Примеры тригонометрические тождества: Тригонометрические тождества, формулы и примеры

Содержание

Урок 11. Основные тригонометрические тождества

ВИДЕО УРОК

Формулы тригонометрии – это соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии.

Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла – аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.

Основные тригонометрические тождества.

Из пяти основных тождеств вытекают три дополнительные.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Введём на плоскости прямоугольную систему координат хОу. Пусть α – произвольный угол, а ОМ – соответствующий этому углу радиус единичной окружности, так что угол, составленный с осью Ох этим радиусом ОМ, равен α.
1. Проведём через точку М прямую, перпендикулярную к оси Ох, и пуст Р – точка, в которой эта прямая пересечёт ось Ох. Длины отрезков ОР и РМ равны абсолютным величинам координат точки М:
ОР = |х|, РМ = |у|,
а длина отрезка ОМ равна единице:
ОМ = 1.
Из прямоугольного треугольника ОРМ
имеем:
ОР² + РМ² = ОМ²,
или
|х|² + |у|² = 1,
или
х² + у² = 1.
Но
х = sin α,
у = cos α,
а поэтому
sin²α + cos²α = 1.
Если точка М совпадает с одной из точек
то одна из координат точки М равна +1 или –1, другая нулю, то есть формула
х² + у² = 1,
а следовательно, и формула
sin²α + cos²α = 1
верны и в этом случае.
2. Из формул
х = cos α, у = sin α,
tg α = ^у
/_х, сtg α = ^х/_у
находим
3. Так как
Разделив обе части тождества
sin²α + cos²α = 1
один раз на cos²α, другой раз на sin²α, получим:
или
sec²α = 1 + tg²α,
cosec²α = 1 + ctg²α.
Формула
sin²α + cos²α = 1
верна при всех значениях α.
Формулы
верны при всех значениях α кроме тех, при которых не определены (не существуют) функции tg
α и sec α, то есть значения
α = (2k + 1)^π/₂,
где k – любое целое число.
Формулы
верны при всех значениях α кроме α = kπ,
где k – любое целое число, так как, если α = kπ, то функция ctg α и cosec α не определены (не существуют).
Наконец, формула
tg α ∙ ctg α = 1
верна при всех значениях α   кроме тех, при которых не определена хотя бы одна из функций tg α и ctg α, то есть при всех значениях α   кроме
α = ^kπ/₂,
где k – любое целое число.
Формулы
sec²α = 1 + tg²α
,
cosec²α = 1 + ctg²α
позволяют на чертеже
увидеть sec^{α и cosec α.}
sec^{α – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и tg α, а соsec^{α – гипотенуза
прямоугольного треугольника с катетами 1 и ctg α.}}
Все восемь формул
могут быть получены на чертеже.
Каждая из формул, связывающих квадраты двух функций
sin²α + cos²α = 1,
sec²α = 1 + tg²α,
cosec²α = 1 + ctg²α,
получается из соответствующего прямоугольника на основании теоремы Пифагора.
Остальные же формулы получаются из рассмотрения трёх пар подобных треугольников. Поэтому, чтобы написать ту или другую из восьми формул, достаточно воспроизвести следующий чертёж.
ПРИМЕР:
Упростите выражение:
(1 – cos² x)tg²x.
РЕШЕНИЕ:
(1 – cos² x)tg²x = sin²x tg²x =
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
Упростите выражение:
(cos²α – 1)сtg²^α.
РЕШЕНИЕ:
Воспользуемся формулами:
получим:

ОТВЕТ:   –cos²α
ПРИМЕР:
Упростите выражение:
(1 + tg² x)cos²x.
РЕШЕНИЕ:
(1 + tg² x)cos²x  =
cos² x + tg²x cos² x
= cos² x + sin²x = 1.
ОТВЕТ:  1.
ПРИМЕР:
Вычислите:
cosx, если
sinx = 0,8,
^π/₂ < х < π.
РЕШЕНИЕ:
sinx = 0,8,
sin² x + cos² x = 1,
cos² x = 1 – sin²x =
1 – 0,64 = 0,36.
cos x = 0,6  або cos x = –0,6.
Так как аргумент принадлежит второй четверти
(^π/₂ < х < π), то
cos x < 0, cos x = –0,6.
ОТВЕТ:
cos x = –0,6.
ПРИМЕР:
Найдите значение выражения:
если  ctgx = ¹/₃.
РЕШЕНИЕ:
Поделим числитель и знаменатель дроби на  sinx. Так как  ctgx = ¹/₃, то  sinx не принимает значение нуль.ОТВЕТ:  ¹¹/₁₃.
ПРИМЕР:
Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
ОТВЕТ:Формулы, которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же острого угла, представляют собой пример тригонометрических тождеств. Они
справедливы независимо от величины угла.
Для доказательства тригонометрического тождества можно или левую часть тождества преобразовать к правой, или правую часть преобразовать к левой, или каждую из частей тождества преобразовать к одному и тому же выражению.
ПРИМЕР:
Доказать тождество:
tg²α – sin²α = tg²α sin²α.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Преобразуем левую часть этого равенства:
ПРИМЕР:
Доказать справедливость тождества:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Первый способ.

Преобразуем правую часть:
Второй способ.

Преобразуем левую часть:
ПРИМЕР:
Доказать справедливость тождества:
cos⁴α – sin⁴α = cos²α (1 – tg α)(1 + tg α).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Первый способ.
Преобразуем правую часть:
cos²α (1 – tg α)( 1 + tg α) =
cos²α (1 – tg²^{α) =}
cos²α – sin²^α.
Второй способ.
Преобразуем левую часть:
cos⁴α – sin⁴α =
(cos²α – sin²α)(cos²α + sin²α) =
cos²α – sin²α.
Правая и левая части данного равенства преобразованы в одно и то же выражение
cos²α – sin²α.
Отсюда заключаем, что данное тождество справедливо.

ПРИМЕР:

Доказать тождество
3(sin⁴α + cos⁴α) – 2(sin⁶α + cos⁶α) = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Преобразуем вначале левую часть равенства, а затем, используя формулу
находим
3(sin⁴α + cos⁴^{α) – 2(sin⁶^{α
+ cos⁶^{α) =}}}
3(sin⁴α + cos⁴^{α) – 2(sin²^{α
+ cos²^{α) (sin⁴^{α – sin²^{α cos²^{α +
cos⁴^α)}}}}}}
= 3sin⁴α + 3cos⁴^{α – 2sin⁴^{α
+ 2sin²^{α cos²^{α – 2cos⁴^{α =}}}}}
sin⁴α + 2sin²^{α cos²^{α
+ cos⁴^{α = (sin²^{α + cos²^{α)² = 1.}}}}}

ПРИМЕР:

Доказать тождество
sin³α (1 + ctg^{α) + cos³^{α
(1 + tg^{α) = sin^{α + cos^α.}}}}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
sin³α (1 + ctg^{α) + cos³^{α (1 + tg^{α) =}}}
= sin²α (sin^{α + cos^{α) + cos²α (cos^{α + sin^α)}}}
= (sin^{α
+ cos^{α)
(sin²α
+ cos²α) = (sin^{α + cos^α).}}}
Примеры применения тригонометрических тождеств
Класс 9 «Б»
Урок 63.
Дата: 10.02
Тема: примеры применение тригонометрических тождеств
Цели урока: Образовательные: повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их в ходе выполнения упражнений; Развивающие: развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля; Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок повторения
Методы: поисковые, познавательные
Оборудование: карточки для учащихся, рабочие листы.
Ход урока
I. Организационныймомент.
Сообщение темы, цели урока и мотивации учебной деятельности учащихся.
II. Проверка знаний учащимися тригонометрических формул.
У доски 2 ученикапоочередно записывают тригонометрические формулы. Выигрывает тот, кто последним запишет формулу.
III. Устная работа (задания показываются с помощью презентации).
Какому выражению соответствует значение  ?
а) sin30°;
б) cos;
в) tg
Выбрать верное равенство
а) sinα =;
б) cosα = ;
в) sinα = -3,7.
Какой из углов является углом II четверти?
а) ;
б) –145°;
в)
В каких четвертях sinα и cosα имеют разные знаки?
а) II и IV;
б) I и III;
в) I и IV.
Каким выражением можно заменить  ?
а) cosα;
б) sinα;
в) — sinα.
Ответ: 1б; 2б; 3в; 4а; 1б.
IV. Математический диктант.
Вариант 1
Вариант 2
1+tg²α =
1+ctg²α=
sin²α + cos²α=
tgα·ctgα=
1- sin²α =
1-cos²α=
Все учащиеся работают в тетрадях. Два ученика выполняют работу на закрытых досках.
Учащиеся проверяют работы одноклассников, работающих на обратной стороне доски, и одновременно свои работы.
V. Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений.
1. Вычислить.
Работа выполняется письменно в тетради с дальнейшей проверкой
№/№
Задание
Ответ
I. У доски с объяснением

II. Самостоятельно с устной проверкой

2. Найти значение выражения.
Учащиеся выполняют работу по вариантам, самостоятельно, для проверки меняются тетрадями с соседом.
Ответы : 1вар-134; 2вар-324.
3. Найти по заданному значению тригонометрической функции остальные функции.
Учащиеся выполняют заданиясамостоятельно письменно в тетрадях, проверяют их устно на доске.
I
II
III
Дано:

Найти:
Дано:

Найти:
Дано:

Найти:
Ответ:

Ответ:

Ответ:

4. Упростить тригонометрические выражения:
а) задания для I и II групп:
I группа
Ответ
IIгруппа
Ответ
б) третья группа выполняет задания покарточкам
Задание
Ответ
Доказать тождество:

Упростить:
Упростить выражение:
VI. Резерв.
Учащиеся, выполнившиезадания, сдают в конце урока тетради на проверку.
1. Упростите выражения:
2) cos²α – (ctg²α +1) sin²α.=
3)
4)
2. Докажите тождество:
1) (tg α+ctg α)²– (tg α–ctg α)²= 4
Тождество доказано.
2) (1+tg α)²+(1-tg α)²=;
Тождество доказано.
3) (2+ sin β)(2- sin β)+(2+ cos β)(2– cos β)=7
Тождество доказано.
VII. Домашнее задание.
Доказать тождество:
VIII. Рефлексия. Подведение итогов урока.
Выставление оценок за работу на уроке.
Тригонометрия. Рабочие примеры
Рабочие примеры
Тригонометрические уравнения и тождества
Часть 1: пифагорейские тождества Напомним, что в разделе об единичной окружности мы установили, что для любого угла $\theta$, $\left(\cos\left(\theta\right),\sin\left(\theta\right)\right)$ координаты точки на единичной окружности. 2\влево(\тета\вправо) = 1$$ 92\влево(х\вправо)} \\ &= \frac{1-\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \конец{выравнивание*}
Часть 2: четно-нечетные тождества У нас также есть следующие тождества: $$\sin\left(-\theta\right)=-\sin\left(\theta\right) \hspace{10 mm} \cos\left(-\theta\right)=\cos\left(\theta \right) \hspace{10 мм} \tan\left(-\theta\right)=-\tan\left(\theta\right)$$ Они говорят нам, что $\sin$ и $\tan$ нечетны. Нечетной функцией $f$ является любая функция, удовлетворяющая условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ в своей области определения. функции, в то время как $\cos$ — четнаяЧетная функция $f$ — это любая функция, которая удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ в своей области определения. функция.
Пример. Вычислить $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$
$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$$
Часть 3: Формулы сложения Мы можем свести $\sin$ и $\cos$ суммы двух углов к выражению, включающему $\sin$ и $\cos$ каждого из углов: \начать{выравнивать*} \sin\left(A+B\right) &= \sin\left(A\right)\cos\left(B\right) + \cos\left(A\right)\sin\left(B\right) \\ \cos\left(A+B\right) &= \cos\left(A\right)\cos\left(B\right) — \sin\left(A\right)\sin\left(B\right) \конец{выравнивание*} 9{\ круг} \ справа) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac {1}{2}\справа) \\ &= \ гидроразрыва {\ sqrt {3} + 1} {2 \ sqrt {2}} \конец{выравнивание*}
Часть 4. Тригонометрические уравнения Методы решения тригонометрических уравнений включают те же стратегии, что и решение полиномиальных уравнений (см. раздел «Полиномы и факторинг»), а также использование тригонометрических тождеств.
Пример. Найдите решения уравнения 92\влево(\тета\вправо)+5\sin\влево(\тета\вправо)+4 = 0$$ Обратите внимание, что это квадратное уравнение, и после факторизации мы получаем: $$(\sin\left(\theta\right)+1)(\sin\left(\theta\right)+4) = 0$$ Опять же, нам нужно проверить, когда любой из множителей равен нулю. Для второго множителя получаем $\sin\left(\theta\right)+4 = 0$, т.е. $\sin\left(\theta\right)=-4$, не имеющее решения (поскольку левая часть не менее $-1$). Решая первый множитель, получаем $\sin\left(\theta\right)+1=0$, т.е. $\sin\left(\theta\right)=-1$. Единственный $\theta \in \left[0,2\pi \right]$, для которого это верно, — это $\theta= \frac{3\pi}{2}$.
Trig Identities — все, что вам нужно знать для подтверждения личности
Семь видеороликов, предназначенных для подробного объяснения того, как использовать, упрощать и проверять все тригонометрические тождества, встречающиеся в любом классе предварительного исчисления или тригонометрии.