После разложения общий член ряда записывается следующим образом:
$$ a_n =\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} \frac{1}{2n+1} — \frac{1}{2} \frac{1}{2n+3} $$
Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$
$$ a_1 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) $$
$$ a_2 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) $$
$$ a_3 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) $$
$$ …………………………………. $$
$$ a_{n-1}=\frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) $$
$$ a_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$
| Замечание |
Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $. Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок. |
Итого, получаем:
$$ S_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) + … $$
$$ … + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$
Выносим дробь одну вторую $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$$ = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9} … + $$
$$ + … \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+1} — \frac{1}{2n+3} \bigg) = $$
Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:
$$ S_n = \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$
Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $.
Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:
$$ S=\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$
$$ = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$
Сумма ряда — как найти и вычислить с примерами решения
Содержание:
- Понятие суммы ряда
- Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
Понятие суммы ряда
Постановка задачи. Найти сумму ряда
где — целые числа.
План решения. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм , т.е.
где
1. По условию задачи
Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. где — натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:
и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.
3. Находим -ю частичную сумму ряда:
,
сократив соответствующие слагаемые.
4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)
и записываем ответ.
Пример:
Найти сумму рядаРешение:
1. Корни знаменателя и различаются на целое число, т.е. Следовательно, члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.
2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби
и выписываем несколько членов ряда:
3.
Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим -ю частичную сумму ряда:
4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):
Ответ:
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Полное исследование функции |
Исследование графика функции |
Найти производную функцию |
Уравнение прямой |
Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
и указать область сходимости ряда к этой сумме.
План решения.
1. Находим область сходимости ряда.
По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством
Если , ряд расходится. Если , ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами
2.
Делаем в исходном ряде замену , получим степенной ряд
с областью сходимости .
3. Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаем
Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,
6. Вычисляем интеграл, делаем замену на и записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.
Замечание. Если ряд имеет вид
то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:
и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.
Пример:
Найти сумму ряда
и указать область сходимости ряда к этой сумме.
Решение:
1. Находим область сходимости ряда.
По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством
В граничных точках при ряд расходится, при ряд сходится условно.
Следовательно, данный ряд сходится при всех .
2. Сделаем замену Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаем
Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула (5) справедлива при всех .
6. Заменяя на , получаем при
Ответ.
Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида
и указать область сходимости ряда к этой сумме.
План решения.
1. Находим область сходимости ряда.
По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством
Если , ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами .
2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов
Следовательно, достаточно найти суммы рядов
и
3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем
6. Вычисляем производную и делаем замену на . Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.
Замечание. Если ряд имеет вид
то вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда
применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.
Пример:
Найти сумму ряда
и указать область сходимости ряда к этой сумме.
Решение:
1. Находим область сходимости ряда.
По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством . Отсюда . В граничных точках ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале .
2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов
Следовательно, достаточно найти суммы рядов
3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Следовательно, при всех .
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем
Таким образом,
Заменяя на , получим
Ответ.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Горячая математика Предположим,
последовательность
чисел
арифметика
(то есть увеличивается или уменьшается на постоянную величину каждый член), и вы хотите найти сумму первого
н
условия.
Обозначим эту частичную сумму через С н . затем
С
н
знак равно
н
(
а
1
+
а
н
)
2
,
где
н
это количество терминов,
а
1
является первым термином и
а
н
это последний срок.
Сумма первого
н
членов арифметической прогрессии называется
Пример 1:
Найдите сумму первых 20 члены арифметического ряда, если а 1 знак равно 5 а также а 20 знак равно 62 .
С 20 знак равно 20 ( 5 + 62 ) 2 С 20 знак равно 670
Пример 2:
Найдите сумму первых
40
условия арифметики
последовательность
2
,
5
,
8
,
11
,
⋯
.
Сначала найдите 40 й срок:
а 40 знак равно а 1 + ( н − 1 ) д знак равно 2 + 39( 3 ) знак равно 119
Затем найдите сумму:
С н знак равно н ( а 1 + а н ) 2 С 40 знак равно 40 ( 2 + 119) 2 знак равно 2420
Пример 3:
Найдите сумму:
∑ к знак равно 1 50 ( 3 к + 2 )
Первая находка а 1 а также а 50 :
а 1 знак равно 3 ( 1 ) + 2 знак равно 5 а 50 знак равно 3 ( 50 ) + 2 знак равно 152
Затем найдите сумму:
С к знак равно к ( а 1 + а к ) 2 С 50 знак равно 50 ( 5 + 152 ) 2 знак равно 3925
Смотрите также: сигма-обозначение ряда а также n-й член арифметической прогрессии
Mathwords: арифметические ряды
Mathwords: арифметические ряды
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Первый член a 1 , общая разница д ,
а количество терминов n . Сумма
арифметический ряд получается путем умножения числа
термины раз
среднее значение первого и последнего членов.