Примеры решения логарифмических уравнений с ответами
Алгоритм решения логарифмических уравнений
Теорема
Логарифмическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.
При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.
Для любого положительного числа существует единственное число , такое, что
Если , то
Формулы перехода от одного основания к другому.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Примеры решений логарифмических уравнений
Пример 1
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
или
Возведём обе части уравнения в квадрат.
Получим:
или
Корень не подходит по ОДЗ
Ответ
Пример 2
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
или
Перейдём к логарифмам по основанию 7:
не подходит по ОДЗ
Ответ
Пример 3
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
или
Ответ
Пример 4
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Ответ
Пример 5
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Отсюда:
Ответ
Пример 6
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
или
не подходит по ОДЗ
Ответ
Пример 7
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Перейдём к логарифму по основанию 5:
Ответ
Пример 8
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
не подходит по ОДЗ
Ответ
Пример 9
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
Ответ
Пример 10
Задача
Решить уравнение:
Решение
Найдём область допустимых значений:
Перейдём к основанию a:
Ответ
Средняя оценка 1.
5 / 5. Количество оценок: 4
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
13208
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
47. Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция
Свойства логарифмической функции
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули: функция обращается в нуль при X = 1.
6. Промежутки знакопостоянства: Если то функция положительна для отрицательна для если то функция положительна для отрицательна для
7.
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для если возрастает для
9. Асимптоты: прямая X = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.
10. График функции для изображен на рис. 6.9, а для на рис. 6.10.
Рис. 6.9 Рис. 6.10
Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда
или
Функция если является обратной для функции при
Функция если является обратной для функции при
Пример 1. Определить знак числа:
1) 2) 3) 4)
Решение. 1) Поскольку основание логарифма больше 1 (
2) Для основания логарифма имеем и для выражения, стоящего под знаком логарифма, выполняется Поэтому
3) Так как основание логарифма 5 и 5 > 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, равно и то
4) Для основания логарифма выполняется а под знаком логарифма число 19 (19 > 1).
Поэтому
Пример 2. Сравнить числа:
1) и 2) и
3) и 3.
Решение. 1) Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому
Тогда
2) Рассмотрим числа и Так как
и
то
следовательно,
3) Известно, что или
Если A ³ 0, B ³ 0.
В нашем случае тогда
Т. е.
Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число
Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то
Пример 4. Найти функцию, обратную функции Построить графики обеих функций в одной системе координат.
Решение. Найдем функцию, обратную данной:
Построим графики функций:
А) строим график функции график функции переносим параллельно на две единицы вправо по оси Ox и на две единицы вниз по оси Oy;
Б) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис.
6.11).
Рис. 6.11
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Правила логарифмирования – объяснение и примеры
Что такое логарифм? Зачем мы их изучаем? И каковы их правила и законы?
Начнем с того, что логарифм числа «b» можно определить как степень или степень, в которую нужно возвести другое число «a», чтобы получить результат, равный числу b.
Мы можем представить это утверждение символически как;
log a b = n.
Точно так же мы можем определить логарифм числа как обратную его степень. Например, журнал a b = n можно экспоненциально представить как; а п = б.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что;
a n = b ⇔ log a b = n.
Хотя логарифмы изучают в школах для упрощения вычислений с большими числами, они по-прежнему играют важную роль в нашей повседневной жизни.
Давайте рассмотрим некоторые из этих применений логарифмов:
- Мы используем логарифмы для измерения кислотности и щелочности химических растворов.
- Измерение интенсивности землетрясений производится по шкале Рихтера с использованием логарифмов.
- Уровень шума измеряется в дБ (децибелах) по логарифмической шкале.
- Экспоненциальные процессы, такие как распад соотношения активных изотопов, рост бактерий, распространение эпидемии в популяции, охлаждение трупа анализируются с помощью логарифмов.
- Для расчета периода выплаты кредита используется логарифм.
- В исчислении логарифм используется для различения сложных задач и определения площади под кривыми.
Как и для показателей степени, для логарифмов действуют те же правила и законы, что и для показателей степени. Важно отметить, что законы и правила логарифмов применимы к логарифмам любого основания. Однако во всех вычислениях должна использоваться одна и та же база.
Мы можем использовать законы и правила логарифмирования для выполнения следующих операций:
- Приведение логарифмических функций к экспоненциальной форме.
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
- Расширение и сжатие
- Решение логарифмических уравнений.
Законы логарифмов
Логарифмические выражения могут быть записаны по-разному, но по определенным законам, называемым законами логарифмов. Эти законы могут быть применены к любому основанию, но при расчете используется одно и то же основание.
Четыре основных закона логарифмов включают:
Закон правила произведения
Первый закон логарифмов гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;
⟹ log a + log b = log ab
Пример:
- log 2 5 + log 2 4 = log 2 (5 × 4) = log 2 20
- log 10) = log 2 20
- 6 + log 10 3 = log 10 (6 x 3) = log 10 18
- log x + log y = log (x * y) = log xy
- log 4x + log x = log (4x * x) = log 4x 2
Правило частного
Вычитание двух логарифмов A и B равно делению логарифмов.
⟹ журнал A − журнал B = журнал (A/B)
Пример:
- log 10 6 – log 10 3 = log 10 (6/3) = log 10 3 2011
- log 2 4x – log 2 x = log 2 (4x/x) = log 2 4
The Power Rule Law
⟹ log A n = n log A
Example:
- log 10 5 3 = 3 log 10 5
- 2 log x = log x 2
- log(4x) 3 = 3 log (4x)
- 5 ln x 2 = ln 7 = ln x 10 90 8) 101 * 5
Закон об изменении основного правила
⟹ журнал b x = (log a x) / (log a b)
Пример 4:
- log 4 16 = (log 16) / (log 4).
Правила логарифмов
Логарифмы — очень дисциплинированная область математики. Они всегда применяются в соответствии с определенными правилами и положениями.
При игре с логарифмами необходимо помнить следующие правила:
- Учитывая, что a n = b ⇔ log a b = n, логарифм числа b определен только для положительных действительных чисел.
⟹ a > 0 (a ≠ 1), a n > 0.
- Логарифм положительного действительного числа может быть отрицательным, нулевым или положительным.
Examples
- 3 2 = 9 ⇔ log 3 9 = 2
- 5 4 = 625 ⇔ log 5 625 = 4
- 7 0 = 1 ⇔ log 7 1 = 0
- 2 -3 = 1 / 8 ⇔ log 2 ( 1 / 8 ) = -3
- 10 -2 = 0,01 ⇔ log 10 01 = -2
- 2 6 = 64 ⇔ log 2 64 = 6
- 3 -4 = 1/3 4 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
- = 1 = 1/3 4 = 3 -4 = 1/3 4.
- 10 -2 = 1/100 = 0,01 ⇔ log 10 01 = -2
/81 ⇔ log 3 1/81 = -4- .
Примеры
- лог. 9 81 ≠ лог. 3 81
- log 2 16 ≠ log 4 16
- Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. When a logarithm is written without a subscript base, we assume the base to be 10.
Examples
- log 21 = log 10
- log 0.05 = log 10 05
- Logarithm to the base «e» называется натуральным логарифмом. Константа e приблизительно равна 2,7183. Натуральные логарифмы выражаются как ln x, что совпадает с log 9.0011 e
- Логарифмическое значение отрицательного числа является мнимым.
- Логарифм 1 по любому конечному ненулевому основанию равен нулю.
A 0 = 1 ⟹ log A 1 = 0.
Пример:
7 0 = 1 ⇔ log 7 1 = 0
- равно 1.
a 1 =a ⟹ log a a=1.
Примеры
- журнал 10 10 = 1
- log 2 2 = 1
- Учитывая, что x = log A M Затем A Log A M = A
Пример 177 9007 9000 2 . следующее выражение. log 2 8 + log 2 4 Решение Применяя закон правила произведения, получаем; бревно 2 8 + бревно 2 4 = бревно 2 (8 x 4) = log 2 32 Перепишите 32 в экспоненциальной форме, чтобы получить значение его показателя степени. 32 = 2 5 Therefore, 5 is the correct answer Example 2 Evaluate log 3 162 – log 3 2 Solution This is a выражение вычитания; поэтому мы применяем закон частного правила. журнал 3 162 – журнал 3 2 = log 3 (162/2) = log 3 81 Напишите аргумент в экспоненциальной форме 81 = 3 4 Отсутствие ответа 4. Пример пример. 3 Разверните приведенное ниже логарифмическое выражение. log 3 (27x 2 Y 5 ) Решение Log 3 (27x 2 Y 5 ) = Log 3 27 + log 3 x 2 + log 3 Y 5 = log 3 (9) + log 3 (3) + 2log 3 x + 5log 3 y. Но лог 3 9 = 3 Подставить, чтобы получить. = 3 + log 3 (3) + 2log 3 x + 5log 3 y Пример 4 Рассчитайте значение Log √2 64.
Solution
⟹ log √2 64 = log √2 (2) 6
⟹ log √2 64 = 6log √2 (2)
⟹ log √2 64 = 6log √2 (√2) 2
⟹ log √2 64 = 6* 2log √2 (√2)
⟹ log √2 64 = 12* 2 ( Пример 50012 (0.0001) = x
Solution
⟹ log 0.1 (0.0001) = log 0.1 (0.1) 4
⟹ log 0.1 (0.0001) = 4log 0.1 0.1
⟹ log 0,1 (0,0001) = 4 (1)
⟹ log 0,1 (0,0001) = 4
Следовательно, x = 4.
Пример 6
Найти данное значение x, данное значение, данное, данное значение, данное, данное значение, данное значение, данное значение, дан 2log x = 4log3
Решение
2logx = 4log3
Разделите каждую сторону на 2.
⟹ log x = (4log3) / 2
⟹ log x = 2log3
⟹ log x = log3 2
⟹ log x = log9
x =
Пример 7
Оценка log 2 (5x + 6) = 5
Решение
Перепишите уравнение в экспоненциальной форме
2 5 = 5x + 6
.
32 = 5x + 6
Вычесть обе части уравнения на 6
32 – 6 = 5x + 6 – 6
26 = 5x
x = 26/5
Пример 8
Решение
⇒ log [x (x − 1)] = log (3x + 12)
Чтобы получить, отбросьте логарифмы;
⇒ [x (x − 1)] = (3x + 12)
Применить распределительное свойство, чтобы убрать скобки.
⇒ х 2 – х = 3х + 12
⇒ х 2 – х – 3х – 12 = 0
⇒ x 2 – 4x – 12 = 0
⇒ (x−6) (x+2) = 0
⇒x = − 2, x= 6
Поскольку аргумент логарифма не может быть отрицательным, Затем правильный ответ — x = 6.
Пример
Оценка LN 32 — LN (2x) = LN 4x
Решение
LN [32/(2x)] = LN 4x
Скиньте натуральные бревна.
[32/ (2x)] = 4x
32/ (2x) = 4x.
Крест умножить.
32 = (2x)4x
32 = 8x 2
Разделите обе стороны на 8, чтобы получить;
x 2 = 4
x = – 2, 2
Поскольку мы не можем иметь логарифм отрицательного числа, то х = 2 остается правильным ответом.
Практические вопросы- Оценка log 4 64 + log 4 16
- Log 3 14-2Log 3 5
- Evaluate 2 Log 3 3 5
- Evaluate 2 3 5 + журнал 3 40 — 3 log 3 10
- Log 2 4 + Log 2 5
- Expand Log 3 (XY 3 /√Z)
- Конденсии. ln (x 3 + 5) – 1/2 ln (x + 1)
- Упростить log a 28 – log a 4 в виде единичного логарифма
- Найти значение log 5 8 + 5 (1/1000)
- Найдите x в логарифме 3log 5 2 = 2log 93)$
просто дает показатель степени — показатель степени равен исходному значению
к которому мы должны вернуться.
