Примеры умножение комплексных чисел: Сложение, умножение и деление комплексных чисел

3.$

Ответ: $i.$

 

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

 

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

 

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

сложение, умножение, вычитание и др.

Комплексные числа (раньше на них говорили мнимые числа) – это выражение a + bi, где a и b – вещественные (действительные числа, а i –  мнимая единица, знак или символ которого равен 1. 

Понятие комплексного числа

Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как , где и – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 .

Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа . Если тогда вместо пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.

С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассмотрим уравнение . Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению ., корни которого находятся по формуле .

Для данного случая получается:

.

Среди действительных чисел выражение не имеет смысла, то есть  не есть действительным числом. Запишем формально .

Символ принято обозначать буквой , то есть . Его называют мнимой единицей.

Корни нашего уравнения теперь запишутся:

.

Проверка:

Для имеем:

.

Аналогично для .

Значит, введение символа , где помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.

Алгебраические формы комплексного числа

Определение

Обозначения: ; символ формально определяется равенством называется мнимой единицей.

Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.

Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Дальше договоримся выражения и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит,   и т. п. приобретаются только действительные значения.

Пусть дано число . Если , тогда – действительное число: ; если тогда – это мнимое число:

Сложение и вычитание комплексных чисел

;

.

Допустим:

.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):

.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии .

= = = = = .

Сопряженные комплексные числа

Сопряженные числа – это числа и . Таким образом, если и сопряженные числа, тогда и .

Очевидно, если – действительное число, тогда ; если – чисто мнимое число, тогда . Наоборот, если  и , тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.

Модуль комплексного числа

Модуль числа называется число .

Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если , тогда .

Нужна работа? Есть решение!

Более 70 000 экспертов: преподавателей и доцентов вузов готовы помочь вам в написании работы прямо сейчас.

Подробнее Гарантии Отзывы

Примеры решения задач

Пример 1

Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

Решение

Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .

Ответ

Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.

Пример 3

Задача

Найти произведение комплексных чисел и

Решение

Ответ

Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.

Пример 4

Задача

Найти частное:

Решение

.

Ответ

.

Комплексные числа: сложение, умножение, вычитание и др. обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Как найти произведение двух комплексных чисел: формулы, примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти произведение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Умножение в алгебраической форме

Произведением двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

z = x ⋅ y = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂) ⋅ i

Формула получается путем перемножения двучленов (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i). При этом не забываем, что i² = -1.

Пример 1
Найдем произведением комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i

2 = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11i.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть заданы в тригонометрической форме, например x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂).

В этом случае формула произведения выглядит следующим образом:

x ⋅ y = |x| ⋅ |y| ⋅ [cos(φ₁ + φ₂) + i ⋅ sin(φ₁ + φ₂)]

Пример 2
Выполним умножение двух комплексных чисел: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|x| ⋅ |y| = 2 ⋅ 5 = 10
φ₁ + φ₂ = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅

sin 45°)

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел

Комплексные числа можно складывать и вычитать по таким же правилам, как обычные числа, причем действительные и мнимые числа складываются и вычитаются отдельно. Например, если к (+2-4i) прибавить (-5+7i), то получим (-3+3і). Если из (+2-4i) отнять (-5+7i), то получим (-7+11i). (Это можно продемонстрировать на нашем шаблоне, так как обычное сложение и вычитание можно показать на оси север — юг. Думаю, что теперь вы сможете это сделать самостоятельно.)

Вот при умножении комплексных чисел мы столкнемся с большими трудностями, чем в случае умножения действительных чисел. При умножении 35 на 28 мы разбиваем числа на разряды, то есть 35=30+5, 28=20+8. Затем числа перемножаются, каждое слагаемое одной части на каждое слагаемое другой части, а результаты умножения складываются.

Точно так же производят операцию умножения с комплексными числами. Для того чтобы умножить (3+5і) на (6+і), нужно составить такую схему:

Стрелками показано, как перемножаются составные части комплексных чисел. В соответствии со схемой: 3х6=18, 3хі=3і, 5іх6=30і и 5іхі=5і²=-5, поскольку і² равно -1.

Два из промежуточных результатов являются действительными числами, и их можно сложить, то есть 18-5=13. Другие две составляющие являются мнимыми числами, и их также можно сложить: 30і+3і=33і. Таким образом, результатом умножения является комплексное число 13+33і.

Другие арифметические операции также можно продемонстрировать при помощи аналогичной схемы. Таким образом, мы видим, что с комплексными числами можно работать по тем же правилам, что и с обычными числами, а значит, комплексные числа больше не являются для нас таинственными и непостижимыми.

Комплексные числа представляют интерес не только для инженеров и ученых, они представляют и чисто практический интерес в обыденной жизни, поскольку, в отличие от обычных чисел, указывающих только величину, они указывают также и направление.

Приведем пример, который продемонстрирует вам роль комплексных чисел. Рассмотрим такое физическое понятие, как сила. Сила может представлять собой толкающее усилие или тянущее усилие. Толкающее усилие — это положительная величина, тянущее — отрицательная. Кроме того, сила может изменяться по величине. Таким образом, мы можем использовать для величины силы действительные числа.

Но, кроме того, сила может быть направлена в разных направлениях. И толкающее усилие, и тянущее усилие могут быть направлены вверх, вниз, вбок и так далее. Выразить величину силы с учетом направления можно при помощи комплексных чисел. Таким образом, число i, которое большинству людей, не связанных с математикой, представляется таинственным, но совершенно бесполезным понятием, имеет простое

практическое применение. Например, в области электроники никакая математическая обработка данных невозможна без применения комплексных чисел. Величина переменного тока меняется как по величине, так и по направлению, и для ее описания необходимо использовать комплексные числа.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Свойства модуля комплексных чисел.

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

 Пусть , где  и , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.                 (13)

   Доказательство.

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Отсюда вытекает правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.

Следствие 1. Пусть k натуральное число и . Пусть далее , где  – произвольные n комплексных чисел записанных в тригонометрической форме записи. Тогда

.

   Доказательство проводится индукцией по числу сомножителей и предоставляется читателю.

Следствие 2. Пусть n натуральное число и  – произвольное комплексное число в тригонометрической форме записи. Тогда

.

   Доказательство сразу же следует из Следствия 1.

Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)

Пусть  – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1)  и . Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояние между точками  и  комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел:  ;

3) ;

4) ;

   Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:

, где  и ,

т.е. .

   Таким образом, равенства  и  есть тригонометрическая форма записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч. т.д.

   Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

   Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

   Противоположные числа на комплексной плоскости изображаются точками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда  и точки ,  имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда  и по формуле (12) имеем:

            .                      (14)

   С другой стороны, рассмотрим числа  и  как точки на комплексной плоскости. Тогда точка  имеет декартовые координаты ,  а  и искомое расстояние между ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплексной плоскости точки ,  и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

                     

                                          рис. 6.

   Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

   Мы только что доказали, что длина стороны  этого треугольника равна , а длины сторон  и  равны по определению модулям чисел  и : , . Отсюда и получаем, что .

   Заменим в последнем  неравенстве число  на противоположное число , тогда получаем:

, ч.т.д.

   Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О,  и  лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами  и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теорема доказана.

   Теория комплексных чисел имеет много приложений в различных областях математики. Не могу удержаться от искушения привести хотя бы один такой пример, относящийся к области теории чисел.

Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:

                                       .

Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.

   Доказательство. Пусть  и , где .

   Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что .

   С этой целью рассмотрим два комплексных числа  и .

   Тогда  и по формуле (12) имеем: .

   С другой стороны, , . Так как , то  или , то отсюда получаем равенство: , где , ч.т.д.

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

Урок 38. определение комплексного числа. действия с комплексными числами — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Глоссарий по теме

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Числа z₁ и z₂ называются слагаемыми.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z,

что z + z₂ = z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂ i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁) i.

Числа z₁ и z₂ называются сомножителями.

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i ² = —1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a₁ + b₁i и a₂ + b₂i равны тогда и только тогда, когда a₁=a₂, b₁=b₂.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i) = (a₁a₂ — b₁b₂) + (a₁b₂ — a₂b₁) i.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁ i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Числа z₁ и z₂ называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z₁ + z₂ = z₂ + z₁.

2º. Ассоциативность: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃).

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z + z₂ =z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a₁ a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁) i.

Числа z₁ и z₂ называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z₁z₂ = z₂ z₁.

2º. Ассоциативность: (z₁z₂)z₃ = z₁ (z₂z₃)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z₁ + z₂) z₃ = z₁z₃ + z₂z₃.

4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a² + b² — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

1 способ.

2 способ.

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i² = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i³ = i² i = -i,

i⁴ = i² i² = 1,

i⁵ = i⁴ i = i,

i⁶ = i⁴ i² = -1,

i⁷ = i⁵ i² = -i,

i⁸ = i⁶ i² = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени iⁿ, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³.

i ³⁶ = (i ⁴) ⁹ = 1 ⁹ = 1,

i ¹⁷ = i ^{4⋅ 4+1} = (i ⁴)⁴⋅ i = 1 · i = i.

i ²³ = i ^{4⋅ 5+3} = (i ⁴)⁵⋅ i³ = 1 · i³ = — i.

(i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³ = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) ³

(4 + 2i) ³ = 4 ³ + 3⋅ 4²⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i)² + (2i)³ = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x² – 6x + 13 = 0;    б) 9x² + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b² – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то 
D = (– 6)² – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, 
D = b² – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

1. 7 +4i
2. 7 — 4i
3. 6 — 3i
4. 6 + 3i

Решение: 2 + 3i + 5 — 7i = (2 + 5) + (3 — 7)i = 7 — 4i.

Можем сделать вывод, что верный ответ

2. 7 — 4i.

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно частное: (5 + 3i):(1 — 2i)=______

Решение:

Ответ: -0. 2 + 2.6i

Решение задач и курсовых по электротехнике Сайт Электротехника и электроника на «пять»

В общем случае комплексные числа могут быть заданы в двух формаз записи — показательно или алгебраической. Рассмотрим оба случая.

Умножать и делить числа, записанные в показательной форме очень просто. Главное — помнить, что в показательной форме любое число задается двумя парамтрами — модулем и аргументом. Модуль — это часть числа до буквы «е», показывающая длину вектора. Агрумент — число в степени буквы «е» (то есть показатель степени, откуда и происходит название формы записи). Агрумент задает угол поворота вектора.

Перемножать такие числа проще некуда — сначала перемножаем модули, а аргументы просто складыавем и все!

Делить не намного сложнее — сначала делим модули чисел, а затем из аргумента числителя вычитаем аргумент знаменателя. Например, для тех же X и Y:

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Умножение двух чисел в алгебраической форме обычно не представляет сложности — просто раскрываем скобки, отдельно суммируем числа без мнимой единицы и отдельно — с ней. Основной момент — не забывать, что мнимая единица, умноженная сама на себя (то есть в квадрате) равна минус один:

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Самый сложный случай — деление двух чисел в алгебраической форме записи. Но и тут дел на пару минут — вся хитрость в том, что нужно умножить всю дробь на комплескно-сопряженное к знаменателю. Это позволит нам избавиться от комплексного числа в знаменателе. «Комплексно-сопряженное» — это число, у которого изменен знак мнимой части. Чаще всего обоозначается звездочкой в верхнем индексе:

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

Перемножаем модули чисел.

Складываем аргументы чисел (углы в градусах или радианах)

Записываем результат.

Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

Делим модули чисел.

Вычитаем аргумент знаменателя (делителя) из аргумента числителя (делимого)

Записываем результат.

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

По правилам арифментики раскрываем скобки, обращая особое внимание на момент, когда мнимая единица возводится в квадрат — тогда это произведение меняет знак.

Группируем числа без мнимой единицы в действительную часть числа, с мнимой единицей — в мнимую часть

Записываем результат.

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

Умножаем всю дробь на комплексно-сопряженное к знаменателю

Раскрываем скобки в числителе, группируя действительную и мнимую части

Вычисляем знаменатель как сумму квадратов двух чисел

Делим отдельно действительную и мнимую части числителя на число в знаменателе

Записываем результат.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел Вот шаги, необходимые для умножения комплексных чисел:

Шаг 1 :	Распространить (или FOIL), чтобы убрать круглые скобки.
Шаг 2 :	Упростите степени i, особенно помните, что i 2 = –1.
Шаг 3 :	Объединяйте одинаковые термины, то есть объединяйте действительные числа с действительными числами и мнимые числа с мнимыми числами.

Пример 1 — Умножение: (4 — 3i) (2 + 5i)

Шаг 1 : Распределить (или FOIL), чтобы удалить круглые скобки.
Шаг 2 : Упростите степени i, особенно помните, что i 2 = –1.
Шаг 3 : Объедините одинаковые термины, то есть объедините действительные числа с действительными числами и мнимые числа с мнимыми числами.

Пример 2 — Умножение: (7 — 9i) (4 — 6i)

Шаг 1 : Распределить (или FOIL), чтобы удалить круглые скобки.
Шаг 2 : Упростите степени i, особенно помните, что i 2 = –1.
Шаг 3 : Объедините одинаковые термины, то есть объедините действительные числа с действительными числами и мнимые числа с мнимыми числами.

Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

Пример 3 — Умножение: (7 + 2i) ²

Шаг 1 : Распределить (или FOIL), чтобы удалить круглые скобки. Не забывайте, что (7 + 2i) 2 = (7 + 2i) (7 + 2i).
Шаг 2 : Упростите степени i, особенно помните, что i 2 = –1.
Шаг 3 : Объедините одинаковые термины, то есть объедините действительные числа с действительными числами и мнимые числа с мнимыми числами.

Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

Пример 4 — Умножение: (3 — 4i) (2 + 3i) (4 — 5i)

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

Умножение комплексных чисел

Комплексное число — это комбинация действительного и мнимого числа:

Реальный номер — это тип номера, который мы используем каждый день.

Примеры: 12,38, ½, 0, −2000

Мнимое число, возведение в квадрат дает отрицательный результат:

Мнимое число «единицы» в квадрате равно -1

я ² = -1

Примеры: 5 i , −3. 6 i , i /2, 500 i

Примеры комплексных чисел:

3,6 + 4 i		(действительная часть 3,6, мнимая часть 4 i )
−0,02 + 1,2 i		(действительная часть -0,02, мнимая часть 1,2 i )
25 — 0,3 i		(действительная часть 25, мнимая часть -0.3 и )

Любая часть может быть нулевой:

0 + 2 i		(действительная часть отсутствует, мнимая часть 2 и )		как 2 i
4 + 0 i		(действительная часть 4, без мнимой части)		то же, что 4

Умножение

Для умножения комплексных чисел:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте «FOIL», что означает « F irsts, O uters, I nners, L asts» (см. Биномиальное умножение для более подробной информации):

	Первые: a × c Внешний: a × di Внутренние: bi × c Количество дней: bi × di
(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2

Как это:

Пример: (3 + 2

i ) (1 + 7 i )

(3 + 2 i ) (1 + 7 i ) = 3 × 1 + 3 × 7 i + 2 i × 1 + 2 i × 7 i

= 3 + 21 i + 2 i + 14 i ²

= 3 + 21 i + 2 i — 14 (потому что i ² = −1)

= −11 + 23 i

Вот еще пример:

Пример: (1 +

i ) ²

(1 + i ) ² = (1 + i ) (1 + i )

= 1 × 1 + 1 × i + 1 × i + i ²

= 1 + 2 i — 1 (потому что i ² = −1)

= 0 + 2 i

Но есть более быстрый способ!

Используйте это правило:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i

Пример:

(3 + 2 i ) (1 + 7 i ) = (3 × 1-2 × 7) + (3 × 7 + 2 × 1) i

= −11 + 23 i

Почему это правило работает?

Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы:

(a + b i ) (c + d i )	=	ac + ad i + bc i + bd i 2		Метод фольги
	=	ac + ad i + bc i — bd		(потому что i 2 = -1)
	=	(ac — bd) + (ad + bc) i		(собираются как термины)

И вот вам шаблон (ac — bd) + (ad + bc) i .

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Теперь давайте посмотрим, как выглядит умножение на комплексной плоскости.

Сложный самолет

Мы можем построить комплексное число, например 3 + 4i : Размещено 3 единицы по (действительная ось), и 4 единицы вверх (мнимая ось).

Умножение на i

Умножим его на i : (3 + 4 i ) x i = 3 i + 4 i 2 Что упрощается до (потому что i 2 = -1): −4 + ​​3 i

А вот и прикольная штука… это то же самое, что , вращающийся на прямой угол (90 ° или π / 2)

Это просто странное совпадение?

Попробуем еще раз умножить на i : (−4 + 3 i ) x i = −4 i + 3 i 2 = −3 — 4 i и снова : (−3 — 4 i ) x i = −3 i — 4 i 2 = 4 — 3 i и снова : (4 — 3 i ) x i = 4 i — 3 i 2 = 3 + 4 i

Ну разве не потрясающе? Каждый раз он поворачивается на прямой угол, пока не окажется там, где начал.

Попробуем на цифре 1:

1 × i = и i × i = -1 −1 × i = — и — i × i = 1 Снова вернемся к 1!

Каждый раз поворот на прямой угол.

Выберите собственное комплексное число и попробуйте сами, это хорошая практика.

Давайте теперь более внимательно рассмотрим углы.

Полярная форма

Наш дружественный комплексный номер 3 + 4i :
Вот он снова, но в полярной форме: (расстояние и угол)

Таким образом, комплексное число 3 + 4i может также отображаться как расстояние (5) и угол (0. 927 радиан).

Как мы делаем преобразования?

Пример: номер

3 + 4i

Мы можем преобразовать из декартовой системы координат в полярную:

• r = √ (x ² + y ² ) = √ (3 ² + 4 ² ) = √25 = 5
• θ = tan ^-1 (y / x) = tan ^-1 (4/3) = 0,927 (до трех знаков после запятой)

Мы также можем взять полярные координаты и преобразовать их в декартовы координаты:

• x = r × cos ( θ ) = 5 × cos (0.927) = 5 × 0,6002 … = 3 (достаточно близко)
• y = r × sin ( θ ) = 5 × sin (0,927) = 5 × 0,7998 … = 4 (достаточно близко)

На самом деле, обычный способ записать комплексное число в полярной форме — это

.

x + i y	=	r cos θ + i r sin θ
	=	r (cos θ + i sin θ )

И «cos θ + i sin θ » часто сокращается до «cis θ », поэтому:

x + iy = r цис θ

cis — это просто сокращение для cos θ + i sin θ

Итак, мы можем написать:

3 + 4i = 5 цис 0. 927

В некоторых предметах, например в электронике, «цис» используется очень много!

Теперь еще немного об умножении

Давайте попробуем еще одно умножение:

Пример: умножить 1 + i на 3 + i

(1+ i ) (3+ i ) = 1 (3+ i ) + i (3+ i )

= 3 + i + 3 i + i ²

= 3 + 4 и — 1

= 2 + 4 i

А вот результат на сложной плоскости:

Но интереснее видеть эти числа в полярной форме:

Пример: (продолжение)

Преобразовать 1 + i в полярный:

• r = √ (1 ² + 1 ² ) = √2
• θ = tan ^-1 (1/1) = 0.785 (до 3 знаков после запятой)

Преобразовать 3 + i в полярный:

• r = √ (3 ² + 1 ² ) = √10
• θ = tan ^-1 (1/3) = 0,322 (до 3 знаков после запятой)

Преобразовать 2 + 4i в полярный:

• r = √ (2 ² + 4 ² ) = √20
• θ = tan ^-1 (4/2) = 1. 107 (до 3 знаков после запятой)

Посмотрите на значения r в течение минуты. Они как-то связаны?
А как насчет значений θ ?

Вот это умножение в одну строку (с использованием «цис»):

(√2 цис 0,785) × (√10 цис 0,322) = √20 цис 1,107

Вот это интересное:

• √2 x √10 = √20
• 0.785 + 0,322 = 1,107

Итак:

Величины умножаются.
И углы складываются.

При умножении в полярной форме: умножьте величины, сложите углы.

И поэтому при умножении на поворачивается на прямой угол:

i имеет величину 1 и образует прямой угол на комплексной плоскости

Квадрат

Чтобы возвести комплексное число в квадрат, умножьте его на само:

• умножьте величины: величина × величина = величина ²
• складываем углы: угол + угол = 2, поэтому мы удваиваем их.

Результат: возвести величины в квадрат, угол удвоить.

Пример: возведем в квадрат 1 +

2 i :

(1 + 2 i ) (1 + 2 i ) = 1 + 4 i + 4 i ² = −3 + 4 я

На схеме угол выглядит (и есть!) Увеличенным вдвое.

Также:

• Величина (1 + 2 i ) = √ (1 ² + 2 ² ) = √5
• Величина (−3 + 4 i ) = √ (3 ² + 4 ² ) = √25 = 5

Итак, величина тоже возведена в квадрат.

В общем, сложное число вроде:

r (cos θ + i sin θ )

Когда в квадрате становится:

r ² (cos 2 θ + i sin 2 θ )

(величина r возводится в квадрат, а угол θ удваивается.)

Или в более коротком обозначении «цис»:

(r цис θ ) ² = r ² цис 2 θ

Формула Де Муавра

И математик Абрахам де Муавр обнаружил, что это работает для любого целого показателя n :

[r (cos θ + i sin θ )] ⁿ = r ⁿ (cos n θ + i sin n θ )

(величина становится r ⁿ угол становится nθ . )

Или в более коротком обозначении «цис»:

(r цис θ ) ⁿ = r ⁿ цис n θ

Пример: Что такое (1+

i ) ⁶

Преобразовать 1+ i в полярный:

• r = √ (1 ² + 1 ² ) = √2
• θ = tan ^-1 (1/1) = π / 4

В нотации «цис»: 1+ i = √2 цис π / 4

Теперь, с показателем 6, r становится r ⁶ , θ становится 6θ :

(√2 цис π / 4) ⁶ = (√2) ⁶ цис 6π / 4 = 8 цис 3π / 2

Теперь величина 8, а угол 3π / 2 (= 270 °).

.

Что также является 0-8 i (см. Диаграмму)

Резюме

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение — это более сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно же, .А как насчет 8 i ² ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i ² равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu — yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть продукт, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C на коэффициент 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было действительным числом u чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | ² = | z | ² | w | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда, согласно формуле умножения, zw равно ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | ² = x ² + y ²

Аналогично имеем

| w | ² = u ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ²

Итак, чтобы показать | zw | ² = | z | ² | w | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ² = ( x ² + y ² ) ( u ² + v ² )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. В нашем следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = –1. А как насчет i ³ ? Это просто i ² умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i ³ = — i. Это интересно: куб i — это собственное отрицание.Далее рассмотрим i ⁴ . Это квадрат i ² , то есть квадрат –1. Итак, i ⁴ = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i теперь легко найти, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i умноженное на i ⁴ , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменять результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = — i.

Как насчет отрицательной степени и ? Что является обратным для i, то есть i ^–1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ^–1 = i ³ = — i. Таким образом, i обратное — i. Представьте себе — число, обратное значение которого есть собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по Фундаментальной теореме алгебры количество корней n -й степени из единицы равно n, , поскольку существует n корней уравнения n -й степени z ^u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно распределены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = — y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что умножение на i повернулось в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на — i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w — точки на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | w |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °. )

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

Умножение комплексных чисел | Решенные примеры

Вы когда-нибудь задумывались над результатом произведения комплексного числа и мнимого числа?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся с основами действительных, комплексных и мнимых чисел.

Натуральные, рациональные, десятичные и иррациональные числа называются действительными числами.

Например, \ (0,1, \ dfrac {3} {4}, \ pi, 0,235 и т. Д. \).

Мнимые числа обозначаются символом \ (\ iota \). Значение \ (i \ times i = -1 \) или \ (\ sqrt {-1} = i \).

Комплексное число — это комбинация действительного и мнимого числа.

Например, \ (6.2 + 6i \)

В этом мини-уроке мы исследуем мир умножения с комплексными числами.Мы рассмотрим ответы на такие вопросы, как умножение двух комплексных чисел, как умножить действительное число на комплексное, как умножить чисто мнимое число на комплексные числа и как возвести комплексное число в квадрат вместе с решенными примерами и интерактивные вопросы.

План урока

Как умножить два комплексных числа?

Умножение комплексных чисел аналогично умножению многочленов.2 = -1) \\\ & = 4 + 26i-12 \\\ & = — 8 + 26i \ end {align}

Здесь -8 — действительная часть, 26i — мнимая часть комплексного числа.

---

Как умножить действительное число на комплексное?

Существует простой способ умножить действительное число на комплексное. Следуйте примеру ниже:

\ (\ begin {align} & = 2 (12 + 6i) \\ & = 2 (12) + (2) (6i) \\ & = 24 + 12i \ end {align} \)

Здесь 24 — действительная часть, 12i — мнимая часть комплексного числа.В этом случае, используя свойство распределенности, мы узнаем, как умножить действительное число на комплексное.

Давайте попробуем что-нибудь посложнее и немного сложнее.

---

Как умножить чисто мнимое число на комплексное?

Давайте рассмотрим пример, чтобы узнать, как умножить чистое мнимое число на комплексное число. {2} \).2 = -20-48i \)

---

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Сложные вопросы

1. Представьте следующие комплексные числа в полярной форме:
а) \ (2 + 4i \)
б) \ (3 — 6i \)

2.Выразите сумму, разность, произведение и частное следующих комплексных чисел как комплексное число.
\ (z_1 = -3 + i \), \ (z_2 = 1 + 3i \) и \ (z_3 = -1-3i \)

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции умножения комплексных чисел. Математическое путешествие по умножению комплексных чисел начинается с того, что ученик уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, это логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению, в которые мы в Cuemath верим.2 = -1) \\\ & = 4 + 26i-12 \\\ & = — 8 + 26i \ end {align}

Здесь -8 — действительная часть, 26i — мнимая часть комплексного числа.

Q2. 0 — комплексное число?

0 — это не только вещественное число, но и сложное.

Q3. Какая формула умножения комплексных чисел?

Мы можем умножить комплексное число по следующей формуле:
\ (\ begin {align} & = (p_1 + q_1i) (p_2i + q_2i) \\ & = (p_1p_2-q_1q_2) + (p_1q_2 + p_2q_1) i \ end {align} \)

Q4.

Каково произведение двух комплексных чисел?

Произведение двух комплексных чисел будет комплексным числом.
\ (\ begin {align} & = (p_1 + q_1i) (p_2i + q_2i) \\ & = (p_1p_2-q_1q_2) + (p_1q_2 + p_2q_1) i \ end {align} \)

Q5. Как умножить комплексные числа в полярной форме?

В полярной форме, когда мы умножаем комплексное число, нам нужно умножить величины и сложить соответствующие углы.

Q6. Как возвести комплексное число в квадрат?

Возведение комплексного числа в квадрат — это один из способов умножить комплексное число само на себя.{2} \) или \ (i \ times i = -1 \) как \ (\ sqrt {-1} = i \)

Q8. Каков квадратный корень из i в комплексных числах?

Значение \ (i \ times i = -1 \) или \ (\ sqrt {-1} = i \)

\ (\ sqrt {i} = \ pm (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {2}} {2}) \).

умножение комплексных чисел

умножение комплексных чисел: Произведение двух комплексных чисел z ₁ = a + ib и z ₂ = c + id определяется как комплексное число, полученное умножением этих двух Числа как биномиальные подчиняются правилам алгебры dn, заменяющим -1 на i ² . Имеем,
z ₁ z ₂ = (a + ib) (c + id) = ac + i ad + i bc + i ² bd
= (ac — bd) + i (ad + bc )
Для умножения комплексных чисел учащиеся должны знать значения различных степеней «i». Значения различных степеней «i» приведены ниже.
18 9000 9000 i ⁵

i	√ -1
i 2	-1
i 3	— i
i 4
	i = √ -1
i 6	-1
i 7	-i
i 8	1

90 Из приведенной выше таблицы вы можете видеть, что все первые четыре степени «i» различны, но затем следует повторение в циклах по четыре.
Например: i ¹⁷ = i ¹⁶ i = i, потому что i ¹⁶ совпадает с i ⁴
В общем, мы можем сказать, что для любого целого числа ‘k’

i 4k = 1, i i 4k +1 = i i 4k + 2 = -1, i 4k + 3 = -i

Свойства умножения комплексных чисел

Закрытие: Произведение двух комплексных чисел по определению является комплексным числом. Следовательно, множество комплексных чисел замкнуто относительно умножения.

Коммутативное свойство: Для двух комплексных чисел z ₁ = a + ib и
z ₂ = c + id, мы имеем
z ₁ . z ₂ = (a + ib) (c + id) = (ac -bd) + i (ad + bc) (поскольку i ¹ = -1
z ₂ . z ₁ = (c + id) (a + ib) = (ca-bd) + i (cb + da)
Но a, b, c, d — действительные числа, поэтому ac — bd = ca — db и ad + bc = cb + da
Следовательно, умножение комплексных чисел коммутативно.

Ассоциативное свойство: Рассмотрим три комплексных числа:
z ₁ = a + ib, z ₂ = c + id и z ₃ = e + if
(z ₁ . Z ₂ ). z ₃ = [(a + ib). (c + id)]. (e + if)
= [(ac — bd) + i (ad + bc)]. (е + если)
= (ac-bd). e + i (ad + bc) e + i (ac -bd) f + i ² (ad + bc) .f
= (ace -bde — adf -bcf) + i (ade + bce + acf -bdf ) ————- (1)
z ₁ . (z ₂ . z ₃ ) = (a + ib). [(c + id). (e + if)]
= (ace — adf — bcf -bde) + i (acf + ade + bce -bdf) —— (2)
Таким образом, из (1) и (2)
(z ₁ . z ₂ ). z ₃ = z ₁ . (z ₂ . z ₃ )

Тождество умножения: Пусть c + id будет мультипликативным тождеством a + ib. Тогда
(a + ib) (c + id) = a + ib
⇒ (ac — bd) + i (ad + bc) = a + ib
⇒ ac — bd = a и ad + bc = b
ac — a = bd и bc — b = -ad
a (c — 1) = bd —- (1)
b (c — 1) = -ad —- (2)
Умножьте уравнение (1) на a и уравнение (2) на b, а затем прибавить
a ² (c — 1) = abd
b ² (c — 1) = -abd
————- ——————
(a ² + b ² ) (c — 1) = 0
, поэтому либо a ² + b ² = 0 или c — 1 = 0
, но a ² + b ² ≠ 0
, поэтому c — 1 = 0 ⇒ c = 1
∴ d = 0
c + id = 1 + i0 = 1
Следовательно, мультипликативное тождество комплексного числа равно 1.

Мультипликативное обратное число: Комплексное число ‘w’ называется мультипликативным обратным числом комплексного числа z, если z. w = 1. Мультипликативная обратная величина обозначается z

Примеры умножения комплексных чисел
1) Умножаем следующее:
a) (4 + 2i) (2 + 12i)
Здесь мы будем использовать метод FOIL
= ( 4 x 2) + (4 x 12i) + (2i x 2) + (2i x 12i)
= 8 + 48i + 4i + (24i ² )
= 8 + 52 i + (-24)
= — 16 + 52 i

b) (3 + 2i) (3 — 2i)
= (3) ² — (2i) ²
= 9 — 4i ²
= 9 + 4
= 13

2) Найдите мультипликативную обратную величину — 3 + 4i
Решение: Пусть z = -3 + 4i, тогда
z ^-1 = z̄ / | z | ²
= (-3 — 4i) / (9 + 16)
= -3/25 — 4i / 25

Математика 11-го класса

От умножения комплексных чисел к дому

Covid-19 привел мир к пройти феноменальный переход.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Как умножать комплексные числа

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Умножение комплексных чисел

При умножении комплексных чисел многие свойства действительных чисел, такие как свойство распределения и / или FOIL, также действительны для комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел в основном такое же, как умножение многочленов, как вы можете видеть в приведенном выше примере.

После завершения умножения просто замените все вхождения i ² на -1, а затем упростите, сложив действительные части вместе и мнимые части вместе.

В приведенном ниже примере действительными частями являются 12 и 10, а мнимыми частями — 15i и -8i. Если вы не поняли приведенный ниже пример, продолжайте читать, пока мы объясняем, как умножать комплексные числа, начиная с самых простых примеров и переходя к более сложным.

Еще примеры умножения комплексных чисел.

Пример № 1:

Умножение 6 на 2i

6 × 2i = 12i

Пример № 2:

Умножение 5i на -3i

5i × -3i = -15i ²

= -15 (-1) Заменить -1 вместо i ²

= 15

Пример № 3:

Умножить 5i на (-2i + 1)

5i × (-2i + 1) = 5i × -2i + 5i × 1 (распределительное свойство)

= -10i ² + 5i

= -10 (-1) + 5i

= 10 + 5i

Пример 4:

Умножить ( -2i + -3) на (-5i + 6)

(-2i + -3) × (-5i + 6) = -2i × (-5i + 6) + -3 × (-5i + 6)

(-2i + -3) × (-5i + 6) = -2i × -5i + -2i × 6 + -3 × -5i + -3 × 6

= 10i ² + -12i + 15i + -18

= 10 (-1) + 3i — 1 8

= -10 + 3i — 18

= -28 + 3i

Пример 5:

Умножить (3i + 4) на (3i — 4)

(3i + 4) × (3i — 4) = 3i × (3i — 4) + 4 × (3i + -4)

(3i + 4) × (3i — 4) = 3i × 3i + 3i × -4 + 4 × 3i + 4 × -4

(3i + 4) × (3i — 4) = 9i ² + -12i + 12i + -16

(3i + 4) × (3i — 4) = 9 (-1) + 0 + -16

(3i + 4) × (3i — 4) = -9 + 0 + -16

(3i + 4) × (3i — 4) = -9 + -16

(3i + 4) × (3i — 4) = -25

Обратите внимание, что вы могли бы найти ответ немного быстрее, если бы использовали эту формулу: (a — b) (a + b) = a ² — b ²

(3i + 4) × (3i — 4) = (3i) ² — 4 ²

= 9i ² — 16

= 9 (-1) — 16

= -9 — 16

= -25

.

No related posts.