как найти корни квадратного уравнения по теореме виета
Вы искали как найти корни квадратного уравнения по теореме виета? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как найти корни по теореме виета, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти корни квадратного уравнения по теореме виета».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как найти корни квадратного уравнения по теореме виета,как найти корни по теореме виета,как найти корни теорема виета,как по теореме виета найти корни,как решать квадратные уравнения по теореме виета,как решать по виета,как решать по теореме виета,как решать через теорему виета,корни квадратного уравнения теорема виета,обратная теорема виета формула,примеры по теореме виета,решение квадратного уравнения теорема виета,решение квадратных уравнений по теореме виета,с помощью теоремы виета найдите корни уравнения,система виета,т виета,теорема виета для неприведенного квадратного уравнения,теорема виета как решать,теорема виета корни квадратного уравнения,теорема виета примеры с решением,теорема виета решение квадратного уравнения,теорема виета формула для квадратного,теорема виета формула для квадратного уравнения,теорема виета формула для квадратного уравнения примеры,теорема виета формула для квадратного уравнения примеры решения,теорема виета формула обратная,теорема виета формула с примером,уравнение виета,формула виета для квадратного уравнения,формулы виета для квадратного уравнения.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти корни квадратного уравнения по теореме виета Онлайн?
Решить задачу как найти корни квадратного уравнения по теореме виета вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Формула теоремы Виета, и примеры решения
Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение.
Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax² + bx + c = 0
Приведенное уравнение x² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p, c = q.
Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:
или
последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x² — 14x — 15 = 0
В ответ запишем уравнение имеет два корня.
Для приведенного квадратного уравнения с положительным дискриминантом справедлива следующая теорема.
Если x1 и x2 — корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы:
x1 + x2 = — р
x1 * x2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:
Складывая эти равенства, получаем: x1 + x2 = —р.
Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:
Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x1 = x2 = — р/2.
Не решая уравнения x² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x1 и x2. Дискриминант этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x1 + x2 = 13, x1 * x2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x² — рx — 12 = 0 равен x1 = 4. Найти коэффициент р и второй корень x2 этого уравнения.
По теореме Виета x1 * x2 = — 12, x1 + x2 = — р. Так как x1 = 4, то 4x2 = — 12, откуда x2 = — 3, р = — (x1 + x2 ) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем, второй корень x2 = — 3, коэффициент р = — 1.
Не решая уравнения x² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x1 и x2 — корни уравнения. По теореме Виета x1 + x2 = — 2, x1 * x2 = — 4. Так как x1²+ x2² = (x1 + x2)² — 2x1x2, тогда x1²+ x2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.
Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.
В общем случае корни уравнения ax² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x1 + x2 = — b/a, x1 * x2 = c/a, Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета. Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x1 = 3, x2 = 4.
Так как x1 = 3, x2 = 4 — корни квадратного уравнения x² + px + q = 0, то по теореме Виета р = — (x1 + x2) = — 7, q = x1x2 = 12. В ответ запишем x² — 7x + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.
Теорема, обратная теореме Виета
Если числа р, q, x1, x2 таковы, что x1 + x2 = — р, x1 * x2 = q, то x1 и x2 — корни уравнения x² + px + q = 0. Подставим в левую часть x² + px + q вместо р выражение — (x1 + x2), а вместо q — произведение x1 * x2.
Получим: x² + px + q = x² — (x1 + x2) х + x1x2 = x² — x1x — x2x + x1x2 = (x — x1) (x — x2). Таким образом, если числа р, q, x1 и x2 связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x² + px + q = (x — x1) (x — x2), из которого следует, что x1 и x2 — корни уравнения x² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример, x² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x1 и x2 так, чтобы x1 + x2 = 5, x1 * x2 = 6.
Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x1 = 2, x2 = 3 — корни уравнения x² — 5x + 6 = 0.
Формула Виета для квадратных уравнений
Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней. Виета был французским математиком, чья работа над многочленами проложила путь современной алгебре.
Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и продукты его корней. Виета был французским математиком, работавшим над многочлены проложили путь современной алгебре.
Формула Виета для квадратных уравнений
let α и β — корни квадратичного уравнения AX 2 + BX + C = 0,015 AX 5 5 5 5 5 AX 5 AX 5 AX AX 5 AX 5 AX 5 AX 5 AX 5 AX 5. + C = A ( x — α ) ( x — β ) = AX 2 — ) = AX 2 — ).
) x + a ( αβ ) = 0.
.
So a quadratic equation whose roots are α and β is x 2 − ( α + β ) x + αβ = 0 ; то есть a квадратичный уравнение с заданными корнями:
x 2 − (сумма корней) x + произведение корней = 0. (1)
ПримечаниеНеопределенный артикль a используется в приведенном выше заявлении. В факт, если P ( x ) = 0 является квадратным уравнением, корни которого равны α и β , тогда cP ( x ) также является квадратным уравнением с корни α и β для любого ненулевого константа c .
Фактически,
такое уравнение дается формулой (1). Например, квадратное уравнение,
корни равны 3 и 4: x 2 − 7 x +12 = 0,Далее строятся новые полиномиальные уравнения, корни которых функции корней заданного полиномиального уравнения; в этом процессе мы формируем новое полиномиальное уравнение без нахождения корней данного полинома уравнение. Например, мы строим полиномиальное уравнение, увеличивая корни данного полиномиального уравнения на два, как указано ниже.
Пример 3.1
Если α и β — корни квадратного уравнение17 x 2 + 43 x − 73 = 0, постройте квадратное уравнение, корни α
+ 2 и β + 2 . РешениеТак как α и β являются корнями 17 х 2 + 40 х , имеем α + β = -43/17 и αβ = -73/17
Мы хотим построить квадратное уравнение с корнями α +
2 и β + 2 .
Таким образом, чтобы построить такое квадратное уравнение, вычислите
сумму корней = α + β + 4 = [-43/17] + 4 = [25/17] и
произведение корней = αβ + 2(α + β ) + 4 = (-73/17) + 2 (-43/17) + 4 = -91/17.
Следовательно, квадратное уравнение с требуемыми корнями равно x 2 – (25/17) x – (91/17) = 0
Умножение этого уравнения на 17 дает 17 x 2 — 25 x — 91 = 0
, что также является квадратным уравнением, имеющим корни α + 2 и β + 2 .
Пример 3.2 IF α и
Так как α и β являются корнями квадратного уравнения имеем α + β = 7/2 и αβ = 13/2
Таким образом, для построения нового квадратного уравнения
Сумма корней = α 2 + β 2 = ( α + β) 2 — 2αβ = -3/4.
Произведение корней = α 2 β 2 = (αβ) 2 = 169/4
Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид x 2 + (¾) х + (169/4) = 0 . From this we see that
4 x 2 + 3 x +169 = 0
is a quadratic equation with roots α 2 and β 2 .
Замечание В примерах 3.1 и 3.2 мы вычислили сумму и
произведение корней с использованием известных α + β и αβ . Таким образом, мы можем построить квадратное уравнение с желаемым
корней при условии суммы и произведения корней нового квадратного
уравнение можно записать, используя сумму и произведение корней данного
Квадратное уравнение. Заметим, что данное уравнение мы не решили; мы делаем
не знать значения α и β даже после выполнения задания.