Пределы примеры с решениями: Примеры пределов с решениями

Замечательные пределы. Примеры решений

Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.

А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы:Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на страницеМатематические формулы, таблицы и справочные материалы

. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.

Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.

Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел,Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.

Начнем.

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел:   (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида  , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

 

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

 – тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры: ,  ,  , 

Здесь  ,  ,  ,  , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен   не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел  ? Ответ можно найти в конце урока.

На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел   и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде    лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел 

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, у нас есть неопределенность вида  , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится  , а в знаменателе  .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас  , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить  ».  А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: Готово. Окончательный ответ: 

Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:

“ Используем первый замечательный предел  “

Пример 2

Найти предел 

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность   и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность  , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас  , значит, в числителе тоже нужно получить  :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти предел 

Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

Получена неопределенность  , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле   (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см.

методический материалГорячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).

 В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти предел 

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность   (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу  . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

 

Организуем первый замечательный предел:

Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

Пример 5

Найти предел 

Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:

 

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:  – это иррациональное число.

В качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел 

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение   , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.

Нетрудно заметить, что при   основание степени  , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида  :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр  , значит, в показателе нам тоже нужно организовать   . Для этого возводим основание в степень  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень  :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву  :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель.

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел 

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность  . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида  . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас  , значит, в числителе тоже нужно организовать  :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать  , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид  , и, более того, появилась нужная нам неопределенность  . Организуем второй замечательный предел  . Легко заметить, что в данном примере  . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь  :

Наконец-то долгожданное   устроено, с чистой совестью превращаем его в букву  :

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида  , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на  :

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом:  . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 8

Найти предел 

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность  . Очевидно, что в данном примере  . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию  :

Выражение   со спокойной душой превращаем в букву  :

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида  . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

А что такое   и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.

В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.

Да, так чему же равен предел  ?

Если у Вас получился ответ  , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = ). {3x}=1$.

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Пределы функций: задачи с решениями

Задача 1

Выберите значение предела [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}\times \left(\frac{1}{ x+4}-\frac{1}{4}\right)[/tex]

[tex]-\frac{1}{16}[/tex]

[tex]-\frac{1}{ 8}[/tex]

[tex]\frac{1}{16}[/tex]

[tex]-\frac{1}{6}[/tex]

Задача 2

Выберите значение предела [tex]\lim_{x\rightarrow 4} \frac{1}{x-4}\times\left(\frac{1}{x}-\frac{1 {4}\справа)[/tex] 92-2x}[/текс].

[текс]\фракция{1}{3}[/текс]

0

[текс]\фракция{1}{9}[/текс]

3


Задача 11

Выберите значение предела [tex]\lim_{h\rightarrow 1} \frac{\sqrt{b+2(h-1)}-\sqrt{b}}{h-1} [/текс].
b — константа.

[tex]\sqrt{b}[/tex]

[tex]-\frac{1}{\sqrt{b}}[/tex]

1

[tex]\frac{1}{ \sqrt{b}}[/tex]

Задача 12

Найдите значение [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x \sin x}{\sqrt{x^2+1}-1}[/tex] 93-27}{|x-2|}[/tex]

Сообщите о проблеме на этой странице.

Правильно:

Неправильно:

Неразрешенные задачи:

Оценка ограничений Примеры с решениями

о «оценке ограничений с решениями с решениями»

Оценка ограничений. отрабатывать задачи с решениями.

Основные правила оценки пределов функции


(i)  Пределом постоянной функции является эта константа.

(ii) lim x->x0 cf(x) = c lim  x->x0 f(x)

(iii)  lim  x->x0 [f(x) ± g(x) )] =  lim  x->x0  f(x) ± lim  x->x0  g(x)

(iv)  lim  x->x0  [f(x) ⋅ g(x)]  = lim  x->x0  f(x) ⋅ lim  x->x0  g(x)

(v)   lim  x->x0  [f(x) / g(x)]  =  lim  x ->x0  f(x) / lim  x->x0  g(x)

Примечание. Эти результаты можно распространить на любое конечное число функций.

Оценка пределов функциональной практики — Вопросы


Вопрос 1:

Оценка

LIM x-> 2 (x 4 — 16) / (x — 2)

9.

lim  x->2  (x 4  — 16) / (x — 2) 

   =  lim  x->2  (x 4  — 4 2 90)

Сравнивая данный вопрос с формулой

lim x->a  (х н  — а н ) / (х — а)  = н/д н-1

получаем,

= 4(2) 4-1

4 =

4(

4) 3

= 32

Следовательно, значение LIM x-> 2 (x 4 — 16) / (x- 2)- 32.

Вопрос 2:

Оценка

Lim 171171171171. x->1  (x m  — 1) / (x n — 1), m и n — целые числа

Решение:

lim x->1  (x м  — 1) / (x n  — 1) 

= lim x->1  (x 7 lim -9 x ) 1  (x n  — 1)

Умножить числитель и знаменатель на (x-1)/(x-1)

  =  [lim  x->1  (x m -1)⋅( x-1)/(x-1)] / [lim  x->1  (x n -1)⋅(x-1)/(x-1)]

  =  (x-1) [ lim x->1  (x m -1)/(x-1)] / (x-1)[lim x->1  (x n -1)/(x-1)]

  =  m(1) m-1 /n(1) n-1

  =  m/n

Отсюда значение lim x->1  (x m  — 1) / (x n  — 1) равно m/n.

Вопрос 3:

Оценка

LIM x-> 1 (x 2 — 81) / (√x- 3)

Solution:

9000 2

9000 2

9000 2

9000 2 9000 2 9000 2

:

9000 2

2

: 9000 2 9000 2

: 9017 2 9000 2 9000 2

: 9000 2 9000 2 9000 2

: х->1  (х 2 — 81) / (√x — 3)

  =  lim  x->1  (x 2  — 9 2 ) / (√2   90 √x — 03) 0 Тогда x = T 2

IF √x -> 1, затем T -> 1

= LIM T -> 1 ((T 2 ) 2 -(3 2 ) 2 -(3 2 ) 2 -(3 2 ) 2 -(3 2 ) 2 ) / (t — 3)

  =  lim  t ->1  (t 4  — 3 4 ) / (t — 3)

30003

= 4 (3) 4-1

= 4 (3) 3

= 4 (27)

= 108

Отсюда x 2  — 81) / (√x — 3) равно 108.

Вопрос 4 :

Вычислить

lim h -> 0 √ h

Решение:

lim  h ->0  (√(x+h) — √x) / h

  =  lim  ч ->0  [(√(x+h) — √x) / h]⋅[(√(x+h) + √x)/(√(x+h) + √x)]

  =  lim  ч ->0  [(√(x+h) 2 — (√x) 2 ) / ч]/(√(x+h) + √x)

  =   lim h ->0  (x+h-x)/(h(√(x+h) + √x))

  =  lim  h ->0  (h/h(√(x+h) ) + √x))

  =  lim  h ->0  1/(√(x+h) + √x)

Применяя h = 0, получаем

  =  1/(√x + √х)

  =  1/2√x

Следовательно, значение lim  h ->0  (√(x+h) — √x) / h равно 1/2√x.

Вопрос 5:

Оценка

LIM x -> 5 (√ (x+4) — 3) / (x — 5)

Решение:

LIM x . ->5  (√(x+4) — 3) / (x — 5)

√(x+4)  ​​=  t

x + 4  =  t 2

x =  t 2 — 4

Если x = 5, t 2 = 9 ==> t = 3

= lim t ->3  (t — 3) / (t 2 — 4 — 5)

= 9 1 1 1 1 2 90  (t — 3) / (t — 9)

= lim t ->3  (t — 3) / (t + 3)(t — 3)

= lim t ->3  1/(t + 3)

Применяя значение t, мы получаем

= 1/(3+3)

= 1/6

Отсюда значение lim x ->5  (√(x+4) — 3) / (x — 5) равно 1/6.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *