Примеры на разложение на множители: Разложение на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+.

..+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

xi	Коэффициенты многочленов
	1	3	-1	-9	-18
1	1	3+1·1=4	-1+4·1=3	-9+3·1=-6	-18+(-6)·1=-24
-1	1	3+1·(-1)=2	-1+2·(-1)=-3	-9+(-3)·(-1)=-6	-18+(-6)·(-1)=-12
2	1	3+1·2=5	-1+5·2=9	-9+9·2=9	-18+9·2=0
2	1	5+1·2=7	9+7·2=23	9+23·2=55
-2	1	5+1·(-2)=3	9+3·(-2)=3	9+3·(-2)=3
3	1	5+1·3=8	9+8·3=33	9+33·3=108
-3	1	5+1·(-3)=2	9+2·(-3)=3	9+3·(-3)=0

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль.

Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов.

Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами. 2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end{array} \right. $$

Ответ: -9; 11

методов факторинга с решенными примерами — Cuemath

Поэкспериментируйте со следующим моделированием, чтобы увидеть факторы нескольких выражений.

---

Методы факторизации

Мы обсудим некоторые систематические методы факторизации алгебраических выражений.

Метод общих множителей

Рассмотрим простой пример: \(3x+9\)

Факторизуя каждый член, мы получаем, \((3\times x)+(3\times 3)\)

По дистрибутивному закону \(3x+9=(3\умножить на х)+(3\умножить на 3)=3(х+3)\).

Метод перегруппировки

Перегруппировка позволяет перегруппировать члены выражения, что приводит к факторизации.

Рассмотрим выражение: \(2ab+2b+7a+7\)

Обратите внимание, что нет единого делителя, общего для всех терминов.

Запишем \(2ab+2b\) и \(7a+7\) в факторной форме отдельно.

\[\begin{align}2ab+2b&=2b(a+1)\\7a+7&=7(a+1)\end{align}\] 92+(a+b)x+ab&=0\end{align}\]  

Попробуем найти \(a\) и \(b\) такие, что \((a+b)\) отображается в 5 и \(ab\) сопоставляется с 6. 

  

Факторы \(6\) равны \(1\), \(2\), \(3\) и \(6\) . Найдите пары \(a\) и \(b\) из \(1\), \(2\), \(3\) и \(6\) такие, что \(a+b=5\) и \(ab=6\)

Это правильная пара: \(2\) и \(3\), потому что \(2+3 = 5\) и \(2 \times 3=6\)

Таким образом, квадратное уравнение можно разложить на множители как \((x+2)(x+3)=0\).

Калькулятор факторинга

Вот калькулятор для факторинга различных выражений.

 

Важные примечания

1. Процесс нахождения факторов называется факторингом.

2. Факторинг помогает найти решение любого алгебраического выражения.

3. Факторинг позволяет выразить выражение в более простой форме.

9{2}\)

Он говорит: «Длина фермы в два раза больше ширины».

Можно ли использовать эту информацию для записи факторизованной формы числа 528?

Решение

Пусть ширина фермы будет \(х\) футов.

Итак, длина фермы будет \(2x+1\) футов.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Согласно вопросу,

\[\begin{align}\text{Площадь фермы}&=\text{Ширина} \times \text{Длина}\\528&=x\times (2x+1)\ конец{выравнивание}\]

Итак, факторизованная форма числа 528 равна \(x(2x+1)\)

Пример 2

 

 

Дженни попросила Джолли разложить на множители \(6xy-4y+6-9x\)

Джолли хочет разложить его на множители методом перегруппировки.

Вы можете им помочь?

Решение

Заметим, что у нас нет общего делителя среди всех слагаемых в выражении \(6xy-4y+6-9x\)

Разберемся с \(6xy-4y\) и \(6-9x\) отдельно.

\[\begin{align}6xy-4y&=2y(3x-2)\\6-9x&=-3(3x-2)\end{align}\]

Итак, данное выражение можно записать в виде

\[\begin{align}6xy-4y+6-9x&=2y(3x-2)-3(3x-2)\\&=(2y-3)(3x-2)\end{align}\ ]

Итак, множители \(6xy-4y+6-9x\) равны \((2y-3)\) и \((3x-2)\)

Пример 3

 

 

Миа занимается фитнесом и бегает каждое утро.

Парк, в котором она бегает, имеет прямоугольную форму и имеет размеры 12 на 8 футов.

Группа защитников окружающей среды планирует обновить парк и решает построить дорожку вокруг парка.

Это увеличит общую площадь до 140 кв. футов.

Какова будет ширина дорожки?

Решение

Обозначим ширину пути как \(x\). 92+11x-x-11&=0\\x(x+11)-(x+11)&=0\\(x+11)(x-1)&=0\\x&=1,-11\ end{align}\]

Так как длина не может быть отрицательной, мы берем \(x=1\)

Итак, ширина пути будет 1 фут.

Иногда сложно работать с жесткими выражениями. Но не волнуйтесь!

Вот несколько советов и рекомендаций, которым вы можете следовать при факторинге.

 

Советы и рекомендации

1. Проверьте наличие общих членов в выражении и возьмите наибольший общий множитель.
2. Проверить, применимы ли в выражении какие-либо алгебраические тождества.
3. Продолжайте разлагать выражение на множители, пока не получите простейшую форму, то есть форму, которая далее не делится.
Интерактивные вопросы

Вот несколько заданий для практики.

Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

 

 

 

 

 

---

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции методов факторинга. Математическое путешествие по методам факторинга начинается с того, что студент уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в юных умах. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

О Куэмате

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом?

Следующие шаги показывают, как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом.

1. Запишите трехчлен в стандартной форме.
2. Вычесть наибольший общий делитель, если он существует.
3. Найдите произведение старшего коэффициента и постоянного члена.
4. Определите множители произведения, найденного на шаге 3, и проверьте, какая пара множителей даст коэффициент при \(x\).
5. Выбрав подходящую пару множителей, сохраните знак в каждом числе таким образом, чтобы при работе с ними мы получили результат в виде коэффициента при \(x\), а при нахождении их произведения число было равно числу, найденному в шаге 3.
6. Теперь у вас есть 4 члена в выражении, поэтому мы используем метод перегруппировки для разложения на множители.

2. Как разложить на множители совершенные квадратные трехчлены?

Используйте приведенные ниже алгебраические тождества, чтобы разложить на множители совершенные квадратные трехчлены. 92-2аб\)

10 реальных примеров простой факторизации для лучшего понимания

Мы неосознанно используем различные основные принципы математики в нашей повседневной жизни. Мол, мы всегда используем сложение, вычитание, деление и умножение везде — от ресторанов до общественного транспорта. Когда ребенок изучает числа и основы математики, ему требуется время, чтобы определить каждое число при решении задачи. Но когда они вырастут, им может даже не понадобиться читать всю задачу, а решить ее сразу. Это происходит потому, что со временем мы знакомимся с понятиями. Первичная факторизация — аналогичный пример этого. Здесь, в этом посте, у нас есть куча примеров из реальной жизни, где мы широко используем простую факторизацию, облегчая нашу повседневную жизнь.

Что такое простая факторизация?

Это будет легко понять, если мы скажем, что простая факторизация на самом деле является обратным умножением. Например, возьмем число 32. Мы можем сказать, что это результат умножения между 4 и 8. Теперь мы можем разбить число 4 на 2×2. Точно так же мы можем разбить число 8 и представить его как 2x2x2. Итак, мы можем выразить 32 как результат 2x2x2x2x2. Этот процесс называется факторизацией простых чисел, когда мы находим простые числа, из которых состоит другое число.

Другой пример может помочь вам лучше понять это. Возьмем, к примеру, 27. Мы можем сказать, что

27= 3×9

Но 9 не простое число. Итак, нам нужно разбить число 9 на простые числа.

9= 3×3

Итак, 27= 3x3x3

Таким образом, простая факторизация работает.

Как мы используем простую факторизацию в реальной жизни?

В нашей повседневной жизни факторизация важна и используется довольно часто. Наиболее распространенные виды использования — обмен денег, оценка времени, расчет затрат и оценок во время путешествий и т. д. Более подробное описание здесь для вас.

1. Собираетесь испечь кексы? Учтите факторизацию!

Предположим, у вас будет несколько друзей на ночевку у вас дома, и вы планируете удивить их нежными тающими во рту кексами. Включая вас, будет шесть человек. Вы проверяете свои формочки для маффинов и обнаруживаете, что можете испечь девять маффинов за раз. Значит, либо будет три лишних маффина, либо вы не сможете подарить всем своим друзьям по два маффина, если они попросят еще. Но что, если вы получите еще одну форму из девяти кексов? Тогда у вас получится 18 маффинов. Если разложить на множители 18, то получится 9.0003

18= 2x3x3=6×3

Теперь на шесть человек хватит. Разделите эти кексы между друзьями, по три на каждого из них. Таким образом, факторизация облегчила вам деление кексов в равной степени.

2. Факторизация при обмене денег

Мы обмениваем деньги так много раз в день, верно? Но мы почти не замечаем, что используем факторизацию на каждом этапе. Вот пример.

Возьми один доллар. Все мы знаем, что 100 пенни составляют доллар. Мы также знаем, что доллар равен четырем четвертям. Не осознавая этого, вы сделали здесь факторизацию.

100= 4×25

Итак, вы видите четыре четвертака, каждый из которых стоит 25, что составляет 100 пенни или доллар.

Вот вам еще один пример. Предположим, вам нужны сдачи, а у вас есть только двадцатидолларовая купюра. При поиске сдачи вы можете разложить 20 на множители. Это даст вам следующие варианты:

20= 2×10

20= 1×20

20= 4×5

Таким образом, вы можете получить четыре купюры пять долларов, двадцать банкнот по одному доллару или две банкноты по десять долларов.

3. Выстраивание и группировка

Предположим, вы воспитатель детского сада и однажды в школе ведете детей на игровую площадку. Вам нужно сгруппировать их и вовлечь их в различные игровые действия. Итак, если в вашем классе 30 учеников, вы можете разложить это число на множители;

30= 3×10

или

30= 3x2x5

Итак, если на детской площадке три качели, можно сформировать десять групп по три ребенка в каждой и вызвать одну группу, чтобы прокатиться на качелях один раз. Как только эти трое детей закончат, вы вызываете вторую группу. Таким образом, все 30 детей смогут покататься на качелях. Вы можете удовлетворить каждого ребенка с помощью факторизации.

Если мы возьмем, например, службу доставки, мы также найдем применение факторизации. Вот как. Предположим, есть товары весом 100 фунтов, которые нужно куда-то отправить. Вы можете разложить 100 на множители следующими способами:

100 = 2 × 50

или

100 = 4 × 25

Таким образом, либо вы можете взять две упаковочные коробки, способные вместить 50 фунтов каждая, либо четыре. упаковочные коробки по 25 фунтов каждая. В любом случае, факторизация пригодится.

4. Преобразование единиц с помощью факторизации

При решении математической задачи вас часто могут попросить выразить что-то в определенных единицах. Теперь это легко, но может быть поворот вопроса, если он просит выразить результат как произведение простых чисел. Поясним это на примере.

Допустим, вы хотите сшить себе многоцветный топ и иметь при себе две фута ткани одного цвета. Ваш портной говорит вам, что вам нужно 40 дюймов ткани, чтобы сшить топ. Итак, сколько еще вам нужно? Для начала у вас уже есть два фута, то есть 24 дюйма. Значит, нужно набрать еще 16 дюймов. Факторизуя 16, вы получаете-

16= 2x2x2x2

Итак, вы можете купить еще четыре цвета по четыре дюйма каждый. Или вы можете купить ткань двух цветов, каждый длиной восемь дюймов. Вы можете видеть, как факторизация упрощает поиск вариантов, когда вы находитесь в исправлении.

5. Распределение времени

Часы и концепция времени очень заметно используют простую факторизацию. В сутках 24 часа, а каждый час делится на 60 минут. Итак, разложим на множители 60.

60= 5x2x2x3

Глядя на настенные часы, вы увидите пять делений между двумя числами. Начиная с 12, вы увидите, что всего 12 приращений, каждое по 5 минут. Итак, вы можете понять, как разрабатываются часы на основе концепции первичной факторизации.

Вы также можете выразить час в других формах. Используя простые множители 60, вы можете разделить час на две части по тридцать минут или четыре части по 15 минут каждая. Таким образом, если ваш врач дает вам таблетку для приема четыре раза в день, вам нужно будет разложить 24 часа на:

24 = 2x2x2x3

Это означает, что вы должны принимать одну таблетку каждые четыре часа. Именно так простая факторизация используется и в тайм-менеджменте.

6. Куда-то далеко едете? Факторизация подсчитывает ваши часы

Предположим, вы проживаете в Сан-Франциско и планируете посетить шоу American Influencer Award в Лос-Анджелесе. Расстояние между ними составляет около 380 миль. Итак, если вы едете в Лос-Анджелес, вам нужно спланировать, сколько времени вам потребуется, чтобы добраться туда, придется ли вам останавливаться где-то посередине и т. д. Это займет около шести часов, если вы проедете в среднем 65 миль в час. час. Вы фактически используете факторизацию, когда делаете этот расчет. План путешествия — это еще один пример из реальной жизни, в котором вы реализуете простую факторизацию.

7. Факторизация является основой решения головоломки Кенкен.

Kenken в наши дни очень популярен. Вы даже можете играть в нее на онлайн-сайте New York Times. Но пока вы играете с числами и решаете головоломку, вы можете подумать, что просто используете функции, упомянутые в блоках. На самом деле вы широко используете простую факторизацию. В головоломке Kenken вы разбиваете суммы на уникальные числа. Сам этот акт разрушения является первичной факторизацией или множественными факторизациями.

8. Распределение рабочей нагрузки также включает факторизацию.

Предположим, у вас есть небольшой малярный бизнес и пять постоянных сотрудников, работающих с вами. Внезапно вы получаете огромный заказ и сжатые сроки, когда вам нужно покрасить помещение двухэтажного кафе. Как вам это удается? Во-первых, вы знаете своих сотрудников и их уровни эффективности и навыков. Если один может выполнить работу за шесть часов, возможно, другой сотрудник сможет сделать то же самое за четыре. Опять же, кому-то другому может понадобиться восемь часов, чтобы сделать это. Таким образом, вы можете факторизовать их время и оценить, у кого сколько времени уйдет на то, чтобы закончить ту или иную часть кафе. Таким образом, вы сможете уложиться в срок и выполнить работу с умом. То, как вы выполняете математику, представляет собой не что иное, как простую факторизацию простых чисел и другие операции, такие как H.C.F. и Л.К.М.

9. Факторизация в кодировании и криптографии

В дополнение к приведенному выше списку, простая факторизация также используется в технологических областях. Кодировщики используют первичную факторизацию для создания уникальных кодов в криптографии для защиты и защиты информации. Используя это, они определяют, какие числа использовать в качестве кода, чтобы система стала уникальной и простой для одновременной обработки.

10. Факторизация в играх

Видеоигры или компьютерные игры, в которых играют в кости на экране, используют простую факторизацию. При факторизованном программировании каждый раз, когда вы щелкаете или нажимаете, чтобы сыграть в кости, требуется определенное количество ходов и выдается результат.