Примеры нахождение обратной матрицы: Как найти обратную матрицу: примеры решений

{-1}\cdot A= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -5\cdot1 + 3\cdot2 & -5\cdot3 + 3\cdot 5\\ 2\cdot1 +(-1)\cdot2 & 2\cdot3 +(-1)\cdot5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2}$

Матрицы Умножение матриц Определители Ранг матрицы Матричные уравнения Системы уравнений Калькуляторы для матриц

Содержание

Нахождение обратной матрицы.

В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.

Навигация по странице.

Обратная матрица — определение.
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Свойства обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Обратная матрица — определение.

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Определение.

Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n.

Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

Как же находить обратную матрицу для данной?

Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы, минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Определение.

Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы

А, находящихся в выбранныхk строках и k столбцах.

(k не превосходит наименьшего из чисел m или n).

Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой, и всех столбцов, кроме j-ого, квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .

Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на nвычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.

Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов . Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца . Проиллюстрируем построение этих миноров: и .

Определение.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким обрзом, .

Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть .

Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделевычисление определителя матрицы:

На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где — транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .

Матрица действительно является обратной для матрицы

А, так как выполняются равенства . Покажем это

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .

Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).
Строим — матрицу из алгебраических дополнений элементов .
Транспонируем матрицу , тем самым получаем .
Умножаем каждый элемент матрицы на число . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы .
Проводим проверку результата, вычисляя произведения и . Если , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.

Пример.

Дана матрица . Найдите обратную матрицу.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам третьего столбца:

Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.

Найдем матрицу из алгебраических дополнений:

Поэтому

Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:

Теперь находим обратную матрицу как :

Проверяем полученный результат:

Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.

{-1}[/latex] соответствует идентификационной матрице . Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем матрицы идентичности как [latex]{I}_{n}[/latex], где [latex]n[/latex] представляет размерность матрицы. Приведенные ниже уравнения представляют собой единичные матрицы для матрицы [latex]2\text{}\times \text{}2[/latex] и матрицы [latex]3\text{}\times \text{}3[/latex] , соответственно.

[латекс]{I}_{2}=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill & \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill & \hfill 1\end{array}\ справа][/латекс] 9{-1}[/latex] уникален. Мы рассмотрим два метода нахождения обратной матрицы [latex]2\text{}\times \text{}2[/latex] и третий метод, который можно использовать как для [latex]2\text{} матрицы \times \text{}2[/latex] и [latex]3\text{}\times \text{}3[/latex].

Общее примечание: единичная матрица и мультипликативная обратная

Единичная матрица , [latex]{I}_{n}[/latex], представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. {-1}[/латекс], мультипликативная обратная матрица [латекс]А[/латекс].

Пример: демонстрация того, что матрица идентичности действует как 1

Учитывая матрицу A , покажите, что [latex]AI=IA=A[/latex].
[latex]A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& 5\end{array}\right][/latex]

Показать решение

Как: Имея две матрицы, показать, что одна из них является мультипликативной, обратной другой [латекс]B[/латекс] порядка [латекс]n\times n[/латекс] умножить на [латекс]АВ[/латекс]. 9{-1}[/латекс].

Пример: демонстрация того, что матрица

A является мультипликативно обратной к матрице B

Показать, что данные матрицы являются мультипликативно обратными друг другу.

[латекс]A=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill & \hfill 5\\ \hfill -2& \hfill & \hfill -9\end{array}\right],B =\left[\begin{array}{rrr}\hfill -9& \hfill & \hfill -5\\ \hfill 2& \hfill & \hfill 1\end{array}\right][/latex]

Показать решение

Попробуйте

Покажите, что следующие две матрицы являются обратными друг другу.

[латекс]A=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill & \hfill 4\\ \hfill -1& \hfill & \hfill -3\end{array}\right],B =\left[\begin{array}{rrr}\hfill -3& \hfill & \hfill -4\\ \hfill 1& \hfill & \hfill 1\end{array}\right][/latex]

Показать решение

Нахождение обратной мультипликативной матрицы с помощью умножения матриц

Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы обратными, но как найти обратную заданную матрицу? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы и ее обратной является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, составив уравнение, используя умножение матрицы .

Пример: нахождение обратной мультипликативной матрицы с помощью умножения матриц

Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную заданную матрицу.

[латекс]A=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill & \hfill -2\\ \hfill 2& \hfill & \hfill -3\end{array}\right][/ латекс]

Показать решение

Нахождение мультипликативной инверсии путем увеличения тождества

Другой способ нахождения мультипликативной инверсии

9{-1}[/латекс].
Например, задано
[латекс]A=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 2& \hfill & \hfill 1\\ \hfill 5& \hfill & \hfill 3\end{array}\ right][/latex]
дополнить [latex]A[/latex] идентификатором
[latex]\left[\begin{array}{rr}\hfill 2& \hfill 1\\ \hfill 5& \hfill 3 \end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{array}{rr}\hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 1\end{массив}\right][/latex]
Выполнить операций со строками с целью превратить [латекс]А[/латекс] в личность.
Переключить строку 1 и строку 2.
[латекс]\left[\begin{array}{rr}\hfill 5& \hfill 3\\ \hfill 2& \hfill 1\end{array}\text{ }|\ text{ }\begin{array}{rr}\hfill 0& \hfill 1\\ \hfill 1& \hfill 0\end{array}\right][/latex]
Умножить строку 2 на [latex]-2[/latex] и добавить к строке 1.
[latex]\left[\begin{array}{rr}\hfill 1& \hfill 1\\ \hfill 2& \hfill 1\ end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{array}{rr}\hfill -2& \hfill 1\\ \hfill 1& \hfill 0\end{массив}\right][/latex]
Умножить строку 1 на [latex]-2[/latex] и прибавить к строке 2.
[latex]\left[\begin{array}{rr}\hfill 1& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill -1 \end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{array}{rr}\hfill -2& \hfill 1\\ \hfill 5& \hfill -2\end{массив}\right][/latex]
Добавить строку 2 к строке 1.
[латекс]\left[\begin{array}{rr}\hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill -1\end{array}\text{ }|\text { }\begin{массив}{rr}\hfill 3& \hfill -1\\ \hfill 5& \hfill -2\end{массив}\right][/latex] 9{-1}=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 3& \hfill & \hfill -1\\ \hfill -5& \hfill & \hfill 2\end{array}\right][/latex]
Нахождение мультипликативной обратной матрицы 2×2 с помощью формулы
Когда нам нужно найти мультипликативную обратную матрицы [латекс]2\х2[/латекс], мы можем использовать специальную формулу вместо использования матричное умножение или увеличение на единицу.
Если [латекс]А[/латекс] представляет собой матрицу [латекс]2\умножить на 2[/латекс], например 9{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{rrr}\hfill d& \hfill & \hfill -b\\ \hfill -c& \hfill & \hfill a\end {array}\right][/latex]
, где [latex]ad-bc\ne 0[/latex]. Если [latex]ad-bc=0[/latex], то [latex]A[/latex] не имеет обратного.
Пример: использование формулы для нахождения мультипликативной обратной матрицы
A
Используйте формулу для нахождения мультипликативной обратной матрицы

[latex]A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\ \ 2& -3\конец{массив}\право][/латекс]
Показать раствор
Попробуйте
Используйте формулу, чтобы найти обратную матрицу [латекс]А[/латекс]. Проверьте свой ответ, дополнив единичную матрицу.
[latex]A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right][/latex]
Показать решение
Пример: нахождение обратной матрицы, если она существует
Найдите обратную матрицу, если она существует, данной матрицы.
[латекс] A=\left[\begin{массив}{cc}3& 6\\ 1& 2\end{массив}\right][/latex]
Показать раствор
Нахождение мультипликативной обратной матрицы 3×3
К сожалению, у нас нет формулы, похожей на формулу для матрицы [latex]2\text{}\times \text{}2[/latex], чтобы найти обратная матрица [latex]3\text{}\times \text{}3[/latex]. Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и используем операций со строками , чтобы получить обратную.
Дана [латекс]3\текст{}\times \text{}3[/латекс] матрица
[латекс]A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 3& 1 \\ 2& 4& 1\end{массив}\right][/latex]
дополнить [latex]A[/latex] единичной матрицей
[latex]A|I=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 3& 1\\ 2& 4& 1\end {array}\text{ }|\text{ }\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right][/latex]
Чтобы начать, мы пишем расширенную матрицу с единицей справа и [латекс]А[/латекс] слева. Выполнение элементарных операций со строками так, чтобы единичная матрица 9Слева появится 0014, справа мы получим обратную матрицу . Мы найдем обратную этой матрице в следующем примере.
Как: Имея матрицу [латекс]3\умножить на 3[/латекс], найдите обратную
Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.

Справа получается обратная исходная матрица.
9{-1}A=I[/латекс].
Пример: нахождение обратной матрицы 3 × 3
Для заданной матрицы [latex]3\times 3[/latex] [latex]A[/latex] найти обратную.
[латекс]A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 3& 1\\ 2& 4& 1\end{массив}\right][/latex]
Показать решение
Попробуйте
Найдите обратную матрицу [латекс]3\умножить на 3[/латекс].
[латекс]A=\left[\begin{array}{ccc}2& -17& 11\\ -1& 11& -7\\ 0& 3& -2\end{массив}\right][/latex]
Показать раствор
Поддержите!
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Обратная матрица с использованием миноров, кофакторов и сопряжения
Примечание: также ознакомьтесь с инверсией матрицы с помощью операций со строками и матричным калькулятором

Мы можем вычислить обратную матрицу:
Шаг 1: расчет матрицы миноров,
Шаг 2: затем превратите это в матрицу кофакторов,
Шаг 3: затем Адъюгат и
Шаг 4: умножьте это на 1/Определитель.
Но лучше всего это объяснить на примере!
Пример: найти обратное число A:
А =
302 20-2 011
Требуется 4 шага. Это все простая арифметика, но ее много, так что постарайтесь не ошибиться!
Шаг 1: Матрица несовершеннолетних
Первым шагом является создание «Матрицы несовершеннолетних». На этом шаге больше всего вычислений.
Для каждого элемента матрицы:
игнорировать значения в текущей строке и столбце
вычислить определитель остальных значений
Поместите эти определители в матрицу («Матрица миноров»)
Определитель
Для матрицы 2×2 (2 строки и 2 столбца) определитель прост: ад-бк
Подумай о кресте:
Синий означает положительный (+реклама),
Красный означает отрицательный (-bc)

(Сложнее для матрицы 3×3 и т. д.)
Расчеты
Вот два первых и два последних вычисления » Матрицы миноров » (обратите внимание, как я игнорирую значения в текущей строке и столбцах и вычисляю определитель, используя оставшиеся значения):
А вот и расчет для всей матрицы:
Шаг 2: Матрица кофакторов
Это просто! Просто примените «шахматную доску» минусов к «Матрице миноров». Другими словами, нам нужно изменить знак альтернативных ячеек, например, так:
Шаг 3: Сопряжение (также называемое сопряженным)
Теперь «транспонируем» все элементы предыдущей матрицы… другими словами, меняем их местами по диагонали (диагональ остается прежней):
Шаг 4: Умножение на 1/Определитель
Теперь найдите определитель исходной матрицы. Это не так уж сложно, потому что мы уже вычислили определители меньших частей, когда делали «Матрицу миноров».
Использование:
Элементы верхнего ряда: 3, 0, 2
Миноры для верхнего ряда: 2, 2, 2
Получаем такой расчет:
Определитель = 3×2 − 0×2 + 2×2 = 10
Ваш ход: попробуйте это для любой другой строки или столбца , вы также должны получить 10.
No related posts.