Примеры решения ряды степенные: Ряды: задачи, примеры, решения

16. Степенные ряды

Степенным Рядом называется функциональный ряд вида:

Где множители при степенях (X–X0) – Коэффициенты ряда, число X0 – центр интервала сходимости. При частном значении переменной X степенной ряд становится числовым. Сходимость степенного ряда зависит от величины X. Из теоремы Абеля для степенных рядов следует, что область сходимости всякого степенного ряда – некоторый интервал (X0–R, X0+R), называемый Интервалом сходимости. Во всех точках этого интервала степенной ряд сходится и притом абсолютно, вне интервала – ряд расходится. На границе интервала различные степенные ряды ведут себя по-разному. Число R – половина длины интервала сходимости – Радиус сходимости. Если степенной ряд сходится лишь в одной точке, то радиус R = 0. Если ряд сходится при любом X, То R = ¥. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

Если соответствующие пределы существуют – конечные или бесконечные. При этом R = 0, если L = 0 и R = ¥, если L = 0.

Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. В развернутом виде ряд выглядит следующим образом

Коэффициенты ряда:

Найдем радиус сходимости

Заключаем, что интервал сходимости (-1/3, 1/3).

Исследуем далее сходимость степенного ряда в граничных точках интервала:

а) при X=1/3 получим числовой положительный ряд:

Этот ряд расходится, что видно из сравнения его с гармоническим рядом.

б) при X= -1/3 получим знакочередующийся ряд:

Члены этого ряда удовлетворяют условиям теоремы Лейбница:

Знакочередующийся ряд сходится, т. е. при X = -1/3 степенной ряд сходится и окончательно область сходимости степенного ряда определяется неравенствами –1/3 £

X < 1/3.

При решении примеров на применение степенных разложений к приближенным вычислениям следует использовать известные формулы разложения элементарных функций в ряды Маклорена. Они помещены в таблице 2. Заметим, что важную роль здесь выполняет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Опираясь на это следствие легко установить, сколько членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с заданной точностью. Разумеется, все расчеты надо проводить в рамках этой точности.

Пример 9. С точностью до e = 0.0001 вычислить Exp(-0.1).

Решение. Используем разложение (табл. 2)

Полагая X= —0.1, имеем

Получили знакочередующийся ряд. Величина его остатка по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Возьмем 4 члена ряда, тогда погрешность не превышает величины 0.0000042, т. е.

Каждое из оставленных четырех слагаемых учитываем, удерживая 5 цифр после запятой. При этом, округляя, в ответе будем иметь 4 верных десятичных знака: Exp(-0.1)= 0.9048.

Пример 10. С точностью до E = 0.0001 вычислить интеграл

Решение. Интеграл вычислим, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд. При этом воспользуемся формулой (табл. 2):

Имеем

Степенной ряд можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать любое число раз, при этом радиус сходимости не меняется (Основное свойство степенных рядов). Выполняя почленное интегрирование, имеем

Получился знакочередующийся ряд, причем Поэтому с заданной точностью имеем

< Предыдущая		Следующая >

Глава 95. Степенные ряды. Область сходимости

В курсе математического анализа изучаются последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором множестве. Такие функциональные последовательности и ряды широко применяются в различных приложениях для анализа и приближенных вычислений. Мы ограничимся рассмотрением степенных рядов.

Определение: Функциональный ряд вида

(9.5.1)

Называется Степенным рядом. Постоянные числа называются Коэффициентами степенного ряда (9.5.1).

При разных значениях переменной мы получим разные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися. Особый интерес представляет множество значений , при которых ряд (9.5.1) сходится, оно называется

Областью сходимости степенного ряда.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда представляет собой Функцию переменной . Стало быть, последовательность частичных сумм является Функциональной последовательностью и сумма ряда (9.5.1) является Функцией переменной : .

Теорема: (Теорема Абеля). Если степенной ряд (9.5.1) Сходится при и , то он Абсолютно сходится при всех , таких, что . Если ряд (9.5.1) Расходится при , то он Расходится И при всех , удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля примечательна утверждением, что если степенной ряд (9.5.1) сходится при , то он сходится абсолютно всюду на отрезке . Если же – точка расходимости ряда, то он расходится везде вне интервала .

Отсюда следует основополагающая в теории степенных рядов Теорема.

Теорема: Если степенной ряд (9.5.1) Сходится не только при , то существует такое положительное число (возможно, и бесконечное), что ряд Абсолютно сходится в интервале и Расходится везде вне этого интервала.

Число и интервал называются соответственно Радиусом сходимости и интервалом сходимости степенного ряда. Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости . При вопрос о сходимости должен рассматриваться конкретно для каждого ряда.

Способ определения радиуса сходимости степенного ряда (9.5.1) указывает следующая Теорема.

Теорема

Если для степенного ряда (9.5.1) существует Предел

,

(9. 5.2)

То Радиус сходимости этого ряда определяется формулой .

Заметим, что если предел (9.5.2) равен нулю, то степенной ряд сходится на всей числовой прямой, т. е. .

Рассмотрим примеры на Определение радиуса сходимости степенного ряда.

Пример

Определить радиус сходимости ряда .

Решение

Согласно Теореме 3, радиус сходимости этого ряда определяется по формуле , т. е. данный ряд Абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример

Определить радиус сходимости ряда , .

Решение

Радиус сходимости находим . Радиус сходимости данного ряда . Выясним вопрос о сходимости ряда в точке . При подстановке в степенной ряд значения , получим числовой ряд , который имеет различный характер сходимости в зависимости от .

А) при ряд сходится Условно на отрезке как знакопеременный ряд, а на интервале он сходится Абсолютно (т. к. и ряд сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем ).

Б) При ряд сходится Абсолютно на отрезке .

Пример

Определить радиус сходимости ряда , .

Решение

Получаем: . При получаем, что необходимое условие сходимости числового ряда не соблюдается. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на интервале как сумма геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы.

Пример

Определить радиус сходимости ряда .

Решение

Радиус сходимости ряда: Следовательно, данный ряд сходится лишь в точке .

Свойства степенных рядов

Вообще говоря, сумма степенного ряда является функцией от переменной .

.

(9.5.3)

Пусть интервал сходимости этого ряда . Тогда говорят, что функция может быть разложена в степенной ряд на интервале .

Степенные ряды обладают рядом свойств; два из них мы приведем без доказательства.

Степенной ряд можно Дифференцировать почленно на промежутке его сходимости, так что

(9. 5.4)

1. При этом интервал сходимости ряда (9.5.4) тот же, что и ряда (9.5.3). Таким же образом можно вычислить производные любого порядка.

2. Степенной ряд можно Интегрировать почленно в интервале его сходимости , т. е. .

Замечание

Из свойства 1 следует, что сумма степенного ряда непрерывна на интервале его сходимости.

< Предыдущая		Следующая >

17.4: Серийные решения дифференциальных уравнений

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2629

• Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
9{п-2}. \номер\]

В некоторых случаях эти представления степенных рядов можно использовать для нахождения решений дифференциальных уравнений.

В этом разделе были выбраны примеры и упражнения, для которых существуют силовые решения. Однако не всегда существуют энергетические решения. Тем из вас, кто заинтересован в более тщательном рассмотрении этой темы, следует просмотреть раздел дифференциальных уравнений в LibreTexts.

Стратегия решения задач: поиск решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов 9{п-2}. \номер\]

• Подставить выражения степенного ряда в дифференциальное уравнение.
• При необходимости переиндексируйте суммы, чтобы объединить термины и упростить выражение.
• Приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), чтобы определить значения коэффициентов \(a_n\) в степенном ряду.
• Подставьте коэффициенты обратно в степенной ряд и запишите решение.

Пример \(\PageIndex{1}\): ряд решений дифференциальных уравнений 9n &=0 \tag{шаг 4}.

\end{align*} \]

Поскольку разложения функций по степеням уникальны, это уравнение может быть истинным, только если коэффициенты каждой степени \(x\) равны нулю . Итак, у нас есть

\[(n+2)(n+1)a_{n+2}−a_n=0 \text{ для }n=0,1,2,…. \nonumber \]

Это рекуррентное соотношение позволяет нам выразить каждый коэффициент \(a_n\) через коэффициент двумя членами ранее. Это дает одно выражение для четных значений \(n\) и другое выражение для нечетных значений \(n\). Глядя сначала на уравнения, включающие четные значения \(n\), мы видим, что

\[\begin{align*}a_2 &= \dfrac{a_0}{2} \\[5pt] a_4 &= \dfrac{a_2}{4⋅3} = \dfrac{a_0}{4!}\ \[5pt] a_6 &= \dfrac{a_4}{6⋅5} =\dfrac{a_0}{6!} \\ &\qquad ⋮ \end{align*}\]

Таким образом, вообще говоря, когда \ (n\) четно,

\[a_n=\dfrac{a_0}{n!}. \tag{шаг 5} \]

Для уравнений с нечетными значениями \(n,\) мы видим, что

\[\begin{align*}a_3 &=\dfrac{a_1}{3⋅2}= \dfrac{a_1}{3!} \\[5pt] a_5 &= \dfrac{a_3}{5⋅4}=\dfrac{a_1}{5!} \\[5pt] a_7 &= \dfrac{a_5} {7⋅6}=\dfrac{a_1}{7!} \\ &\qquad ⋮ \end{align*}\] 9n &=−4 \end{align*} \]

Глядя на коэффициенты каждой степени \(x\), мы видим, что постоянный член должен быть равен \(−4\), а коэффициенты все остальные степени \(x\) должны быть равны нулю. Затем, глядя сначала на постоянный член,

\[\begin{aligned}4a_0−2a_2 &=−4 \\ a_2 &=2a_0+2 \end{aligned} \tag{шаг 3} \]

For \ (n≥1\), имеем

\[\begin{align*}(n+4)(n+1)a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2} &= 0 \\[4pt] (n+1)[(n+4)a_n−(n+2)a_{n+2}] &=0. \end{выравнивание*}\]

Поскольку \(n≥1, \; n+1≠0,\) мы видим, что

\[(n+4)a_n−(n+2)a_{n+2}=0 \nonumber \]

и, таким образом,

\[a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+2}a_n. \nonumber \]

Для четных значений \(n\) имеем

\[\begin{align*} a_4 &=\dfrac{6}{4}(2a_0+2)=3a_0+3 \\ a_6 &= \dfrac{8}{6}(3a_0+3)=4a_0+4 \\[4pt] &\qquad ⋮ \end{align*}\]

Обычно

\[a_{2k} =(к+1)(а_0+1). \tag{шаг 5} \]

Для нечетных значений \(n,\) имеем

92)у=0. \nonumber \]

Это уравнение возникает во многих физических приложениях, особенно в тех, которые связаны с цилиндрическими координатами, такими как вибрация круглой головки барабана и переходный нагрев или охлаждение цилиндра. В следующем примере мы находим решение уравнения Бесселя в виде степенного ряда нулевого порядка. порядка 0 и нарисуйте решение. 9{2к}. \nonumber \]

График показан ниже.

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Убедитесь, что выражение из примера \(\PageIndex{2}\) является решением уравнения Бесселя порядка 0.

Подсказка

Почленно дифференцировать степенной ряд и подставить его в дифференциальное уравнение.

Ключевые понятия

• Представление функций в виде степенного ряда иногда можно использовать для нахождения решений дифференциальных уравнений.
• Дифференцируйте степенной ряд почленно и подставьте в дифференциальное уравнение, чтобы найти отношения между коэффициентами степенного ряда.

---

Эта страница под названием 17.4: Series Solutions of Differential Equations распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
   2. автор@Гилберт Странг
   3. Функции Бесселя
   4. обычная точка
   5. особая точка
   6. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1

Решения серии

: первые примеры Решения серии

: первые примеры

Давайте посмотрим (снова) на пример


г »+4 г =0.


Используя другие методы, нетрудно видеть, что решения имеют вид



Мы хотим проиллюстрировать, как найти решения степенного ряда для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Общая форма степенного ряда



Мы должны определить правильный выбор коэффициентов ( a _n ).

Как и в других методах решения дифференциальных уравнений, когда у нас есть «догадка» о решениях, мы вставляем ее в дифференциальное уравнение. Напомним из предыдущего раздела, что





Подставляя эту информацию в дифференциальное уравнение, получаем:





Наша следующая цель — упростить это выражение так, чтобы остался только один знак суммирования «». Препятствие, с которым мы сталкиваемся, состоит в том, что степени обеих сумм различны: t ^{n -2} для первой суммы и t ⁿ для второй суммы. Сделаем их одинаковыми, сдвинув индекс первой суммы на 2 единицы, чтобы получить




Теперь мы можем объединить две суммы следующим образом:



и вычитаем t ⁿ :

Далее нам понадобится результат, который вы, вероятно, уже знаете о многочленах: многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициентов равны нулю. Этот результат справедлив и для степенных рядов:

Теорема. Степенной ряд тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициента равны нулю.

Эта теорема применима непосредственно к нашему примеру: степенной ряд слева тождественно равен нулю, следовательно, все его коэффициенты равны 0:





Решая эти уравнения для «наибольшего индекса» n +2, мы можем переписать как



Эти уравнения известны как «рекуррентные соотношения» дифференциальных уравнений. Рекуррентные соотношения содержат всю информацию о необходимых нам коэффициентах.

Напомним, что



в частности y (0)= a ₀ , и

в частности y ‘(0)= a ₁ . Это означает, что мы можем рассматривать первые два коэффициента a ₀ и a ₁ как начальные условия дифференциального уравнения.

Как мы можем оценить следующий коэффициент a ₂ ? Прочитаем наши рекуррентные соотношения для случая n =0:



Чтение рекуррентного соотношения для n =1 дает

Продолжайте до тошноты:



Что мы знаем о решениях нашего дифференциального уравнения на данный момент? Они выглядят так:



Конечно, степенные ряды в скобках — это знакомые функции. и :



таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения (с a ₀ вместо B и a ₁ /2 вместо A ).

---

Метод рядовых решений в основном используется для нахождения решений степенных рядов дифференциальных уравнений, решения которых не могут быть записаны в терминах знакомых функций, таких как полиномы, экспоненциальные или тригонометрические функции. Это означает, что в общем случае вы не сможете выполнить последние несколько шагов того, что мы только что сделали (меньше забот!), все, что мы можем попытаться сделать, это придумать общее выражение для коэффициентов решений степенного ряда.

---

В качестве еще одного вводного примера давайте найдем решение задачи о начальных значениях.



Общая форма степенного ряда

Мы должны определить правильный выбор коэффициентов ( a _n ).

Начните с того, что подставьте эту «догадку» в дифференциальное уравнение. Напомним из предыдущего раздела, что



и



Подставляя эту информацию в дифференциальное уравнение, получаем:





Наша следующая цель — упростить это выражение так, чтобы остался только один знак суммирования «». Препятствие, с которым мы сталкиваемся, состоит в том, что степени трех сумм различны: t ^{n -2} для первой суммы t ^{n -1} для второй суммы и t 9042 8 ^нет для третьего. Мы делаем их одинаковыми, сдвигая индекс первых двух сумм, чтобы получить




Теперь мы можем объединить суммы следующим образом:



и вычитаем t ⁿ :



Поскольку степенной ряд слева тождественно равен нулю, все его коэффициенты равны нулю:





Решая эти уравнения для «наибольшего индекса» n +2, мы можем переписать как



Эти рекуррентные соотношения содержат всю информацию о необходимых нам коэффициентах.

Напомним, что y (0) = a ₀ и y ‘(0)= a ₁ , поэтому наши начальные условия подразумевают, что a ₀ =1 и a ₁ =2.

No related posts.