленного. ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: |
| 4. | Случайным образом выбирается число от 1 до 10. Какова вероятность выбрать 5 или четное число? |
Все вышеперечисленное. ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: |
| 5. | Брошен один шестигранный кубик. Какова вероятность того, что выпадет число больше 3 или четное число? |
| 1 Ничего из вышеперечисленного. |
