Примеры булева алгебра: Теория и применение цифровой обработки сигналов

Теория и применение цифровой обработки сигналов

Теория и применение цифровой обработки сигналов

Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М: Мир, 1978. В монографии изложены основы теории дискретных сигналов и почти все современные методы расчета цифровых фильтров. Рассмотрены теория, способы выполнения и применения алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Отдельные главы посвящены вопросам проектирования специализированных устройств цифровой обработки и применению цифровых методов для анализа речевых и радиолокационных сигналов. Книга содержит большое количество справочного материала, а также тексты программ для расчета типовых цифровых устройств. Книга представляет большой практический интерес для инженеров-проектировщиков устройств первичной обработки сигналов, использующих для анализа сигналов вычислительные машины, специалистов в области вычислительной математики и программистов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ 1.2. Обзор основных направлений цифровой обработки сигналов 1.3. Построение книги 2.1. Введение 2.2. Последовательности 2.3. Представление произвольных последовательностей 2.4. Линейные системы с постоянными параметрами 2.5. Физическая реализуемость. Устойчивость 2.6. Разностные уравнения 2.7. Частотная характеристика 2.8. Частотная характеристика систем первого порядка 2.9. Частотная характеристика систем второго порядка 2.10. Дискретный ряд Фурье 2.11. Замечания о единицах измерения частоты 2.12. Соотношение между непрерывными и дискретными системами 2.13. z-преобразование 2.14. Соотношение между z-преобразованием и фурье-преобразованием последовательности 2.15. Обратное z-преобразование 2.16. Свойства z-преобразования 2.17. Решение разностных уравнений с применением одностороннего z-преобразования 2. 18. Геометрическая интерпретация преобразования Фурье 2.19. Построение цифровых фильтров (структурные схемы фильтров) 2.20. Структурные схемы фильтров без полюсов 2.21. Дискретное преобразование Фурье 2.22. Свойства ДПФ 2.23. Свертка последовательностей 2.24. Линейная свертка конечных последовательностей 2.25. Секционированные свертки 2.26. Дискретное преобразование Гильберта 2.27. Преобразование Гильберта действительных сигналов ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ 3.2. Порядок расчета фильтров 3.3. Свойства КИХ-фильтров 3.4. Характеристики КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой 3.5. Частотная характеристика КИХ-фильтров с линейной фазой 3.6. Расположение нулей КИХ-фильтров с линейной фазой 3.7. Методы расчета КИХ-фильтров с линейными фазами 3.8. Первый метод расчета — метод взвешивания 3.9. Прямоугольное окно 3.10. «Обобщенное» окно Хэмминга 3.11. Окно Кайзера 3.12. Примеры фильтров нижних частот с различными окнами 3.13. Особенности использования метода взвешивания 3.14. Несколько практических приемов использования окон 3.15. Дополнительные примеры фильтров рассчитанных методом взвешивания 3.16. Общая характеристика окон 3.17. Второй метод проектирования — метод частотной выборки 3.18. Решение задачи оптимизации 3.19. Линейное программирование 3.20. Фильтры с частотной выборкой вида 1 и 2 3.21. Фильтры вида 1 с частотной выборкой и линейной фазой 3.22. Фильтры вида 2 с частотной выборкой и линейной фазой 3.23. Некоторые самые общие результаты расчета фильтров методом частотной выборки 3.24. Заключение к описанию метода частотной выборки 3.25. Третий метод проектирования — проектирование оптимальных фильтров с минимаксной ошибкой 3.26. Аппроксимация по Чебышеву со взвешиванием 3.27. Ограничение на число экстремумов частотной характеристики фильтра с линейной фазой 3. 28. Решение нелинейных уравнений для КИХ-фильтров с максимумом пульсаций 3.29. Расчет КИХ-фильтров с максимумом пульсаций на основе полиномиальной интерполяции 3.30. Использование алгоритма замены Ремеза для расчета оптимальных фильтров 3.31. Расчет оптимальных КИХ-фильтров методами линейного программирования 3.32. Характеристики оптимальных фильтров нижних частот вида 1 3.33. Некоторые дополнительные свойства оптимальных фильтров нижних частот вида 1 3.34. Соотношения между параметрами оптимального фильтра нижних частот 3.35. Свойства оптимальных фильтров нижних частот вида 2 3.36. Характеристики оптимальных дифференциаторов 3.37. Характеристики оптимальных преобразователей Гильберта 3.38. Многополосные оптимальные КИХ-фильтры 3.39. Расчет фильтров при одновременном ограничении и во временной, и в частотной областях 3.40. Непосредственное сравнение различных КИХ-фильтров нижних частот Приложение Глава 4. ТЕОРИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 4. 2. Элементарные свойства БИХ-фильтров: квадрат амплитудной характеристики, фазовая характеристика, характеристика групповой задержки 4.3. Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтра 4.4. Расчет цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени 4.5. Метод отображения дифференциалов 4.6. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики 4.7. Билинейное z-преобразование 4.8. Согласованное z-преобразование 4.9. Обзор методов расчета аналоговых фильтров нижних частот 4.10. Расчетные диаграммы фильтров нижних частот 4.11. Сравнение методов инвариантного преобразования импульсной характеристики и билинейного преобразования для эллиптических фильтров 4.12. Частотные преобразования 4.13. Прямые методы расчета цифровых фильтров 4.14. Применение методов оптимизации для расчета БИХ-фильтров 4.15. Обзор методов расчета БИХ-фильтров 4.16. Сравнение КИХ- и БИХ-фильтров 4.17. Сравнение оптимальных КИХ-фильтров и эллиптических фильтров с выравниванием групповой задержки Глава 5. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ 5.2. Аналого-цифровое преобразование 5.3. Цифро-аналоговое преобразование 5.4. Системы счисления, применяемые в цифровых устройствах 5.5. Система счисления с фиксированной запятой 5.6. Системы счисления с плавающей запятой 5.7. Система счисления с поблочно плавающей запятой 5.8. Виды квантования в цифровых фильтрах 5.9. Усечение 5.10. Округление 5.11. Шум округления в рекурсивных структурах с фиксированной запятой 5.12. Ограничение динамического диапазона в системах с фиксированной запятой 5.13. Ограничение динамического диапазона при построении фильтров в прямой форме 5.14. Ограничение динамического диапазона при построении фильтров в параллельной форме 5.15. Ограничение динамического диапазона при построении фильтров в каскадной форме 5.16. Упорядочение размещения блоков и попарный подбор нулей и полюсов блоков при построении фильтра в каскадной форме 5.17. Выводы относительно взаимосвязи между динамическим диапазоном и уровнем шума округления 5. 18. Дополнительные замечания о взаимосвязи между динамическим диапазоном и уровнем шума округления 5.19. Шум округления в нерекурсивных структурах с фиксированной запятой 5.20. Шум округления при построении нерекурсивных фильтров в прямой форме 5.21. Шум округления при построении нерекурсивных фильтров в каскадной форме 5.22. Шум округления в рекурсивных структурах с плавающей запятой 5.23. Квантование коэффициентов 5.24. Квантование коэффициентов в рекурсивных структурах 5.25. Квантование коэффициентов при построении фильтров в прямой форме 5.26. Экспериментальная проверка шумовой модели квантования коэффициентов 5.27. Оптимальное квантование коэффициентов 5.28. Квантование коэффициентов в двухполюсном фильтре 5.29. Квантование коэффициентов в нерекурсивных структурах 5.30. Квантование коэффициентов при построении КИХ-фильтров 5.31. Квантование коэффициентов при построении КИХ-фильтров в каскадной форме 5.32. Колебания предельного цикла Глава 6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 6.2. Введение в алгоритмы БПФ с основанием 2 6.3. Некоторые свойства алгоритма БПФ с основанием 2 и прореживанием по времени 6.4. Перестановка данных и двоичная инверсия 6.5. Программа расчета БПФ на ФОРТРАНе 6.6. Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте 6.7. Вычисление обратного ДПФ с помощью алгоритма прямого ДПФ 6.8. Единый подход к алгоритмам БПФ 6.9. Алгоритмы БПФ с основанием 2 6.10. Спектральный анализ в одной точке z-плоскости 6.11. Спектральный анализ с применением БПФ 6.12. Некоторые характеристики спектрального анализа 6.13. Соотношение между «скачущим» БПФ и гребенкой фильтров 6.14. Использование окон при спектральном анализе 6.15. Измерение спектра в ограниченном секторе z-плоскости с использованием БПФ 6.16. Алгоритм Блюстейна 6.17. Алгоритм z-преобразования с использованием ЛЧМ-фильтрации 6.18. Энергетический спектр случайных сигналов 6.19. Свертка и корреляция с использованием теоретико-числовых преобразований ПРИЛОЖЕНИЕ. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ БПФ Глава 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДВУМЕРНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ 7.2. Двумерные сигналы 7.3. Двумерные системы 7.4. Физическая реализуемость. Разделимость. Устойчивость 7.5. Двумерные разностные уравнения 7.6. Частотные методы 7.7. Двумерное z-преобразование 7.8. Конечные последовательности 7.9. Свертка последовательностей 7.10. Двумерное ДПФ 7.11. Расчет двумерных фильтров 7.12. БИХ-фильтры 7.13. Устойчивость БИХ-фильтров 7.14. КИХ-фильтры 7.15. Двумерные весовые функции (окна) 7.16. Пример расчета фильтра нижних частот методом взвешивания 7.17. Фильтры с частотной выборкой 7.18. Двумерные фильтры нижних частот с частотной выборкой 7.19. Расчет оптимальных (в минимаксном смысле) двумерных фильтров 7.20. Частотное преобразование одномерных фильтров в двумерные 7.21. Примеры обработки изображений Глава 8. ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ТЕХНИКУ 8.2. Некоторые вопросы проектирования аппаратуры цифровой обработки сигналов 8. 3. Булева алгебра. Примеры простых логических цепей 8.4. Основные типы интегральных логических схем 8.5. Серийные логические ИС: вентили, коммутаторы и дешифраторы, триггеры, арифметические и запоминающие устройства 8.6. Умножители 8.7. Делители и устройства с плавающей запятой 8.8. Пример: проектирование быстродействующего матричного умножителя 8.9. Заключение ГЛАВА 9. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ГЕНЕРАЦИИ СИГНАЛОВ 9.2. Аппаратурное построение КИХ-фильтра прямой формы 9.3. Параллелизм при построении КИХ-фильтров прямой формы 9.4. Каскадная форма КИХ-фильтра 9.5. Прямая форма КИХ-фильтра с высоким уровнем параллелизма 9.6. Прямая форма построения БИХ-фильтров 9.7. Каскадная форма БИХ-фильтров 9.8. Мультиплексирование 9.9. Цифровой приемник клавишно-тонального вызова 9.10. Цифровой преобразователь временного разделения каналов в частотное разделение каналов 9.11. Расчленение цифровых фильтров на составные части при построении их на интегральных микросхемах 9. 12. Специализированный цифровой синтезатор частот 9.13. Методы генерации псевдослучайных чисел 9.14. Методы генерации гауссовых случайных чисел Глава 10. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ БПФ 10.2. Обзор теоретических основ БПФ 10.3. Нумерация при БПФ. Двоичная инверсия и разрядная инверсия для алгоритмов БПФ с постоянным основанием 10.5. Эффекты квантования в алгоритмах БПФ 10.6. Особенности аппаратурной реализации БПФ с основанием 2 10.7. Оптимальная аппаратурная реализация алгоритма БПФ с основанием 2 10.9. Выполнение БПФ с использованием сверхоперативной памяти 10.10. Параллельные структуры для алгоритмов БПФ с основаниями 2 и 4, использующие ЗУ с произвольным доступом 10.11. Общие вопросы построения поточных схем БПФ 10.12. Поточные схемы БПФ с основанием 2 10.13. Поточная схема БПФ с основанием 4 10.14. Сравнение поточных схем БПФ с основаниями 2 и 4 10.15. Структуры БПФ с повышенным уровнем параллелизма 10. 16. Общие принципы построения специализированных процессоров БПФ 10.17. БПФ перекрывающихся массивов на основе ЗУ с произвольным доступом 10.18. Свертка в реальном времени методом БПФ с использованием одного АУ и ЗУ с произвольным доступом 10.19. Поточный свертыватель с тактовой частотой 10 МГц Глава 11. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА В СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ 11.2. Специализированные и универсальные вычислительные машины 11.3. Способы описания вычислительных машин 11.4. Программа вычисления скользящей суммы 11.5. Особенности ввода — вывода при обработке в реальном времени 11.6. Методы увеличения быстродействия вычислительной машины 11.7. Сверхоперативные ЗУ 11.8. Распараллеливание арифметических операций 11.9. Параллельная работа ЗУ, АУ, устройств управления и вызова команд 11.10. Быстродействующий цифровой процессор (FDP) Линкольновской лаборатории 11.11. Структурные схемы арифметических устройств 11.12. Синхронизация 11.13. Обзор методов увеличения быстродействия, использованных в FDP 11.14. Выполнение быстрого преобразования Фурье с помощью FDP 11.15. Подпрограммы для действий с плавающей запятой 11.16. Обзор особенностей FDP, связанных с распараллеливанием 11.17. Процессор Линкольновской лаборатории LSP (Lincoln Signal Processor 2) для обработки сигналов 11.18. Лабораторная вычислительная система для цифровой обработки сигналов ГЛАВА 12. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА РЕЧЕВЫХ СИГНАЛОВ 12.2. Модель образования речи 12.3. Кратковременный спектральный анализ 12.4. Система анализа-синтеза речи, основанная на кратковременном спектральном анализе 12.5. Особенности анализа речи 12.6. Система анализа — синтеза 12.7. Полосный вокодер 12.8. Анализаторы вокодеров. Особенности обработки сигналов 12.9. Синтезаторы вокодеров. Особенности обработки сигналов 12.10. Другие схемы вокодеров 12.11. Выделение высоты основного тона и обнаружение тон — шум 12.12. Обнаружитель тон — шум 12. 13. Гомоморфная обработка речи 12.14. Гомоморфный вокодер 12.15. Формантный синтез 12.16. Цепь возбуждения звонких фрикативных звуков 12.17. Генератор случайных чисел 12.18. Цифровая обработка в формантном синтезаторе 12.19. Линейное прогнозирование речи 12.20. Система речевого ответа для вычислительной машины 12.21. Заключение 13.1. Вводные замечания о принципах радиолокации и ее применениях 13.2. Состав и параметры радиолокационной системы 13.3. Выбор сигналов и функция неопределенности 13.4. Цифровые согласованные фильтры для радиолокационных сигналов 13.5. Аэродромный обзорный радиолокатор системы управления полетами. Доплеровская фильтрация как средство подавления мешающих отражений 13.6. Экспериментальный радиолокатор дальнего действия 13.7. Цифровой согласованный фильтр для высококачественного радиолокатора 13.8. Заключение

Решение элементарных задач булевой алгебры.

| Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему:

Приводятся информационные и учебно-методические материалы  к решению задач булевой алгебры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ

для 5-7 класса

Составитель: Чернышев Э.Н. (МБОУ СОШ №3, г. Красный Сулин, 2017г.)

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Инверсия

А	Не А
0	1
1	0

А	В	А и В Коньюнкия (умножение)	А или В Дизьюнкция (сложение)	Либо А либо В (строгая дизьюнкция) (+)	Импликация Если А, то В →	Эквиваленция
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0
1	1	1	1	0	1	1

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ

1. Инверсия.

2.Коньюнкция.

3.Дизьюнкция.

4.Импликация и эквиваленция.

Упражнение №1

Установите истинность высказываний.

«Земля   имеет форму куба»     ИЛИ    «Сентябрь – зимний месяц».	1
«Земля   имеет форму куба»     И    «Сентябрь – зимний месяц».	2
«Земля   имеет форму  шара»    ИЛИ    «Сентябрь – зимний месяц».	3
«Земля   имеет форму  шара»     И    «Сентябрь – зимний месяц».	4
«Земля   имеет форму  шара»    ИЛИ    «Сентябрь –  осенний  месяц».	5
«Земля   имеет форму  шара»    И   «Сентябрь –  осенний  месяц».	6
НЕ «Земля имеет форму куба»  ИЛИ  НЕ «Сентябрь – осенний месяц».	7
НЕ «Земля имеет форму  куба»   И  НЕ   «Сентябрь – осенний месяц».	8
«Земля имеет форму шара»   ИЛИ  НЕ   «Сентябрь – осенний месяц».	9
«Земля имеет форму шара»   И  НЕ   «Сентябрь – осенний месяц».	10

Упражнение №2

Установите истинность высказываний.

1. Если дважды  два – четыре, то четыре равно два умножить на два.
2. Если ноябрь – зимний месяц, то январь- тоже зимний месяц.
3. Если Земля – планета, то Солнце – тоже планета.
4. Если золото – это металл, то железо – это золото.
5. Если ЕГЭ сдают в 4 классе, то  ОГЭ сдают тоже в 4 классе.

Упражнение № 3

Заполните таблицу истинности.

A	B	C	C	AvB	AvB ⇒C
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

Упражнение № 4

Определите, являются ли сложные высказывания тождественными: A ⇒ B·A;    AvB

Упражнение № 5

Построить таблицу истинности

                           (A ⇒ B) · (B ⇒ A)

Упражнение № 6

Определите, являются ли сложные высказывания эквивалентными

A ⇒ B ;  B ⇒ A

Упражнение № 7

Для какого имени истинно высказывание:

¬(Первая буква имени гласная -> Четвертая буква имени согласная)

1. ЕЛЕНА          2) ВАДИМ      3) АНТОН      4) ФЕДОР

Упражнение № 8

Для какого имени истинно высказывание

Первая буква имени согласная ^ (¬Вторая буква имени согласная -> Четвертая буква имени гласная)

1) ИВАН          2)ПЕТР         3) ПАВЕЛ         4) ЕЛЕНА

Упражнение №9

Составить таблицы истинности для следующих логических выражений:

Упражнение №10

Переведите на язык логических выражений следующие высказывания:

1. «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей,  то мы интересно проведем время».
2. «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурная погода, то ребята пойдут в кино».
3. «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».
4. «Если урок информатики будет интересным, то никто из школьников – Миша, Вика и Света – не будет смотреть в окно».
5. «Неверно, что для того, чтобы человек достиг в жизни высоких результатов, необходимо и достаточно, чтобы он был гением».

Упражнение № 11

В соревнованиях по бегу участвуют Алла, Таня, Валя и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:

1. Первой будет Таня, Валя будет второй.
2. Второй будет Таня, Даша – третьей.
3. Алла будет второй, Даша – четвертой.

 По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно высказывание истинно, другое же ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девочек, если все они оказались на разных местах?

Упражнение № 12

По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено следующее:

1. Если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.
2. Если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен.

Кто из подозреваемых участвовал в преступлении?

Упражнение № 13

Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1. Сергей — первый, Роман — второй;
2. Сергей — второй, Виктор — третий;
3. Юрий — второй, Виктор — четвертый.

Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?

Упражнение № 14

Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. В ходе следствия Браун сказал, что преступники были на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», Смит утверждал, что это был «Форд», но не синий. Каждый указал неправильно либо марку, либо цвет автомобиля. Определите истинный цвет и истинную марку автомобиля.

Упражнение № 15

Обсуждая свои возможности по поступлению в вуз, абитуриенты Андрей, Борис и Владимир высказали следующие предположения

Андрей: «Я не смогу поступить, а Владимир — поступит».

Борис: «Владимир не поступит, а Андрей — поступит».

Владимир: «Если я поступлю, то Борис — не поступит или наоборот».

После сдачи экзаменов выяснилось, что каждый высказал одно верное и одно ложное простое утверждение. а) Кто поступил в вуз, если не смог поступить лишь один из них? б) Кто поступил в вуз, если поступил лишь один из них?

Упражнение № 16

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо автомобиль.

• Это английская машина марки «Феррари», — сказал Андрей.
• Нет, машина итальянская марки «Понтиак», — возразил Денис.
• Это «Сааб», и сделан он не в Англии, — сказал Марат.

Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений. Какой же марки этот автомобиль, и в какой стране он изготовлен?

Упражнение № 17

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».

Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке ».

Гриша: «Это сосуд  не греческий и изготовлен в IV веке».

Учитель истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Упражнение № 18

В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка – A, B, C, D. Известно, что:

1. Если A нарушил, то и B нарушил правила обмена валюты.
2. Если B нарушил, то и C нарушил или A не нарушал.
3. Если D не нарушил, то A нарушил, а C не нарушал.
4. Если D нарушил, то и A нарушил.

Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

---

ПРИЛОЖЕНИЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ

Логика очень древняя наука. Ещё в античные времена была известна формальная логика, позволяющая делать заключения о правильности какого-либо суждения не по его фактическому содержанию, а только по форме его построения. Например, уже в древности был известен закон исключения третьего. Его содержательная трактовка была такова: «Во время своих странствований Платон был в Египте ИЛИ не был Платон в Египте». В такой форме это или любое другое выражение будут правильны (тогда говорили: истинно). Ничего другого быть не может: Платон либо был, либо не был в Египте — третьего не дано.      Другой закон логики — закон непротиворечивости. Если сказать: «Во время своих странствий Платон был в Египте И не был Платон в Египте», то очевидно, любое высказывание, имеющее такую форму, всегда будет ложно. Если из теории следуют два противоречащих друг другу вывода, то такая теория безусловно неправильная (ложная) и должна быть отвергнута.      Ещё один закон, известный в древности — закон отрицания: «Если НЕверно, что Платон НЕ был в Египте, то значит, Платон был в Египте».      Формальная логика основана на “высказываниях”. “Высказывание” — это основной элемент логики, определяемый как повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинное или ложное утверждение оно содержит.       Например: Листва на деревьях опадает осенью. Земля прямоугольная.      Первое высказывание содержит истинную информацию, а второе — ложную. Вопросительное, побудительное и восклицательное предложения не являются высказываниями, так как в них ничего не утверждается и не отрицается.      Пример предложений, не являющихся высказываниями: Не пейте сырую воду! Кто не хочет быть счастливым?      Высказывания могут быть и такими: 2>1, Н2О+SO3=h3SO4. Здесь используются языки математических символов и химических формул.      Приведённые выше примеры высказываний являются простыми. Но из простых высказываний можно получить сложные, объединив их с помощью логических связок. Логические связки — это слова, которые подразумевают определённые логические связи между высказываниями. Основные логические связки издавна употребляются не только в научном языке, но и в обыденном, — это “и”, “или”, “не”, “если … то”, “либо … либо” и другие известные нам из русского языка связки. В рассмотренных нами трёх законах формальной логики использовались связки “и”, “или”, “не”, “если … то” для связи простых высказываний в сложные.      Высказывания бывают общими, частными и единичными. Общее высказывание начинается со слов: всё, все, всякий, каждый, ни один.Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство и т.п. Во всех других случаях высказывание является единичным.      Формальная логика была известна в средневековой Европе, она развивалась и обогащалась новыми законами и правилами, но при этом вплоть до 19 века она оставалась обобщением конкретных содержательных данных и её законы сохраняли форму высказываний на разговорном языке.     В 1847 году английский математик Джордж Буль, преподаватель провинциального университета в маленьком городке Корке на юге Англии разработал алгебру логики.      Алгебра логики очень проста, так как каждая переменная может принимать только два значения: истинно или ложно. Трудность изучения алгебры логики возникает из-за того, что для обозначения переменных принимают символы 0 и 1, которые по написанию совпадают с обычными арифметическими единицей и нулём. Но совпадение это только внешнее, так как смысл они имеют совсем иной.      Логическая 1 означает, что какое-то событие истинно, в противоположность этому логический 0 означает, что высказывание не соответствует истине, т.е. ложно. Высказывание заменилось на логическое выражение, которое строится из логических переменных (А, В, Х, …) и логических операций (связок).      В алгебре логики знаки операций обозначают лишь три логические связки ИЛИ, И, НЕ.      1.Логическая операция ИЛИ. Логическую функцию принято задавать в виде таблицы. В левой части этой таблицы перечисляются все возможные значения аргументов функции, т.е. входные величины, а в правой указывается соответствующее им значение логической функции. Для элементарных функций получается таблица истинности данной логической операции. Для операции ИЛИ таблица истинности имеет вид:     Операцию ИЛИ называют также логическим сложением, и потому её можно обозначать знаком «+».      Рассмотрим сложное единичное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку». Обозначим через А простое высказывание «Летом я поеду в деревню», а через В — простое высказывание «Летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическое выражение сложного высказывания имеет вид А+В, и оно будет ложным только, если ни одно из простых высказываний не будет истинным.      2. Логическая операция И. Таблица истинности для этой функции имеет вид:     Из таблицы истинности следует, что операция И — это логическое умножение, которое ничем не отличается от традиционно известного умножения в обычной алгебре. Операцию И можно обозначить знаком по-разному:     В формальной логике операции логического умножения соответствуют связки и, а, но, хотя.      3. Логическая операция НЕ. Эта операция является специфичной для алгебры логики и не имеет аналога в обычной алгебре. Она обозначается чертой над значением переменной, либо знаком приставки перед значением переменной:     Читается в обоих случаях одинаково «Не А». Таблица истинности для этой функции имеет вид:     В вычислительной технике операцию НЕ называют отрицанием или инверсией, операцию ИЛИ — дизъюнкцией, операцию И — конъюнкцией. Набор логических функций “И”, “ИЛИ”, “НЕ” является функционально полным набором или базисом алгебры логики. С помощью него можно выразить любые другие логические функции, например операции “строгой дизъюнкции”, “импликации” и “эквивалентности” и др. Рассмотрим некоторые из них.      Логическая операция “строгая дизъюнкция”. Этой логической операции соответствует логическая связка “либо … либо”. Таблица истинности для этой функции имеет вид:     Операция “строгая дизъюнкция” выражается через логические функции “И”, “ИЛИ”, “НЕ” любой из двух логических формул: и иначе называется операцией неравнозначности или “сложения по модулю 2”, так как при сложении чётного количества единиц, результатом будет “0”, а при сложении нечётного числа единиц, результат станет равен “1”.      Логическая операция “импликация”. Выражение, начинающееся со слов если, когда, коль скоро и продолжающееся словами то, тогда,называется условным высказыванием или операцией «импликация». Таблица истинности для этой функции имеет вид:     Операцию “импликация” можно обозначить по-разному:     Эти выражения эквивалентны и читаются одинаково: «Игрек равен импликации от А и В». Операция “импликация” выражается через логические функции “ИЛИ”, “НЕ” в виде логической формулы     Логическая операция “эквивалентность” (равнозначность). Этой логической операции соответствуют логические связки “если и только если”, «тогда и только тогда, когда». Таблица истинности для этой функции имеет вид:     Операция “эквивалентность” обозначается по-разному. Выражения обозначают одно и тоже, и можно сказать, что А эквивалентна В, если и только если они равнозначны. Логическая операция “эквивалентность” выражается через логические функции “И”, “ИЛИ”, “НЕ” в виде логической формулы     С помощью алгебры логики можно очень кратко записать законы формальной логики и дать им математически строгое доказательство.     В алгебре логики, как в элементарной, справедливы переместительный(закон коммутативности), сочетательный (закон ассоциативности) и распределительный (закон дистрибутивности) законы, а также аксиома идемпотентности (отсутствие степеней и коэффициэнтов) и др. , в записях которых используются логические переменные, принимающие только два значения — логический ноль и логическая единица. Применение этих законов позволяет производить упрощение логических функций, т.е. находить для них выражения, имеющие наиболее простую форму. Основные аксиомы и законы алгебры логики приведены в таблице:     Примеры использования основных аксиом и законов:

Булева алгебра — законы, правила, теоремы, примеры

Булева алгебра — раздел алгебры, занимающийся логическими операциями над переменными. В булевой алгебре может быть только два возможных значения переменных, то есть либо 1, либо 0. Другими словами, переменные могут обозначать только два варианта: истина или ложь. Три основные логические операции булевой алгебры — это конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

В элементарной алгебре математические выражения используются в основном для обозначения чисел, тогда как в булевой алгебре выражения представляют значения истинности. Значения истинности используют двоичные переменные или биты «1» и «0» для представления состояния входа, а также выхода. Логические операторы И, ИЛИ и НЕ образуют три основных логических оператора. В этой статье мы узнаем больше об определении, законах, операциях и теоремах булевой алгебры.

1.	Что такое булева алгебра?
2.	Выражение булевой алгебры
3.	Булевы алгебраические операции
4.	Законы булевой алгебры
5.	Теоремы булевой алгебры
6.	Постулаты булевой алгебры
7.	Булева алгебра и логические элементы
8.	Таблица истинности булевой алгебры
9.	Часто задаваемые вопросы по булевой алгебре

Что такое булева алгебра?

Булева алгебра также известна как бинарная алгебра или логическая алгебра. Основное применение булевой алгебры заключается в том, что она используется для упрощения и анализа различных цифровых логических схем. Диаграммы Венна также можно использовать для визуального представления любой операции булевой алгебры.

Определение булевой алгебры

Булева алгебра может быть определена как тип алгебры, который выполняет логические операции над двоичными переменными. Эти переменные дают истинностные значения, которые могут быть представлены как 0, так и 1. Основными логическими операциями являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Логические операторы И, ИЛИ и НЕ используются для представления этих операций соответственно. Более того, эти операции аналогичны пересечению, объединению и дополнению множеств в теории множеств. Вот некоторые из правил булевой алгебры:

• Любая используемая переменная может иметь только два значения. Двоичный 1 для HIGH и двоичный 0 для LOW.
• Каждая дополнительная переменная представлена ​​чертой сверху, т. е. дополнение переменной B представлено как B¯. Таким образом, если B = 0, то B¯= 1 и B = 1, то B¯= 0,
• Переменные с ИЛИ представлены знаком плюс (+) между ними. Например, OR для A, B, C представляется как A + B + C.
• Две или более переменных с логическим И представлены точкой между ними, например, A.B.C. Иногда точка может быть опущена, как ABC.

Давайте рассмотрим пример,

Предположим, у нас есть две переменные A = 1 и B = 0. Мы должны выполнить операцию И. Логическое выражение может быть представлено как A.B = 1.0 = 0.

Если мы должны выполнить логическую операцию ИЛИ, то логическое выражение задается как A + B = 1 + 0 = 1.

Если мы применим операцию НЕ к обе входные переменные, тогда мы получаем \(\overline{A}\) = 0 и \(\overline{B}\) = 1.

Выражение булевой алгебры

Выражения булевой алгебры — это операторы, в которых используются логические операторы, такие как И, ИЛИ, НЕ, XOR и т. д. Эти логические операторы могут иметь только два выхода: истина или ложь. В цифровых схемах и логических элементах «1» и «0» используются для обозначения входных и выходных условий. Например, если мы напишем A ИЛИ B, это станет логическим выражением. Существует множество законов и теорем, которые можно использовать для упрощения выражений булевой алгебры, чтобы оптимизировать вычисления, а также улучшить работу цифровых схем.

Булевы алгебраические операции

Существуют три основные операции булевой алгебры. Это конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Логические операторы, эквивалентные этим операциям, приведены ниже.

• Оператор И: Аналогичен конъюнкции. В логическом выражении «•» используется для представления оператора И. Этот оператор возвращает истину тогда и только тогда, когда все входные операнды истинны.
• Оператор ИЛИ: Этот оператор эквивалентен дизъюнкции. В логическом выражении символ «+» используется для обозначения оператора ИЛИ. Оператор возвращает истину тогда и только тогда, когда истинны один или несколько входных операндов.
• Оператор НЕ: Этот логический оператор сравним с отрицанием. Оператор НЕ возвращает значение true, если входная переменная имеет значение false. Точно так же, если входная переменная ложна, она возвращает истину. Надчеркивание переменной используется для представления этого оператора.

Законы булевой алгебры

Булева алгебра в основном используется для упрощения логических схем. Применяя законы булевой алгебры, мы можем упростить логическое выражение и уменьшить количество логических элементов, которые необходимо использовать в цифровой схеме. Некоторые из важных законов булевой алгебры приведены ниже:

Распределительный закон

Распределительный закон гласит, что если мы выполним операцию И над двумя переменными и ИЛИ результата с другой переменной, то это будет равно И для ИЛИ третьей переменной с каждой из первых двух переменных. Логическое выражение задается как

A + B.C = (A + B) (A + C)

Таким образом, ИЛИ распределяет по И

Если мы ИЛИ две переменные, то И их результат с другой переменной, то это значение будет равно к ИЛИ И третьей переменной с двумя другими переменными. Это дается:

A .(B+C) = (A.B) + (A.C)

Следовательно, И распределяется по ИЛИ.

Ассоциативный закон

Согласно ассоциативному закону, если более чем две переменные соединены по ИЛИ или по И, то порядок группировки переменных не имеет значения. Результат всегда будет одинаковым. Выражения задаются следующим образом:

A + (B + C) = (A + B) + C

A.(B.C) = (A.B).C

Коммутативный закон

Коммутативный закон утверждает, что если мы поменяем местами порядок операндов (И или ИЛИ) результат логического уравнения не изменится. Это можно представить следующим образом:

A + B = B + A

A.B = B.A

Закон поглощения

Закон поглощения связывает двоичные переменные и помогает сократить сложные выражения за счет поглощения одинаковых переменных. Есть 4 утверждения, подпадающие под действие этого закона:

• A + A.B = A
• А (А + В) = А
• А + А.В = А + В
• А.(А + В) = А. В

Существуют некоторые свойства и тождества булевой алгебры, которые задаются следующим образом:

• А + 1 = 1
• А + 0 = А
• А . 1 = А
• А . 0 = 0
• А + А = А
• А . А = А
• \(\overline{\overline{A}}\) = А
• А + \(\overline{A}\) = 1
• А . \(\overline{A}\) = 0

Теоремы булевой алгебры

Одной из важнейших теорем булевой алгебры является теорема Де Моргана. Эта теорема состоит из двух утверждений, которые помогают связать операторы И, ИЛИ и НЕ. Два утверждения даны следующим образом:

• Когда две переменные объединяются по И и инвертируются, результат равен ИЛИ каждой инвертированной входной переменной. Логическое выражение: \(\overline{A.B}\) = \(\overline{A}\) + \(\overline{B}\).
• Когда две переменные объединены по ИЛИ и инвертированы, это будет равно И для каждой инвертированной входной переменной. Это определяется как \(\overline{A + B}\) = \(\overline{A}\). \(\overline{B}\)

Постулаты булевой алгебры

Постулаты булевой алгебры — это не законы или теоремы, а истинные утверждения. Этими постулатами являются четыре возможных логических операции ИЛИ и логическое И, а также правила, которым следует оператор НЕ. Ниже приведены постулаты булевой алгебры:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1
• 0 . 0 = 0
• 0 . 1 = 0
• 1 . 0 = 0
• 1 . 1 = 1
• \(\overline{1}\) = 0
• \(\overline{0}\) = 1

Булева алгебра и логические элементы

Логический элемент является строительным блоком любой цифровой схемы. Эти логические элементы должны принимать решение об объединении различных входных данных в соответствии с некоторой логической операцией и создавать выходные данные. Логические элементы выполняют логические операции на основе булевой алгебры. Предположим, у нас есть два входа A и B. Пусть выход будет R. Тогда ниже приведены различные типы и символы логических элементов.

И ворота — R = A.B будет логическим выражением. R будет истинным, если оба A и B истинны.

Элемент ИЛИ — логическое уравнение R = A + B. Здесь R будет истинным, если любой из входов A ИЛИ B верен.

вентиль НЕ — также известен как инвертор, а логическое уравнение — R = \(\overline{A}\). Это означает, что вывод истинен только в том случае, если ввод ложен.

вентиль И-НЕ — Это тоже ворота НЕ-И. R = \(\overline{A.B}\) — логическое уравнение. Выход R НЕ будет истинным, если оба A И B верны.

Вентиль ИЛИ — Операция НЕ-ИЛИ приводит к вентилю ИЛИ-НЕ. R = \(\overline{A + B}\) обозначает логическое уравнение и подразумевает, что R истинно, если A и B НЕ истинны.

EX — ворота ИЛИ — Это ворота исключающего ИЛИ. Его можно создать, используя комбинацию вышеупомянутых ворот. R = A ⊕ B — логическое выражение. Это означает, что R истинно, только если истинно либо A, либо B.

EX — вентиль ИЛИ-НЕ — логическое уравнение вентиля исключающее ИЛИ-ИЛИ задается как R = \(\overline{A ⊕ B}\). Это означает, что R истинно, только если оба входа либо истинны, либо ложны.

Таблица истинности булевой алгебры

Таблица истинности булевой алгебры может быть определена как таблица, которая сообщает нам, верно ли логическое выражение для указанных входных переменных. Такая таблица истинности будет состоять только из бинарных входов и выходов. Ниже приведены таблицы истинности для различных логических вентилей.

И ворота

А	Б	Р = А.Б.
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Ворота ИЛИ

А	Б	Р = А + В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

НЕ ворота

А	R = \(\overline{A}\)
1	0
0	1

вентиль И-НЕ

А	Б	R = \(\overline{A. B}\)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Ворота NOR

A	Б	R = \(\overline{A + B}\)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Ворота EX-OR

A	Б	Р = А ⊕ В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Ворота EX — NOR

A	Б	R = \(\overline{A ⊕ B}\)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Связанные статьи:

• Наборы
• Калькулятор булевой алгебры
• Дополнение к набору
• Пересечение набора

Часто задаваемые вопросы по булевой алгебре

Что понимается под булевой алгеброй?

Булева алгебра — это тип алгебры, в котором входные и выходные значения могут быть только истинными (1) или ложными (0). Булева алгебра использует логические операторы и используется для построения цифровых схем.

Что такое правила булевой алгебры?

Основные правила булевой алгебры:

• Любая используемая переменная может иметь только два значения. Двоичный 1 для HIGH и двоичный 0 для LOW.
• Каждая дополнительная переменная представлена ​​чертой сверху, т. е. дополнение переменной B представлено как B¯. Таким образом, если B = 0, то B¯= 1 и B = 1, то B¯= 0,
• Переменные с ИЛИ представлены знаком плюс (+) между ними. Например, OR для A, B, C представляется как A + B + C.
• Две или более переменных с логическим И представлены точкой между ними, например, A.B.C. Иногда точка может быть опущена, как ABC.

Что такое законы булевой алгебры?

Есть четыре основных закона булевой алгебры. Это дистрибутивное право, ассоциативное право, коммутативное право и абсорбционное право. Когда мы упрощаем логическое выражение, эти законы широко используются.

Каковы тождества булевой алгебры?

Важные тождества булевой алгебры приведены ниже:

• A + 1 = 1
• А + 0 = А
• А . 1 = А
• А . 0 = 0
• А + А = А
• А . А = А
• \(\overline{\overline{A}}\) = А
• А + \(\overline{A}\) = 1
• А . \(\overline{A}\) = 0

Как вы занимаетесь булевой алгеброй?

При решении выражения булевой алгебры самое главное помнить законы булевой алгебры, теоремы и связанные с ними тождества. Нам нужно последовательно применять эти правила до тех пор, пока выражение нельзя будет упростить дальше, чтобы получить наш ответ.

Что такое распределительный закон в булевой алгебре?

Закон дистрибутивности в булевой алгебре содержит два утверждения. Два утверждения выглядят следующим образом:

• ИЛИ распределяет по И [A + B.C = (A + B) (A + C)].
• И распределяется по ИЛИ [A .(B+C) = (A.B) + (A.C)]

Что такое закон поглощения в булевой алгебре?

Уравнения булевой алгебры для закона поглощения, которые помогают связать одинаковые переменные, выглядят следующим образом:

• A + A. B = A
• А (А + В) = А
• А + А.В = А + В
• А.(А + В) = А.В

Как упростить выражения булевой алгебры?

Мы можем упростить выражения булевой алгебры, используя различные теоремы, законы, постулаты и свойства. В случае цифровых схем мы можем выполнить пошаговый анализ выхода каждого вентиля, а затем применить правила булевой алгебры, чтобы получить максимально упрощенное выражение.

Каковы свойства булевой алгебры?

Булева алгебра имеет три основных свойства, а именно:

• Коммутативное свойство сложения и умножения: Порядок переменных может быть изменен на обратный без изменения истинности выражения, т. е. A + B = B + A и AB = BA
• Ассоциативное свойство сложения и умножения: умноженные и добавленные переменные вместе со скобками могут быть изменены без изменения истинности выражения, т. Е. A + (B + C) = (A + B) + C и A (BC) = (AB) C
• Распределительное свойство: выражение, образованное произведением суммы при расширении и переворачивании, показывает, как члены могут быть факторизованы, т. е. A(B + C) = AB + BC

Примеры булевой алгебры — Electronics-Lab.com

Примеры булевой алгебры

В предыдущих статьях было показано, что цифровой логический вентиль и цифровая схема могут быть представлены логическим выражением и таблицей истинности . Логическое выражение состоит из ряда переменных, представляющих входные и выходные данные, которые обычно обозначаются буквой «Q». Входы и выходы имеют булев логический тип данных, то есть либо «0», либо «1». В Таблице истинности перечислены выходные данные логического элемента или цифровой схемы для всех возможных комбинаций входных данных. Используя булеву алгебру и законы булевой алгебры, можно сократить сложные цифровые логические схемы.

Идентификация и замена ненужных логических элементов приводит к экономии места, затрат и энергии. Процесс редукции сложной цифровой логической схемы может иметь несколько путей в зависимости от применения законов, теорем и т. Д. Однако пути редукции должны давать аналогичную и простейшую схему, если булева алгебра и законы применяются правильно.

В этой статье несколько цифровых логических схем уменьшены с использованием булевой алгебры и законов. Процесс редукции был объяснен, а также даны таблицы истинности, чтобы облегчить объяснение и процесс редукции.

Булева алгебра, пример № 1

На следующем рисунке показана цифровая логическая схема. Схема состоит из трех вентилей И и двух вентилей ИЛИ. В общей сложности пять логических элементов необходимы для создания желаемой логической функции. В этом примере желаемая логическая функция сокращается путем применения законов и теорем булевой алгебры.

Рисунок 1: Цифровая логическая схема примера № 1

Шаги, связанные с преобразованием логического выражения, следующие:

AB + BC(B+C)

Применение распределительного закона

AB + BBC + BCC

Применение закона тождества (AA=A) ко 2-му и 3-му срокам

AB +

BC Применение закона тождества (A + A = A) ко 2-му и 3-му членам

AB + BC

Удаление общего B

B(A+C)

Сокращенное выражение B(A+C) дает тот же логический вывод, что и у исходного выражения. Таблица истинности исходного логического выражения, а также сокращенного выражения (красный) показана ниже:

Сокращенное выражение требует только двух логических элементов, т. е. элементов И и ИЛИ. Сокращение в три элемента было достигнуто путем применения законов булевой алгебры к сложному выражению. Упрощенная логическая схема показана на следующем рисунке.

Рис. 2: Решение примера № 1

Булева алгебра, пример № 2

На следующем рисунке показана еще одна цифровая логическая схема.

Рисунок 3: Цифровая логическая схема из примера № 2

Данная цифровая схема состоит всего из трех логических элементов, т. е. И-НЕ, исключающее ИЛИ и исключающее ИЛИ. Эта цифровая схема сокращается путем построения таблицы истинности. Затем построенная таблица истинности анализируется, чтобы определить единую логику для замены вывода. 2-вход дает четыре комбинации и прост в построении. Для таких типов цифровых схем метод таблицы истинности более осуществим. Следующая таблица легко строится, зная таблицу истинности отдельных вентилей. Выход «C», «D» и «Q» соответствует NAND, XOR и XNOR соответственно. Выходы «C» и «D» становятся входом вентиля XNOR.

Сгенерированная таблица истинности показана ниже:

 

Выход цифровой логической схемы имеет значение «ВЫСОКИЙ», когда любой из входов «А» или «В» имеет значение «ВЫСОКИЙ». Это выражение или вывод задается цифровым логическим элементом ИЛИ. Следовательно, данная схема с тремя логическими элементами может быть сведена к одному элементу ИЛИ с входами «А» и «В». Упрощенная логическая схема с тем же выходом, что и исходная цифровая схема, показана ниже:

 

Рис. 4: Решение примера № 2

Булева алгебра, пример № 3

На следующем рисунке показана другая логическая схема.

Рисунок 5: Цифровая логическая схема из примера № 3

Цифровая логическая схема содержит три логических элемента, т. е. И, ИЛИ-НЕ и ИЛИ. Выход NOR преобразуется в произведение инвертированного индивидуального входа. Конечный результат вентиля ИЛИ, который является функцией всей логической схемы, становится эквивалентным функции логики исключающее ИЛИ. Следовательно, данная цифровая логическая схема с тремя вентилями может быть заменена одним вентилем исключающего ИЛИ-вентиля.

Техника таблицы истинности также была принята для получения эквивалента одного вентиля. Таблица истинности была построена и показана ниже:

 

Конечный выход схемы «Q» эквивалентен выходу вентиля исключающее ИЛИ-НЕ. Таблица истинности также идентифицирует Exclusive-NOR как одноступенчатый эквивалент данной логической схемы. Вентиль Exclusive-NOR (XNOR) с двумя входами «A» и «B» показан на следующем рисунке.

Рисунок 6: Решение примера № 3

Булева алгебра, пример № 4

В последнем примере упрощена более сложная цифровая логическая схема, состоящая из шести логических элементов. Логическая схема, которую нужно уменьшить, показана ниже.

Рисунок 7: Цифровая логическая схема примера № 4

Используя цифровую логическую схему, было получено логическое выражение на каждом этапе, и таблица истинности была построена с использованием этих логических выражений для каждой возможной комбинации входных данных.