Замечательные пределы. Примеры решений
Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы:Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на страницеМатематические формулы, таблицы и справочные материалы
Лучше всего методички распечатать –
это значительно удобнее, к тому же к ним
часто придется обращаться в оффлайне.Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел,Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Начнем.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
!
Но самостоятельно переставлять числитель
и знаменатель нельзя! Если дан предел
в виде ,
то и решать его нужно в таком же виде,
ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры: , , ,
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На
практике не все так гладко, почти никогда
студенту не предложат решить халявный
предел
и
получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти
строки и пришла в голову очень важная
мысль – все-таки «халявные» математические
определения и формулы вроде
лучше
помнить наизусть, это может оказать
неоценимую помощь на зачете, когда
вопрос будет решаться между «двойкой»
и «тройкой», и преподаватель решит
задать студенту какой-нибудь простой
вопрос или предложить решить простейший
пример («а может он (а) все-таки знает
чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». А делается это очень просто:
То есть, знаменатель
искусственно умножается в данном случае
на 7 и делится на ту же семерку.
Теперь
запись у нас приняла знакомые
очертания.
Когда задание оформляется
от руки, то первый замечательный предел
желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“ Используем первый замечательный предел “
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно,
у нас неопределенность
и,
значит, нужно попытаться организовать
первый замечательный предел. На
уроке Пределы.
Примеры решений мы
рассматривали правило, что когда у нас
есть неопределенность
,
то нужно разложить числитель и знаменатель
на множители.
Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком передела:
Получена
неопределенность
,
которую нужно раскрывать. Если в пределе
есть тангенс, то почти всегда его
превращают в синус и косинус по известной
тригонометрической формуле
(кстати,
с котангенсом делают примерно то же
самое, см.
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем
тригонометрическую формулу
.
Возьмите на заметку! Пределы с применением
этой формулы почему-то встречаются
очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:Пример 5
Найти предел
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный
факт носит название второго
замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример 6
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная
неопределенность как раз и раскрывается
с помощью второго замечательного
предела. Но, как часто бывает, второй
замечательный предел не лежит на блюдечке
с голубой каемочкой, и его нужно
искусственно организовать.
Рассуждать
можно следующим образом: в данном примере
параметр
,
значит, в показателе нам тоже нужно
организовать
.
Для этого возводим основание в степень
,
и, чтобы выражение не изменилось –
возводим в степень
:
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель.
Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.
Пример 7
Найти предел
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В
результате получена неопределенность
.
Но второй замечательный предел применим
к неопределенности вида
.
Что делать? Нужно преобразовать основание
степени. Рассуждаем так: в знаменателе
у нас
,
значит, в числителе тоже нужно
организовать
:
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:
Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел . Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :
Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :
Но на
этом мучения не закончены, в показателе
у нас появилась неопределенность вида
,
раскрывать такую неопределенность мы
научились на уроке Пределы.
Примеры решений.
Делим числитель и знаменатель на
:
Готово.
А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:
Пример 8
Найти предел
Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :
Выражение со спокойной душой превращаем в букву :
Еще
не всё, в показателе у нас появилась
неопределенность вида
.
Раскладываем тангенс на синус и косинус
(ничего не напоминает?):
Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:
А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!
Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.
В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.
Да, так чему же равен предел ?
Если
у Вас получился ответ
,
значит в понимании высшей математики
не всё так безнадежно = ).
{3x}=1$.
Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Онлайн-занятия по высшей математике
Пределы функций: задачи с решениями
Задача 1
Выберите значение предела [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}\times \left(\frac{1}{ x+4}-\frac{1}{4}\right)[/tex]
[tex]-\frac{1}{16}[/tex]
[tex]-\frac{1}{ 8}[/tex]
[tex]\frac{1}{16}[/tex]
[tex]-\frac{1}{6}[/tex]
Задача 2
Выберите значение предела [tex]\lim_{x\rightarrow 4} \frac{1}{x-4}\times\left(\frac{1}{x}-\frac{1 {4}\справа)[/tex] 92-2x}[/текс].
[текс]\фракция{1}{3}[/текс]
0
[текс]\фракция{1}{9}[/текс]
3
Задача 11
Выберите значение предела [tex]\lim_{h\rightarrow 1} \frac{\sqrt{b+2(h-1)}-\sqrt{b}}{h-1} [/текс].
b — константа.
[tex]\sqrt{b}[/tex]
[tex]-\frac{1}{\sqrt{b}}[/tex]
1
[tex]\frac{1}{ \sqrt{b}}[/tex]
Задача 12
Найдите значение [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x \sin x}{\sqrt{x^2+1}-1}[/tex] 93-27}{|x-2|}[/tex]
Сообщите о проблеме на этой странице.
Правильно:
Неправильно:
Неразрешенные задачи:
Оценка ограничений Примеры с решениями
о «оценке ограничений с решениями с решениями»
Оценка ограничений. отрабатывать задачи с решениями.
Основные правила оценки пределов функции
(i) Пределом постоянной функции является эта константа.
(ii) lim x->x0 cf(x) = c lim x->x0 f(x)
(iii) lim x->x0 [f(x) ± g(x) )] = lim x->x0 f(x) ± lim x->x0 g(x)
(iv) lim x->x0 [f(x) ⋅ g(x)] = lim x->x0 f(x) ⋅ lim x->x0 g(x)
(v) lim x->x0 [f(x) / g(x)] = lim x ->x0 f(x) / lim x->x0 g(x)
Примечание. Эти результаты можно распространить на любое конечное число функций.
Оценка пределов функциональной практики — Вопросы
Вопрос 1:
Оценка
LIM x-> 2 (x 4 — 16) / (x — 2)
9.
lim x->2 (x 4 — 16) / (x — 2)
= lim x->2 (x 4 — 4 2 90)
Сравнивая данный вопрос с формулой
lim x->a (х н — а н ) / (х — а) = н/д н-1
получаем,
= 4(2) 4-1
4 =
4(
4) 3
= 32
Следовательно, значение LIM x-> 2 (x 4 — 16) / (x- 2)- 32.
Вопрос 2:
Оценка
Lim 171171171171. x->1 (x m — 1) / (x n — 1), m и n — целые числа
Решение:
lim x->1 (x м — 1) / (x n — 1)
= lim x->1 (x 7 lim -9 x ) 1 (x n — 1)
Умножить числитель и знаменатель на (x-1)/(x-1)
= [lim x->1 (x m -1)⋅( x-1)/(x-1)] / [lim x->1 (x n -1)⋅(x-1)/(x-1)]
= (x-1) [ lim x->1 (x m -1)/(x-1)] / (x-1)[lim x->1 (x n -1)/(x-1)]
= m(1) m-1 /n(1) n-1
= m/n
Отсюда значение lim x->1 (x m — 1) / (x n — 1) равно m/n.
Вопрос 3:
Оценка
LIM √ x-> 1 (x 2 — 81) / (√x- 3)
Solution:
9000 2
9000 2
9000 2
9000 2 9000 2 9000 2
:
9000 2 2: 9000 2 9000 2
: 9017 2 9000 2 9000 2
: 9000 2 9000 2 9000 2 : х->1
= lim √ x->1 (x 2 — 9 2 ) / (√2 90 √x — 03) 0 Тогда x = T 2
IF √x -> 1, затем T -> 1
= LIM T -> 1 ((T 2 ) 2 -(3 2 ) 2 -(3 2 ) 2 -(3 2 ) 2 -(3 2 ) 2 ) / (t — 3)
= lim t ->1 (t 4 — 3 4 ) / (t — 3)
30003
= 4 (3) 4-1
= 4 (3) 3
= 4 (27)
= 108
Отсюда x 2 — 81) / (√x — 3) равно 108.
Вопрос 4 :
Вычислить
lim h -> 0 √ h
Решение:
lim h ->0 (√(x+h) — √x) / h
= lim ч ->0 [(√(x+h) — √x) / h]⋅[(√(x+h) + √x)/(√(x+h) + √x)]
= lim ч ->0 [(√(x+h) 2 — (√x) 2 ) / ч]/(√(x+h) + √x)
= lim h ->0 (x+h-x)/(h(√(x+h) + √x))
= lim h ->0 (h/h(√(x+h) ) + √x))
= lim h ->0 1/(√(x+h) + √x)
Применяя h = 0, получаем
= 1/(√x + √х)
= 1/2√x
Следовательно, значение lim h ->0 (√(x+h) — √x) / h равно 1/2√x.
Вопрос 5:
Оценка
LIM x -> 5 (√ (x+4) — 3) / (x — 5)
Решение:
LIM x . ->5 (√(x+4) — 3) / (x — 5)
√(x+4) = t
x + 4 = t 2
x = t 2 — 4
Если x = 5, t 2 = 9 ==> t = 3
= lim t ->3 (t — 3) / (t 2 — 4 — 5)
= 9 1 1 1 1 2 90 (t — 3) / (t 2 — 9)
= lim t ->3 (t — 3) / (t + 3)(t — 3)
= lim t ->3 1/(t + 3)
Применяя значение t, мы получаем
= 1/(3+3)
= 1/6
Отсюда значение lim x ->5 (√(x+4) — 3) / (x — 5) равно 1/6.