Примеры решения рядов сходимость: Примеры решения рядов

Ряды (Математический анализ)

Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1982. — 160 с. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. § 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда. § 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ § 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА 1. а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сходимости Даламбера и Коши. 3. Интегральный признак сходимости Коши. 4. Примеры исследования рядов на сходимость. § 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами. 2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами. § 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ 2. Абсолютно сходящиеся ряды. 3. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 4. Свойства условно сходящихся рядов. § 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ § 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 2. Чебышевское расстояние между функциями. 3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности. 4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса. 5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости. § 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1. Почленное интегрирование функциональных рядов. 2. Почленное дифференцирование функциональных рядов. § 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Функции комплексного переменного. 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. 3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области. ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ § 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости. 3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. § 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области. 2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области. 3. Единственность разложения функции в степенной ряд. § 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Показательная функция в комплексной области. 2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера. § 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ 1. Вычисление значений функций и интегралов. 2. Вычисление пределов. 3. Метод последовательных приближений. ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ § 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 2. Скалярное произведение функций. 3. Ортонормированные системы функций. § 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ 2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций. § 20. ЛЕММА РИМАНА 1. Кусочно гладкие функции. 2. Лемма Римана. § 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Формула для частичных сумм ряда Фурье. 2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье. 3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье. 4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье. 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье. Ответы к упражнениям

Сходимость числовых положительных рядов Необходимый признак сходимости ряда

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности:  . Хороший пример расходящегося числового ряда встретился в начале урока:  . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому   и, значит, ряд расходится. Чуть ниже мы рассмотрим более строгий математический критерий для данного примера.

2) Ряд  сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу  :  . В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам со школы:  . Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле:  , где   – первый член прогрессии,   – основание прогрессии. В данном случае:  ,  . Таким образом:  . Получено конечное число, значит, ряд   сходится, что и требовалось доказать.

На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется.  Для установления сходимости (расходимости) ряда мы не будем пытаться найти сумму ряда. Для этого используются специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда:

 необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, некоторые другие признаки.Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда  , образно говоря – от «начинки» ряда. На этом уроке мы рассмотрим необходимый признак сходимости ряда и признаки сравнения.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида  . Для повтора материала обратитесь к статьеПределы. Примеры решений. 

Необходимый признак сходимости ряда

Я не буду записывать сам признак (его можно найти в любом учебнике), а сформулирую очевидное следствие:

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: Если  , то ряд расходится.

В качестве «динамической» переменной вместо «икса» у нас выступает  , но это никак не влияет на само понятие предела и не сказывается на методах решения пределов. Различия есть теоретические, и различия есть в терминах. Пределы с «иксом» называют пределами функций, а пределы с переменной «эн» называют пределами числовых последовательностей. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимаетдискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но, как я уже отметил, данный факт никак не сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера   расходится. Общий член ряда:  Вывод: ряд   расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак сходимости ряда довольно часто встречается в практических заданиях:

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость 

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены.

Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности   в статье Пределы. Примеры решений, наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателяравны, тогда предел равен конечному числу.

Решаем:

Делим числитель и знаменатель на  Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Готово.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость 

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров №№6,7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде   или  . Также расходятся ряды из примеров №№6,7: 

когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо  равна старшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым? Потому-что, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится. Или так: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще –  не достаточно. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки.

Знакомьтесь: Данный ряд называется гармоническим рядом. Пожалуйста, запомните! В теории рядов гармонический ряд является чуть ли не «аксиомой».

Легко заметить, что  , НО. В теории математического анализа доказано, чтогармонический ряд расходится.

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда: 1) Данный ряд расходится при  . Например, расходятся ряды  ,  ,  . 2) Данный ряд сходится при  . Например, сходятся ряды  ,  ,  . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма, например, ряда  , важен сам факт, что он сходится.

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда   или сходимость ряда  .

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – 

предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации.

Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда   и  . Если известно, что ряд   – сходится, и выполнено неравенство   (для  ), то ряд  тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость 

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд:  . Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что всех значений   справедливо неравенство  .

Если  , то  Если  , то  Если  , то  Если  , то  …. И так далее.

Оформить решение можно так:  “ Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом  . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство  , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом  . ” В принципе, можно расписать и подробнее, указав, что неравенство выполняется для нескольких первых членов.

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд   сходится? А вот почему. В теории доказано, что ряд   сходится, значит, он имеет некоторую конечную сумму  :  . Если все члены ряда   меньше соответствующих членов ряда  , то ясен пень, что сумма ряда   не может быть больше числа  , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов:  ,  ,   и т. д.

! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Если есть минусы, то рассматриваемый признак сравнения может не дать результата. Например, рассмотрим ряд  . Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом  , выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство   не выполняется и признак не дает нам ответа. Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость 

В примере я предлагаю самостоятельно рассмотреть вторую «зеркальную» часть теоремы: Если известно, что ряд   – расходится, и выполнено неравенство   (для  ), то ряд   тоже расходится. Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.

Что нужно сделать? Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом  : построить несколько неравенств и сделать вывод о справедливости неравенства  .

Решение и образец оформления в конце урока.

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» теории числовых рядов является предельный признак сравнения, по распространенности применения с ним может конкурировать разве чтопризнак Даламбера.

Предельный признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда   и  . Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу  :  , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числители и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.

Сразу рассмотрим пример, для которого не сработал только что рассмотренный признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость 

Сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд   – сходится. Если нам удастся показать, что   равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд   – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  .

Почему для сравнения был выбран именно ряд  ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот:  – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:  ,  ,  ,  . Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами: ,  ,  ,  .

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость 

Это пример для самостоятельного решения.

Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда.

Пример 12

Исследовать ряд на сходимость 

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения  .

1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего:  . Если есть константа, её тоже отбрасываем:  . Теперь извлекаем корень:  . Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом  , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

” Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  . Используем предельный признак сравнения: Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом  .

”

(1) Составляем отношение общих членов. (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. (3) Раскрываем в числителе скобки. (4) Неопределенность   устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. (5) В самой нижней строке подготавливаем   для внесения под корень:  (6) В знаменателе организуем общий корень. Примечание: на практике пункты 5,6 можно пропустить, я их очень подробно разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями. (7) Почленно делим числители на знаменатели. Помечаем члены, которые стремятся к нулю.

Пример 13

Исследовать ряд на сходимость 

Это пример для самостоятельного решения.

По мере накопления опыта решения примеров, вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд  . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом  , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.

Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения 

Пример 5: 

Пример 7: Делим числитель и знаменатель на Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 9: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем признак сравнения: Если  , то Если  , то Если  , то 

Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом  . Примечание: И здесь есть неформальный смысл. Доказано, что гармонический ряд расходится, следовательно, сумма его членов: . Мы показали, что члены ряда   ещё больше членов ряда  , и совершенно понятно, что сумма ряда   не может быть меньше бесконечности.

Пример 11: Сравним данный ряд с расходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения: Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с рядом  .

Пример 13:  Эти 3 пункта выполняем мысленно или на черновике: 1) Старшая степень знаменателя:4 2) Старшая степень числителя: 1 3) 4 – 1 = 3 Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходитсявместе с рядом  .

Выбор теста сходимости | Исчисление II

Результаты обучения

• Описать стратегию проверки сходимости заданного ряда

На данный момент у нас есть длинный список тестов сходимости. Однако не все тесты можно использовать для всех серий. Получив серию, мы должны определить, какой тест лучше всего использовать. Вот стратегия поиска наилучшего теста для применения.

Стратегия решения проблем: выбор теста сходимости для серии 9{\infty}{a}_{n}[/latex] знакомая серия? Например, это гармонический ряд (который расходится) или знакопеременный гармонический ряд (который сходится)? Это [латекс]p-\text{ряд}[/латекс] или геометрический ряд? Если это так, проверьте степень [латекс]p[/латекс] или отношение [латекс]r[/латекс], чтобы определить, сходится ли ряд.

{\infty }|{a}_{ п}|[/латекс]. 9{n}[/latex], сначала попробуйте корневой тест. В противном случае сначала попробуйте провести тест соотношения.

Используйте тест расхождения. Если этот тест не дает никакой информации, попробуйте интегральный тест.

Медиа

Посетите этот веб-сайт для получения дополнительной информации о тестировании серий на сходимость, а также общей информации о последовательностях и сериях.

Пример: использование тестов сходимости

Для каждой из следующих серий определите, какой тест сходимости лучше всего использовать, и объясните, почему. Затем определите, сходится ряд или расходится. Если ряд знакопеременный, определить, сходится ли он абсолютно, сходится условно или расходится. 9{n}+n}[/latex], определите, какой тест сходимости лучше всего использовать, и объясните, почему.

Показать решение

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте ИТ.

Для субтитров откройте видео на исходной странице, щелкнув логотип Youtube в правом нижнем углу экрана видео. На YouTube видео начнется с той же начальной точки, что и этот клип, но будет воспроизводиться до самого конца. 9{\infty}{a}_{n}[/latex] с ненулевыми элементами, пусть

[latex]\rho =\underset{n\to \infty}}{\text{lim}}|\frac{{a }_{n+1}}{{a}_{n}}|[/latex].

Если [latex]0\le \rho <1[/latex], ряд сходится абсолютно. Часто используется для рядов, содержащих факториалы или экспоненты. Если [латекс]\ро >1\текст{или}\ро =\infty [/латекс], ряд расходится. Если [латекс]\ро =1[/латекс], тест не дает результатов. 9{n}[/латекс]. Если [латекс]\ро >1\текст{или}\ро =\infty [/латекс], ряд расходится. Если [латекс]\ро =1[/латекс], тест не дает результатов.

Упражнение: Ряды, сходящиеся к [латекс]\pi [/латекс] и [латекс]\frac{1}{\pi} [/латекс]

Существуют десятки рядов, сходящихся к [латекс]\пи [ /latex] или алгебраическое выражение, содержащее [latex]\pi [/latex]. Здесь мы рассмотрим несколько примеров и сравним скорость их сходимости. Под скоростью сходимости мы подразумеваем количество членов, необходимых для того, чтобы частичная сумма находилась в пределах определенного количества фактического значения. Серийное представление [латекс]\пи [/латекс] в первых двух примерах можно объяснить с помощью рядов Маклорена, которые обсуждаются в следующей главе. Третий пример опирается на материал, выходящий за рамки этого текста. 9{-1}х[/латекс]. Мы обсудим эту серию в следующей главе.

1. Докажите, что этот ряд сходится.
2. Вычислить частичные суммы [латекс]{S}_{n}[/латекс] для [латекс]n=10,20,50,100[/латекс].
3. Используйте оценку остатка для переменного ряда, чтобы получить границу ошибки [latex]{R}_{n}[/latex].
4. Какое наименьшее значение [latex]N[/latex] гарантирует [latex]|{R}_{N}|<0,01\text{?}[/latex] Вычислить [latex]{S}_{N }[/латекс].

9{4n}}[/латекс]

был открыт Рамануджаном в начале [латекс]1900\текст{с}\текст{.}[/латекс]. Уильям Госпер-младший использовал этот ряд для вычисления [латекс]\пи [/латекс] с точностью до более [latex]17[/latex] миллионов цифр в [latex]\text{середине}1980\text{s}\text{.}[/latex] В то время это был мировой рекорд. С тех пор эта и другие серии Рамануджана привели математиков к поиску множества других представлений последовательностей для [латекс]\пи [/латекс] и [латекс]\фрак{1}{\пи} [/латекс].

1. Докажите, что этот ряд сходится.
2. Оцените первый член этого ряда. Сравните это число со значением [латекс]\пи [/латекс] из вычислительной утилиты. До скольких знаков после запятой совпадают эти два числа? Что, если мы добавим первые два члена ряда?
3. Исследуйте жизнь Шринивасы Рамануджана [латекс]\слева(1887\текст{-}1920\справа)[/латекс] и напишите краткое изложение. Рамануджана — одна из самых захватывающих историй в истории математики. В основном он был самоучкой, не имевшим формального образования в области математики, однако внес весьма оригинальный вклад во многие передовые области математики.

Тесты сходимости: примеры, ряды, исчисление

Когда вы попадаете в лимб, возникает вопрос: «Как низко вы можете опуститься?» В сериале это «насколько близко вы можете подобраться?». Другими словами, насколько близко вы можете приблизить свой ряд к реальному числу, или он вообще не сходится?

В этой статье мы рассмотрим тесты сходимости для рядов.

Тесты сходимости вычислений

Существует множество различных тестов сходимости для серий . В исчислении вы смотрите на те, которые относительно просты в применении, и те, которые используются часто. Некоторые тесты будут иметь результат, который говорит вам, когда ряд сходится и когда он расходится. Некоторые из них особенно хороши для проверки дивергенции. Здесь вы увидите некоторые из тех, которые включают сравнение одной серии со второй. 9{\infty}a_n\] сходится или расходится. Если вы знаете что-то о другом сериале, иногда вы можете сравнить тот, который у вас есть, с тем, о котором вы что-то знаете.

Подобные тесты называются сравнительными тестами . Здесь вы увидите два наиболее распространенных из них, , тест прямого сравнения и тест предельного сравнения, , а в следующем разделе этой статьи приведены примеры, показывающие, как их использовать.

Сначала мы начнем с теста прямого сравнения. 9{\infty}\frac{-1}{n}\]

, которые расходятся (дополнительную информацию о гармоническом ряду см. в P-рядах), вы обнаружите, что \(a_n\geq d_n\), что приведет вас сделать вывод, что знакопеременный гармонический ряд расходится, потому что расходится гармонический ряд. На самом деле, чередующийся гармонический ряд сходится (подробности см. в «Перемежающийся ряд»), а отрицательный гармонический ряд — нет. Поэтому очень важно убедиться, что серия, с которой вы работаете, имеет правильные свойства, прежде чем применять тест прямого сравнения. 9{\infty} a_n\] расходится.

Для теста прямого сравнения вам нужно было, чтобы y наша серия имела неотрицательные члены . Предельный сравнительный тест является более строгим в том смысле, что он требует, чтобы ваш ряд содержал положительных членов . Таким образом, предельный сравнительный тест нельзя использовать и для чередующихся серий.

Всегда ли можно применить предельный сравнительный тест к рядам с положительными условиями?

Давайте рассмотрим две серии, Гармоническую серию и Р-серию с \(p=2\). Вы уже знаете, что гармонический ряд расходится, а при \(p=2\) Р-ряд сходится. 9{\infty} b_n.\]

Но вам нужно, чтобы этот ряд расходился, и вы знаете, что он на самом деле сходится, поэтому вы также не можете применить эту часть теста предельного сравнения.

Так что на самом деле то, что два ряда имеют положительные члены, не означает, что тест предельного сравнения поможет вам выяснить сходимость.

Примеры теста сходимости

Давайте рассмотрим несколько примеров использования теста прямого сравнения и теста предельного сравнения.

В тех случаях, когда вы не можете применить какой-либо сравнительный тест, вы можете использовать корневой тест или тест соотношения. Дополнительные сведения об обоих этих видах тестов см. в разделах Root Test и Ratio Test. 9n\), что означает \(a_n>c_n\), и неравенство идет в противоположном направлении. Поэтому для решения этой проблемы вам нужно будет попробовать тест на сравнение пределов.

При использовании первой части теста сравнения пределов вы можете поменяться ролями рядов, потому что если вы знаете, что один из них сходится, а предел существует и положителен, то сходятся оба. Если вы попытаетесь использовать ограничение в одну сторону, и это не сработает, попробуйте поменяться ролями в сериале. Итак, пробуя лимит первым способом, 9{\infty}\frac{\ln{n}}{n}\]

сходится или расходится.

Решение

Это похоже на гармонический ряд, за исключением того, что в числителе присутствует натуральный логарифм. Поскольку \(n\geq 1\), вы знаете, что

\[a_n=\frac{\ln{n}}{n}\geq 0,\]

, поэтому рассматриваемый ряд имеет неотрицательные члены. Поскольку это похоже на серию Harmonic, неплохо было бы попробовать сравнить ее с первой. Вы знаете, что \(\ln{(n)}>1\) для \(n>3\), поэтому

\[\frac{\ln{(n)}}{n}>\frac{1} {n}\quad \text{для}\quad n>3.\] 9{\infty}\frac{1}{n}\]

Если вы можете использовать гармонический ряд и тест предельного сравнения, то вы можете показать, что исходный ряд расходится. С другой стороны, если вы можете использовать геометрический ряд и тест предельного сравнения, это покажет, что исходный ряд сходится. Если у вас нет хорошей интуиции, какой из них попробовать, ответ — попробовать один, а если это не поможет, то использовать другой. n}\\&=0.\end{align}\] 9n}\]

сходится, поскольку сходится геометрический ряд.

Интегральная проверка сходимости

Вы можете выяснить, сходится или расходится ряд, если найдете интеграл для сравнения. Объяснение и подробности того, как это сделать, а также примеры см. в разделе Интегральный тест.

Тесты сходимости последовательностей

Хотя знание того, когда последовательность сходится или расходится, может помочь вам при рассмотрении рядов, здесь обсуждается сходимость рядов. Для тестов сходимости последовательности см. Предел последовательности. 9{\infty}d_n\] неотрицательных членов с \(a_n\geq d_n\) для всех \(n>N\) для некоторого \(N\in \mathbb{N}\).

Предельный сравнительный тест

Предположим, \(a_n>0\) и \(b_n>0\) для всех \(n>N\) для некоторого \(N\in\mathbb{N}\) .

1. Если \[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=c\], где \(0

No related posts.