Примеры геометрической прогрессии: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, формулы и примеры

Содержание

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия — это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Основное свойство геометрической прогрессии.

Мы видим, что

Перемножив эти два равенства, получим:

Итак,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

Нетрудно доказать, что

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера , равен произведению двух соседних:

Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

… (1)

Умножим обе части равенства на

… (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

(остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

(1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если знаменатель геометрической прогрессии , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

(2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если .

Рассмотрим примеры задач.

1. Дана последовательность . Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.

Докажем, что для любого номера n отношение

— мы видим, что отношение не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

2. Дана геометрическая прогрессия

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

Найдем и .

Ответ: 1. -162; 2. -366

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле . (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией. )

;

Ответ:

4. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами, в которой .

а) Найдите .

б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.

а) Запишем условие задачи, выразив его через и . Получим систему уравнений:

Разделим второе уравнение на первое, получим

; .

По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому .

Найдем . Для этого подставим в первое уравнение системы.

б) По условию

Ответ: а) 3; б) 4.

5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение .

Выразим условие задачи через и

Т.к. по условию , получим

. Отсюда

Нам нужно найти .

Ответ: 2,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема: Геометрическая прогрессия

Урок: Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n–го члена

1. Тема урока, введение

На уроке дается определение геометрической прогрессии, выводится формула общего члена, решаются типовые задачи.

2. Определение геометрической прогрессии

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись:, т.е. .

Рассмотрим примеры геометрических прогрессий:

здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2; полученная последовательность при этом возрастает (

2. здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на ; полученная последовательность при этом убывает (

3. Формула общего члена

Теперь выведем формулу n–го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию , при этом

Тогда,

. . . . . . . . . . .

n=1,2,3,…

Докажем полученную формулу методом полной математической индукции.

Дано:геометрическая прогрессия,

Доказать:.

Доказательство.

1. Проверим справедливость формулы дляn =1:

2. Предположим, что формула справедлива для n=k:

3. Докажем, что из справедливости формулы для n=k следует справедливость формулы для n=k+1:

Вывод: формула верна для всех

4. Построение графиков

Рассмотрим геометрическую прогрессию как функцию натурального аргумента и построим ее график.

Обозначим, тогда

, это показательная функция натурального аргумента.

Рассмотрим примеры.

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

n	1	2	3	4
	1	2	4	8

И построим ее график.

Рис. 1.

, поэтому график – это только отдельные точки, которые лежат на показательной кривой.

2. ;

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

n	1	2	3	4
	1

И построим ее график.

Рис. 2

Снова график – это отдельные точки, лежащие на показательной кривой.

Из графиков видно, что если геометрическая прогрессия возрастает, то возрастает очень быстро, а если убывает, то убывает тоже быстро (как показательная функция).

5. Решение задач

Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула общего члена геометрической прогрессии:

1. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: . Решение: Ответ:

2. Дано:геометрическая прогрессия,. Проверить, является ли число 1536 членом этой прогрессии, если да, найти его номер. Решение: Ответ:

3. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

4. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

Если известны два члена геометрической прогрессии то справедлива формула:

Действительно, Рассмотрим еще одну задачу.

5. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

Методические замечания:

1. В видео уроке на доске график на рисунке 2 подписан вместо

2. Не рассмотрена очень полезная для решения задач формула , которая была добавлена в конце конспекта и на использование формулы приведен соответствующий пример.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 485, 486, 488, 490, 497.

Арифметика, математика и статистика — Набор академических навыков

Арифметические и геометрические последовательности (экономика)

ContentsToggle Главное меню 1 Последовательности 2 Оператор суммирования 3 Правила оператора суммирования 3. 1 Правило константы 3.2 Правило константы-множителя 3.3 Сумма Последовательности Правило 3.4 Рабочие примеры 4 Арифметическая последовательность 4.1 Рабочие примеры 5 Геометрическая последовательность 6 Особый случай геометрической прогрессии 6.1 Рабочие примеры 7 Арифметика или геометрия? 7.1 Арифметика? 7.2 Геометрия? 8 Простые и сложные проценты 8.1 Простые проценты 8.2 Сложные проценты 8.3 Примеры работы 9Примеры видео 10 Проверьте себя 11 Внешние ресурсы

Последовательности

Последовательность — это список чисел, записанных в определенном порядке. Например, $1, 3, 5, 7, 9$ — это последовательность нечетных чисел.

Конечная последовательность — это последовательность, которая заканчивается. Последовательность имеет известное конечное значение. Например, $1, 3, 5, \dotso, 19$. является конечной последовательностью, конечное значение которой равно $19$.

Бесконечная последовательность — это последовательность, члены которой продолжаются бесконечно, например, $2, 5, 8, \dotso$.

Примечание : Три точки заменяют отсутствующие термины. Если за точками следует конечное число, последовательность конечна . Если после точек ничего нет, последовательность бесконечна .

Оператор суммирования

Оператор суммирования , $\sum$, используется для обозначения суммы последовательности. Мы называем сумму членов последовательности рядом .

Начальный индекс написан внизу, а конечный индекс выше, а суммируемая последовательность написана справа. Ряд не обязательно должен быть суммой 9{10}_{i=1}{(a_i-3b_i)}&=25-30\\ &=-5 \end{align}

Арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность (или арифметическая прогрессия ) любая последовательность, в которой каждый новый член получается добавлением постоянного числа к предыдущему члену. Это постоянное число называется общей разностью . Например, $10, 20, 30, 40$ — это арифметическая прогрессия, увеличивающаяся на $10$, или $-4, -3, -2, -1$ — арифметическая прогрессия, уменьшающаяся на $1$ с каждым членом. 9{n}_{i=1}{A+(i-1)d}\] Более быстрая формула для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: \[nA+\dfrac{dn(n -1)}{2}\]

Примеры работы

Пример 1

Запишите первые пять членов арифметической прогрессии с первым членом $8$ и обыкновенной разностью $7$.

Решение

Имеем $A=8$ и $d=7$.

Форма арифметической прогрессии: $A, A+d, A+2d, A+3d, A+4d$, поэтому при использовании этих значений $A$ и $d$ первые пять членов равны: 9{50}_{n=1} 1 + 2(i-1)\]

Используя формулу, сумма первых $50$ членов последовательности равна: \begin{align} 50&\times 1+\dfrac {2\times 50\times(50-1)}{2}\\ &=50+\dfrac{4900}{2}\\ &=2500 \end{align}

Геометрическая последовательность

Геометрическая последовательность (или геометрическая прогрессия ) — это последовательность, в которой каждый новый член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число. Это постоянное число называется обыкновенным отношением 9. n}}{1-R}\right)= \dfrac{A}{1-R}}\] поэтому формула суммы до бесконечности геометрической прогрессии с первым членом $A$ и знаменателем $R$ такая что $\left(\left|R\right|\lt1\right)$ равно: \[s=\dfrac{A}{1-R}\]

И мы говорим, что сумма последовательности сходится к $\dfrac{A}{1-R}$ при стремлении $n$ к бесконечности. Если абсолютное значение обыкновенного отношения больше $1$, $\left(\left|R\right|\gt1\right)$, то члены последовательности становятся все больше и больше, как и сумма. В этом случае говорят, что сумма последовательности 95 -1 \right)}{\left(-\frac{1}{2}-1\right)}\\ &=8\times \dfrac{\left(-\frac{1}{32}-1 \right)}{\left(-\frac{3}{2}\right)}\\ &=8\times \dfrac{\left(-\frac{33}{32}\right)}{\left (-\frac{3}{2}\right)} \\ &=8\times \dfrac{11}{16} \\ &=5.5 \end{align}

Пример 5

Найдите сумму до бесконечности геометрической прогрессии $1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27},\dotso$.

Решение

Имеем $A=1$ и $R=\dfrac{1}{3}$.

При $-1\lt R\lt 1$ ряд сходится и можно использовать формулу $s = \dfrac{A}{1-R}$:

\begin{align} s&=\frac{1}{ 1-\frac{1}{3} }\\ &=\frac{1}{\; \frac{2}{3}\;}\\ &=\frac{3}{2} \end{align}

Арифметика или геометрия?

Если последовательность имеет общую разность, то она арифметическая; если оно имеет общее отношение, оно геометрическое. Таким образом, мы можем определить, является ли последовательность арифметической или геометрической, определяя, отличаются ли соседние члены общей разностью или общим отношением.

Арифметика?

Напомним, что общая разность — это число, которое прибавляется к каждому члену, чтобы получить следующий член последовательности, и что $n$-й член арифметической последовательности определяется как: \[A+(n-1)d\ ]

Вычитание $n$-го члена из $(n+1)$-го члена дает: \begin{align} A+((n+1)-1)d-A+(n-1)d&=nd-( n-1)d\\ &=d \end{align}

Аналогично, вычитание члена $(n+1)$ из члена $(n+2)$ дает: \begin{align} A+( (n+2)-1)d-A+((n+1)-1)d&=(n+1)d-nd\\ &=d \end{align}

Существует общих разностей из $d$ между любыми $2$ членами последовательности. Таким образом, один из способов проверить, является ли последовательность арифметической, состоит в том, чтобы вычесть любой член последовательности из следующего за ним члена, а затем выбрать другой (другой) член и вычесть его из следующего за ним члена. Если результат вычитаний одинаковый, то мы нашли общую разность и последовательность арифметическая. 9{((n+1)-n)}\\ &=R \end{align}

Существует обыкновенное отношение $R$ между любыми $2$ членами последовательности. Таким образом, один из способов проверить, является ли последовательность геометрической, состоит в том, чтобы разделить любой член последовательности на предшествующий ему член, а затем выбрать другой (другой) член и разделить его на член, предшествующий ему. Если результат тот же, то мы нашли обыкновенное отношение и последовательность геометрическая.

Рабочие примеры

Определите, являются ли следующие последовательности арифметическими, геометрическими или ни теми, ни другими:

а) 3, 21, 147, 1029,. ..

б) 1125, 225, 45, 9,…

в) 13, 32, 32, 104, 137,…$

Решение

а) Сначала проверим, является ли эта последовательность арифметической. Вычитание первого члена из второго дает: \[21-3=18\] и вычитание второго члена из третьего дает: \[147-21=126\] Так как $18\neq 126$ эта последовательность не может быть арифметической, поэтому мы теперь проверит, является ли он геометрическим. Разделение третьего члена на второе дает: \[\frac{147}{21}=7\], а деление четвертого члена на третье дает: \[\frac{1029}{147}=7\] Так как это одно и то же, существует общее отношение $7$ между терминами, и у нас есть геометрическая последовательность.

б) Сначала мы проверим, является ли эта последовательность арифметической. Вычитание третьего члена из четвертого дает: \[9-45=-36\] и вычитание второго члена из третьего дает: \[45-225=-180\] Так как $-36\neq -180$ эта последовательность не является арифметическим, поэтому мы сейчас проверим, является ли оно геометрическим. Деление второго члена на первое дает: \[\frac{225}{1125}=0,2\], а деление третьего члена на второе дает: \[\frac{45}{225}=0,2\]. это же геометрическая прогрессия со знаменателем $0,2$.

c) Сначала мы проверим, является ли эта последовательность арифметической. Вычитание второго члена из третьего дает: \[69-32=37\] и вычитание четвертого члена из пятого дает: \[137-104=33\] Так как $37\neq 34$ эта последовательность не является арифметической, поэтому мы теперь проверит, является ли он геометрическим. Разделение второго члена на первое дает: \[\frac{32}{-13}=-2,4615…\], а деление пятого члена на четвертое дает: \[\frac{137}{104}=1,3173 …\] поэтому последовательность не является ни арифметической, ни геометрической.

Простые и сложные проценты

Простые проценты

Предположим, вы вносите $£A$ в банк. Мы называем $£A$ основным балансом . Вам выплачиваются проценты в размере $15\%$ на ваш депозит в конце и каждого года (в год). В конце первого года у вас будет в общей сложности: \[£(A+0,15\times A)=£A(1+0,15)\] С простых процентов ключевое предположение состоит в том, что вы снимаете проценты от банка, как только они будут выплачены, и положить их на отдельный банковский счет. Это означает, что проценты, выплачиваемые каждый год, выплачиваются только 9 числа.0023 основной баланс . Таким образом, в конце второго года у вас будет в сумме: на третий год у вас будет: \[£(A+0,15A+0,15A+0,15A)=£(A(1+3\умножить на 0,15))\] и так далее.

Мы можем видеть, что общий баланс — основной баланс и проценты, полученные каждый год до текущего года, — образует арифметическую прогрессию с первым членом $A$ и общей разностью $0,15A$.

9{\text{th} }$ член арифметической прогрессии, общий баланс на конец из $n$ лет: \[£(A+nd)\]
Сложные проценты
Разница между простыми процентами а сложные проценты заключаются в том, что с сложными процентами предполагается, что вы , а не снимаете проценты, полученные из банка, каждый раз, когда они выплачиваются. Таким образом, в конце года года проценты будут выплачиваться на общий остаток, заработанный до сих пор (основная сумма и проценты, заработанные каждый год до текущего года). 9{tn}\], где, как и прежде, $r$ — процентная ставка, а $A$ — основная сумма.
Рабочие примеры
Пример 1
Джеймс вносит 2000 долларов США в банк, который выплачивает годовую процентную ставку в размере 4 долларов США\%$. Он снимает и тратит заработанные проценты каждый раз, когда они выплачиваются. Вычислите:
a) Общий баланс Джеймса через 5$ лет и
b) Проценты, которые он получает через 5$ лет
Решение
a) Поскольку Джеймс снимает проценты, заработанные каждый год , его общий баланс образует арифметическую прогрессию с первым членом $A=2,000$ и общей разностью $d=0,04\times 2000=80$. Мы хотим рассчитать его общий баланс через $5$ лет. Используя формулу с $n=5$, мы имеем: \[\text{Общий баланс}=£(2000+5\times 80)=£2400\]
b) Проценты, которые Джеймс получает за 5$ лет, равны разнице между его общим балансом через 5$ лет и его основной суммой. Мы знаем, что основная сумма Джеймса составляет 2000 долларов, и в части а) мы обнаружили, что его общий баланс после 5 долларовых лет составляет 2400 долларов. Таким образом, проценты, полученные за 5$ лет, равны: \[£2,400-£2,000=£400\]
Пример 2
Теперь предположим, что Джеймс узнает, что его жена ждет девочку, и ему сказали, что к тому времени ей 18 долларов, он потратил 10 000 долларов на одежду для своей дочери. Кроме того, Джеймс хотел бы купить своей дочери автомобиль на ее 18-летие стоимостью 5000 долларов. Чтобы убедиться, что у него достаточно денег, Джеймс решает положить денежную сумму на счет, который выплачивает годовую процентную ставку в размере $25\%$, и что он будет снимать проценты, заработанные каждый год, для оплаты одежды своей дочери. Сколько Джеймсу нужно положить на счет, чтобы убедиться, что его общего баланса через $18$ лет будет достаточно для покрытия расходов на одежду и стоимость автомобиля? Сколько ему придется тратить на одежду каждый год?
Решение
Здесь мы имеем $n=18$ и $d=0,25A$, где $A$ — (неизвестная) сумма денег, которую Джеймс должен внести на депозит. {\text{th} }$.
Сумма, которую Джеймсу придется тратить на одежду каждый год, равна годовому доходу: $r\times A$. Здесь $A=3333,34$ и $r=0,25$, поэтому мы имеем:
$0,25\умножить на 3333,333=833,34$ (до $2$d.p.) То есть у Джеймса будет $833,34$, чтобы тратить на одежду для своей дочери каждый год. .
Пример 3
Узнав, что у его жены на самом деле тройня, Джеймс устраивается на неполный рабочий день, чтобы оплачивать их общие расходы на одежду, и решает, что у него будет достаточно денег на банковском счете, чтобы заплатить за машину стоимостью 3000 долларов. для каждого из них в их $18$ день рождения. Предполагая, что процентная ставка такая же, как и раньше ($25\%$) и что Джеймс не снимает проценты каждый год, сколько теперь Джеймсу нужно положить на банковский счет? 9{18})\\ &=55,51115123A \end{align} Преобразование и решение этого уравнения для $A$ дает: \begin{align} A&=\dfrac{9,000}{55,51115123}\\ &= 162,129… \ end{align} Таким образом, Джеймс должен внести $162,13$, чтобы к 18-летию своих детей общий баланс составил не менее $9,000$.
Видеопримеры
Пример 1
Хейли Бишоп находит пятнадцатый член и сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии $2,6,10,14,\dotso$.

Пример 2
Хейли Бишоп находит девятый член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9}\dotso$.

Пример 3
Хейли Бишоп находит сумму геометрической прогрессии $3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9}\dotso$ до бесконечности.

Проверь себя
Проверь себя: арифметические последовательности
Проверь себя: геометрические последовательности
Внешние ресурсы
Рабочая тетрадь по арифметическим и геометрическим прогрессиям от mathcentre

Задания по математике — это весело
Арифметические последовательности и суммы по математике — это весело
Геометрические последовательности и суммы по математике — это весело
Тест по арифметическим и геометрическим прогрессиям от mathcentre
Видео по арифметическим и геометрическим прогрессиям от mathcentre
Геометрическая прогрессия Использование в реальной жизни
Если каждый человек решает не иметь еще одного ребенка в зависимости от текущей численности населения, то ежегодный прирост населения является геометрическим. Каждый радиоактивный компонент распадается индивидуально, что приводит к установленной скорости распада, которая также является геометрической. Геометрические ряды ценны тем, что их можно использовать в качестве модели для реальных обстоятельств. Их можно использовать в физике.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия, также называемая геометрической прогрессией, представляет собой ненулевую числовую последовательность, в которой каждый член после первого определяется путем умножения предыдущего на фиксированное, ненулевое значение, известное как общее соотношение. Например, геометрическая прогрессия 2, 6, 18, 54…… имеет знаменатель 3. Точно так же геометрическая прогрессия 10, 5, 2,5, 1,25….. имеет знаменатель 1/2.
Значение знаменателя определяет поведение геометрической прогрессии.
Если стандартное отклонение:
положительное, все фразы будут иметь тот же знак, что и первая.
Термины будут переключаться между положительными и отрицательными.
Будет экспоненциальное развитие в сторону положительной или отрицательной бесконечности, когда число больше единицы (в зависимости от знака начального члена).
Эволюция следует заданной схеме.
Будет экспоненциальная деградация до нуля (0) между 1, но не до нуля.
Каждый член ряда имеет одинаковое абсолютное значение, а члены чередуются по знаку.
Из-за переменного знака существует экспоненциальное развитие в сторону (беззнаковой) бесконечности для абсолютных значений, меньших 1.
Как геометрическая прогрессия применяется в реальной жизни?
ГП возникает в реальной жизни, когда каждый действующий субъект в системе ведет себя независимо и является фиксированным. Примеры включают: Если каждый человек решает не иметь еще одного ребенка в зависимости от текущей численности населения, то ежегодный прирост населения является геометрическим.
Каждый радиоактивный компонент распадается независимо, что приводит к постоянной скорости распада каждого из них.
Процентные ставки, цепочки электронной почты и т. д. — это другие примеры. Геометрические ряды ценны тем, что их можно использовать в качестве модели для реальных обстоятельств.
Геометрические последовательности имеют множество применений в повседневной жизни, но одним из наиболее распространенных является вычисление процентов. Член в ряду вычисляется путем умножения первого значения в ряду на скорость, увеличенную до степени, чуть меньшей, чем номер члена.
Применение геометрической прогрессии в реальной жизни
Я приведу несколько примеров: Когда каждый человек решает не иметь еще одного ребенка в зависимости от текущей численности населения, рост населения является геометрическим.
Использование последовательностей в реальной жизни
Последовательности полезны как в повседневной жизни, так и в высшей математике. Например, последовательности включают процентную составляющую ежемесячных платежей, сделанных для погашения автомобильного или жилищного кредита, а также максимальные дневные температуры в одном месте за месяц.
Свойства геометрической прогрессии
Свойства GP следующие:
Если каждый член в GP умножить или разделить на ненулевую величину, новая последовательность также будет в GP с той же общей разницей.
G.P образован обратным значением всех членов в G.P.
Новый ряд уже находится в О.П., если все члены О.П. возводятся в одну степень.
Три ненулевых члена x,y и z находятся в G.P. если у ² =xz.
Где можно применить геометрическую последовательность?
Математики постоянно используют геометрические ряды. Физика, инженерия, биология, экономика, компьютерные науки, теория массового обслуживания и финансы — все извлекают из них пользу. Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя эта черта не относится ко всем из них.
Заключение
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый последующий элемент получается путем умножения предыдущего элемента на константу, известную как обыкновенное отношение, обозначаемое буквой r.
No related posts.