При пересечении двух прямых образуются вертикальные углы: При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Сумма углов одной пары

что это такое, свойства перпендикуляров и теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Понятие перпендикулярных прямых

Углы бывают острые, прямые и тупые. 

‍Виды углов
‍

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым. 

Два угла с одной общей стороной называются смежными.  

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

∡1 + ∡2 = 180° 

Сумма смежных углов составляет 180°. 

<<Форма демодоступа>>

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.  

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Вертикальные углы равны.  

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются

перпендикулярными.‍Две перпендикулярные прямые
‍

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду

GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!  

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну. 

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.  

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а. 

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и  ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

Вертикальные углы | 7 класс | Геометрия

Содержание

Построим на плоскости углы, смежные друг с другом, однако с небольшим «сюжетным твистом»: продолжим луч общей стороны в противоположную сторону. В итоге? Мы получили две пары смежных углов так, что располагаются эти пары на одной прямой. Знакомьтесь, перед вами — вертикальные углы, еще один важный вид составных углов в геометрии.

📚 В данном уроке:

• какие углы называются вертикальными;
• рассуждаем, как так получается, что вертикальные углы равны;
• смежные и вертикальные углы — сходства и различия;
• рассматриваем биссектрисы вертикальных углов.
Определение вертикальных углов

На прошлом уроке мы в шутку изобразили смежные углы соседями через стенку. Вертикальные углы же олицетворяют ситуацию, будто к смежным углам на этаж ниже заехали еще соседи, так же живущие через стенку.

Рассмотрим их немного с другого приложения. Как пару углов $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$. Стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого угла. Такое определение им и дадим.

Определение вертикальных углов:  

Вертикальные углы — углы с общей вершиной, расположенные на плоскости так, что продолжения сторон одного угла являются сторонами другого.

Какие углы называются вертикальными: определение через прямые

Так как мы имеем две пары дополнительных друг к другу лучей, можно, с другой стороны, подметить, что вертикальные углы образуются в результате пересечения двух прямых. Пересечение двух прямых образует четыре угла (смежными парами).

{"questions":[{"content":"[[image-1]][[speech-6]]
Первая пара:> $\\angle{BOC}$ и $\\angle$  [[input-26]]
Вторая пара:> $\\angle{AOB}$ и $\\angle$  [[input-75]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/vertical-test-1.svg","width":"500"},"speech-6":{"type":"speech","text":"Запишите буквенные обозначения углов парами так, чтобы данные пары углов являлись вертикальными."},"input-26":{"type":"input","inline":1,"answer":["FOA","AOF"]},"input-75":{"type":"input","inline":1,"answer":["FOC","COF"]}}}]}

«Вертикальные углы равны»

Присмотримся к парам вертикальных углов:

$\angle{\textcolor{coral}{1}}$ — $\angle{\textcolor{coral}{3}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ — $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

Создается сильное впечатление, что так парами они и будут равны. Определение вертикальных углов подобного свойства не подразумевает, поэтому сформулируем на основе нашего «сильного впечатления» теорему. И попробуем ее доказать.

{"questions":[{"content":"Перед доказательством проверим, помните ли вы свойство смежных углов. Допишите в формулировку свойства недостающее слово. 
«Если два угла равны, то смежные с ними углы также ($\\textcolor{coral}{?}$)». [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"равны"}}}]}

Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

Доказательство

Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{\textcolor{coral}{1}}$ и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Угол $\angle{\textcolor{purple}{4}}$ является смежным и с $\angle{\textcolor{coral}{1}}$, и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Воспользуемся следствием из теоремы о сумме смежных углов, гласящим, что у равных углов равны смежные с ними углы. Заключаем, что $\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}$ на основе общего смежного с ними угла $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

То же самое можно заключить про пару углов $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{4}}$. \\circ$»]}}}]}

Биссектрисы вертикальных углов


Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Так, на чертеже $AD$ является биссектрисой $\angle{A}.$

Биссектрисы еще не раз будут встречаться нам в курсе геометрии, — более тесное знакомство с ними начинается при изучении треугольников. А чтобы вы к тому времени не забыли, как такой луч называется, есть бородатый мнемонический трюк, который, даем гарантию, знает даже ваша бабушка!

🐀 Стишок про биссектрису

Биссектриса — это крыса:
Она скачет по углам,
Чтоб делить их пополам.

Биссектрисы вертикальных углов имеют особенность — они всегда располагаются на одной прямой. Далее мы приведем доказательство данной теоремы.

Теорема о биссектрисе вертикального угла. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. \\circ$$»,»Ответ: 148.»]}]}

Вертикальные углы – Объяснение и примеры

В этой статье мы узнаем что такое вертикальные углы и как их вычислить . Прежде чем мы начнем, давайте сначала ознакомимся со следующими понятиями о линиях.

Что такое пересекающиеся и параллельные прямые?

Пересекающиеся линии — это прямые линии, которые встречаются или пересекают друг друга в определенной точке. На рисунке ниже показана иллюстрация пересекающихся линий.

 

 

Линия PQ и линия ST пересекаются в точке Q. Следовательно, эти две линии являются пересекающимися прямыми.

Параллельные прямые — это прямые, которые не пересекаются ни в одной точке плоскости.

Линия AB и линия CD параллельны, потому что они не пересекаются ни в одной точке.

Что такое вертикальные углы?

Вертикальные углы — парные углы, образованные при пересечении двух прямых. Вертикальные углы иногда называют вертикально противоположными углами, потому что углы противоположны друг другу.

Реальные настройки, в которых используются вертикальные углы, включают в себя; знак железнодорожного переезда, буква « X », открытые ножницы, плоскогубцы и т. д. Египтяне рисовали две пересекающиеся линии и всегда измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они оба равны.

Вертикальные углы всегда равны друг другу . В общем случае можно сказать, что при пересечении двух прямых образуются 2 пары вертикальных углов. См. диаграмму ниже.

На схеме выше:

• ∠a и ∠b — вертикальные противоположные углы. Два угла также равны, то есть ∠a = ∠
• ∠c и ∠d составляют другую пару вертикальных углов, и они тоже равны.
• Можно также сказать, что два вертикальных угла имеют общую вершину (общий конец двух или более линий или лучей).

Доказательство теоремы о вертикальном угле

Мы можем доказать это на диаграмме выше.

Мы знаем, что угол b и угол d являются дополнительными углами, т. е.

Мы также знаем, что угол a и угол d являются дополнительными углами, т. е.

Мы можем изменить приведенные выше уравнения:

Сравнивая два уравнения, мы имеем:

Следовательно, доказано.

Вертикальные углы являются дополнительными углами, когда прямые пересекаются перпендикулярно.

Например, , ∠W и ∠Y являются вертикальными углами, которые также являются дополнительными углами. Точно так же ∠X и ∠Z являются дополнительными вертикальными углами.

Как найти вертикальные углы?

Специальной формулы для расчета вертикальных углов не существует, но вы можете идентифицировать неизвестные углы, связывая различные углы, как показано в примерах ниже.

Пример 1

Вычислите неизвестные углы на следующем рисунке.

Раствор

∠ 47 ⁰ и ∠ b — вертикальные углы. Следовательно, ∠ b равно 47 ⁰ (вертикальные углы равны или равны).

∠47 ⁰ и ∠ a являются дополнительными углами. Следовательно, ∠a = 180 ⁰ – 47 ⁰

⇒∠a = 133 ⁰

∠ a и ∠ c равны 90s. Следовательно, ∠ c = 133 ⁰

Пример 2

Определите значение θ на диаграмме, показанной ниже.

Решение

На схеме выше ∠ (θ + 20) ⁰ и ∠ x — вертикальные углы. Следовательно,

▲ (θ + 20) ⁰ = секрет x

, но 110 ⁰ + x = 180 ⁰ (дополнительные углы)

x =

Подставьте x = 70 ⁰ в уравнение;

⇒ тий (θ + 20) ⁰ = ♂ 70 ⁰

⇒ θ = 70 ⁰ — 20 ⁰ = 50 ⁰

С.

Пример 3

Рассчитайте значение угла y на рисунке ниже.

Решение

140 ⁰ + Z = 180 ⁰

Z = 180 ⁰ — 140 ⁰

Z = 40 ⁰

9002 Но (x + y) + Z = 40 ⁰

Но (x + y) + Z = Z = 40 ⁰

180 ⁰

(x + y) + 40 ⁰ = 180 ⁰

x + y = 140 ⁰

⁰ + Y = 140 ⁰

Y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50996 y = 50 y = 50996 y = 50 y = 140 ⁰

y = 50 + y = 140 ⁰

Y = 140 ⁰

Y = 140 ^{0 . 0}

Пример 4

Если 100 ⁰ и (3x + 7) ° — вертикальные углы, найдите значение x.

Решение

Следовательно, вертикальные углы равны;

(3x + 7) ⁰ = 100 ⁰

3x = 100 — 7

3x = 93

x = 31 ⁰

Отсутствие значения x — 31 градус.

Применение вертикальных углов (h4)

Вертикальные углы имеют множество применений, которые мы видим или испытываем в повседневной жизни.

• Американские горки устанавливаются под определенным углом для правильной работы. Эти углы настолько важны, что если бы они сместились на градус выше или ниже, возникла бы вероятность несчастного случая. Максимальный вертикальный угол, установленный для американских горок ( Mumbo Jumbo , Flamingo Land’s ), составляет 112 градусов.
• На авиашоу мы наблюдаем две струи пара, которые пересекаются друг с другом и образуют вертикальные углы.
• Знаки железнодорожного переезда (X), размещаемые на дорогах для обеспечения безопасности транспортных средств.
• Воздушный змей, в котором две деревянные палки пересекаются и удерживают воздушного змея.
• Мишень для дартс имеет 10 пар вертикальных углов, где мишень является виртуальной вершиной.

 

ч2

ч2

Уголки:

Углы образуются в результате пересечения прямых. На самом деле при пересечении двух прямых образуются четыре угла.
Которые мы обозначим <1, <2, <3 и <4.
903:00





Мера (величина) этих углов тесно связана.


1. Два угла, стороны которых являются противоположными друг другу лучами, называются вертикальными углами. Вертикальные углы имеют одинаковую меру.

Обратите внимание, что углы <1 и <3 на приведенной выше диаграмме образованы противоположными лучами (образованы теми же двумя линиями, но расположены напротив друг друга) . Это означает, что <1 и <3 являются вертикальными углами и имеют одинаковую меру. То же самое верно для <2 и <4. 903:00


2. Сумма двух смежных углов, образующих прямую, равна 180 O . Углы, сумма мер которых равна 180 O , называются дополнительными углами.

Обратите внимание, что <1 и <2 являются смежными (имеют общую сторону) и вместе образуют прямую линию. Это означает, что их меры в сумме составляют 180 ^O . То же верно для <2 и <3, углов <3 и <4 и углов <4 и <1. 903:00


Пример 1) Найдите X и Y. O являются вертикальными углами, поэтому Y=42 и O являются смежными углами, образующими прямую линию, поэтому сумма их величин должна составлять 180 O . Итак, Х=180 42=138.

---


903:00

Параллельные линии

:

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (секущей) образуется 8 углов, по 4 при каждой прямой.


Мы уже установили, что <1 и <3 — вертикальные углы  и имеют одинаковую меру. То же самое верно для <5 и <7. Теперь, поскольку прямые параллельны, мы также можем установить, что все четыре имеют одинаковую меру. То есть <1 = <3 = <5 = <7. То же самое можно сказать о <2, <4, <6 и <8. Эти углы будут иметь та же мера.







Пример 2 ) Дано L 1 || L 2 , найти X. Обратите внимание, что, поскольку прямые параллельны, (имеет ту же меру) к углу, примыкающему к 36 O , так что это в дополнение к уголку 36 O . Х= 180 36 = 144.

---







Углы в треугольнике:




Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180 О . <1 + <2 + <3 =180 О

Пример 3) Найдите X.





Чтобы найти X, мы должны найти внутренний угол треугольника, который перпендикулярен ему. И чтобы найти меру этого угла, нам нужно найти остальные внутренние углы треугольника.

No related posts.