Правило деления умножения вычитания и сложения дробей: Правила на сложение (вычитание), умножение (деление) обыкновенных и десятичных дробей. 6 класс

Содержание

Сложение и вычитание десятичных дробей — как правильно? Правила и примеры

Понятие десятичной дроби

Прежде, чем перейдем к тому, как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это число в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Ее записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

0,8
7,42
9,932

Конечная десятичная дробь — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

0,600 = 0,6
21,10200000 = 21,102

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби.
Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д.
Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей нужно отдельно сложить каждую часть.

Рассмотрим пример сложения 3,2 и 5,3. Для удобства используем метод столбика.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть под целой частью другой. В школе это называют «запятая под запятой». Вот так:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Запишем пятерку в дробной части ответа:

Теперь целые части: 3 + 5 = 8. Запишем восьмерку в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной, чтобы запятая была под запятой:

Получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Учёба без слёз (бесплатный гайд для родителей)

Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой.

Вычитание десятичных дробей

Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Запишем в столбик выражение так, чтобы запятая была под запятой:

Вычислим дробную часть 5 − 2 = 3. Запишем тройку в десятой части ответа:

Вычислим целую часть 2 − 2 = 0. Запишем ноль в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Вот и ответ: 2,5 − 2,2 = 0,3.

Пример 2. Вычислить: 7,353 – 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой: в 7,353 три цифры после запятой, а в 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце добавим два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.

Запишем в столбик и посчитаем:

Ответ: 7,353 – 3,1 = 4,253.

Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2

В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичную дробь. Запишем это выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была под числом 3. Вот так:

Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:

Теперь вычитаем десятые части: 0 − 2. От нуля невозможно вычесть число 2. Поэтому займем единицу у соседнего разряда. Таким образом 0 превращается в число 10. Вычисляем десятые части: 10 − 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:

Сейчас вычтем целые части. В самом начале было число 3, но мы заняли у него единицу, поэтому оно обратилось в двойку. Поэтому: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Ответ: 3 − 1,2 = 1,8.

Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Чтобы каждый ученик в 5 и 6 классе мог повторить эту последовательность, есть специальный алгоритм:

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей

Уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Записать дроби друг под другом так, чтобы одна запятая оказалась под другой запятой.
Выполнить сложение (вычитание) и не обращать внимание на запятую.
Поставить в ответе запятую под запятой.

Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно записать их в столбик друг под другом, запятая под запятой. А потом сложить (вычесть) как обыкновенные числа и снести запятую.

Десятичные дроби — правила умножения, деления, сложения, вычитания, перевода с примерами » Kupuk.net

Одним из видов простейших отношений является десятичная дробь. Это обыкновенное выражение, в знаменателе которого располагаются десятки. Такого вида запись часто обозначают специальным образом без знаменателя. С дробями можно выполнять любые арифметические действия. Но для того чтобы быстро и правильно решать задачи на их нахождение, нужно не только знать теорию и определения, но попрактиковаться в вычислениях.

Определение и понятие

История возникновения десятичных дробей тесно связана с учением о мерах. В Древнем Китае десятичную систему использовали для обозначения порядка. Полную теорию дробей в XV веке предложил узбекский астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Позже Стевин в своей книге «Десятая» начал записывать такие выражения в одну строку. Таким же образом их обозначал и Иоганн Кеплер. Используемая им запись осталась актуальной и сегодня.

Под дробью в математике понимают число, в состав которого входит одна или несколько равных долей единицы. Если стоит задача определить дробь конкретной величины, то её считают соответствующей единице. Например, пусть имеется круг, разделённый на шесть равных частей. Эти части называют долями. Всего их шесть, то есть каждая доля составляет шестую часть круга, исходную величину которого принимают как равную единице.

В математике это отношение обозначают в виде записи 1/6 и называют дробью. Читают его как «одна шестая». Любая дробь состоит из трёх элементов:

Числителя — цифры или числа, стоящей в верхней части. Он показывает, сколько частей отобрано у целого, и является делимым.
Знаменателя — числа, показывающего, на какое количество долей разделяют числитель.
Дробной черты — разделяет числитель со знаменателем и фактически заменяет собой знак деления.

В школьных классах для того, чтобы ученики запомнили, где находится числитель, а где — знаменатель, предлагают ассоциации. Например, человек стоит на земле, она снизу, знаменатель — внизу. Таким образом, запись 3/6 будет обозначать, что круг разделили на шесть частей и три из них убрали.

Форма записи

При записи десятичной дроби используют следующую форму: сначала пишут целую часть, затем ставят разделитель целой и дробной доли (запятую), а после уже указывают дробную составляющую. Количество цифр, идущих после запятой, зависит от размерности. Различают десятые доли, их записывают одной цифрой, сотые — двумя, тысячные — тремя и так далее.

Записанные десятичные отношения выглядят так: 6,7; 3,26; 0, 234. Их принято указывать без знаменателя. Например, 7/10 = 0,7; 32/100 = 0,32. Удобнее всего пояснить на реальном примере. Пусть есть дробь 69/10. В знаменателе стоит число десять, имеющее один ноль. Отсчитав справа налево в числителе количество знаков, соответствующих числу нулей, в этом случае один, ставят запятую. В рассматриваемом примере запись будет выглядеть как 6,9. Тут 6 — целая часть, а 9 — дробная.

С отношениями можно выполнять любые действия. Их можно складывать, вычитать, делить и умножать. Десятичные дроби — это один из видов отношений. Они соответствуют выражениям, где знаменатель определяется как 10 в степени n, а n — натуральное число, то есть возникающее при счёте естественным образом.

Виды дробей

Дробные числа используют не только в математике, но и повседневной жизни. Наиболее типичное применение — это кулинария, где приготовление еды происходит с помощью смешивания определённых частей ингредиентов между собой. В качестве примера можно привести и спортивные состязания, пошив одежды, нумерацию.

Кроме десятичных отношений, существуют ещё и другие виды дроби:

обыкновенная (простая) — записывают как отношение двух рациональных чисел;
правильная — это выражение, у которого значение числителя меньше знаменателя;
неправильная — в этом случае числитель больше или совпадает по величине со знаменателем;
смешанная — образуется из неправильных как сумма натурального числа и правильной дроби.

Любую дробь можно преобразовать в другую. Самая простая операция, которую можно сделать — это перевод обыкновенного отношения в десятичное. Для этого вначале конвертируют числитель, а затем знаменатель. Но не с каждой дробью это возможно сделать.

Есть правило, по которому легко определить, существует ли возможность преобразования. Согласно ему, обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную лишь в том случае, если её знаменатель можно разложить на множители два и пять, которые имеют свойство повторяться. Например, 11/40, знаменатель можно представить в виде произведения 2*2*2*5, поэтому привести к десятичной её возможно. А вот 13/60 преобразовать нельзя, так как в знаменателе при разложении есть число три: 5 * 2 * 2 * 3 = 60.

Для переведения простого отношения в десятичное нужно верхнюю и нижнюю часть выражения умножить на одно и то же число, но таким образом, чтобы внизу записи появилось число, кратное десяти. Например, 7/20 = 7*5/20*5 = 35/100 = 0,35. Или такой пример: 13/40 = 13/2*2*2*5 = 13*25/40*25 = 325/1000 = 0,325.

Есть и более сложный способ приведения, но при этом используют его чаще. В основе метода лежит деление уголком. То есть выполняют просто деление числителя на знаменатель. Например, 69/200. На первом этапе следует убедиться, что дробь может быть конечной десятичной, для этого раскладывают знаменатель: 200 = 5*5*2*2*2. На втором шаге выполняют деление в столбик и получают ответ: 0,345.

Популярность второго способа связана с тем, что всё же некоторые отношения проще разделить, чем подбирать, как правильно преобразовать знаменатель. Наиболее часто встречаются следующие дроби, которые поддаются преобразованию: ½ = 0,5; ¼ = 0,25; ¾ = 0,75; 1/5 = 0,2; 1/8 = 0,125; 1/10 = 0,1. А вот такие выражения, как 1/3, 1/7, 5/6, преобразовать в десятичные числа невозможно.

Преобразование отношения

Любое число можно преобразовать в дробь. Десятичные числа как слышатся, так и пишутся. Ноль целых три сотых — дробь 3/100. Выражение одна целая десять сотых можно записать как 1 (10/100).

Преобразуя десятичное число в дроби, можно сокращать. Например, 1,06 = 1 (5/100) = 1 (1/20). Часто приходится выполнять и обратное преобразование: 4/100 = 0,04. Смешанное отношение вида 3 (4/5) может быть преобразовано в неправильное. Для этого нужно целую часть умножить на нижнюю часть дроби и сложить с верхней. Знаменатель оставляют без изменений. То есть (3*5+4)/5 = 19/5.

При превращении смешанной дроби в неправильную используют правило сложения дробей. Например, выражение 3 (2/13) можно записать как 3 + 2/13 = 3/1 + 2/13 = (3*13+2)/13 = (39+2)/13 = 41/13. Для того чтобы перевести смешанную дробь в десятичную, необходимо выделить целую долю.

Выделяя часть, нужно определить, сколько целых знаменателей вмещается в числитель. Пусть нужно преобразовать 27/6. Вначале следует определить, сколько шестёрок помещается в числе 27. Для этого нужно 27 разделить на шесть, число, стоящее перед запятой, будет искомым. Это четыре. Далее найти числитель по правилу 4*6 = 24 и вычесть полученное значение из знаменателя 27 − 24 = 3. Теперь находят лишнее, что осталось от числителя 27, если убрать максимально помещающее число шестёрок. В результате получится ответ: 27/6 = 4 (2/3).

По похожему алгоритму выполняется преобразование периодической дроби в обыкновенную. Для решения задания нужно из числа, занимающего позицию до второго периода, отнять число, стоящее до первого периода, а полученную разницу перенести в числитель. В знаменатель записать девятку столько раз, сколько цифр в периоде. После девяток пишут нули, количество которых определяется числом цифр стоящих между запятой и первым периодом. Например, 0,23 (7) = (237 — 23)/900 = 214/900 = 107/450.

Действия с десятичными числами

С дробями можно также выполнять и сравнения. Для этого используют алгебраические правила. Сложение дробей между собой осуществляют по правилу столбика. Это удобный метод, практически не позволяющий допускать ошибок. Согласно объяснению способа в математике, для сложения нужно записать два числа друг под другом так, чтобы их правые цифры были в одном столбике. Затем сложить цифры в нём, используя способ переноса десятков.

При сложении десятичных дробей происходит всё то же самое, но при этом нужно обязательно расположить выражения так, чтобы их запятые стояли чётко друг под другом. Сложение выполняют так, как и с натуральными числами, не учитывая запятые. После подсчёта запятую просто сносят вертикально вниз, отделяя целую часть от дольной.

При вычитании происходит всё аналогичным образом. При сложении и вычитании выполняют четыре пункта:

Уравнивают количество знаков после запятой.
Записывают дроби друг под другом так, чтобы запятые совпадали по вертикали.
Складывают или вычитают по правилам арифметики.
В полученном числе ставят запятую соответственно другим записям.

Для умножения дробей их записывают в столбик, а далее находят произведение, как и с обычными числами. Затем считают количество знаков после запятой первого умножаемого и умножителя и складывают их количество. Для получения ответа справа налево отсчитывают такое же количество знаков и после последнего ставят запятую. Умножаться могут любые дроби, исключений нет.

Чтобы разделить десятичную дробь, следует знать правило: если целая часть делимого меньше делителя, то в частном целых не будет. Деление выполняют по правилу того же столбика. Две части записывают через уголок и определяют неполное частное, сравнивая делимое с делителем. Далее выполняют действие, записывая цифру в частное. При записи под неполным частным правая его величина должна располагаться над правой цифрой произведения. После того как закончится деление целой части делимого, ставят запятую.

Если число после запятой бесконечно повторяется, то оно будет называться периодом. В этом случае используют сокращение записи. Например, если в ответе получают 4, 67644444, то его можно заменить на запись 4,67 (4). Такое выражение называют бесконечной десятичной дробью.

Сравнение выражений

Чтобы сравнить две дроби, нужно составить уравнение из их целых частей. Если их части равные, то сравниваются десятые доли. Стоит отметить, что в этом случае учитывают разряд числа. Меньшей будет та дробь, у которой значение числа в разряде меньше.

Для того чтобы провести сравнение дробей, применяют следующую последовательность действий:

Пробуют сократить выражения.
Приводят дроби к одинаковому числу знаков путём дописывания в случае необходимости нулей.
Выполняют сравнение по старшинству разрядов, начиная с целой части, а в случае равенства — с десятой, сотой и так далее.
Если при сравнении разрядов один из них будет больше или меньше, задача считается выполненной.

Например, нужно сравнить дроби 237,4 и 238,2 и результат выразить через процентное отношение. Так как 237 меньше 238, то дробные части сравнивать уже будет не нужно. Для того чтобы определить процентное отношение, большую часть принимают за 100%, а меньшую — за X. Составляют пропорцию и делают вычисление: 237,4 * 100 = 238,2 * Х.

Это обыкновенное уравнение с одним неизвестным: Х = 237,4 * 100 / 238,2 = 99,66%. То есть первое выражение меньше второго на 100 — 99,66 = 0,34%. Десятичные выражения, как и натуральные, можно записывать в ряд, а значит, откладывать на координатной прямой. На ней правее будет стоять отношение, которое больше.

Небольшие задания решать несложно. Но существуют задачи, для решения которых нужно не только проявить максимальное внимание, но и затратить много времени. Например, как при вычислении совместных дробей. В таких случаях есть резон использовать калькулятор десятичных дробей с запятыми онлайн. Чтобы им воспользоваться, особых знаний не нужно. Загрузив сайт и введя в таблицу исходные данные, пользователю нужно всего лишь нажать кнопку «Рассчитать» и получить точный результат.

Умножение и деление дробей. Алгебра – ОГЭ

1. Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

Пример 1:

Пример 2:

Правило сложения дробей с разными знаменателями:

Пример 1:

Пример 2:

Здесь знаменатели не перемножали, а взяли наименьший общий множитель a2.
(В знаменателе старшая степень 2.)
Дополнительный множитель для первой дроби 1, для второй а.

2. Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Правило вычитания дробей с разными знаменателями:

3. Правило умножения обыкновенных дробей:

4. Правило деления дробей:

Пример:

Обыкновенная (простая) дробь. Числитель и знаменатель дроби.
Правильная и неправильная дробь. Смешанное число.
Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью . Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем , а количество взятых частей – числителем . Дробь записывается в виде:

Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью . Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной .

Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9. Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом :

Здесь 9 – неполное частное (целая часть смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части ), 7 – знаменатель.
Часто бывает необходимо решать обратную задачу – обратить смешанное число в дробь . Для этого умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавляем числитель дробной части . Это будет числитель обыкновенной дроби, а знаменатель остаётся прежним.

Обратные дроби – это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7 и 7 / 3 ; 15 / 1 и 1 / 15 и т.д.

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.
Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.
Умножение дробей. Деление дробей
Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нулярасширением дробиНапример,

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля . Это преобразование называется сокращением дроби . Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

П р и м е р. Сравнить две дроби:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю .
Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.
П р и м е р.

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе .

П р и м е р.
Деление дробей. я того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробьЭто правило вытекает из определения деления (см. раздел “Арифметические операции”).
П р и м е р.

Десятичная дробь. Целая часть. Десятичная точка.
Десятичные знаки. Свойства десятичных дробей.
Периодическая десятичная дробь. Период
Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка . Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками .

П р и м е р.
Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен n –ой степени 10, где n — количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4):
Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:

Свойства десятичных дробей.

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули :

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные
в конце десятичной дроби :

0.00123000 = 0.00123 .

Внимание!Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!br />

Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Периодическая десятичная дробь одержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом . Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

П р и м е р. Если разделить 47 на 11, то получим 4.27272727… = 4.(27).

Умножение десятичных дробей.
Деление десятичных дробей.

Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.
П р и м е р.

Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях .
Замечание : до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце !
П р и м е р.

Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.
Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на целое число
Если делимое меньше делителя , записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему , сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.
П р и м е р. Разделить 1.328 на 64.
Р е ш е н и е:
Деление одной десятичной дроби на другую.
Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.
П р и м е р. Разделить 0.04569 на 0.0006.
Р е ш е н и е. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:

Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти ( здесь n – количество десятичных знаков ). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:
Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления .
П р и м е р. Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.
Р е ш е н и е. Деля 5 на 8, получаем 0.625. (Проверьте, пожалуйста!).
В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.
П р и м е р. Обратить 1 / 3 в десятичную дробь.
Р е ш е н и е. Деление 1 на 3 будет бесконечным: 1:3 = 0.3333… .
Проверьте это, пожалуйста!

Разбор задания №1 на тему: «Действия с дробями: умножение и вычитание, выделение целой части из неправильной дроби, обратные операции»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса
Комбинаторика и теория вероятностей Уравнения и неравенства

Ребята, задание №1 охватывает темы, которые, в основном, проходятся в 5-6 классах.

Для правильного решения данного задания требуются умение:

работать с простыми и десятичными дробями,
переводить простые дроби в десятичные и обратно,
возводить числа в целую степень,
а также понимание понятий рациональных и действительных чисел.

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:

1.Сложение десятичных дробей, примеры.
2. Сложения натуральных чисел, примеры.
3. Свойства вычитания чисел, примеры.
4. Вычитание десятичных дробей: правила и примеры.
5. Сложение и вычитание отрицательных чисел, правила и примеры.
6. Пропорции и отношения.
7. Умножение десятичных дробей, примеры.
8. Сложение и вычитание дробей, примеры.
9. Умножение и деление дробей, примеры.
10. Возведение в целую степень, примеры – скоро будет.

Давайте подробно разберем примеры заданий, которые вам могут встретиться.

Пример 1.
В данном примере потребуется умение умножать и вычитать дроби, выделять целую часть из неправильной дроби и также проводить обратную операцию.
Найти значение следующего выражения: $1\frac{2}{5}*2\frac{2}{3}-1\frac{2}{3}*3\frac{1}{2}$.

Решение.
Ребята, давайте разобьем решение на несколько действий. Первое, что мы знаем, что умножать дроби с целой частью мы не умеем. Значит, нам надо каждую дробь привести в неправильную дробь.
1. Вспомним правило перевода в неправильную дробь: чтобы получить числитель — целую часть надо умножить на знаменатель и к полученному числу прибавить числитель исходной дроби. Знаменатель остается неизменным, всегда получается числитель больше знаменателя:
$1\frac{2}{5}=\frac{1*5+2}{5}=\frac{7}{5}$.
Давайте выполним аналогичные операции для оставшихся дробей:
$\frac{7}{5}*\frac{2*3+2}{3}-\frac{1*3+2}{3}*\frac{3*2+1}{2}=\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}$.

2. Все прекрасно помнят, что умножение выполняется раньше сложения и вычитания. Далее, нам надо вспомнить правило умножения двух дробей, числитель мы умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель:
$\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}=\frac{56}{15}-\frac{35}{6}$.

3. Нам осталось вычесть две дроби. Вспомним, что при сложении и вычитании сначала надо найти общий знаменатель двух дробей, то есть наименьшее общее кратное. У нас есть два знаменателя – числа 15 и 6. Для этих двух чисел наименьшим общим кратным будет число 30.
Если умножить числитель и знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не изменится.
$\frac{56}{15}-\frac{35}{6}=\frac{56*2}{15*2}-\frac{35*5}{6*5}=\frac{112}{30}-\frac{175}{30}=-\frac{63}{30}$.

4. Нам осталось перевести обычную дробь в десятичную, т.к. в бланке ответов ОГЭ мы можем записать числа в десятичном виде.
Выделим целую часть и затем сократим дробь.
$-\frac{63}{30}=-2\frac{3}{30}=-2\frac{1}{10}=-2,1$.

Еще раз распишем решение:
$1\frac{2}{5}*2\frac{2}{3}-1\frac{2}{3}*3\frac{1}{2}=\frac{1*5+2}{5}*\frac{2*3+2}{3}-\frac{1*3+2}{3}*\frac{3*2+1}{2}=\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}=$ $=\frac{56}{15}-\frac{35}{6}=\frac{56*2}{15*2}-\frac{35*5}{6*5}=\frac{112}{30}-\frac{175}{30}=-\frac{63}{30}=-2\frac{3}{30}=-2\frac{1}{10}=-2,1$.
Ответ: $-2,1$.

Пример 2.
Вычислите значение выражения $0,007*0,00007*700$.

Решение.
В данном примере мы можем поступить двумя способами: 1) перемножить все числа «напрямую»; 2) воспользоваться знаниями темы о возведении в целую степень.

1. Первое, на что следует обратить внимание — в каждом числе встречается цифра 7. Это сделано не просто так. Попробуем упростить представленные дробные числа. Как можно представить число 0,007 в виде произведения? $0,007=0,001*7$.

Не стоит бояться упрощать дробные числа. Если в начале дробного числа присутствуют все нули, а заканчивается эта дробь некоторым числом, то его всегда можно представить в виде произведения. {-6}=243*0,000001=0,000243$.
Ответ: $0,000243$.

Пример 3.
Найти значение выражения: $6,3*1,8-3,6*2,1$.

Решение.
Данный пример можно решить «в лоб», если вы хорошо умеет умножать дробные числа столбиком. Считать «в лоб» мы данный пример не будем, но приведем два других способа решения.

Способ 1. Если у вас не очень хорошо получается умножать дробные числа столбиком, тогда можно умножить исходное выражение на сто, но главное, потом не забыть опять же поделить на сто.
$\frac{(6,3*1,8-3,6*2,1)*100}{100}=\frac{63*18-36*21}{100}=\frac{1134-756}{100}=\frac{378}{100}$.
Поделим получившиеся число на 100, что довольно таки легко, так как у нас два нуля, то запятая дробного числа сместится на 2 цифры справа налево.
$\frac{378}{100}=3,78$.

Способ 2. Можно заметить, что исходные числа имеют одинаковые сомножители, то есть каждое из представленных чисел нужно представить в виде произведения целого числа и дроби.
$6,3=7*0,9$.
$1,8=6*0,3$.
$3,6=6*0,6$.
$2,1=7*0,3$.
$6,3*1,8-3,6*2,1=7*0,9*6*0,3-6*0,6*7*0,3=42*0,27-42*0,18=$ $=4*(0,27-0,18)=42*0,09=\frac{42*9}{100}=\frac{378}{100}=3,78$.
Выбор способа решения зависит только от ваших предпочтений.

Пример 4.
Запишите номера верных равенств:
1) $2*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.
2) $\frac{ \frac{11}{14}}{3\frac{1}{7}}=0,25$.
3) $1,75-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{12}$.
4) $\frac{1,6}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}}=4$.

Решение.
Нам ничего не остается, как проверить каждое выражение.

1) В этом примере надо помнить, что умножить целое число на дробь — это не одно и то же, что дробь, в которой выделена целая часть. Решим данный пример.
$2*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{1}*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2*4}{3*4}-\frac{1*3}{4*3}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$.
Получили, что представленное равенство не верно.

2) Прежде всего надо избавиться от целой части, а потом воспользоваться правилом деления дробей. $\frac{\frac{11}{14}}{3\frac{1}{7}}=\frac{\frac{11}{14}}{\frac{3*7+1}{7}}=\frac{\frac{11}{14}}{\frac{22}{7}}=\frac{11}{14}*\frac{7}{22}$.
Теперь мы можем воспользоваться правилом сокращения дробей.
$\frac{11}{14}*\frac{7}{22}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
Осталось только перевести полученную дробь в десятичную.
$\frac{1}{4}=0,25$.
Получили верное равенство.

3) В данном примере, для начала, нам надо перевести десятичную дробь в обычную. $1,75=1 \frac{75}{100}=1\frac{3}{4}$.
Теперь избавимся от целой части и получим неправильную дробь: $1\frac{3}{4}-2\frac{1}{3}=\frac{7}{4}-\frac{7}{3}$.
Выполним вычитание двух дробей: $\frac{7}{4}-\frac{7}{3}=\frac{21}{12}-\frac{28}{12}=-\frac{7}{12}$.
Получили верное равенство.

Запишем еще раз решение:
$1,75-2\frac{1}{3}=1\frac{3}{4}-2\frac{1}{3}=\frac{7}{4}-\frac{7}{3}=\frac{21}{12}-\frac{28}{12}=-\frac{7}{12}$.

4) Опять же перейдем от десятичной дроби к обычной.
$1,6=1\frac{6}{10}=\frac{16}{10}$.
Мы хорошо помним, что первое действие выполняется в скобках.
$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{2}{3}*\frac{6}{5}=\frac{2}{1}*\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$.
Выполним деление за скобками: $\frac{\frac{16}{10}}{\frac{4}{5}}=\frac{16}{10}*\frac{5}{4}=\frac{4}{2}*\frac{1}{1}=2$.
Получили, что исходное равенство неверное.
Ответ: 23.

Пример 5.
Найдите значение выражений. В ответ укажите наибольшее из найденных значений.
1) $1,8-\frac{3}{5}$.
2) $\frac{1\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}$.
3) $\frac{0,8+0,3}{1,2}$.
Решение.

1) Перейдем к десятичной дроби.
$1,8-\frac{3}{5}=1,8-0,6=1,2$.

2) Перейдем к неправильной дроби и выполним деление дробей. $\frac{1\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{4}{3}*\frac{6}{1}=\frac{4}{1}*2=8$.

3) Выполним сложение в числители дроби. $\frac{0,8+0,3}{1,2}=\frac{1,1}{1,2}=\frac{1,1*10}{1,2*0}=\frac{11}{12}$.
Осталось выбрать наибольшее решение, очевидно, что это будет 8.
Ответ: 8.

Александр Шабалин

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.
Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

Примеры (1):

Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):

Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:

Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:

В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:

*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!
— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.
— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).
— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).
— если необходимо, то результат сокращаем.
— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Десятичные дроби — правила умножения, деления, сложения, вычитания, перевода с примерами

Содержание

Определение и понятие
Форма записи
Виды дробей
Преобразование отношения
Действия с десятичными числами
Сравнение выражений

Определение и понятие

Числителя — цифры или числа, стоящей в верхней части. Он показывает, сколько частей отобрано у целого, и является делимым.
Знаменателя — числа, показывающего, на какое количество долей разделяют числитель.
Дробной черты — разделяет числитель со знаменателем и фактически заменяет собой знак деления.

В школьных классах для того, чтобы ученики запомнили, где находится числитель, а где — знаменатель, предлагают ассоциации. Например, человек стоит на земле, она снизу, знаменатель — внизу. Таким образом, запись 3/6 будет обозначать, что круг разделили на шесть частей и три из них убрали.

Форма записи

Виды дробей

Кроме десятичных отношений, существуют ещё и другие виды дроби:

обыкновенная (простая) — записывают как отношение двух рациональных чисел;
правильная — это выражение, у которого значение числителя меньше знаменателя;
неправильная — в этом случае числитель больше или совпадает по величине со знаменателем;
смешанная — образуется из неправильных как сумма натурального числа и правильной дроби.

Любую дробь можно преобразовать в другую. Самая простая операция, которую можно сделать — это перевод обыкновенного отношения в десятичное. Для этого вначале конвертируют числитель, а затем знаменатель. Но не с каждой дробью это возможно сделать.

Преобразование отношения

Действия с десятичными числами

При вычитании происходит всё аналогичным образом. При сложении и вычитании выполняют четыре пункта:

Уравнивают количество знаков после запятой.
Записывают дроби друг под другом так, чтобы запятые совпадали по вертикали.
Складывают или вычитают по правилам арифметики.
В полученном числе ставят запятую соответственно другим записям.

Если число после запятой бесконечно повторяется, то оно будет называться периодом. В этом случае используют сокращение записи. Например, если в ответе получают 4, 67644444, то его можно заменить на запись 4,67 (4). Такое выражение называют бесконечной десятичной дробью.

Сравнение выражений

Для того чтобы провести сравнение дробей, применяют следующую последовательность действий:

Пробуют сократить выражения.
Приводят дроби к одинаковому числу знаков путём дописывания в случае необходимости нулей.
Выполняют сравнение по старшинству разрядов, начиная с целой части, а в случае равенства — с десятой, сотой и так далее.
Если при сравнении разрядов один из них будет больше или меньше, задача считается выполненной.

МатематикаКорень уравнения — определение в математике, формулы нахождения

МатематикаРациональные числа в математике

Умножение, деление и возведение дробей в степень

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Умножение алгебраических дробей

2. Деление алгебраических дробей

3. Возведение в степень алгебраических дробей

С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. 2d}{ac}\]

Пример 2

Найти произведение двух дробей $\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}$

Для нахождения произведения воспользуемся правилом умножения дробей, тогда получим

\[\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab\cdot (ax+bx)}{\left(cx+dx\right)\cdot 2ab}\]

Заметим, что многочлены, стоящие в скобках, можно разложить на множители путем вынесения общего множителя, который в данном случае будет являться переменной $x$.

\[\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab\cdot \left(ax+bx\right)}{\left(cx+dx\right)\cdot 2ab}=\frac{4ab\cdot x\cdot (a+b)}{2ab\cdot x\cdot (c+d)}\]

После подобного преобразования можно отметить, что, воспользовавшись основным свойством дроби, полученную можно сократить на одинаковые множители, входящие в состав числителя и знаменателя: $\ 2abx$.

\[\frac{4ab}{cx+dx}\cdot \frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab\cdot \left(ax+bx\right)}{\left(cx+dx\right)\cdot 2ab}=\frac{4ab\cdot x\cdot \left(a+b\right)}{2ab\cdot x\cdot \left(c+d\right)}=\frac{2(a+b)}{c+d}\]

Деление алгебраических дробей

Алгебраические дроби делят по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

т. 2}=\frac{x+2}{27(x-1)}\]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29.04.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей

Тема: Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей.

(Урок по математике в 6 классе)

Тип урока:урок – повторения и закрепления ЗУН.

Цели урока:

— отрабатывать умения складывать, вычитать, умножать, делить дроби, решения простейших задач жизненной практики, способствовать умению рассуждать и логически мыслить, проверить ЗУН обучающихся по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», «Умножение и деление обыкновенных дробей»;

— способствовать воспитанию умения работать в парах и группах;

— способствовать развитию умения рассуждать и логически мыслить.

Задачи:

Способствовать овладению навыками критического и креативного мышления для генерации новых идей при решении задач динамично изменяющегося мира.

Оборудование: номера столов и участников, карточки с логическими задачами.

На уроке применяются элементы сингапурской методики обучения.

Ход урока:

Организационный момент.

ХАЙ ФАЙВ (СИГНАЛ ТИШИНЫ).

Учитель: Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы проведём урок, применяя сингапурские структуры урока. Сообщение темы, цели, плана урока.

Повторение.

Цель: повторение изученного.

ФИНК-РАЙТ-РАУНД РОБИН (ПОДУМАЙТЕ – ЗАПИШИТЕ – ОБСУДИТЕ)

Учитель: Подумайте, запишите и обсудите в группах ответ на вопрос:

— Какие темы мы изучили в этом полугодии?

Запишите как можно больше тем и математических терминов, которые вы узнали в этом учебном году.

Время по 1 минуте каждому подумать и записать на листочках, обсудить по очереди и выслушать друг друга, записать новые идеи команды.

По команде учителя выслушать 2-3 учеников команды.

(Ответы: Делитель, Кратное, Сокращение дробей, Признаки делимости, НОД, НОК, Простые числа, Сравнение, сложение, вычитание, дробей с разными знаменателями, Сравнение, сложение, вычитание смешанных чисел, Умножение, деление дробей. )

Проверка домашнего задания.

Цель: повторение сложения, вычитания, умножения, деления дробей.

Учитель: Домашним заданием было записать на одной стороне листочка любой пример или вопрос, а на обратной стороне – ответ. КУИЗ – КУИЗ – ТРЕЙД (ОПРОСИ – ОПРОСИ – ОБМЕНЯЙСЯ КАРТОЧКАМИ).

Учитель: Ребята, вы будете проверять и обучать друг друга по пройденному материалу, используя карточки с вопросами и ответами.

Учитель: 1)Ребята, встаньте, задвиньте стулья, возьмите свои карточки, поднимите руку и найдите ближайшую пару.

2)Ученик А у которого день рождения ближе к 19 декабрю спрашивает ученика В (задаёт вопрос из своей карточки).

3)Ученик В отвечает.

4)Ученик А помогает и хвалит (подскажи, научи, переспроси, похвали).

5)Ученики меняются ролями (ученик В спрашивает ученика А).

6)Ученики меняются карточками и благодарят друг друга.

Можно повторить шаги 1-6 несколько раз.

Учитель: контролирует время процесса.

4. Математический диктант. (в тетрадях по вариантам, с последующей взаимопроверкой, чётные номера – 1 вариант, не чётные номера – 2 вариант)

Цель: проверить знания по сложению, вычитанию, умножению, делению дробей.

В-1

—

В — 2

—

Ответы записаны на обратной стороне доски.

Учитель: — Поменяйтесь тетрадями с партнёром по лицу, оцените работу партнёра.

5. Физминутка.— А теперь ребята встали,

Дружно руки вверх подняли,

В стороны, вперёд, назад,

Наклонились вправо, влево,

Тихо сели вновь за дело.

6. Домашнее задание Составить и записать по 2 примера на сложение вычитание, умножение, деление дробей.

7. Занимательные задачи.

Цель: способствовать развитию логического мышления.

Учитель: Раздаёт карточки с заданиями (или уже они на столе). Учащиеся каждый сам решают задачи. Через определённое время учитель проверяет ответы. ТЭЙК – ОФ – ТАЧ ДАУН ( ВСТАТЬ – СЕСТЬ) для получения информации о классе.

Учитель: Встаньте, пожалуйста, те, у кого ответ в первой задаче ответ = 4 . Спасибо, садитесь.

Встаньте, пожалуйста, те, у кого ответ во второй задаче ответ – одной девочке дали клетку с кроликом. Спасибо, садитесь.

Встаньте, пожалуйста, те, у кого ответ в третьей задаче ответ — всего 3 человека: сын, отец и дед . Спасибо, садитесь.

Встаньте, пожалуйста, те, у кого ответ в четвёртой задаче ответ = 2,3 . Спасибо, садитесь.

Встаньте, пожалуйста, те, у кого ответ в пятой задаче ответ = на 12 равных частей. Спасибо, садитесь.

Задачи:

1.В каждом из четырёх углов комнаты сидит кошка. Напротив каждой из этих кошек сидит кошка. Сколько всего в этой комнате кошек?

2. В клетке находится три кролика. Три девочки попросили дать им по одному кролику. Просьба девочек была удовлетворена, каждой из них дали кролика. И всё же в клетке остался один кролик. Как могло такое случиться?

3.Два отца и два сына разделили между собой три апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как такое могло случиться?

4.Какой знак надо поставить между 2 и 3, чтобы число стало больше 2, но меньше 3?

5. Как разрезать торт на части, чтобы его можно было разделить поровну как на трёх, так и на четырёх человек?

8. Рефлексия.

Учитель: Ребята, перед вами новогодняя ёлка и ёлочные украшения. Если вы сегодня получили удовольствие от урока, выберите яркую красную игрушку, если вам не понравился урок – тёмную, если вам было всё равно – зелёную. Нарядите нашу ёлку.

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Введение

Прежде чем вы сможете освоить более сложные понятия алгебры и геометрии, вам необходимо сначала освоить все математические функции, связанные с дробями. В этой статье мы рассмотрим, как складывать, вычитать, умножать и делить две дроби, а также дробь и целое число. Мы также введем сложные дроби вместе с методами их упрощения. Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы полностью понимаете четыре основных математических операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Ключевые термины

o Общий знаменатель

o Взаимная

o Комплексная фракция

Цели

o Изучение

o Понимание, как интерпретировать дробь, которые включают отрицательные числа

o Признание и упрощенные комплексы

Теперь, когда мы разработали прочную основу относительно того, что такое дроби, а также о некоторых различных типах дробей, теперь мы можем перейти к применению основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) к дробям.

Сложение и вычитание

В случаях, когда речь идет о простых числах, сложение и вычитание дробей выполняется достаточно просто. Например, добавление одной трети и одной трети, очевидно, дает нам две трети. Точно так же три пятых минус две пятых — это одна пятая. Первый случай проиллюстрирован ниже.

А как быть с такими случаями, как половина плюс одна треть?

Обратите внимание, что складывать (вычитать) дроби с одинаковым знаменателем очень просто — мы просто складываем (вычитаем) числители и делим на тот же знаменатель. Мы уже должны знать, что можем написать эквивалентные дроби, которые имеют разные числители и знаменатели. Таким образом, если мы просто преобразуем одну или обе дроби, которые мы складываем или вычитаем, в эквивалентные дроби с тем же знаменателем, то мы можем складывать дроби простым способом, описанным выше. Затем, при необходимости, мы можем уменьшить результат до минимальных значений.

Задача при сложении и вычитании дробей состоит в том, чтобы найти общий знаменатель . Самый простой способ найти общий знаменатель — просто умножить два существующих знаменателя, а затем соответствующим образом преобразовать числители, чтобы получить эквивалентные дроби. Хотя этот подход концептуально прост, он может быть математически сложным, когда знаменатели велики. Тем не менее, давайте попробуем этот подход для иллюстрации. Обратите внимание на упомянутое выше дополнение.

Общий знаменатель равен 6 (или 23), потому что мы можем умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы получить , и мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить . Затем добавление выполняется просто.

Практическая задача: Подсчитайте результат в каждом случае.

а. б. в.

Решение: В каждом случае найдите общий знаменатель и преобразуйте члены в эквивалентные дроби с этим знаменателем. Для каждого случая дается один возможный общий знаменатель. Сумма (разность) дробей есть сумма (разность) числителей над общим знаменателем. Если применимо, уменьшите результат до самых низких значений.

а. Общий знаменатель: 21

б. Общий знаменатель: 8

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Pre-Algebra?

в. Общий знаменатель: 45

Умножение и деление

Умножение и деление дробей в некоторых отношениях проще, чем их сложение и вычитание. Допустим, мы хотим умножить на . Интуитивно ответ довольно очевиден: половина половины — это четверть (или одна четвертая). Например, если у вас есть 50 центов (полдоллара) и вы хотите умножить их на половину, то вы получите 25 центов (четверть доллара).

Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение. В некоторых случаях товар уже будет в наименьших условиях; в других вам может потребоваться уменьшить его до самых низких значений. Например, произведение и будет следующим:

При умножении дроби на целое число обратите внимание, что любое целое число — это просто дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе. Например,

Практическая задача : Рассчитайте следующие произведения.

а. б. в.

Решение : В каждом случае произведение равно произведению числителей на произведение знаменателей. Если один из множителей является целым числом, рассматривайте его как дробь, имеющую целое число в числителе и 1 в знаменателе. Сократите продукт до самых низких условий, если это применимо.

а.

б.

в.

Теперь рассмотрим случай деления. Допустим, мы хотим разделить на . Интуитивно ответ равен 2. Например, 25 центов (четверть доллара) могут дважды превратиться в 50 центов (полдоллара).

Обратите внимание, что если бы мы перевернули второй множитель так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем, а также изменили операцию деления на умножение, мы получили бы тот же результат.

На самом деле это удобный способ деления дробей. Деление на дробь равносильно умножению на 9.0004 обратное этой дроби. Обратное — это просто «перевернутая» дробь. Так, например, обратная величина равна (или ).

Как и при умножении дробей, помните, что целое число также можно записать в виде дроби. Так, например, обратное число 6 равно . Поэтому мы можем делить дроби на целые числа так же, как и на другие дроби. Кроме того, обратите внимание, что произведение дроби и ее обратной всегда равно 1. Рассмотрим пример ниже.

В свете того, как мы определили деление и умножение, мы можем дать более строгое обоснование нашего метода вычисления эквивалентных дробей. Обратите внимание, что число 1 можно записать как любое другое число, разделенное само на себя. Например,

Таким образом, процесс нахождения эквивалентных дробей есть не что иное, как умножение данной дроби на 1! Рассмотрим пример ниже.

Практическая задача : Вычислите следующие частные.

а. б. в.

Решение : В каждом случае умножьте делимое на обратную величину делителя. Сократите продукт до самых низких условий, если это применимо.

а.

б.

г.

Дроби и отрицательные числа

Поскольку дроби — это не что иное, как представление деления, у нас уже есть инструменты, необходимые для понимания роли отрицательных чисел в дробях. Напомним, что произведение (или частное) двух отрицательных или двух положительных чисел положительно, а произведение (или частное) одного отрицательного числа и одного положительного числа отрицательно. Итак, рассмотрим на примере дроби ; мы рассмотрим каждый возможный случай.

В первом случае (числитель и знаменатель имеют одинаковый знак) результатом является положительное число. Во втором случае (числитель и знаменатель имеют противоположные знаки) результатом является отрицательное число. Таким образом, во втором случае мы можем иногда просто ставить знак минус рядом со всей дробью, а не рядом с числителем или знаменателем. Тем не менее, обратите внимание, что все три представления равны, и в некоторых ситуациях одно может быть более полезным, чем другое.

Сложные дроби

Напомним, что дробь — это просто способ выражения деления двух чисел (где числитель — это делимое, а знаменатель — делитель). Поскольку мы можем делить дроби, мы можем также выразить это деление как «дробь дробей» или сложных дробей. Ниже приведен пример сложной дроби. Обратите внимание, что для ясности дроби в числителе и знаменателе сложной дроби показаны «наклонными» — однако это изменение не подразумевает никакой математической разницы.

Такие дроби можно и часто нужно упрощать. Для этого мы можем воспользоваться одним из нескольких подходов. Напомним, что мы можем найти эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Таким образом, один из подходов состоит в том, чтобы умножить как числитель, так и знаменатель сложной дроби на произведение знаменателей простых дробей, как показано ниже.

В качестве альтернативы мы можем умножить и числитель, и знаменатель сложной дроби на обратную величину ее знаменателя. Поскольку знаменатель становится равным 1, результатом является просто значение числителя.

Другой способ взглянуть на этот последний подход состоит в том, что мы просто выполняем деление:

В зависимости от конкретной ситуации один подход может быть проще другого; однако все они одинаково приемлемы.

Практическая задача : Упростите следующие сложные дроби.

а. б. в.

Решение : Одним из возможных способов упрощения сложных дробей является умножение дроби в числителе на обратную дробь в знаменателе. Если применимо, уменьшите результат до самых низких значений. В случае части c обратите внимание, что обратная величина 5 равна и что частное (или произведение) положительного числа, деленного (умноженного) на отрицательное число, является отрицательным числом.

а.

б.

г.

Если у вас все еще возникают проблемы с дробями, вы также можете прочитать эту статью здесь: Как сделать дроби простым способом.

Алгебраические правила работы с дробями.

Произношение: /ˈfræk.ʃən rulz/ Объяснить

Рис. 1: Фракция

Дробные правила представляют собой набор алгебраический правила работы с дроби. Фракция имеет числитель и знаменатель. Фракция представляет собой операция деления. Числитель – делимое. Знаменатель — это делитель.

Правила дробей
Операция	Уравнения	Описание
Добавление двух фракций ^[2]			. Сложите числители и используйте общий знаменатель в качестве знаменателя. Уменьшить дробь. См. Операции с дробями: сложение и вычитание.
Вычитание двух дробей		Чтобы вычесть дроби, преобразуйте каждую дробь так, чтобы они имели общий знаменатель. Вычтите числители и используйте общий знаменатель в качестве знаменателя. Уменьшить дробь. См. Операции с дробями: сложение и вычитание.
Умножение двух дробей ^[2]		Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели. Уменьшить дробь. См. Операции с дробями: умножение.
Умножение дроби на целое число.		Чтобы умножить дробь и целое число, умножьте числитель на целое число. Знаменатель остается неизменным. Сократите дробь, если это возможно.
Деление двух дробей ^[2]		Чтобы разделить дроби, переверните делитель вверх дном и умножьте на делимое. Уменьшить дробь. См. Операции над дробями: деление.
Деление дроби на целое число.		Чтобы разделить дробь на целое число, преобразовать целое число в дробь, разделить дроби.
Возведение дроби в степень.		См. Операции над дробями: возведение в степень.
Преобразование смешанного числа в неправильную дробь.		Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте произведение к числителю. Знаменатель остается неизменным. См. Как преобразовать смешанное число в дробь.
Преобразование неправильной дроби в смешанное число.		Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель на знаменатель с использованием остатка. Смешанное число — это частное плюс остаток, деленный на знаменатель. См. Как преобразовать дробь в смешанное число.
Нулевой числитель.		Применяя свойство умножения на ноль, нулевой числитель с нулевым знаменателем равен нулю. См. Свойство умножения на 0,9.0238
Нулевой знаменатель.		Поскольку деление на ноль не определено, нулевой знаменатель делает дробь неопределенной.
Один знак минус.		Поскольку , применим ассоциативное свойство умножения, чтобы получить
Два знака минус.		Поскольку , примените ассоциативное свойство умножения, чтобы получить
Если у дроби одинаковые ненулевые числитель и знаменатель, значение дроби равно 1.		Все, кроме 0, разделенного на самого себя, равно 1.
Любое целое число можно превратить в дробь.		Поскольку , применим свойство умножения на 1: . См. Свойство умножения на 1.
Сокращение дробей.		Даны два произвольных значения `a` и `b` , а также значения `c` , `d` и `e` такие, что `a` = `c` · `d` и `b` = `c` · `e` , . См. Сокращение дробей.
Фракции строительные.		Учитывая фракцию `A` / `B` и число `D` , которое состоит из `D` , `E` , что `B` , `e` . `а` / `б` = ( `а` · `е` ) / ( `b` · `e` ).
Операции над сложными дробями.	Упростите сложные дроби, затем используйте правила для простых дробей.	Чтобы манипулировать сложной дробью, преобразуйте ее в простую дробь, затем следуйте правилам для простых дробей. См. Сложная дробь.
Преобразование десятичного числа в дробь.		Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, замените десятичную дробь целым числом и разделите его на 10 ⁿ, где `n` — количество знаков после запятой.
Преобразование процентов в дроби.		Чтобы преобразовать проценты в дроби, используйте проценты в качестве числителя, 100 в качестве знаменателя, затем упростите.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.		Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, сравните числители. Соотношение между дробями такое же, как и между знаменателями.
Сравнение дробей с разными знаменателями.		Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, либо преобразуйте их в десятичные, либо приведите к общему знаменателю, а затем сравните их.
Сравнение дробей с разными знаменателями.

Таблица 1

СПИСУАКА

СПИСУАКИ

.

Файн, Генри Б., доктор философии. Система счисления алгебры, трактуемая теоретически и исторически . 2-е издание. стр. 12-15. www.archive.org. DC Heath & Co., Бостон, США. 1907. Последний доступ 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/thenumbersystemo17920gut/17920-pdf#page/n21/mode/1up/search/fraction. Купить книгу
Оберг, Эрик. Упрощенная арифметика . стр. 21-31. www.archive.org. Промышленный пресс. 1914. Последнее обращение 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/arithmeticssimpli00oberrich#page/21/mode/1up/search/fraction. Купить книгу
Оберг, Эрик. Элементарная алгебра . стр. 23. www.archive.org. Промышленный пресс. 1914. Последний доступ 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/elementaryalgebr00oberrich#page/n26/mode/1up/search/fraction. Купить книгу
Беттингер, Элвин К. и Инглунд, Джон А. Алгебра и тригонометрия . стр. 9-11,36-40. www.archive.org. Международная Учебная Компания. Январь 1963 г. Последний доступ 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/алгебраandtrigon033520mbp#page/n18/mode/1up. Купить книгу

Дополнительная информация

Как умножать и делить дроби в алгебре (видео) . манекены.com. Уайли. 23.01.2010. http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-multiply-and-divide-fractions-in-алгебра.html.

Цитируйте эту статью как:

МакАдамс, Дэвид Э. Правила дробей . 21.04.2019. Вся энциклопедия математических слов. ООО «Жизнь — это проблема истории». https://www.allmathwords.org/en/f/fractionrules.html.

Кредиты изображений

Все изображения и манипуляции принадлежат Дэвиду МакАдамсу, если не указано иное. Все изображения Дэвида МакАдамса защищены авторским правом © Life is a Story Problem LLC и находятся под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 4. 0 International License.

История изменений

21.04.2019:

Уравнения и выражения изменены для соответствия новому формату.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

21.12.2018:

Пересмотрено и исправлено произношение МФА.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

28.08.2018:

Исправлена орфография.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

09.07.2018:

Удалены битые ссылки, обновлена лицензия, реализована новая разметка, реализован новый протокол Geogebra.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

05. 02.2010:

Добавлен раздел «Ссылки».

(МакАдамс, Дэвид Э.)

14.01.2009:

Первоначальная версия.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

главная » математика » статьи » как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Бекки Клеантус | Последнее обновление: 25 февраля 2020 г.

В то время как некоторые люди могут глубоко дышать в бумажный пакет при мысли о вычислениях с дробями, если вы понимаете каждый шаг и почему это необходимо, это может быть проще простого. Или 1/6 торта, если хотите.

Запомните правило:

При сложении, вычитании, умножении или делении дробей вы всегда должны стремиться к максимально аккуратному ответу. Сообщите своей фракции, если «ее задница выглядит большой в этом», и упростите ее до самого маленького варианта (например, 3/6 становится 1/2, что сохраняет те же пропорции, но менее неуклюже).

Как складывать и вычитать дроби

Проверить: совпадают ли знаменатели?
Если нет, умножьте их вместе (и соответствующим образом сбалансируйте числители)
Сложите или вычтите, используя числители, оставив прежним знаменатель.

Для задачи на сложение или вычитание нужно составить « общих знаменателя ». Самое сложное в общих знаменателях — это попытаться их произнести. Продолжайте, быстро прочитайте ее десять раз и вернитесь, чтобы прочитать остальную часть статьи, когда вы перестанете плакать.

ОК? Хороший.

Что такое знаменатели и числители?

Знаменатель — это число, выходящее за черту дроби, поэтому «общий знаменатель» просто означает, что вам нужно, чтобы все эти числа в сумме совпадали друг с другом. Число, стоящее над чертой дроби, называется 9.0654 числитель .

Когда дело доходит до сложения и вычитания дробей, это очень просто, если вы проверили (или создали, если необходимо) общий знаменатель.

Шаг 1) Проверьте: совпадают ли ваши знаменатели?

Если вам очень повезет, ваши знаменатели уже будут одинаковыми, поэтому вы просто складываете числители из верхних половин и сохраняете существующий знаменатель под чертой.

Пример: 1/4 + 1/4 = 2/4

… И то же самое для суммы вычитания, за исключением того, что вместо этого вы вычитаете числители:

Пример: 2/3 — 1/3 = 1/3

Шаг 2) Если знаменатели не совпадают

Если знаменатели уже не совпадают (например, если вы хотите добавить 1/4 + 2 /3), вам нужно будет перемножить их вместе. Число, которое вы получите от умножения, становится общим знаменателем и, следовательно, образует нижнюю часть каждой дроби в сумме.

Пример: Если вам нужно сделать 1/4 + 2/3, сделайте общий знаменатель:

4 x 3 = 12. Теперь 12 идет в нижней части каждой дроби.

Теперь вы работаете с одним и тем же числом в каждой дроби. И, конечно же, вам нужно соответствующим образом скорректировать числители, иначе ваши дроби не будут эквивалентны. Подумайте об этом… Если бы вы заплатили за 1/4 чизкейка, вы были бы в ярости и голодны, если бы вам только что вручили 1/12 чизкейка. Они не эквивалентны, поэтому вам нужно настроить числитель, чтобы он был пропорционально того же размера.

Вы делаете это, умножая числитель на то же число, которое вы использовали для умножения знаменателя. Смотри:

1/4 становится 3/12 (обе части, верхняя и нижняя, умножаются на 3)

И 2/3 становится 8/12 (обе части, верхняя и нижняя, умножаются на 4)

Шаг 3) Сложите или вычтите ваши числители

Итак, вы убедились, что есть общий знаменатель, и что никто не отнял у вас меньший кусок пирога (т.е. вы соответствующим образом скорректировали свой числитель). Теперь вы можете делать свою простую сумму, добавляя или вычитая, используя числители. Оставьте общий знаменатель таким, какой он есть; это не меняется сейчас. Вот и все!

Пример: СУММ: 1/4 + 2/3

Умножьте ваши знаменатели (4 x 3 = 12) и пропорционально измените числители: 3/12 + 8/12

Подсчитайте сумму сверху дробь = 11/12

Моя попа в этом выглядит большой? Неа. Это наименьшая из возможных дробей.

Давайте попробуем другой пример…

Пример: СУММ: 3/4 — 1/8

Перемножьте ваши знаменатели (4 x 8 = 32) и пропорционально измените числители: 24/32 — 4/ 32

Сумма над дробью = 20/32

Моя задница выглядит большой в этом? Извините, да, немного. 20/32 можно упростить до 5/8. Намного лучше!

Образовательная ссылка: Ознакомьтесь с фантастическими математическими таблицами для сложения и вычитания дробей на DadsWorksheets.com.

Как умножать дроби

Когда вы хотите перемножать дроби, это очень просто.

Умножьте числители вместе: все, что находится в верхней части дроби, умножается вместе. Это становится числителем вашего ответа.
Умножьте знаменатели вместе: все, что скрывается в дроби под чертой, перемножается. Это становится знаменателем в вашем ответе.
Моя попа в этом выглядит большой? Сократите дробь до наименьшего возможного знаменателя.

Пример: 4/5 x 1/4 = 4/20 = упрощенно равно 1/5

Ссылка для обучения: Ознакомьтесь с рабочими листами для умножения дробей на DadsWorksheets.com.

Как делить дроби

[СОВЕТ] При делении дробей вам никогда не нужно делать никакого деления. Странно, да? Вместо этого мы будем умножать. Это имеет больше смысла, если вы считаете, что деление противоположно умножению, поэтому мы переворачиваем одну из дробей вверх дном, чтобы компенсировать это.

Шаг 1

Первое, что вы хотите сделать, это получить сумму умножения. Избавьтесь от этого символа деления и замените его на X.

Но теперь это совсем другая сумма, верно? Это собирается сделать большее число вместо меньшего? Ага! Ну…

Шаг 2

Переверните вторую дробь вверх ногами, поместив старый знаменатель на ВЕРХ строки, а числитель под ним.

Пример:

Допустим, у вас есть следующая сумма дробей:

1/2 ÷ 3/4

Оставьте первую дробь без изменений:

1/2

Замените 0 ÷ 13 x 4: 1 /2 x 3/4

И переверните вторую дробь вверх ногами.

1/2 x 4/3

Итак, ваш расчет (и вы знаете, как умножать из предыдущего раздела):

1/2 ÷ 3/4
что становится
1/2 x 4/3
= 2/3

Моя попа в этом выглядит большой? Нет, ты прекрасно выглядишь, 2/3! Ты такой простой, какой ты есть.

Ссылка для обучения: Ознакомьтесь с рабочими листами для деления дробей на DadsWorksheets.com.

Расчеты завершены. Если вы хотите проверить свои ответы, у нас есть удобный калькулятор дробей, который вы можете использовать.

Оценить статью

Пожалуйста, оцените эту статью ниже. Если у вас есть какие-либо отзывы о нем, пожалуйста свяжись со мной.

сообщите об этом объявлении

Математические функции

Калькулятор процентов
Калькулятор десятичной дроби
Как работает PEMDAS?
Формула плотности. Как рассчитать плотность
Конвертер шестнадцатеричных чисел в десятичные

История калькулятора

Узнайте, как со временем развивались калькуляторы, от счетов до айфонов.

Сложение, вычитание, умножение и деление: правила

Может быть полезно понять, как использовать различных математических операции , так как их можно использовать каждый день в самых разных ситуациях, точно так же, как вычислять, как можно разделить пакет со сладостями. поровну между группой людей.

Определение сложения, вычитания, умножения и деления

Сложение, вычитание, умножение и деление — все типы операций, используемых в математике.

Сложение

Сложение — это тип операции, результатом которой является сумма двух или более чисел. Существует знак для обозначения операции сложения, называемый знаком плюс, который представляет собой .

Вычитание

Вычитание — это тип операции, результатом которой является нахождение разницы между двумя числами. Знак, обозначающий операцию вычитания, называется знаком минус и выглядит следующим образом.

Умножение

Умножение — это операция, требующая сложения равными группами, в результате умножения получается произведение. Знак, обозначающий операцию умножения, можно назвать знаком умножения и выглядит он так.

Деление

Деление — это операция, обратная умножению, при которой число разбивается на равные части. Знак, представляющий операцию деления, называется просто знаком деления и выглядит так.

Правила сложения, вычитания, умножения и деления

Существуют различные правила и методы, которые могут быть полезны при использовании каждой из этих операций.

Сложение

При сложении двух или более чисел можно использовать метод сложения столбцов. Это включает в себя размещение чисел одно над другим в столбце, затем вы работаете справа налево, добавляя числа, которые находятся в одном столбце.

Вычислить

Решение:

Для начала вы можете расположить числа друг над другом:

Теперь, работая справа налево, сложите два горизонтальных числа вместе, начиная с 2 и 2:

Теперь перейдем к 2 и 5:

И, наконец, 5 и 1:

Следовательно,

Если два добавляемых вами числа больше 10, вы можете перенести это число.

Вычитание

При вычитании двух чисел можно также использовать метод столбца; метод вычитания столбцов. Это работает так же, как метод сложения столбцов, однако вы вычитаете числа, а не добавляете их.

Вычислить

Решение:

Для начала вы можете расположить числа друг над другом, поместив число, от которого вы вычитаете, сверху:

Теперь, работая справа налево, вычтите одно число от другого, начиная с 8 и 4:

Теперь перейдем к 3 и 1:

И, наконец, 5 и 2:

Следовательно,

Если вычитаемое число больше, чем вычитаемое, вам нужно взять цифру. из столбца влево.

Умножение

При умножении двух чисел можно использовать различные методы, включая метод сетки. Это включает в себя разбиение двух чисел и размещение их в сетке. Затем вы выполняете отдельные умножения, а затем складываете их все вместе.

Calculate

Solution:

To begin with, draw out a grid, break down your numbers, and place them into the grid-like so:

	20	3
40
2

. 0238 40 800 120 2 40 40 6 40 6 40 6 40. проще сделать это пошагово:

Таким образом,

Деление

При делении одного числа на другое вы можете использовать метод, называемый коротким делением, этот метод лучше всего работает, когда вы делите число на 10. или менее. Короткое деление предполагает мысленное деление числа на более мелкие этапы.

Вычислить

Решение:

Для начала вы можете нарисовать свой расчет, записав число, на которое вы делите, слева, а число, которое вы делите, запишите справа, как показано ниже:

Теперь вам нужно проработать число, которое вы делите по одной единице за раз, начните с выяснения, сколько раз 9 может перейти в 3. Поскольку это невозможно, вам нужно перенести 3 на следующую единицу. :

Теперь вы можете подумать о том, сколько раз 9 может перейти в 30. 9 входит в 30 три раза с остатком три:

Затем это можно записать в ваше деление, как показано ниже, с делимым числом, записанным над вычислением. а остаток 3 переносится на 6:

Наконец, вы можете подсчитать, сколько раз 9 входит в число 36:

Следовательно,

Сложение, вычитание, умножение и деление отношений

Операции могут иметь отношения друг с другом. Существует связь между сложением и вычитанием, а также связь между умножением и делением.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание можно считать обратными друг другу. Это просто означает, что операции противоположны, вы можете отменить сложение, вычитая то же число, и наоборот!

Умножение и деление

Умножение и деление также считаются обратными друг другу, если вы хотите отменить умножение, вы можете просто разделить число.

Примеры сложения, вычитания, умножения и деления

Вычислить

Решение:

Для начала вы можете расположить числа друг над другом:

Теперь, работая справа налево, сложите два горизонтальные числа вместе. Начиная с 7 и 8, так как они равны 15, вам нужно перенести 1 на:

Теперь вам нужно сложить вместе 4, 7 и 1, опять же, поскольку это больше 10, вам нужно перенести единицу измерения:

Наконец, вы можете сложить вместе 6, 2 и 1:

Вычислить

Решение:

Для начала вы можете расположить числа друг над другом, поместив число, от которого вы вычитаете, сверху:

Теперь, работая справа налево, вычтите одно число от другого, начиная с 2 и 6. Поскольку 6 больше двух, вам нужно позаимствовать цифру из столбца слева:

Теперь вы можете вычесть 2 из 2:

Наконец, вы можете вычесть 4 из 7:

Вычислить

your numbers, and place them into the grid-like so:

	50	3
30
5

To fill out the grid you simply multiply each number in the columns:

	50	3
30	1500	90
5	250	15

Теперь вы можете сложить все значения вместе, чтобы найти ответ на вопрос, может быть проще сделать это пошагово:

Вычислить

Решение:

Давайте начнем с записи суммы, используя метод короткого деления:

Теперь начнем с вычисления, сколько раз 7 входит в 4, это невозможно, поэтому вы можете перенести 4 на 3:

Затем вы можете посмотреть, сколько раз 7 может входить в число 43:

Это оставляет нам остаток от 1, который можно перенести на 4:

Наконец, посчитайте, как много раз 7 может перейти в 14:

Следовательно,

Применения сложения, вычитания, умножения и деления

Эти операции часто используются в повседневной жизни, давайте рассмотрим несколько примеров:

В коллекции Эми 326 наклеек, у Клэр 213 наклейки. Сколько наклеек у них было бы, если бы они объединили свои коллекции?

Решение:

Начните с размещения двух чисел друг над другом:

Теперь вы можете складывать их вместе, работая справа налево, начиная с 6 и 3:

Работайте по номерам:

Следовательно, если Эми и Клэр объединит свои коллекции, у них будет 539 наклейки в коллекцию.

У Сэма 142 конфеты, он отдает своему другу 54, сколько конфет осталось у Сэма?

Решение:

Чтобы узнать, сколько конфет у Сэма, мы можем вычесть 54 из 142. Для начала поместите два числа друг над другом:

Теперь, работая справа налево, вычтите одно число из другого. Не забывайте, так как 2 меньше 4, вам нужно взять единицу из столбца слева:

Теперь вы можете двигаться дальше, опять же, поскольку 3 меньше 5, вам нужно будет взять единицу из столбца слева. столбец слева:

Следовательно, у Сэма осталось 88 конфет .

Дейв готовит на 12 человек, но его рецепт рассчитан только на 4. Если по рецепту требуется 72 грамма пасты, сколько пасты понадобится Дейву?

Решение:

Чтобы узнать, сколько макаронных изделий потребуется Дейву для его рецепта, мы можем использовать операцию умножения. Поскольку 4 входит в 12, 3 раза, Дейву понадобится в три раза больше, чем указано в рецепте. To do this we can use the grid method:

	70	2
3	210	6

Now you can add the two numbers together:

Therefore , Дейву понадобится 216 грамм пасты на 12 персон.

Барбара обедает с тремя друзьями, счет составляет 188 фунтов стерлингов, и они решают разделить его поровну. Сколько платит каждый человек?

Решение:

Для начала запишите задачу, используя метод короткого деления. Счет составил 188 фунтов стерлингов, и его делят между 4 людьми, поэтому его можно записать следующим образом:

Теперь сделайте первый шаг и посмотрите, сколько раз 4 может войти в первое число слева. Поскольку 4 не может перейти в 1, 1 можно перенести:

Теперь подсчитайте, сколько раз 4 может входить в число 18:

Остается 2:

Наконец, сколько раз 4 может входить в число 28:

означает, что каждому человеку нужно будет заплатить

£47 .
Сложение, вычитание, умножение и деление – основные выводы
Существует множество различных типов математических операций, в том числе:
Сложение – операция, результатом которой является сумма двух или более чисел.
Вычитание — операция, результатом которой является нахождение разницы между двумя числами.
Умножение, которое представляет собой операцию, требующую сложения равными группами, в результате умножения получается произведение.
Деление — операция, обратная умножению, включает в себя разбиение числа на равные части.
Правила дробей — объяснение, части и часто задаваемые вопросы
Дроби — это математический способ представления части чего-то целого. Они представлены в виде числителя и знаменателя. Мы называем верхнюю часть (или часть, которая представляет, какую часть чего-то целого мы рассматриваем) числителем, а нижнюю часть (которая представляет, сколько равных частей мы сделали из чего-то целого) называем знаменателем.
Дробь = Числитель/Знаменатель
Части дроби
Частями дроби являются:
Числитель: Числитель – это число, которое находится сверху. Он показывает, сколько равных частей целого или коллекции считается.
Знаменатель: Число под чертой является знаменателем. Он показывает общие равные части, которые мы сделали из целого.
Например, у нас есть арбуз и мы сделали из него 8 равных частей, тогда в знаменателе дробей будет 8. Теперь, если мы хотим представить пять частей из них, тогда дробь будет ⅝. Если мы хотим представить только одну часть из них, то дробь будет ⅛. Как показано на следующем рисунке.
Правила дробей
Мы изучили множество математических операций, таких как сложение, вычитание, деление и умножение, а также получили новый способ представления дробей. Можем ли мы выполнять эти математические операции и с дробями? Ответ положительный. В этом разделе мы будем выполнять различные математические операции с правилами дробей.
Правило сложения дробей
Как сложить две дроби? Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при сложении двух дробей.
Нельзя складывать дроби с разными знаменателями.
Чтобы сложить дроби, прежде всего, нам нужно приравнять знаменатель, взяв наименьшее общее кратное, то есть НОК чисел, присутствующих в знаменателе.
После того, как знаменатель станет одинаковым, соответственно изменятся и числители.
Теперь добавьте эти новые числители, чтобы получить желаемый результат.
Например: Предположим, мы хотим добавить ¼ к ¼. Затем заметьте, что знаменатель уже тот же, и даже если мы возьмем наименьшее общее кратное знаменателя, то оно тоже будет всего лишь 4. Теперь мы можем сложить числители 1 + 1 = 2. Следовательно, искомый результат будет 2/4. Кроме того, обратите внимание, что 4 является общим кратным 2 и 4. Поэтому его можно отменить. Таким образом, после упрощения мы получаем ½.
Мы также можем понять это с помощью следующей диаграммы:
Дробное правило вычитания
Вычитание почти то же самое, что и сложение. Вместо того, чтобы складывать числители, мы будем их вычитать. Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при вычитании двух дробей.
Дроби с разными знаменателями нельзя вычитать.
Чтобы вычесть дроби, прежде всего, нам нужно приравнять знаменатель, взяв наименьшее общее кратное, которое является НОК чисел, присутствующих в знаменателе.
После того, как знаменатель станет одинаковым, соответственно изменятся и числители.
Теперь вычтите эти новые числители, чтобы получить желаемый результат.
Например: Предположим, мы хотим вычесть ¼ из ¾. Затем заметьте, что знаменатель уже тот же, и даже если мы возьмем наименьшее общее кратное знаменателя, то оно тоже будет всего лишь 4. Теперь мы можем вычесть числители, 3-1=2. Следовательно, искомый результат будет 2/4. Кроме того, обратите внимание, что 4 является общим кратным 2 и 4. Поэтому его можно отменить. Таким образом, после упрощения мы получаем ½.
Мы также можем понять это с помощью следующей диаграммы:
Правило умножения дробей
Как мы можем умножить две дроби? Будет ли это то же самое, что сложение или вычитание, когда мы должны сделать знаменатели одинаковыми? Ответ — нет. При умножении нам этого делать не нужно. Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при умножении двух дробей.
Дроби с разными знаменателями можно умножать.
Числитель умножается только на числитель, а знаменатель умножается только на знаменатель.
Мы не можем умножать числители на знаменатели, однако их можно разделить.
Например: Предположим, мы хотим умножить ⅔ на 3/15. Мы знаем, что числитель будет умножаться только на числитель. Итак, 2 × 3 = 6. Следовательно, 6 будет числителем нашего желаемого результата. Для знаменателей 3 × 15 = 45. Следовательно, 45 будет знаменателем нашей искомой дроби.
Таким образом, умножение ⅔ на 3/15 будет 6/45. Также обратите внимание, что их можно еще больше упростить. После упрощения получаем 2/15.
См. Следующее:
⅔ × 3/15
= 2 × 3/3 × 15
= 6/45
= 2/15
Правило фракции от дивизии
. деление дробей нам нужно помнить определенные правила и выполнять несколько шагов. Нам нужно умножить первую дробь на обратную вторую. Разделение включает в себя несколько шагов, которые необходимо выполнить-
Заменить знак деления (÷) на умножение (×).
Если мы изменим знак деления на умножение, то мы должны написать обратную величину второго члена или дроби.
В конце концов, мы просто перемножаем их, чтобы получить требуемый ответ.
Вот пример деления дробей:
Предположим, нам нужно разделить 3/2 на 5/4.
3/2 ÷ 5/4
Шаг 1: Изменение знака на умножение от деления и запись обратной величины второго члена [÷5/4 =× 4/5].
= 3/2 × 4/5
Шаг 2: Умножение первой на обратную вторую дробь.
= (3 × 4)/(2 × 5)
= (3 × 2)/ (1 × 5)
= 6/5
Шаг 3: Получение упрощенного результата выражения.
Деление дробей — это умножение дробей простым преобразованием второй дроби в обратную.
Знаете ли вы?
Есть еще один способ представления дробей — десятичные. Они взаимозаменяемы друг с другом. Десятичные дроби можно разделить на конечные и неконечные. Если они не заканчиваются, то далее делятся на повторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби. Только отсюда идет определение рациональных чисел и иррациональных чисел. Если они либо заканчиваются, либо не прекращаются и повторяются, то мы называем их рациональными числами. Если они не прекращаются и не повторяются, то мы называем их иррациональными числами.
Сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел
Цели обучения
Использование сложения, вычитания, умножения и деления при оценке выражений с целыми числами
Работа с целыми числами и выполнение основных вычислений — основа всей математики. Мы предполагаем, что вы помните, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление однозначных чисел. У вас часто будет под рукой калькулятор для выполнения этих расчетов, но быстрое освежение знаний поможет вам лучше понять, как работать с числами, чтобы сложные уравнения не вызывали у вас затруднений.
Дополнение
пример
Добавление: [латекс]28+61[/латекс]
Решение
Чтобы складывать числа, состоящие из более чем одной цифры, часто проще записывать числа вертикально в столбцах.
Напишите числа так, чтобы единицы и десятки располагались вертикально. [латекс]\begin{array}{c}\hfill 28\\ \\ \hfill \underset{\text{____}}{+61}\end{array}[/latex]
Затем добавьте цифры в каждом разряде.
Добавьте единицы: [латекс]8+1=9[/латекс]
Добавьте десятки: [латекс]2+6=8[/латекс]
[латекс]\begin{array}{c}\hfill 28\\ \\ \hfill \underset{\text{____}}{+61}\\ \hfill 89\end{array}[/latex]

В предыдущем примере сумма единиц и сумма десятков были меньше [латекс]10[/латекс]. Но что произойдет, если сумма [latex]10[/latex] или больше? Давайте воспользуемся нашей моделью base-[latex]10[/latex], чтобы выяснить это.
На приведенном ниже рисунке показано добавление [латекс]17[/латекс] и [латекс]26[/латекс].

Когда мы добавляем единицы, [латекс]7+6[/латекс], мы получаем [латекс]13[/латекс] единиц. Поскольку у нас их больше, чем [латекс]10[/латекс], мы можем обменять [латекс]10[/латекс] из них на [латекс]1[/латекс] десять. Теперь у нас есть [латекс]4[/латекс] десятки и [латекс]3[/латекс] единицы. Не используя модель, мы показываем это как маленький красный [латекс]1[/латекс] над цифрами в разряде десятков.
Когда сумма в столбце разряда больше, чем [latex]9[/latex], мы переносимся в следующий столбец слева. Перенос — это то же самое, что перегруппировка путем обмена. Например, [latex]10[/latex] единиц для [latex]1[/latex] десятков или [latex]10[/latex] десятков для [latex]1[/latex] сотен.
Сложите целые числа
Запишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
Сложите цифры в каждом разряде. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если сумма в разряде больше, чем [latex]9[/latex], выполняется перенос к следующему разряду.
Продолжайте добавлять каждое разрядное значение справа налево, добавляя каждое разрядное значение и перенося при необходимости.
пример
Добавить: [латекс]43+69[/латекс]
Показать ответ
попробуй
попробуй
Если слагаемые имеют разное количество цифр, будьте осторожны, чтобы выровнять соответствующие разрядные значения, начиная с единиц и двигаясь влево.
пример
Добавить: [латекс]1,683+479[/латекс].
Показать ответ
попробуй

Вычитание
Сложение и вычитание являются обратными операциями. Сложение отменяет вычитание, а вычитание отменяет сложение.
Мы знаем [латекс]7 — 3=4[/латекс], потому что [латекс]4+3=7[/латекс]. Знание всех фактов сложения чисел поможет с вычитанием. Затем мы можем проверить вычитание, сложив. В приведенных выше примерах наши вычитания можно проверить сложением.
[латекс]7-3=4[/латекс] потому что [латекс]4+3=7[/латекс]
[латекс]13-8=5[/латекс] потому что [латекс]5+8=13[/латекс]
[латекс]43-26=17[/латекс] потому что [латекс]17+26=43[/латекс]
Чтобы вычесть числа, состоящие из более чем одной цифры, обычно проще писать числа вертикально в столбцах, как мы это делали для сложения. Выровняйте цифры по разрядности, а затем вычтите каждый столбец, начиная с единиц, и затем работайте влево.
Упражнение
Вычтите, а затем проверьте, добавив: [латекс]89 — 61[/латекс].
Показать ответ
ПОПРОБУЙТЕ
Вычтите целые числа
Запишите числа так, чтобы каждое разрядное значение располагалось вертикально.
Вычтите цифры из каждого разряда. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если цифра сверху меньше, чем цифра снизу, заимствуйте по мере необходимости.
Продолжайте вычитать значение каждого разряда справа налево, при необходимости заимствуя.
Проверить добавлением.
упражнение
Вычесть: [латекс]43 — 26[/латекс].
Показать ответ
В приведенном выше примере, если мы моделируем вычитание [латекс]26[/латекс] из [латекс]43[/латекс], мы заменим [латекс]1[/латекс] десять на [латекс]10[/латекс] те. Когда мы делаем это без моделей, мы говорим, что заимствуем [латекс]1[/латекс] из разряда десятков и добавляем [латекс]10[/латекс] к разряду единиц.
попробуйте
Упражнение
Вычтите и затем проверьте, добавив: [латекс]207 — 64[/латекс].
Показать ответ
попробуйте
Упражнение
Вычтите и затем проверьте, добавив: [латекс]2,162 — 479[/латекс].
Показать ответ
попробуйте

Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример вычитания целых чисел путем выстраивания разрядных значений.

Умножение
Чтобы умножать без использования моделей, вам нужно знать все факты умножения одной цифры. Убедитесь, что вы знаете их бегло, прежде чем продолжить изучение этого раздела. В таблице ниже показаны факты умножения.
Каждое поле показывает произведение числа в левом столбце и числа в верхней строке. Если вы не уверены в продукте, смоделируйте его. Важно, чтобы вы запомнили любые факты о числах, которые вы еще не знаете, чтобы вы были готовы умножать большие числа.
The first column has the values «>
[латекс]x[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]1[/латекс] [латекс]2[/латекс] [латекс]3[/латекс] [латекс]4[/латекс] [латекс]5[/латекс] [латекс]6[/латекс] [латекс]7[/латекс] [латекс]8[/латекс] [латекс]9[/латекс]
[латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс]
[латекс]1[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]1[/латекс] [латекс]2[/латекс] [латекс]3[/латекс] [латекс]4[/латекс] [латекс]5[/латекс] [латекс]6[/латекс] [латекс]7[/латекс] [латекс]8[/латекс] [латекс]9[/латекс]
[латекс]2[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]2[/латекс] [латекс]4[/латекс] [латекс]6[/латекс] [латекс]8[/латекс] [латекс]10[/латекс] [латекс]12[/латекс] [латекс]14[/латекс] [латекс]16[/латекс] [латекс]18[/латекс]
[латекс]3[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]3[/латекс] [латекс]6[/латекс] [латекс]9[/латекс] [латекс]12[/латекс] [латекс]15[/латекс] [латекс]18[/латекс] [латекс]21[/латекс] [латекс]24[/латекс] [латекс]27[/латекс]
[латекс]4[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]4[/латекс] [латекс]8[/латекс] [латекс]12[/латекс] [латекс]16[/латекс] [латекс]20[/латекс] [латекс]24[/латекс] [латекс]28[/латекс] [латекс]32[/латекс] [латекс]36[/латекс]
[латекс]5[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]5[/латекс] [латекс]10[/латекс] [латекс]15[/латекс] [латекс]20[/латекс] [латекс]25[/латекс] [латекс]30[/латекс] [латекс]35[/латекс] [латекс]40[/латекс] [латекс]45[/латекс]
[латекс]6[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]6[/латекс] [латекс]12[/латекс] [латекс]18[/латекс] [латекс]24[/латекс] [латекс]30[/латекс] [латекс]36[/латекс] [латекс]42[/латекс] [латекс]48[/латекс] [латекс]54[/латекс]
[латекс]7[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]7[/латекс] [латекс]14[/латекс] [латекс]21[/латекс] [латекс]28[/латекс] [латекс]35[/латекс] [латекс]42[/латекс] [латекс]49[/латекс] [латекс]56[/латекс] [латекс]63[/латекс]
[латекс]8[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]8[/латекс] [латекс]16[/латекс] [латекс]24[/латекс] [латекс]32[/латекс] [латекс]40[/латекс] [латекс]48[/латекс] [латекс]56[/латекс] [латекс]64[/латекс] [латекс]72[/латекс]
[латекс]9[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]9[/латекс] [латекс]18[/латекс] [латекс]27[/латекс] [латекс]36[/латекс] [латекс]45[/латекс] [латекс]54[/латекс] [латекс]63[/латекс] [латекс]72[/латекс] [латекс]81[/латекс]
Мы знаем, что изменение порядка сложения не меняет сумму. Мы видели, что [латекс]8+9=17[/латекс] совпадает с [латекс]9+8=17[/латекс].
Верно ли это и для умножения? Рассмотрим несколько пар факторов.
[латекс]4\cdot 7=28\quad 7\cdot 4=28[/латекс]
[латекс]9\cdot 7=63\quad 7\cdot 9=63[/latex]
[latex]8\cdot 9=72\quad 9\cdot 8=72[/latex]
При изменении порядка множителей произведение не меняется. Это называется коммутативным свойством умножения.
Коммутативное свойство умножения
Изменение порядка множителей не меняет их произведения.
[латекс]a\cdot b=b\cdot a[/латекс]
пример
Умножить:
[латекс]8\cdot 7[/латекс]
[латекс]7\cdot 8[/латекс]
Показать ответ
попробуй
Чтобы умножать числа, состоящие из более чем одной цифры, обычно проще записывать числа вертикально в столбцы, как мы это делали для сложения и вычитания.
[латекс]\begin{array}{c}\hfill 27\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 3}\end{array}[/latex]
Начнем с умножения [ латекс]3[/латекс] от [латекс]7[/латекс].
[латекс]3\раз 7=21[/латекс]
Мы пишем [латекс]1[/латекс] в единицах продукта. Мы переносим [латекс]2[/латекс] десятки, написав [латекс]2[/латекс] над разрядом десятков.

Затем мы умножаем [латекс]3[/латекс] на [латекс]2[/латекс] и прибавляем [латекс]2[/латекс] выше разряда десятков к произведению. Итак, [латекс]3\умножить на 2=6[/латекс] и [латекс]6+2=8[/латекс]. Напишите [латекс]8[/латекс] в разряде десятков продукта.

Продукт [латекс]81[/латекс].

Когда мы умножаем два числа с разным количеством цифр, обычно проще написать меньшее число внизу. Можно было бы написать и по-другому, но с этим проще работать.
пример
Умножить: [латекс]15\cdot 4[/латекс]
Показать ответ
попробовать
пример
Умножить: [латекс]286\cdot 5[/латекс]
Показать ответ
попробуй
Когда мы умножаем на число, состоящее из двух и более цифр, мы умножаем на каждую цифру отдельно, работая справа налево. Каждое отдельное произведение цифр называется частичным произведением. Когда мы пишем частичные произведения, мы должны убедиться, что разрядные значения выровнены.
Умножение целых чисел
Запишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
Умножьте цифры в каждом разряде.
Работайте справа налево, начиная с разряда единиц в нижнем ряду.
Умножьте нижнее число на разряд единиц в верхнем числе, затем на разряд десятков и так далее.
Если продукт в разрядном значении больше, чем [latex]9[/latex], перенос на следующее разрядное значение.
Запишите частичные произведения, выровняв цифры разрядов с числами выше.
Повторите для разряда десятков в нижнем числе, разряда сотен и т. д.
Вставьте ноль в качестве заполнителя для каждого дополнительного частичного продукта.
Добавьте частичные произведения.
пример
Умножить: [латекс]62\влево(87\вправо)[/латекс]
Показать ответ
попробуй

Когда множителей три или более, мы умножаем первые два, а затем умножаем их произведение на следующий множитель. Например:
для умножения [латекс]8\cdot 3\cdot 2[/латекс]
первое умножение [латекс]8\cdot 3[/латекс] [латекс]24\cdot 2[/латекс]
затем умножьте [латекс]24\cdot 2[/латекс] [латекс]48[/латекс]
В видео ниже мы обобщаем понятия, представленные на этой странице, включая свойство умножения нуля, свойство идентичности умножения и свойство перестановочности умножения.m

Подразделение
Мы сказали, что сложение и вычитание являются обратными операциями, потому что одно отменяет другое. Точно так же деление является обратной операцией умножения. Мы знаем [латекс]12\дел 4=3[/латекс], потому что [латекс]3\cdot 4=12[/латекс]. Знание всех фактов числа умножения очень важно при делении.
Мы проверяем наш ответ на деление, умножая частное на делитель, чтобы определить, равно ли оно делимому. Мы знаем, что [латекс]24\дел 8=3[/латекс] правильный, потому что [латекс]3\cdot 8=24[/латекс].
Пример
Разделить. Затем проверьте умножением.
[латекс]42\дел 6[/латекс]
[латекс]\фракция{72}{9}[/латекс]
[латекс]7\overline{)63}[/латекс]
Решение:
1.
[латекс]42\дел 6[/латекс]
Разделите [латекс]42[/латекс] на [латекс]6[/латекс]. [латекс]7[/латекс]
Проверить умножением.
[латекс]7\cdot 6[/латекс]
[латекс]42\quad\галочка [/латекс]
2.
[латекс]\фракция{72}{9}[/латекс]
Разделите [латекс]72[/латекс] на [латекс]9[/латекс]. [латекс]8[/латекс]
Проверить умножением.
[латекс]8\cdot 9[/латекс]
[латекс]72\quad\галочка [/латекс]
3.
[латекс]7\overline{)63}[/латекс]
Разделите [латекс]63[/латекс] на [латекс]7[/латекс]. [латекс]9[/латекс]
Проверить умножением.
[латекс]9\cdot 7[/латекс]
[латекс]63\quad\галочка [/латекс]
попробуй
Чему равно частное при делении числа само на себя?
[латекс]\frac{15}{15}=1\текст{ потому что }1\cdot 15=15[/latex]
Деление любого числа [латекс]\текст{(кроме 0)}[/латекс] сам по себе дает частное [latex]1[/latex]. Кроме того, любое число, деленное на [latex]1[/latex], дает частное от числа. Эти две идеи изложены в Свойствах Разделения Единого.
Раздел Свойства одного
Любое число (кроме 0), деленное само на себя, равно единице. [латекс]а\дел а=1[/латекс]
Любое число, разделенное на единицу, равно числу. [латекс]а\дел 1=а[/латекс]
Пример
Разделить. Затем проверьте умножением:
[латекс]11\дел 11[/латекс]
[латекс]\фракция{19}{1}[/латекс]
Показать ответ
попробуйте
Предположим, у нас есть [латекс]\текст{\$0}[/латекс], и мы хотим разделить его между [латекс]3[/латекс] людьми. Сколько получит каждый? Каждый человек получит [латекс]\текст{\$0}[/латекс]. Ноль, разделенный на любое число, равен [латекс]0[/латекс].
Теперь предположим, что мы хотим разделить [латекс]\текст{\$10}[/латекс] на [латекс]0[/латекс]. Это означает, что нам нужно найти число, которое мы умножим на [latex]0[/latex], чтобы получить [latex]10[/latex]. Этого не может быть, потому что [латекс]0[/латекс], умноженное на любое число, равно [латекс]0[/латекс]. Говорят, что деление на ноль равно undefined .
Эти две идеи составляют Свойства Разделения Зеро.
Свойства разделения Зеро
Ноль, разделенный на любое число, равен [латекс]0[/латекс]. [латекс]0\дел а=0[/латекс]
Деление числа на ноль не определено. [латекс]а\дел 0[/латекс] не определено
Другой способ объяснить, почему деление на ноль не определено, состоит в том, чтобы вспомнить, что деление на самом деле представляет собой многократное вычитание. Сколько раз мы можем отнять [латекс]0[/латекс] от [латекс]10?[/латекс] Поскольку вычитание [латекс]0[/латекс] никогда не изменит итоговое значение, мы никогда не получим ответ. Поэтому мы не можем разделить число на [latex]0[/latex].
Пример
Разделить. Проверить умножением:
[латекс]0\дел 3[/латекс]
[латекс]\фракция{10}{0}[/латекс]
Показать ответ
попробуйте
Когда делитель или делимое имеет более одной цифры, обычно проще использовать запись [latex]4\overline{)12}[/latex]. Этот процесс называется длинным делением. Давайте рассмотрим этот процесс, разделив [латекс]78[/латекс] на [латекс]3[/латекс].
The next line reads » data-label=»»>
Разделите первую цифру делимого [латекс]7[/латекс] на делитель [латекс]3[/латекс].
Делитель [латекс]3[/латекс] может входить в [латекс]7[/латекс] два раза, так как [латекс]2\раз 3=6[/латекс] . Напишите [латекс]2[/латекс] над [латекс]7[/латекс] в частном.
Умножьте [латекс]2[/латекс] в частном на [латекс]2[/латекс] и запишите произведение [латекс]6[/латекс] под [латекс]7[/латекс].
Вычтите это произведение из первой цифры делимого. Вычтите [латекс]7 — 6[/латекс] . Запишите разницу 1 под первой цифрой делимого.
Сократите следующую цифру делимого. Опусти [латекс]8[/латекс].
Разделите [латекс]18[/латекс] на делитель [латекс]3[/латекс]. Делитель [латекс]3[/латекс] входит в [латекс]18[/латекс] шесть раз.
Запишите [латекс]6[/латекс] в частном над [латекс]8[/латекс].
Умножьте [латекс]6[/латекс] в частном на делитель и запишите произведение [латекс]18[/латекс] под делимым. Вычтите [латекс]18[/латекс] из [латекс]18[/латекс].
Мы будем повторять процесс до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить. В этой задаче больше не осталось цифр, поэтому деление закончено.
[латекс]\текст{Так} 78\дел 3=26[/латекс].
Проверьте, умножив частное на делитель, чтобы получить делимое. Умножьте [латекс]26\умножить на 3[/латекс], чтобы убедиться, что произведение равно делимому, [латекс]78[/латекс].
[латекс]\begin{array}{c}\hfill \stackrel{1}{2}6\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 3}\\ \hfill 78 \end{ массив}[/латекс]
Да, значит, наш ответ правильный. [latex]\checkmark[/latex]
Деление целых чисел
Разделить первую цифру делимого на делитель. Если делитель больше первой цифры делимого, разделить первые две цифры делимого по делителю и так далее.
Запишите частное над делимым.
Умножьте частное на делитель и запишите произведение под делимым.
Вычтите этот продукт из дивиденда.
Сократите следующую цифру делимого.
Повторяйте с шага 1 до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить.
Проверьте, умножив частное на делитель.
В видео ниже мы показываем еще один пример использования деления в большую сторону.

пример
Разделить [латекс]2,596\дел 4[/латекс]. Проверить умножением:
Показать ответ
попробовать
пример
Разделить [латекс]4,506\дел 6[/латекс]. Проверить умножением:
Показать ответ
попробуй
Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать длинное деление для деления четырехзначного целого числа на двузначное целое число.

До сих пор все задачи на деление решались равномерно. Например, если бы у нас было [латекс]24[/латекс] печенья и мы хотели сделать пакеты из [латекс]8[/латекс] печенья, у нас было бы [латекс]3[/латекс] пакетов. Но что, если бы было [латекс]28[/латекс] печенье, и мы хотели бы сделать пакеты из [латекс]8?[/латекс] Начните с [латекс]28[/латекс] печенья.

Попробуйте разложить печенье по восемь штук.

Остались группы [latex]3[/latex] из восьми файлов cookie и еще [latex]4[/latex] cookie. Мы называем файлы cookie [latex]4[/latex], которые остались поверх остальных, и показываем их, записывая R4 рядом с [latex]3[/latex]. (R означает остаток.)
Чтобы проверить это деление, мы умножаем [латекс]3[/латекс] на [латекс]8[/латекс], чтобы получить [латекс]24[/латекс], а затем складываем остаток [латекс]4[/латекс].
No related posts.