Примеры действий над комплексными числами: Примеры действий над комплексными числами

Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение Самарской области

«Новокуйбышевский нефтехимический техникум»

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка учебного занятия

 

Тема раздела «Комплексные числа»

Тема занятия «Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме»

Специальность СПО 18.02.06 Химическая технология органических веществ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г.о. Новокуйбышевск, 2020

 

 «Комплексные числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме»: методическая разработка занятия (урока) – Новокуйбышевск: ГАПОУ СО «ННХТ», 2020. — с.12

 

 

Разработчик: Позднякова Е.И., преподаватель ГАПОУ СО «ННХТ»

Рецензент: Кирдишева Н.В.., председатель ПЦК ГАПОУ СО «ННХТ»

 

 

Методическая разработка предназначена для преподавателей учебных заведений системы СПО.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© ГАПОУ СО «ННХТ», 2020г.

 

Пояснительная записка

В данной методической работе представлена методическая разработка занятия математики для студентов СПО по теме «Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме».

Прочные знания по математике можно приобрести лишь усвоив основной теоретический материал и решив достаточное количество упражнений на его применение. Важны чёткая постановка задач и примеров, обоснованность и полнота их решения, подтверждение правильности ответов.

В математике, а также в физике, электротехнике, механике помимо действительных чисел используются числа более общей природы, которые называются комплексными числами.

С понятием «комплексные числа» студенты встречаются впервые, для них это совершенно новые понятия.

Материал разработки ориентирован на обобщение, повторение и систематизацию знаний, на основательную подготовку к выполнению практической работы, контрольной работы.

В методической разработке предусмотрены следующие методы и приёмы: повторение, репродуктивный диалог, решение упражнений. Предусмотрен контроль знаний: фронтальный опрос, самостоятельная работа, индивидуальный опрос. Данная методическая разработка поможет преподавателям математики при проведении обобщающего занятия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебный предмет: ОУП.04  Математика

Тема: «Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме»

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Длительность: 80 минут.

Цель занятия: Ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами в алгебраической форме.

Задачи занятия:

—       Образовательные: обобщить знания и закрепить навыки решения примеров, углубить знания и совершенствовать умения при переводе комплексных чисел из одной формы записи в другую, рассмотреть решение уравнений, способствовать формированию правильной математической речи;

—       Развивающие: развивать культуру математической речи, интереса и внимания; развивать  пространственное мышление, пространственную абстракцию.

—       Воспитательные: воспитывать активность,  самостоятельность, интерес к предмету; показать красоту и необычайность математики.

Формирование общих компетенций:

ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Используемые образовательные технологии: дифференцированное обучение, технология сотрудничества.

Материалы и оборудование: компьютер, презентация Power Point, проектор, рабочие листы.

 

Учебные пособия:

1.     Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1 — М.: ООО «Мир и образование», 2018. – 304 с.

2.     Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.2 — М.: ООО «Мир и образование», 2018. – 416 с.

3.      Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2017. — 240 с.

 

Этапы учебного занятия:

1. Организационный этап: 3 минуты.

2. Постановка цели и задач. Мотивация учебной деятельности: 4 минуты.

3. Актуализация знаний: 3 минуты.

4. Первичное усвоение знаний: 30 минут.

5. Первичная проверка понимания: 10 минут.

6. Первичное закрепление: 20 минут.

7. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция: 5 минут.

8. Рефлексия: 3 минуты.

9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению: 2 минуты.

 

Ход учебного занятия:

 

1.     Организационный этап

 

(Слайд 2)

Добрый день, уважаемые студенты! Хочется начать наше занятие со следующих слов

Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

Платон

 

2.     Постановка цели и задач. Мотивация учебной деятельности.

 

Введем понятие комплексного числа и мнимой единицы. Научимся извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

 

 

 

3.      Актуализация знаний

 

(Слайд 3)

Сегодня мы с вами повторим множества — множество натуральных чисел, множество целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел.

 

(Слайд 4)

1) Что такое число?

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.

2) Когда возникли числа?

Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

3) Какие виды чисел вам известны?

Натуральные, целые, рациональные, действительные

А) Как появились натуральные числа?

Их появление связано с  необходимостью ведения счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой  N ={1,2,3,….}

 

(Слайд 5)

Б) Как появились целые числа?

Чтобы любое уравнение x+a=b  имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Человек пришел к выводу, что  необходимо расширение понятия числа.

Множество целых чисел состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0. Целые числа обозначаются латинской буквой  Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3,….}.

 

(Слайд 6)

В) Как появились рациональные числа?

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение a*x = b было разрешимо т.к. в области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда

b делится нацело на a.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. В качестве примеров рациональных чисел можно привести: ,,.

 

(Слайд 7)

Г) Как появились действительные числа?

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с тем,  чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Известно, что она равна  .

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой  R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это,,.

 

(Слайд 8)

Вывод: Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание:  .     Его можно  проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

 

4.     Первичное усвоение знаний

(Слайд 10)

Кроме привычных действительных (буквально – «реально существующих») чисел нам приходится рассматривать еще числа вида , где  – положительное действительное число. Что это за числа, как их «потрогать руками» – все это вопросы, не имеющие ответа. Мы просто договорились считать, что они есть. И вполне естественно, что такие числа были названы в 1637 г. французским математиком Декартом мнимыми, т.е. «нереальными».

 

(Слайд 11)

Число , играющее роль «строительного блока» в мире мнимых чисел, называют мнимой единицей.

(Слайд 12)

В 1777 г. Л. Эйлер, предложил использовать первую букву французского слова (imaginare) – мнимый для обозначения числа  (мнимой единицы).

(Слайд 13)

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К.Гауссу. Термин «комплексные числа» также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

(Слайд 14)

А теперь сформулируем определение комплексного числа:

(Слайд 15)

Комплексным числом z называется число вида z = a+bi, где a и b – действительные числа, i –мнимая единица. Число a называется действительной частью (Re z) комплексного числа z, число b называется мнимой частью (Im z) комплексного числа z.

z = a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение

(Слайд 16)

Студенты записывают определение и формулы в тетрадь.

 

Определение: Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице.

z₁ = a₁+b₁i   и    z₂ = a₂+b₂i

z₁ = z₂       a₁+b₁i  = a₂+b₂i , если   a₁= a₂,  b₁= b₂

 

Равенство комплексного числа нулю:

z = a+bi=0, если a=0, b=0

(Слайд 17)

Определение: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются только знаками коэффициента при мнимой единице.

z = a + bi          z = a — bi

Определение: Два комплексных числа называется противоположными, если они в сумме дают нуль.

 (Слайд 18)

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение комплексных чисел

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части

 z₁+ z₂ = (a₁+b₁i)+ (a₂+b₂i)=( a₁₊ a₂) +(b₁+ b₂)* i

Вычитание комплексных чисел

Для того чтобы вычесть из одного комплексного числа другое, нужно вычесть действительные и мнимые части соответственно

  z₁ — z₂ = (a₁+b₁i) — (a₂+b₂i)=( a₁₊ a₂) — (b₁+ b₂)* i

(Слайд 19)

Умножение комплексных чисел

Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что

 i² = -1.

z₁* z₂ = (a₁+b₁i) * (a₂+b₂i)

Деление комплексных чисел

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение

z₁ / z₂= z₁* z₂ /z₂* z₂=(a₁+b₁i) * (a₂-b₂i) / (a₂+b₂i) * (a₂-b₂i)

 

5. Первичная проверка понимания

(Слайд 20)

Рассмотрим примеры

Пример 1

Сложить два комплексных числа  z₁=2+5i  z₂=4-3i, z=6+2i

Пример 2

Найти разности комплексных чисел и, если,  z₁=10-25i  z₂=1-3i

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z =10-25i  — (1-3i) = 9-22i

(Слайд 21)

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел   z₁=1- i    z₂=3+6i   Ответ: z=9+3i

Пример 4

Найти   =

(Умножаем  числитель и знаменатель на  (4 — i)

 

(Слайд 22)

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

ax² + bx + c = 0

1 cлучай: D>0, 2 корня, х_1,2=

                                        2 случай D=0, 1 коре нь, х=

3 cлучай: D<0, 2 корня, х_1,2=

(Слайд 23)

1. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:   2+i, 2-i

 

2. Решите уравнение x² – x + 10 = 0.

Решение. D = – 39 < 0, , уравнение имеет мнимые корни:  

 

 

6. Первичное закрепление

 

(Слайд 24)

 

Решить самостоятельно

Пример 1

Сложить два комплексных числа: z₁=-4+10i    z₂=5+3i   Ответ: z =1+13i

Пример 2

Найти разности комплексных чисел:  z₁=-5+10i    z₂=1+3i   Ответ: z = -6+7i

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел:   z₁=5-2i    z₂=1-4i   Ответ: z=-3-22i

Пример 4

Найти   

(Слайд 25)

Решите уравнения:

1. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0.

Решение. D = – 36 < 0, уравнение имеет мнимые корни:   2+3i, 2-3i

 

2. Решите уравнение x² – 2x + 15 = 0.

Решение. D = – 56 < 0, , уравнение имеет мнимые корни:  

 

7. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

Преподаватель смотрит работы нескольких студентов, выполнявших разные упражнения. Выделяет ошибки, если они есть. Даёт объяснение студентам.

— Какие сложности у вас возникли при выполнении упражнений?

 

8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

(Слайд 26)

1. Даны два комплексных числа z₁= (4 + 2i )  и  z₂=(1 – 3i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.

2. Даны два комплексных числа z₁= (5 + 2i ) и  z₂=(2 – 5i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.

3. Решить уравнения:

1. х² + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;

2. х² + (1 – 2i) х – 2i = 0;

 

 

9. Рефлексия.

(Слайд 27)

1. Как вы оцениваете свою работу на занятии?

—       Мне больше всего удалось…

—       Для меня было открытием то, что …

—       За что ты можешь себя похвалить?

—       Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

—       Мои достижения на уроке

 

(Слайд 28)

2. Подберите выражение (их может быть несколько), которое характеризует вашу работу на занятии

 

НА УРОКЕ Я:

—       ВКЛАДЫВАЛ ДУШУ

—       ПРОСИЖИВАЛ ШТАНЫ

—       ХЛОПАЛ УШАМИ        

—       РАБОТАЛ НЕ ПОКЛАДАЯ РУК           

—       ШЕВЕЛИЛ МОЗГАМИ         

—       РАБОТАЛ ТЯП-ЛЯП             

—       СЧИТАЛ ВОРОН

—       РАБОТАЛ В ПОТЕ ЛИЦА

—       СЛЫШАЛ КРАЕМ УХА

—       СТАРАЛСЯ ИЗО ВСЕХ СИЛ              

—       БИЛСЯ КАК РЫБА ОБ ЛЁД

 

 

СПАСИБО ЗА УРОК!

07.

4. Действия над комплексными числами

 

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами (см. формулы (7.3), (7.4), (7.6), (7.7)) следует, что

(7.14)

(7.15)

(7-16)

(7.17)

Формула (7.14) определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула (7.15) означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Отметим, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженныхчисел Являются действительными числами:

Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами. Если

— любые комплексные числа, то верны следующие равенства:

ПолагаяВ формуле (7.17), получаем

(7.18)

Формулой (7. 18) определяется число, обратное комплексному числу

Натуральные степени мнимой единицы < принимают лишь четыре значения: Определяемые формулами

(7.19)

Где

При возведении комплексного числа а = а+ Ы в степень и (я — натуральное число) пользуются формулой бинома Ньютона:

(а+Ы)» = а» + па»-‘(Ы)+П дв-2(Ы)2 +

+ —V. а”~\ьО3 + — +(&’)»•  (7-20)

В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам (7.19) и приводят подобные члены, в результате получают Некоторое комплексное число с+<Л.

Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу:

Т! а+Ы = и+ы, если (и+п)2 =а+Ьй  (7-21)

Числа и и V определяются из равенств

И2 = (о + у1а2+Ь2)/г, V =(-а + 4а2+Ь2 )Д,  (7.22)

% *

Причем и и V будут действительными, так как при любых а и Ъ выражения <з + >/<а2 +Ь2 и — а+у! а2 +Ь2 являются положительными. Знаки и и V выбирают так, чтобы выполнялось равенство 2т> = Ь. Извлечение квадратного корня из комплексного числа а+Ы всегда возможно и дает два значения и, + «V,, щ + г»г, различающихся лишь знаком.

Пример 7.1. Даны два комплексных числа 5+/ и 2+3/. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

В соответствии с формулами (7.14) — (7.17) получаем

(5+/)+(2+3/)у (5+2)+(1 + 3)/=7+4/,

(5+/) — (2+3») = (5 — 2)+(1 — 3) / = 3 — 2/,

(5+/)(2+3/) = 10+15/+2/+3/2 = 7+17/,

5+/ _ (5+/)(2-3/) __ 10—15/+2/-3/2 = 13-13/ _ .

2+3/ (2+3/)(2-3/) 4 — 9/2  13  *’

Пример 7.2. Возвести в указанные степени данные комплексные числа:

(3+4/)2, (1 + 2/)3, (2+04-

Применяя формулы (7.19) и (7.20) при л = 2, и=3, л = 4, получаем

¦ (3+4/)2 =32 +2-12/+(4/)2 = 9+24/+16/2 =-7+24/,

(1+2/)3 =1+6/+12/2 +8/3 =1+6/—12—8*=—11 — 2/,

(2+/)4 =24 +4-23»’+6-4/2 +4-2/3 +/4 =16+32*—24—8/+1 =-7+24/.

Пример 7.3. Извлечь корень квадратный из числа ОбозначимПоскольку в данном случаеТо

Формулы (7.22) примут вид

Так какПолучено два значения

Кория:

Пример 7.4. Найти значение выраженияПри

Поскольку

Пример 7.5. Показать, что комплексное числоЯвляется корнем

Уравнения

Так какТо

— корень уравнения.

< Предыдущая		Следующая >

Алгебраические операции над комплексными числами | Класс 11 Математика

A Комплексное число — это число, которое может быть выражено в форме a + bi , где a и b — действительные числа, а i представляет собой мнимую единицу, удовлетворяющую уравнению i² = −1 . Например, 5+6i — комплексное число, где 5 — действительное число, а 6i — мнимое число. Следовательно, комбинация действительного и мнимого чисел является комплексным числом. Может быть четыре типа алгебраических операций над комплексными числами, которые упомянуты ниже. Четыре операции над комплексными числами включают:

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление

Сложение комплексных чисел 

Чтобы сложить два комплексных числа, просто сложите соответствующие действительные и мнимые части.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Примеры:  

• (7 + 3i) + (6 + 3i) )  = (7 + 6) + (8 + 3)i = 13 + 11i
• (2 + 5i) + (13 + 7i) = (2 + 13) + (7 + 5)i = 15 + 12i
• (-3 – 6i) + (-4 + 14i) = (-3 – 4) + (-6 + 14)i = -7 + 8i
• (4 – 3i ) + ( 6 + 3i) = ( 4+6) + (-3+3)i = 10
• (6 + 11i) + (4 + 3i) = (4 + 6) + (11 + 3)i = 10 + 14i

Вычитание Комплексные числа 

Чтобы вычесть два комплексных числа, просто вычтите соответствующие действительные и мнимые части.

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

) = (6 – 3) + (8 – 4)i = 3 + 4i

(7 + 15i) – (2 + 5i) = (7 – 2) + (15 – 5)i = 5 + 10i

(-3 + 5i) – (6 + 9i) = (-3 – 6 ) + (5 – 9)i = -9 – 4i

(14 – 3i) – (-7 + 2i) = (14 – (-7)) + (-3 – 2)i = 21 – 5i

(-2 + 6i) – (4 + 13i) = (-2 – 4) + (6 – 13)i = -6 – 7i

Умножение двух комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел равно как умножение двух двучленов. Предположим, нам нужно перемножить a + bi и c + di. Будем умножать их почленно.

(а + bi) * (c + di) = (a + bi) * c + (a + bi) * di

                             (a ∗ d)i + b ∗ d ∗ −1)

                              = (a ∗ c − b ∗ d + i(b ∗ c + a ∗ d))   

Example 1 :  Multiply ( 1 + 4i) и (3 + 5i).

(1 + 4i) * (3 + 5i) = (3 + 12i) + (5i + 20i ² )

                            = 3 + 17i − 90 9000

                          = −17 + 17i

Примечание: Умножение комплексных чисел на действительные или чисто мнимые числа может быть выполнено таким же образом.

Пример 2: Умножьте 5 и (4 + 7i).

5 ∗ (4 + 7i) можно рассматривать как (5 + 0i) ∗ (4 + 7i)

= 5 ∗ (4 + 7i)

= 20 + 35i

Пример 3: Умножьте 3i и (2 + 6i).

3i ∗ (2 + 6i) можно рассматривать как (0 + 3i) ∗ (2 + 6i)

= 3i ∗ (2 + 6i)

= 6i + 18i ²

= 6i — 18

                                                       = −18 + 6i   

  

Пример 4: Умножьте (5 + 3i)  и  (3 + 4i).

(5 + 3i) ∗ (3 + 4i) = (5 + 3i) ∗ 3 + (5 + 3i) ∗ 4i

= (15 + 9i) + (20i + 12i ² )

= (15 − 12) + (20 + 9)i

                        = 3 + 29i  

Обзор сложения, вычитания и умножения комплексных чисел

1. (a + di) = (a + di) в) + (b + d)i
2. (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
3. (a + bi) ∗ (c + di) = ((a ∗ c − b ∗ d) + (b ∗ c + a ∗ d)i)

В любых двух комплексных числах, если только знак мнимой части различны, то они известны как комплексно-сопряженные друг другу. Таким образом, сопряженным комплексным числом a + bi будет a – bi.

Какая польза от комплексного сопряжения?

Таким образом, мы можем заметить, что умножение комплексного числа на его сопряженное дает нам действительное число. Таким образом, деление комплексных чисел возможно путем умножения числителя и знаменателя на комплексно-сопряженное число знаменателя.

Examples of Complex Conjugates  

Properties of Complex Conjugates

Property 1:

Property 2:

Property 3:

Property 4:

Свойство 5:

Деление двух комплексных чисел

Деление комплексных чисел осуществляется путем умножения числителя и знаменателя на комплексное сопряжение знаменателя.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

9000. Форма

В этом объяснителе мы научимся выполнять вычисления с комплексными числами в полярной форме.

Напомним, что при умножении пары комплексных чисел в декартовой форме мы можем упростить полученное комплексное число в декартову форму путем умножения через круглые скобки и собирая действительную и мнимую части отдельно. Также, когда мы разделить пару комплексных чисел в декартовой форме, мы можем сделать знаменатель дроби действительным, умножив верхнее а внизу дроби комплексно-сопряженным знаменателем. Затем мы можем умножить через скобки и собрать действительную и мнимую части отдельно, чтобы выразить полученное комплексное число в декартовой форме.

Этот процесс намного проще, если мы понимаем полярную форму комплексных чисел, когда мы используем свойства умножения и деление комплексных чисел по отношению к модулю и аргументу комплексных чисел. В этом объяснителе мы докажем отношения между умножением/делением комплексных чисел и их аргументами и модулями с использованием полярных форм. Мы начните с напоминания полярной формы комплексного числа.

Определение: полярная форма комплексного числа

Ненулевое комплексное число 𝑧 с модулем |𝑧|=𝑟 и аргументом arg𝑧=𝜃 можно выразить в полярной форме как 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Напомним, что мы можем преобразовать декартову форму комплексного числа в полярную, вычислив его модуль и аргумент. Мы также можем преобразовать полярную форму комплексного числа в декартову форму путем умножения через круглые скобки и вычисление тригонометрических соотношений.

Давайте начнем с демонстрации связи в контексте умножения комплексных чисел.

Теорема: умножение комплексных чисел в полярной форме

Пусть 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin и 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin — ненулевые комплексные числа. Затем их произведение 𝑧𝑧 в полярная форма записывается как 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)). косин

Докажем эту теорему. Произведение 𝑧 и 𝑧 записывается как fult скобки, получаем 𝑧𝑧=𝑟𝑟𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃.coscossossincossinsin

Используя 𝑖=−1 и собрав действительные и мнимые члены, мы имеем

𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 ((𝜃𝜃 — 𝜃𝜃)+𝑖 (𝜃𝜃+𝜃𝜃)). для функций синуса и косинуса: coscoscossinsinsinsincossin(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵−𝐴𝐵,(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵+𝐴𝐵. Мы можем применить формулу суммирования косинуса к действительной части и формулу суммирования синуса к мнимой части внутри скобки уравнения (1). Тогда мы можем переписать 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).коссин Это доказывает теорему. В нашем первом примере мы применим эту теорему для умножения двух комплексных чисел в полярной форме. Пример 1. Умножение комплексных чисел в полярной форме Учитывая, что 𝑧=2𝜋6+𝑖𝜋6косинус 𝑧=1√3𝜋3+𝑖𝜋3косин, найти 𝑧𝑧. Ответ Напомним, что для пары ненулевых комплексных чисел 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косинус и 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)коссин, произведение равно 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)). коссин Нам дана полярная форма комплексных чисел 𝑧 и 𝑧. Из заданной полярной формы мы можем получить 𝑟=2 и 𝜃=𝜋6 для 𝑧, а 𝑟=1√3 и 𝜃=𝜋3. Подставляя эти значения в формула, мы имеем 𝑧𝑧=2√3𝜋6+𝜋3+𝑖𝜋6+𝜋3.косинус Рационализируя знаменатель и суммируя дроби, имеем 𝑧𝑧=2√33𝜋2+𝑖𝜋2.косинус В предыдущем примере мы вычислили произведение двух комплексных чисел в полярной форме. Отметим, что этот процесс проще чем умножение комплексных чисел в декартовой форме, которое включало бы умножение через круглые скобки и собирая действительные и мнимые члены. Рассмотрим полярную форму продукта 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).cossin Из этой полярной формы видно, что модуль произведения 𝑧𝑧🟧 равен , который является произведением модулей 𝑧 и 𝑧. Кроме того, аргумент произведения 𝑧𝑧 является суммой аргументов 𝑧 и 𝑧. Это приводит к следующий факт. Факт: связь между произведением комплексных чисел и их модулями и аргументами Для любой пары ненулевых комплексных чисел 𝑧 и 𝑧 имеем |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,(𝑧𝑧)=𝑧+𝑧. аргаргарг В следующем примере мы применим этот факт для нахождения модуля произведения двух комплексных чисел. Пример 2. Умножение комплексных чисел в полярной форме что 𝑍𝑍? Ответ Напомним, что для любой пары ненулевых комплексных чисел 𝑍 и 𝑍 |𝑍𝑍|=|𝑍||𝑍|,(𝑍𝑍)=𝑍+𝑍.argargarg В этом примере нам даны комплексные числа 𝑍 и 𝑍 в полярной форме. Напомним, что ненулевое комплексное число 𝑧 имеет полярную форму 𝑧=|𝑧|((𝑧)+𝑖(𝑧)).косаргсинарг Из данной полярной формы мы можем видеть, что |𝑍|=7 и |𝑍|=16, что означает |𝑍𝑍|=|𝑍||𝑍|=7×16=112. Мы также можем видеть, что arg𝑍=𝜃 и arg𝑍=𝜃. Так, arg𝑍𝑍=𝜃+𝜃. Поскольку известно, что 𝜃+𝜃=𝜋, мы имеем arg𝑍𝑍=𝜋. Это приводит к полярной форме продукта 𝑍𝑍=112(𝜋+𝑖𝜋).cossin Мы знаем, что cos𝜋=−1 и sin𝜋=0. Подставляя эти значения в уравнение выше, у нас есть 𝑍𝑍=112(−1+𝑖0)=−112. Следовательно, 𝑍𝑍 — действительное число −112. В предыдущих примерах мы нашли произведения комплексных чисел в полярной форме. Теперь обратим внимание на деление и частное комплексных чисел в полярной форме. Определение: частное комплексных чисел в полярной форме Дана пара ненулевых комплексных чисел в полярной форме коссин, их частное можно записать в полярной форме как 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)).косин Докажем эту теорему. Начнем с частного 𝑧 и 𝑧, записанного как 𝑧𝑧 = 𝑟 (𝜃+𝑖𝜃) 𝑟 (𝜃+𝑖𝜃) = 𝑟𝑟𝜃+𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃.0009 Чтобы сделать знаменатель этой дроби действительным, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, чтобы получить 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 (𝜃+𝑖𝜃) (𝜃 — 𝑖𝜃) (𝜃+𝑖𝜃) (𝜃 — 𝑖𝜃) .Sossossossossossossossin Умножение через скобки, мы получаем 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝜃𝜃 — 𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃 — 𝑖𝜃𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃 — 𝑖𝜃𝜃 — 𝑖𝜃.coscoscossincossincincossossossossin с использованием 𝑖 = −1 и собирая действительные и мнимые члены, мы имеем 𝑧𝑧=𝑟𝑟(𝜃𝜃+𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃−𝜃𝜃)𝜃+𝜃.0009 Используя тригонометрическое тождество sincos𝜃+𝜃=1, мы можем упростить это выражение до 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 ((𝜃𝜃+𝜃𝜃)+𝑖 (𝜃𝜃 — 𝜃𝜃 -𝜃𝜃)). разностные тождества для синуса и косинуса: coscoscossinsinsinsincossin(𝐴−𝐵)=𝐴𝐵+𝐴𝐵,(𝐴−𝐵)=𝐴𝐵−𝐴𝐵. Мы применяем тождество разности косинусов в действительной части и тождество разности синусов в мнимой части комплекса число в скобках в правой части уравнения (2). Затем мы можем переписать: 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)).коссин Это доказывает теорему. Рассмотрим пример, где мы найдем частное двух комплексных чисел в полярной форме, используя этот метод. Пример 3. Нахождение отношения двух комплексных чисел в полярной форме Учитывая, что и 𝑧=4𝜋6+𝑖𝜋6коссин, найти 𝑧𝑧 в полярной форме. Ответ Напомним, что для пары ненулевых комплексных чисел в полярной форме частное можно записать в полярной форме как 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)).коссин В этом примере нам дана полярная форма комплексных чисел 𝑧 и 𝑧. Из данной полярной формы мы можем определить 𝑟=20 и 𝜃=𝜋2 для 𝑧, а 𝑟=4 и 𝜃=𝜋6. Замена эти значения в формулу для полярной формы частного, мы имеем 𝑧𝑧=204𝜋2−𝜋6+𝑖𝜋2−𝜋6.cossin Упрощая, имеем 𝑧𝑧=5𝜋3+𝑖𝜋3.cossin В предыдущем примере мы вычислили частное двух комплексных чисел в полярной форме. Отметим, что этот процесс проще чем деление комплексных чисел в декартовой форме, которое включало бы умножение числителя и знаменателя на сопряжение знаменателя и затем умножение через скобки. Используя этот метод, мы можем видеть, что деление комплексные числа намного проще в полярной форме. Рассмотрим полярную форму частного: 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)).cossin Из этой полярной формы видно, что модуль частного 𝑧𝑧 равен 𝑟𝑟, которое является частным модулей 𝑧 и 𝑧. Кроме того, аргумент частного 𝑧𝑧 есть разность аргументов 𝑧 и 𝑧. Это приводит к следующему факту. Факт: связь между частными комплексных чисел и их модулями и аргументами Для любой пары ненулевых комплексных чисел 𝑧 и 𝑧 имеем |||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,𝑧𝑧=𝑧−𝑧. аргаргарг В следующем примере мы воспользуемся этими фактами, чтобы найти полярную форму частного двух комплексных чисел. Пример 4. Деление комплексных чисел в полярной форме и нахождение их частного в декартовой форме Учитывая, что 𝑍=5(5𝜃+𝑖5𝜃)косинус 𝑍=4𝜃+𝑖4𝜃косин, загар𝜃=43, и 𝜃∈0,𝜋2, найти 𝑍𝑍. 4+3𝑖 3+4𝑖 35+45𝑖 45+35𝑖 . |||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,𝑧𝑧=𝑧−𝑧.аргаргарг В этом примере комплексные числа 𝑍 и 𝑍 даны в полярной форме. Мы напомним, что ненулевое комплексное число 𝑧 имеет полярную форму 𝑧=|𝑧|((𝑧)+𝑖(𝑧)).cosargsinarg Из данной полярной формы мы можем найти модули |𝑍|=5, |𝑍|=1. Следовательно, |||𝑍𝑍|||=51=5. Также из данной полярной формы мы можем найти аргументы arg(𝑍)=5𝜃, аргумент(𝑍)=4𝜃. Следовательно, argargarg𝑍𝑍=(𝑍)−(𝑍)=5𝜃−4𝜃=𝜃. Следовательно, полярная форма частного 𝑍𝑍 равна 𝑍𝑍=5(𝜃+𝑖𝜃). косинус Чтобы закончить задачу, нам нужно найти тригонометрические соотношения cos𝜃 и sin𝜃 из предоставленной информации о касательной функции. Нам дано, что 𝜃∈0,𝜋2. Поскольку функция тангенса определена в точке 𝜃, а функция тангенса не определена в точке 𝜋2, мы знаем, что 𝜃≠𝜋2. Это означает, что 𝜃∈0,𝜋2. Другими словами, 𝜃 — острый угол. Для острый угол, мы можем связать тригонометрические соотношения с тригонометрией прямоугольного треугольника. Вспомните тригонометрические соотношения для острого угол 𝜃: синоппозитгипотенузакосаджацентгипотэнузатаноппозит смежный𝜃=,𝜃=,𝜃=. Нам дано, что tan𝜃=43, поэтому мы можем нарисовать прямоугольный треугольник с углом тета, противоположная сторона имеет длину 4, а смежная сторона имеет длину 3. Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы должно быть √3+4=√25=5. Используя этот треугольник, находим синоппозитенузакосадицентная гипотенуза𝜃==45,𝜃==35. Подставляя эти значения в полярную форму для частного, мы имеем 𝑍𝑍=535+45𝑖=3+4𝑖.  Это приводит к варианту B. В предыдущих двух примерах мы нашли частные комплексных чисел, используя полярную форму. Мы также можем использовать правила деления чтобы найти общую форму обратной величины комплексного числа, как покажет следующий пример. Пример 5: обратная величина комплексного числа в полярной форме Учитывая, что 𝑧=7𝜋6+𝑖7𝜋6косинус, найдите 1𝑧. Ответ Напомним, что для пары ненулевых комплексных чисел в полярной форме частное можно записать в полярной форме как 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃−𝜃)+𝑖(𝜃−𝜃)).коссин В этом примере нам нужно найти обратную 1𝑧. Обратите внимание, что обратная величина также является дробью, где 𝑧=1 и 𝑧=𝑧. В этом случае 𝑧=1 — действительное число, что означает что он имеет модуль 1 и аргумент 0. Другими словами, 1 можно выразить в полярной форме как 1=1(0+𝑖0).cossin Это приводит к 𝑟=1 и 𝜃=0. С другой стороны, знаменатель 𝑧=𝑧 задано в полярной форме; следовательно, мы можем получить 𝑟=1 и 𝜃=7𝜋6. Подставляя эти значения в уравнение для полярной формы частного, имеем 1𝑧=110−7𝜋6+𝑖0−7𝜋6=−7𝜋6+𝑖−7𝜋6.cossincossin Хотя это правильный ответ, мы также помним, что по соглашению аргумент комплексного числа должен лежать в диапазоне ]−𝜋,𝜋] в радианах. Такой аргумент называется главным аргументом. Приведенный аргумент в приведенной выше полярной форме −7𝜋6 не лежит в диапазоне ]−𝜋,𝜋], поэтому нам нужно добавить или вычесть кратное полному обороту 2𝜋. Поскольку данный аргумент ниже нижняя граница −𝜋, мы добавляем 2𝜋, чтобы получить эквивалентный аргумент: −7𝜋6+2𝜋=−7𝜋6+12𝜋6=5𝜋6. Этот аргумент находится в диапазоне ]−𝜋,𝜋], что делает его главным аргументом. С использованием главный аргумент, полярная форма обратной величины 1𝑧=5𝜋6+𝑖5𝜋6.cossin В предыдущем примере мы нашли обратную величину комплексного числа в полярной форме, используя формулу для частного, используя полярная форма. Применяя аналогичный метод, мы можем найти общую формулу для полярной формы обратной величины комплексного числа. Определение: полярная форма обратной величины комплексного числа Для данного ненулевого комплексного числа в полярной форме 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косинус, обратное можно записать в полярной форме как 1𝑧=1𝑟((−𝜃)+𝑖(−𝜃)).cossin Последний пример продемонстрирует, как мы можем использовать формулу произведения комплексных чисел в полярной форме, чтобы найти формулы для степеней комплексных чисел. Пример 6: Использование модуля и аргумента для вычисления степеней комплексных чисел в декартовой форме Рассмотрим комплексное число 𝑧=1+𝑖√3. Найдите модуль 𝑧. Найдите аргумент 𝑧. Следовательно, используйте свойства умножения комплексных чисел в полярной форме, чтобы найти модуль и аргумент 𝑧. Отсюда найдите значение 𝑧. Ответ Часть 1 Напомним, что модуль комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 в декартовой форме равен |𝑧|=√𝑎+𝑏. В нашем примере 𝑎=1 и 𝑏=√3, поэтому мы получаем |𝑧|=1+√3=√4=2.  Следовательно, модуль 1+𝑖√3 равен 2. Часть 2 Чтобы вычислить аргумент, мы сначала рассмотрим, в каком квадранте диаграммы Аргана лежит комплексное число. действительная и мнимая части положительны, комплексное число 1+𝑖√3 лежит в первом квадранте Диаграмма Аргана. Напомним, что аргумент комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖 в первом квадранте задается выражением арктан𝑏𝑎. Затем, argarctanrctanradians(𝑧)=𝑏𝑎=√3=𝜋3. Следовательно, аргумент 1+𝑖√3 равен 𝜋3. Часть 3 Напомним свойства умножения комплексных чисел по отношению к модулям и аргументам комплекса числа: для любой пары ненулевых комплексных чисел 𝑧 и 𝑧 имеем |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,(𝑧𝑧)=𝑧+𝑧.argargarg В этом примере нам нужно вычислить 𝑧, которое можно получить, умножив 𝑧 три раза : 𝑧=𝑧×𝑧×𝑧. Поскольку мы можем получить модуль произведения, взяв произведение модулей комплексных чисел, мы имеем, что ||𝑧||=|𝑧×𝑧×𝑧|=|𝑧|×|𝑧|×|𝑧|=|𝑧|. В части 1 мы получили модуль |𝑧|=2, поэтому ||𝑧||=2=8.  Следовательно, модуль 𝑧 равен 8. Точно так же мы знаем, что аргумент произведения комплексного числа равен сумме аргументов каждого комплексного числа . Так, argargargargarg𝑧=𝑧+𝑧+𝑧=3𝑧. В части 2 мы получили, что arg𝑧=𝜋3, поэтому arg𝑧=3×𝜋3=𝜋. Следовательно, аргументом 𝑧 является 𝜋. Часть 4 Напомним, что ненулевое комплексное число 𝑤 с модулем 𝑟 и аргументом 𝜃 имеет полярную форму 𝑤=𝑟(𝜃+𝑖(𝜃)).косинус В предыдущей части мы подсчитали, что модуль 𝑧 равен 8, поэтому 𝑟=8. Мы также получили, что аргументом 𝑧 является 𝜋; следовательно, 𝜃=𝜋. Подставляя эти значения в полярную форму, 𝑧=8(𝜋+𝑖𝜋).cossin Поскольку cos𝜋=−1 и sin𝜋=0, имеем 𝑧=8(−1+𝑖0)=−8. Следовательно, 𝑧=−8. Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения. Ключевые моменты Умножение и деление комплексных чисел часто проще, когда мы работаем с комплексными числами в полярной форме. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт