Примеры нахождение производной функции: Как найти производную функции, примеры решения

Вычисление производных, урок и презентация по алгебре в 10 классе

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:Вычисление производной (PDF)

---

Что будем изучать:

1. Формулы дифференцирования.
2. Правила дифференцирования.
3. Дифференцирование функции вида y=f(kx+m).
4. Примеры.

Вычисление производных — формулы дифференцирования

Построим таблицу для нахождения производных и постараемся запомнить ее:

Ребята постарайтесь запомнить нашу таблицу, она может помочь вам при решении разных заданий.
Давайте выведем какую-нибудь формулу из таблицы:
Найдем производную 1/x
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1)Для фиксированного значения x, значение функции y=1/x

2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=
3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)=

4) Составим соотношение:
5)Найдем предел:

Примеров нахождения производной.

Найти производную функций и вычислить ее значения:
а) y= 5x-7, при x=2
б) y= x⁴, при x=5
в) y=sin(x), при x=0

Решение:
а) y’=5 в каждой точке, тогда y’(2)=2
б) y’=4x³, тогда y’(5)=4×5³=500
в) y’=cos(x), y’(0)=cos(0)=1

Правила дифференцирования.

Запишем основные свойства дифференцирования, правила которыми мы будем пользоваться при нахождении производных.
а) Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то их сумма имеет производную в точке x, производная суммы равна сумме производных.

(f(x)+g(x))’=f’ (x)+g’ (x)

b) Если функции y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=f(k×x), имеет производную.

f’ (kx)=kf'(x)

c) Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то их произведение имеет производную в точке x.
(f(x)×g(x))’=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)

d) Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то их частное имеет производную в точке x.

‘ (kx+m)

Примеры вычисления производной

Пример 1:
Найти производную функции y=sin⁡(5x), y=-cos(10x)

Решение:
Воспользуемся нашим свойством:
y’=5sin(5x)
y’=-10(-sin(10x) )=10sin(10x)

Пример 2:
Найти производную функции

Пример 3:
Найти производную функции y=cos(3x-4)
Решение:
y’=-3sin(3x-4)

Пример 4:
Найти значение производной функции y=(5x-4)⁶ в точке x=1
Решение:
y’=5×6(5x-4)⁵=30(5x-4)⁵

y’ (2)=30(5×1-4)⁵=30(1)⁵=30
Ответ: y'(2)=30

Пример 5:
Вычислить скорость изменения функции y=(3x-2)⁷ в точке x=2
Решение:
Вспомним, что скорость изменения функции это другое название производной:
y’=7(3x-2)⁶
y’ (2)=7(3×2-2)⁶=7×4⁶=7×4096=28672
Ответ: скорость изменения функции в точке x=2 равна 28672

Задачи для самостоятельного решения

1)Найти производную функций и вычислить ее значения:

а) y= 3x+8, при x=5

б) y= 2x⁶, при x=2

в) y=3cos(x), при x=π/2

2) Найти производную функции y=x⁵+4x⁴+x³+7x+tg(x)

3) Найти производную функции y=ctg(x)(x^4+3x+5)

4) Найти производную функции y=(x²+7x-8)/(x^3-5x^2 )

5) Найти производную функции y=√(15-2x)

6) Найти производную функции y=tg(8x-5)

7) Вычислить скорость изменения функции y=(-6x-3)⁵ в точке x=-1

Примеры вычисления основных производных.

Типовые задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение производной функции

 

Производная функции  в точке :

 

Геометрический смысл производной

Если задан график функции , то производная в точке  – это тангенс угла наклона касательной к данной функции в точке c абсциссой  (или угловой коэффициент касательной).

Физический смысл производной

Если в качестве функции мы берем перемещение, зависящее от , – , то , где  – перемещение,  – время, а  – мгновенная скорость в данной точке.

И сегодня мы попробуем вычислить некоторые производные по определению.

 

Производная функции

 

 

Начнем с самого простого – с линейной функции.

 

Пусть , где  и  – некоторые числа, а  – переменная.

Тогда:

Итак, выясняется, что  для любого . Значит, можно утверждать, что .

О чем это говорит?

Во-первых, мы подтвердили несколько фактов про линейную функцию, которые нам, возможно, уже были известны.

1. Так, исходя из геометрического смысла производной, тангенс угла наклона прямой совпадает с ее угловым коэффициентом (он равен производной в соответствующей точке).

Кроме этого, мы видим, что раз производная постоянна, то угол наклона постоянен, это вполне соответствует нашим представлениям о прямой.

2. Если предположить, что материальная точка движется прямолинейно равномерно, то ее координата в данный момент времени описывается функцией: , где  – начальная координата, а  – скорость. Рассмотрим это утверждение.

Предположим, что есть некоторая материальная точка, которая двигается по закону . Найти его производную.

Решение

Для удобства предположим, что точка движется равномерно, то есть  в каждой точке одинаково. Тогда с точки зрения физического смысла мы получим:

.

Физический смысл производной: производная от координаты равна мгновенной скорости точки в данный момент времени.

Но для равномерного движения мгновенная скорость в любой момент времени одна и та же и равна скорости движения тела . Получаем, что должно выполняться равенство: .

 

Следствия производной линейной функции

 

 

Во-первых, . Это следует из наших выкладок просто в силу того, что мы подставили ; .

 

Далее, . Итак, производная от константы равна нулю.

 

Производная функции

 

 

Дальше рассмотрим производную функции .

 

В силу того что  – произвольна, имеем:

Где это может нам пригодиться? В дальнейшем с помощью производных мы будем исследовать свойства функций, говорить об их монотонности и т.  д. Пока же мы можем говорить лишь о физическом и геометрическом смыслах. Разберем по примеру на каждый из них.

 

Пример 1

 

 

Тело движется по закону  ( – в секундах,  – в метрах). Какой будет скорость тела через 3 секунды после начала движения? Через какое время после начала движения скорость тела будет равна ?

 

Дано: , .

Найти: 1. , 2.

Прежде всего вспомним, что .

Отсюда мы можем вывести, что скорость через три секунды, то есть при , будет равна .

А  скорость будет равна через 5 секунд ().

Ответ: , .

В качестве небольшого упражнения попробуйте сами вывести производную функции .

А сделав это, вы сможете решать физические задачи на равноускоренное движение. , где  – ускорение.

 

Пример 2

 

 

В какой точке графика  его касательная параллельна прямой ?

 

Дано: , .

Решение

Раз прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) должен быть равен 1. Но мы помним, что тангенс угла наклона касательной как раз равен производной в точке касания (в абсциссе точки касания) (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

Приравнивая  имеем , значит, речь идет о касательной в точке .

Ответ: в точке .

 

Пример 3

 

 

Теперь рассмотрим кубическую функцию .

 

В силу того, что  произволен, имеем:

.

 

Итоги урока

 

 

На этом уроке мы с вами применяли определение производной на конкретных примерах. Мы вычислили производную линейной функции, производную  и , а также пока без доказательства познакомились с производной от . Кроме этого, мы разобрали несколько примеров, увидели, где применяется производная.

 

 

Доказательство

.

По формуле бинома Ньютона:

Это доказательство верно только для натуральных , так как бином Ньютона работает только для натуральных .

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.

4. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт kontromat.ru (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вычислить производную функции .

2. Вычислить производную функции  в точке .

3. Найти производную функции .

 

исчисление — Используя альтернативную формулу, чтобы найти производную функции?

спросил 9 лет, 9 месяцев назад

Изменено 9 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 27 тысяч раз

$\begingroup$

Я пытаюсь найти производную функции: $$f(x) = 4x^2+3x+5$$ Используя альтернативную формулу: $$\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$$ 92)+3(z-x)}{z-x}$$

Я понятия не имею, куда двигаться дальше. Я пробовал несколько разных вещей, чтобы найти правильный ответ, который, как я знаю, равен $8x+3$. Может кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне решить эту проблему? Я полностью застрял. Кроме того, извините за форматирование. Я использую этот редактор http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=en-en и до конца еще не разобрался.

• исчисление
• производные

$\endgroup$ 9{2}\вправо)+3\влево(z-x\вправо)}{z-x}=\frac{4\влево(z+x\вправо)\влево(z-x\вправо)+3\влево(z-x\вправо)} {г-х}=4\влево(г+х\вправо)+3$$ $$\lim_{z\to x}\left(4\left(z+x\right)+3\right)=4\left(x+x\right)+3=8x+3$$

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Как дифференцировать функцию

••• math image by jaddingt from Fotolia. com

Обновлено 25 апреля 2017 г.

By Chirantan Basu

Функция выражает отношения между константами и одной или несколькими переменными. Например, функция f(x) = 5x + 10 выражает связь между переменной x и константами 5 и 10. Известные как производные и выражаемые как dy/dx, df(x)/dx или f'(x), дифференцирование находит скорость изменения одной переменной по отношению к другой — в примере f(x) по отношению к x. Дифференциация полезна для нахождения оптимального решения, то есть нахождения максимальных или минимальных условий. Некоторые основные правила существуют в отношении дифференцирующих функций. 92 — 4x + 5, тогда f'(x) = cos x + 2x — 4

Об авторе

Чирантан Басу, живущий в Оттаве, Канада, пишет с 1995 года. Его работы публиковались в различных изданиях, и он занимался финансовым редактированием в фирме на Уолл-Стрит. Басу имеет степень бакалавра технических наук Мемориального университета Ньюфаундленда, степень магистра делового администрирования Университета Оттавы и звание канадского инвестиционного менеджера Канадского института ценных бумаг.