ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²: ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ‘ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ². Нормы Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ выпускаСт 2 Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ для этого ΡΡ‹Ρ€ΡŒΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²

Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ выпускаСт 2 Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ для этого ΡΡ‹Ρ€ΡŒΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ². Норма расхода ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π½Π° ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ запасы ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.
Π‘Ρ‹Ρ€ΡŒΠ΅ Норма расхода ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ издСлия (ΠΊΠ³) Запасы ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ (ΠΊΠ³)

1 2
1 2 5 120
2 1 4 100
3 5 3 150
ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ издСлия Π² Ρƒ.Π΅. 30 40

Найти ΠΏΠ»Π°Π½ выпуска ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ.
Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ модСль Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ графичСски. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ двойствСнности. Π”Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ двойствСнных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

РСшСниС:

НСизвСстными ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ количСства ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ: x1 ΠΈ x2
ЦСлью являСтся максимизация ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ производства:
F=30Γ—1+40Γ—2
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° рСсурсы:
2Γ—1+5Γ—2<=120
x1+4Γ—2<=100
5Γ—1+3Γ—2<=150
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅:
x1,x2>=0, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ модСль:
НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F=30Γ—1+40Γ—2 ΠΏΡ€ΠΈ ограничСниях:
2Γ—1+5Γ—2≀120Γ—1+4Γ—2≀1005Γ—1+3Γ—2≀150
x1,x2>=0, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅
РСшим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ графичСски:
НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F = 30Γ—1+40Γ—2 β†’ max, ΠΏΡ€ΠΈ систСмС ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:2Γ—1+5Γ—2≀120, (1)x1+4Γ—2≀100, (2)5Γ—1+3Γ—2≀150, (3)x1 β‰₯ 0, (4)x2 β‰₯ 0, (5)Π³Π΄Π΅ x1, x2 – Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ полуплоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ нСравСнствами. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ области ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Рассмотрим Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ F = 30Γ—1+40Γ—2 β†’ max. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F = 30Γ—1+40Γ—2 = 0. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚, составлСнный ΠΈΠ· коэффициСнтов Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ максимизации F(X). Начало Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0; 0), ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (30;40). Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ эту ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π΄ΠΎ послСднСго касания ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ области. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ эта прямая ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ F(x) = const пСрСсСкаСт ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ C. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° C ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ пСрСсСчСния прямых (1) ΠΈ (3), Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ уравнСниям этих прямых:

2Γ—1+5Γ—2=1205Γ—1+3Γ—2=150РСшив систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: x1 = 20.5263, x2 = 15.7895ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:F(X) = 30*20.5263 + 40*15.7895 = 1247.3684 РСшСниС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π½Π΅ цСлочислСнным.
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ уровня Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F(X) Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ F(X)=1240 ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (20, 16).
Боставим Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΊ прямой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅.2y1+y2+5y3β‰₯305y1+4y2+3y3β‰₯40120y1+100y2+150y3 β†’ miny1 β‰₯ 0y2 β‰₯ 0y3 β‰₯ 0РСшСниС двойствСнной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ рСсурсов.Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ двойствСнной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ двойствСнности.ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ прямой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² систСму ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ матСматичСской ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ:2*20 + 5*16 = 120 = 1201-ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ выполняСтся ΠΊΠ°ΠΊ равСнство. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1-ΠΉ рСсурс ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅, являСтся Π΄Π΅Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° согласно Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ двойствСнности ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΎΡ‚ нуля (y1 > 0).
1*20 + 4*16 = 84 < 1002-ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выполняСтся ΠΊΠ°ΠΊ строгоС нСравСнство, Ρ‚.Π΅. рСсурс 2-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° израсходован Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, этот рСсурс Π½Π΅ являСтся Π΄Π΅Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° Π² ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ y2 = 0
5*20 + 3*16 = 148 < 1503-ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выполняСтся ΠΊΠ°ΠΊ строгоС нСравСнство, Ρ‚.Π΅. рСсурс 3-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° израсходован Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, этот рСсурс Π½Π΅ являСтся Π΄Π΅Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° Π² ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ y3 = 0
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° подставим Π² Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ
120y1+100y2+150y3 =1240
120y1+0+0=1240
ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ
y1= 10. 33

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° — прСзСнтация ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ элСмСнты Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ аналитичСская гСомСтрия

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

1. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠΉ курс Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Π’ настоящСС врСмя Π² условиях Ρ€Ρ‹Π½ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ…
ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π² экономикС возрастаСт Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ
экономико-матСматичСских ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ².
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ инструмСнтарий становится
Π½Π΅ΠΎΡ‚ΡŠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ экономичСской Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ.
Автор
Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
курса
Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
руководствовался
ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠΌ
ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
уровня
Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ
матСматичСской
ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ
студСнтов
с
усилСниСм
Π΅Π΅
ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ экономичСской направлСнности.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 1.
ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°.
Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°
Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
являСтся
Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ
инструмСнтариСм для ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ эффСктивного
описания
ΠΈ
Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°
экономико-матСматичСских
ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ².
Π’Π΅ΠΌΠ° 1. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ основанный Π½Π° Π½Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»
ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ – матричная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° – ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
для экономистов, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ матСматичСских
ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ экономичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записана Π²
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° m n ΠΈΠ»ΠΈ mn — ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ называСтся
ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° чисСл.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° содСрТит m строк ΠΈ n столбцов.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ
прописными
латинскими
Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° записываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:
a11
a21
A

am1
ΠΈΠ»ΠΈ
Am n (aij )
am 2
… a1n
… a2 n
… …
… amn
Π³Π΄Π΅
aij
a12
a22

— элСмСнт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
j ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ индСксi — это Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ строки, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ
индСкс Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ столбца, Π³Π΄Π΅ располоТСн элСмСнт.
Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.
1. Если Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ число строк Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу столбцов, Ρ‚ΠΎ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° называСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
2. Если Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ число строк Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу столбцов, Ρ‚ΠΎ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° называСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
3. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° строка
A (a1 a2 … an )
4.ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° столбСц
a1
a2
A

an
5. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, всС элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ называСтся
Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
0
0
0

0
0 … 0
0 … 0
… … …
0 … 0
6. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° называСтся диагональной, Ссли всС
элСмСнты, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹
Π½ΡƒΠ»ΡŽ.
a11 0 … 0
0
a

0
22
A
… … … …
0 … ann
0
7.
Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ всС элСмСнты
Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΈ обозначаСтся символом Π•.
1
0
E

0
0 … 0
1 … 0
… … …
0 … 1

9. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ.

1. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† А ΠΈ Π’ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°
называСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ размСрности, элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ
Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ суммС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… элСмСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.
a11 a12 a13 b11 b12 b13
A B
a21 a21 a23 b21 b22 b23
a11 b11 a12 b12 a13 b13
a21 b21 a22 b22 a23 b23
2 ( 4) 4 1 5 6 5
3 2 4 2 4 1 3 2
3 ( 4) 5 0 4 1 5
C A B 1 3 5 5 4 0 1 5
1 7 5 2 3 1 1 ( 2) 7 ( 3) 5 1 1 4 4
2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А ΠΈ числа называСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°
Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ размСрности, всС элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°
это число:
a11 a12 a13
A
a
a
a
21 21 23
1 0 2 3 1 0 3 3 2 3 0 6
A 3 2 1 0 3 2 3 1 3 0 6 3 0
0 2 1 3 0 3 2 3 1 0 6 3
3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ размСрности m n ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
размСрности n k называСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ m k ,
элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ элСмСнтов строки ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, стоящСй Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ мСстС
Π½Π°
ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты столбца ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, стоящСй Π½Π°
Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ мСстС.
a11 a12
A B
a21 a22
b11 b12
a13
b
b
21 22
a23
b
b
31 32
a11 b11 a12 b21 a13 b31 a11 b12 a12 b22 a13 b32
a21 b11 a22 b21 a23 b32 a21 b12 a22 b22 a23 b32
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ сущСствуСт Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли число столбцов ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу строк Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ m k
НапримСр, Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
1 2
A
3
1
2 1
B 0 3
1 1
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π’ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ число
столбцов ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу строк Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ,
ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π’ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ
2 2 1 1 5 5
2 1
2 1 1 3
1 2
B A 0 3
0
1
3
3
0
2
3
1
9
3
3
1
1 1
1 1 ( 1) 3 1 2 ( 1) 1 2 1
Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† А ΠΈ Π’
2 1
1 2 1
A
B 1 3
3 1 2
0 1
2 1
1 2 1
1 2 2 1 1 0 1 ( 1) 2 3 1 1 4 6
A B
1
3
3
1
2
3
2
1
1
2
0
3
(
1)
1
3
2
1
7
2
0
1
2 1
2 1 ( 1) 3 2 2 ( 1) 1 2 1 ( 1) 2 1 3 0
1 2 1
B A 1 3
1
1
3
3
1
2
3
1
1
1
3
2
10
5
7
3
1
2
0 1
0 1 1 3
0 2 1 1
0 1 1 2 3 1 2
ΠŸΡ€ΠΈ
ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
(ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π½Π΅ выполняСтся
ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ
A B B A
4.
Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.
Π¦Π΅Π»ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ Am (m 1) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ m Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
Am A A A…. A
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для
ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ВозвСсти ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А Π² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ
1 2
A
3
4
1 2 1 2 7 10
A
3
4
3
4
15
22
2
5. ВранспонированиС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
Под этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ понимаСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А ΠΊ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ АВ , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ строки ΠΈ столбцы помСнялись
мСстами с сохранСниСм порядка.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° АВ называСтся транспонированной ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А:
a11 a12 a13
a11 a21 a31
A a21 a22 a23
AT a12 a22 a31
a
a
31 a32 a33
13 a23 a33
Бвойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ транспонирования
( AT )T A ( A)T AT
( A B)T AT BT
( AB)T BT AT
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с экономичСским содСрТаниСм
ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² практичСской
Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
НапримСр, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎ выпускС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ…
Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ², Π½ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… рСсурсов Π½Π° производство
ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ², Ρ†Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹
ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ рСсурсов Π½Π° производство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†
ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚. Π΄ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°.
ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ выпускаСт ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ
ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ². ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ,
Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ для ΠΏΠ»Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ выпуска ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ
ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ.
ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ P1 , P2 , P3 Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ S1 , S2 Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
Бчитая извСстными Π½ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ расхода ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π½Π°
ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ составим ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½ΠΎΡ€ΠΌ
расхода ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
2 3
A 5 2 Π½ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ расхода ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
1 4
ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° расходуСтся Π½Π° производство
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
План выпуска ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ-строкой
Π‘ 100 80 130 ΠΏΠ»Π°Π½ выпуска ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° матрицСйстолбцом
30
B ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
50
РСшСниС. 1 способ.
1. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
2 3
100 2 80 5 130 1
S C A 100 80 130 5 2
100 3 80 2 130 4
1 4
730 980 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
30
Q S B 730 980
50
(730 30 980 50) (70900)
2 способ.
1.Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ стоимости Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ
ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
2 3
210
30
R A B 5 2 250 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° стоимости Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚
50
1 4
230
Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
210
Q C R 100 80 130 250 (70900) общая ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ
230
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°.
Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ отрасли m Π·Π°Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ n Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²
ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Am n — Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°Π²ΠΎΠ΄Π΅
Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»Π΅, Bm n ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ; aij , bij — ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹
ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ j — Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π½Π° i — ΠΌ Π·Π°Π²ΠΎΠ΄Π΅ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ
ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»Π°Ρ… соотвСтствСнно:
3 0 2
2 3 7
2 4 1
1 2 2
B
A
4 3 2
4 1 5
5 2 4
2 1 3
Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС m=4 ΠΈ n=3
Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Число строк Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ соотвСтствуСт числу
прСдприятий, Π° число столбцов – количСству Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²
выпускаСмой ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Найти:
1. объСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΠ΅, Π·Π° Π³ΠΎΠ΄:
5
3
C A B
8
7
3 9
6 3
4 7
3 7
10 6 18
6 12 6
D 2( A B)
16 8 14
14 6 14
2. ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΡΡ‚ объСмов производства Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎ
ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π°Π²ΠΎΠ΄Π°ΠΌ:
ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΡΡ‚ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ
опрСдСляСтся Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
D B A
1
1
0
3
3 5
2 1
2 3
1 1
ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°
Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π°Π²ΠΎΠ΄Π΅ объСм производства j-Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°
ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠ»ΡΡ; ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ — увСличился; Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ — Π½Π΅
измСнился.
3. БтоимостноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°
ΠΏΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΄Π° (Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°Ρ…), Ссли — курс Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ
Ρ€ΡƒΠ±Π»ΡŽ.
C A B
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°.
ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ n Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹
выпуска Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ A1 n . Π¦Π΅Π½Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ –
i-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² j-ΠΌ Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Bn k , Π³Π΄Π΅
k- число Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ², Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… рСализуСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Найти ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π²Ρ‹Ρ€ΡƒΡ‡ΠΊΠΈ C ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°ΠΌ.
Π’Ρ‹Ρ€ΡƒΡ‡ΠΊΠ° опрСдСляСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ
C1 k A1 n Bn k
2 3 1 5
A1 3 (100 200 100)
B3 4 1 3 2 2
2 4 2 4
Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Число столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А ΠΈ число строк
ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСству Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² выпускаСмой ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ,
число столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ², Π³Π΄Π΅
рСализуСтся продукция.
2 3 1 5
C 100 200 1 3 2 2 600 1300 700 1300 .
2 4 2 4
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°.
ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ n Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ
m Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² рСсурсов. Нормы Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ рСсурса i- Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π½Π°
производство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ j-Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ
Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ A. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ
прСдприятиС выпустило ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, записанноС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ X .
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ S — ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ рСсурсов ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ
Π²ΠΈΠ΄Π° Π½Π° производство всСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄
Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
2 5 3
100
0 1 8
80
X
A4 3
3 1
1
3
1
110
2 2 3
ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ рСсурсов S опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ
ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† A ΠΈ X , Ρ‚.Π΅.
S
2
5
0
1
1
3
2
2
3
930
100
8
960
80
450
14
110
3
690
Если извСстна ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° рСсурса Π² расчСтС
Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ
ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… рСсурсов ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ C PS
P (10 20 10 10)
Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС
930
960
39900
C (10 20 10 10)
450
690

English Β  Β  Русский ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

3 Ρ‚ΠΈΠΏΠ° инвСнтаря | Π‘Ρ‹Ρ€ΡŒΠ΅ | WIP

3 основных Ρ‚ΠΈΠΏΠ° запасов

Π’Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° запасов: запасы прямых ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ², запасы Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ производства ΠΈ запасы Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ запасы прямых ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ запасы ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ компания ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Π»Π° для использования Π² производство; Запасы Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ производства β€” это ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, накоплСнная для Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частично Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Ρ‹, Π° запасы Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это запасы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ»ΠΈ всС этапы производства ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ доступны для ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ.

Π’ΠΎΠ²Π°Ρ€Π½ΠΎ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ запасы ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ для ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ Π² блиТайшСС врСмя. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π½ΠΎ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ запасы ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Ρ‹ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… стадиях производства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ компания Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ Π² своих помСщСниях ΠΈΠ»ΠΈ Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΡ… Π»ΠΈΡ†, ΠΏΡ€ΠΈ этом доля собствСнности сохраняСтся Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Ρ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½Ρ‹. ВрСмя Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ запасов ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΡ‹Ρ€ΡŒΠ΅, запасы Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ производства (ΠΠ—ΠŸ) ΠΈ готовая продукция.

ВзглянитС Π½Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²ΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π½ΠΎ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… запасов Colgate Π·Π° 2016 ΠΈ 2015 Π³ΠΎΠ΄Ρ‹. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ пСрСчислСны Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° запасов: ΡΡ‹Ρ€ΡŒΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹, Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ производство ΠΈ готовая продукция. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ запасов Colgate β€” это запасы Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
  • 3 основных Ρ‚ΠΈΠΏΠ° запасов
    • β„–1 – Запас ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ:
    • β„–2 – Запас Π½Π΅Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ производства (ΠΠ—ΠŸ)
    • β„–3 – Запас Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    • : ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ запасы
    • Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ
    • 3 Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈΠ½Π²Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ
  • Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ инвСнтаря: