При умножении показатели: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются; при делении степеней с одинаковым основанием…

alexxlab / / Разное

Алгебра

Алгебра
  

Гельфанд И. М., Шень А. X. Алгебра. — М.: ФАЗИС, 1998. — 192 с.

Эта книга — про алгебру. Алгебра — наука древняя, и от повседневного употребления её сокровища поблекли. Авторы старались вернуть им первоначальный блеск.

Основную часть книги составляют задачи, большинство которых приводится с решениями. Начав с элементарной арифметики, читатель постепенно знакомится с основными темами школьного курса алгебры, а также с некоторыми вопросами, выходящими за рамки школьной программы, так что школьники разных классов (6 — 11) могут найти в книге темы для размышлений.



Оглавление

1. Предисловие
2. Перемена мест слагаемых
3. Перемена мест сомножителей
4.
2 + bх + c = 0
53. Бще одна формула корней квадратного уравнения
54. Квадратное уравнение становится линейным
55. График квадратного трехчлена
56. Квадратные неравенства
57. Максимум и минимум квадратного трехчлена
58. Биквадратные уравнения
59. Возвратные уравнения
60. Как завалить на экзамене. Советы экзаменатору
61. Корни
62. Степень с дробным показателем
63. Доказательства числовых неравенств
64. Среднее арифметическое и среднее геометрическое
65. Среднее геометрическое не больше среднего арифметического
66. Задачи на максимум и минимум
67. Геометрические иллюстрации
68. Средние многих чисел
69. Среднее квадратическое
70. Среднее гармоническое
71. Книги для дальнейшего чтения

Видеоурок: “Стихи русских поэтов о родине”

Определение степени с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

План урока

  • Определение степени с натуральным показателем;
  • Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями.

Цели урока

  • Знать определение степени с натуральным показателем;
  • Знать правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями;
  • Уметь находить значение степени;
  • Уметь умножать и делить степени с одинаковыми основаниями.

Разминка

  • Какие числа называются натуральными?
  • Как найти периметр квадрата P=a+a+a+a или P=4a?
  • Как найти площадь квадрата S=a·a или S=a2?
  • Как найти объём куба V=a⋅a⋅a или V=a3?

Определение степени с натуральным показателем

 

При вычислении площади квадрата и при вычислении объёма куба произведение одинаковых множителей записывали кратко: a2 и a3 (читали так: «квадрат числа a» и «куб числа a»).

 

Краткая запись произведения одинаковых множителей применяется для любого количества множителей.

 

Рассмотрим произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a:

 

a⋅a…a⏟=ann раз

 

Выражение an называют степенью числа a (читают так: «a в степени n» или «n-я степень числа a»)

Степенью числа a с натуральным показателем n ( n>1) называется выражение an, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a.

Если n=1, то a1=a.

Повторяющийся множитель называют  основанием степени , а число, которое показывает количество этих множителей — показателем степени .

В выражении an основанием степени является число a, число n — показатель степени.

Нахождение значения степени называют возведением в степень .

Пример 1

Выполните возведение в степень:

 

а) 54; 

б) 0,63; 

в) 343;  

г) 18;   

д) 107;    

е) 0,15;   

ж) (-2)5;   

з) (-2)6;  

и) -26.

а) 54=5·5·5·5=625;

б) 0,63=0,6·0,6·0,6=0,216;

в) 343=34·34·34=2764;

г) 18=1·1·1·1·1·1·1·1=1.  

 

при возведении 1 в любую степень всегда в ответе получим 1;

 

д) 107=10·10·10·10·10·10·10=10000000. 

 

при возведении в степень числа 10 в ответе получаем число, записанное с помощью 1 и 0, причём количество 0 равно показателю степени;

 

е) 0,15=0,1·0,1·0,1·0,1·0,1=0,00001.  

 

при возведении в степень числа 0,1 в ответе получаем десятичную дробь, записанную с помощью 0 и 1, причём количество знаков после запятой равно показателю степени;

 

ж) (-2)5=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=-32.

 

при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получим в ответе отрицательное число;

 

з) (-2)6=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=64.

 

при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получим в ответе положительное число;

 

и) -26=-2·2·2·2·2·2=-64.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль

a2≥0 при любом a

Если числовое выражение содержит несколько действий (без скобок), то порядок действий такой: возведение в степень, умножение и деление, сложение и вычитание.

Пример 2

Укажите порядок действий в выражении:

 

              а) 25–3·103; 

              б) (25–3)·103.

Решение

 

 а) 25–3·103

              1) возведение в степень,

              2) умножение,

            3) вычитание;

 

б) (25–3)·103

             1) вычитание,

             2) возведение в степень,

             3) умножение.

Упражнение 1

1. Очень часто в математике, в информатике встречается степень числа 2. Вычислите и запомните:

 

21 =              25 =             29 =

22 =              26 =            210 =

23 =               27 =

24=                28 =

 

2. Найдите значения выражений в примере 2.

3. Вычислите, чему равна сумма кубов чисел 4 и 5.

4. Найдите квадрат разности чисел 7 и 3.

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Основное свойство степени

 

Для любого числа a и произвольных натуральных чисел m и n         

am·an=am+n

Доказательство

 

am·an=(aa…a)⏟m раз·(aa…a)⏟n раз=aa…a⏟m + n раз=am+n

Правило умножения степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

 

Для любого числа a≠0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n   

                                     am:an=am-n                                      (1)

Доказательство

 

По определению частного равенство (1) будет иметь место, если будет справедливо равенство 

                                               am=am-n·an.                                           (2)

Применим к выражению am-n·an основное свойство степени: am-n·an=am-n+n=am. 

 

Таким образом доказали равенство (2), а, значит, справедливо и равенство (1).

Правило деления степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

Рассмотрим частное an:an=an-n=a0. Так как при делении числа на такое же число получается 1, то, с другой стороны, an:an=1. Тогда получили, что a0=1.

Степень числа a, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

Выражение 00 не имеет смысла. 

Теперь после того, как мы ввели нулевую степень, можно сделать вывод, что формула aman=am+n при  a≠0 имеет место и в том случае, когда m=0 и n=0. Формула am: an=am-n справедлива для всех неотрицательных m и n, таких, что m≥n.

 

Пример 3

Представьте выражение в виде степени: 

               а) x7x10x;      б) y15:y8;       в) c19c0.

Решение

 

а) x7x10x=x7+10+1=x18;

 

б) y15:y8=y15-8=y7;

 

в) c19c0=c19⋅1=c19.

Упражнение 2

1. Вычислите:

                      а) 123⋅12201221;   б) 514⋅557⋅55;  в) 0,48⋅0,4120,411⋅0,47.

 

2. Упростите: C24⋅C8⋅CC28⋅C5.

 

3. Решите уравнение: а) 417⋅x=420;        б) 823:x=821.                   

Контрольные вопросы

 

  1. Что называют степенью с натуральным показателем.
  2. Запишите в виде степени произведение 3·3·3·3·3. Назовите основание степени, показатель степени. Выполните возведение в степень.
  3. Объясните, как возвести в степень смешанное число.
  4. Сформулируйте правило сложения степеней с одинаковыми основаниями.
  5. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
  6. Чему равно значение выражения p0 (p≠0).

Ответы

Упражнение 1

             

2. а) — 2975; б) 22 000;

3. 189;

4. 16.

 

Упражнение 2

 

1. а) 144; б) 125; в) 0,16;

2. 1;

3. а) 64; б) 64.

Функция индикатора | Случайная величина индикатора

Марко Табога, доктор философии

Индикаторная функция события представляет собой случайную величину, которая занимает:

Индикаторные функции также называют индикаторными случайными величинами. Содержание

  • Показатели дискретные переменные

  • Свойства

    1. Полномочия

    2. Ожидаемое значение

    3. Дисперсия

    4. Перекрестки

    5. Индикаторы событий с нулевой вероятностью

  • Очень похожие понятия

  • Решена упражнения

    1. упражнение 1

    2. упражнение 2

    3. упражнение 3

    • Что нужно помнить

    Чтобы понять следующее определение, нужно помнить, что случайная переменная это функция

    :

    Если является одним из возможных исходов, то это значение, принимаемое когда понял результат .

    Также помните, что событие является подмножеством выборочного пространства .

    Определение

    Вот определение.

    Определение Позволять быть образцом пространства и быть событием. Функция индикатора из , обозначается , случайная величина, определяемая как

    Иногда мы также используем обозначениегде греческая буква чи.

    Пример

    Мы подбрасываем кубик, и лицом вверх может выпасть одно из шести чисел от 1 до 6.

    Пример пространства это

    Определите событие описал предложением «Четное число появляется лицевой стороной вверх».

    Случайная величина, которая принимает значение 1, когда лицевой стороной вверх выпадает четное число. значение 0 в противном случае является индикатором события .

    Индивидуальное определение этого показателя

    Показатели дискретные переменные

    Из вышеприведенного определения легко видеть, что является дискретным случайным переменная с поддерживать и вероятностная масса функция

    Свойства

    Индикаторные функции обладают следующими свойствами.

    Пауэрс

    -й сила равно :

    Доказательство

    Это следствие того факта, что может быть или , и

    Ожидаемое значение

    Ожидаемая стоимость равно

    Доказательство

    Доказательство следующее:

    Разница

    Дисперсия равно

    Proof

    Благодаря обычному формула дисперсии и степени свойство выше, мы получить

    Перекрестки

    Если и два события, то

    Доказательство

    Если , затем и если , то и

    Индикаторы событий с нулевой вероятностью

    Позволять быть событием с нулевой вероятностью и интегрируемая случайная переменная. Тогда

    Доказательство

    Хотя строгое доказательство этого факта за рамками этого вводного изложения, это свойство должно быть интуитивный. Случайная величина равен нулю для всех точек выборки , кроме, пожалуй, очков . Ожидаемое значение представляет собой средневзвешенное значение значений может приниматься, где каждое значение взвешивается по соответствующей вероятности. ненулевые значения могут быть взвешены с нулевой вероятностью, поэтому должен быть равен нулю.

    Очень похожие концепции

    В теории вероятностей и статистике есть два важных понятия, которые почти идентичны индикаторной переменной:

    1. Бернулли распределение;

    2. фиктивная переменная.

    Решенные упражнения

    Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

    Упражнение 1

    Рассмотрим случайную величину и еще одна случайная величина определяется как функция .

    Выражать используя индикаторные функции событий и .

    Раствор

    Обозначим через в индикатор события и обозначим через в индикатор события . Мы можем написать как

    Упражнение 2

    Позволять быть положительной случайной величиной, то есть случайной величиной, которая может принимать только положительные значения.

    Позволять быть константой.

    Докажи это где является индикатором события .

    Решение

    Прежде всего обратите внимание, что сумма индикаторов и всегда равно :Как следствие, мы можем написать сейчас, Обратите внимание, что является положительной случайной величиной и что ожидаемое значение положительного случайного переменная положительный: Таким образом,

    Упражнение 3

    Позволять быть событием и обозначим его индикаторную функцию через .

    Позволять быть дополнением и обозначим его индикаторную функцию через .

    Можете ли вы выразить как функция ?

    Решение

    Сумма двух показателей всегда равно :Поэтому

    Как цитировать

    Пожалуйста, цитируйте как:

    Табога, Марко (2021). «Индикаторная функция», Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Прямая публикация Kindle. Онлайн приложение. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

    Функция индикатора | Случайная величина индикатора

    Марко Табога, доктор философии

    Индикаторная функция события представляет собой случайную величину, которая занимает:

    Индикаторные функции также называют индикаторными случайными величинами. 9