Элементарная алгебра
Элементарная алгебра
ОглавлениеГлава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ§ 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8.  Частные приемы решения уравнений высших степеней§ 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 4. Тождественность двух многочленов § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII.  СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ§ 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.  § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1.  Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений§ 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА |
Решение показательных уравнений различными методами. | Методическая разработка по алгебре (11 класс):
Решение показательных уравнений различными методами.
1. Метод вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Решить уравнение + 4 · + 2 · = 19 · – 4 · .
Решение. Преобразуем данное уравнение, перенеся члены с одинаковыми основаниями в одну и ту же часть уравнения и вынося за скобки степень с наименьшим показателем, к виду:
+ 4 · + 4 · = 19 · – 2 · (9 + 4 · 3 + 4) = 19 – 2 · 5)
25 = 9.
Запишем последнее равенство в виде пропорции и получим:
= = .
Это уравнение равносильно уравнению х – 2 = 2, откуда х = 4. Ответ: 4.
Пример 2. Решить уравнение – = – .
Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинаковыми основаниями с разных сторон равенства: + = + .
Выносим общие множители за скобки:
(1 + ) = (1 + 3)
= ∙ 4.
Разделим это уравнение на выражение, стоящее в правой части, получим = 1.
Таким образом, находим = 0; следовательно, – единственный корень исходного уравнения. Ответ: .
2. Метод использования монотонности показательной функции.
Пример 1. Решить уравнение + + = 9.
Решение. Можно заметить, что х = 1 – корень данного уравнения. Покажем, что других корней уравнение не имеет.
Рассмотрим функцию f(x) = + + . Она монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел и f (1) = 9. Поэтому, х = 1 – единственный корень данного уравнения.
Ответ: 1.
Пример 2. Решить уравнение + = 34.
Решение. Заметим, что корнем уравнения является число х = 2 (32 + 52 = 34). Докажем, что других корней уравнение не имеет. Каждая из функций и является возрастающей, следовательно, их сумма – тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х 2 – больше 34. Итак, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 2.
Пример 3. Решить уравнение + =
Решение. Убеждаемся, что х = 1 – корень уравнения. Можно доказать, что других корней уравнение не имеет.
Если х > 1, то вследствие убывания функции у = имеем
+ + = 2,
а вследствие возрастания функции у = имеем Поэтому, при х > 1 левая часть уравнения строго меньше 2, а правая строго больше 2. Следовательно, при х > 1 уравнение корней не имеет. Аналогично, при х
Ответ: 1.
Пример 4. Решить уравнение. = .
Решение. Подбором находим х = 1. Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция f(х)= монотонно убывает, а функция h(x)= монотонно возрастает (h/(x)=(·3×2).
Ответ: 1.
Пример 5. Решить уравнение. – = 32.
Решение.
Так как > 0, то разделим обе части уравнения на , тогда получим – 1 = ; – 1 = . Теперь видно, что левая часть монотонно возрастает, а правая монотонно убывает, поэтому решение уравнения х = 2 – единственное.
Ответ: 2.
Пример 6. Решить уравнение – = 15.
Решение. Запишем уравнение в виде = 15.
Рассмотрим функцию f(x) = и ее поведение на различных интервалах,
где она меняет свое поведение.
1) При х 2, т.е. х + 2 ; f(x) . Решений нет.
2) При 2 х , |х| 2. Тогда х2 – 4 0, 1. (1)
При этом х + 2 , (2)
Рассмотрим поведение функции у = при х
Заметим, что при х функция у(х) строго убывает, при х функция у(х) строго возрастает.
Перемножив (1) и (2), получим f(x) , что означает отсутствие корней при 2 х .
3) При х 0 функции и будут монотонно возрастающими и непрерывными, поэтому их произведение – функция f(x) также будет непрерывной и возрастающей.
Следовательно, уравнение f(x) = 15 может иметь только один корень, который можно найти подбором: х = 2.
Ответ: 2.
3. Метод логарифмирования для решения показательных уравнений.
В основе этого метода лежит следующее утверждение: если выражения f(x) и h(x) положительны на множестве D, то уравнение f(x) = h(x) равносильно уравнению = на множестве D, где >0 и 1.
Пример1. Решите уравнение = .
Решение. Область допустимых значений уравнения х. Так как обе части уравнения положительные, то, прологарифмировав уравнение, например, по основанию 2, получим равносильное ему уравнение:
3х – 2 = (3 – х) · .
Решая это уравнение с помощью равносильных переходов, имеем:
3х – 2 = 3 3х + 3 +2 х(3 + = 3 + 2 х = . Ответ: .
Пример 2.
Решить уравнение · = 500.
Решение. Прологарифмируем это уравнение по основанию 5 или 2. (Можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям).
Тогда имеем следующее уравнение х + 3 · = 3 + 2
х2 + х( – 3) – 3 = 0,
Дискриминант D = ( – 3)2 + 12 = ( + 3)2, следовательно, корни уравнения будут х1,2 = отсюда х1 = 3, х2 = –
Ответ: –
Это же уравнение можно решить другим способом, представив правую часть равенства в виде: 500 = . Тогда получим ·
= ; = ; (
Ответ: –
Пример 3.Решить уравнение (х-1 = .
Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5:
(х – 1) + = – , т.е. уравнение
х( – 1) – + 1 – + = х – 1 – ,
равносильное исходному уравнению. Отсюда получаем
х = , т.е. х = . Ответ: .
4.Решение показательно-степенных уравнений.
Пример 1.
Решить уравнение = 9.
Решение. Область допустимых значений уравнения: .
Поскольку обе части уравнений положительны, то прологарифмируем по основанию 3:
) = 2, ( + = , = 1 и = 2, следовательно,
(1 + = 2, + – 2 = 0,
Сделаем замену = у, тогда у2 + у – 2 = 0, корнями которого являются числа
у1 = – 2 и у2 = 1.
Возвращаемся к нашей замене и получаем:
= – 2 или = 1.
Тогда х1 = и х2 = 3. Ответ: ; 3.
Пример 2. Решить уравнение | = 1.
Решение. Понятно, что х 3,следовательно, |х – 3| 0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда (3х2 – 10х + 3) = 0, откуда
3х2 – 10х + 3 = 0 или = 0. Корнями квадратного уравнения 3х2 – 10х + 3 = 0 будут
х1 = и х2 = 3 (не удовлетворяет условию х 3) . Из уравнения = 0 находим |х – 3| =1 х – 3 = – 1 или х – 3 = 1.
Поэтому х3 = 2, х4 = 4.
Ответ: ; 2; 4.
Пример 3. Решить уравнение, в ответе указать наибольший корень
Решение. Поскольку область определения данного уравнения: х > 14, то
Наибольший корень уравнения равен 24. Ответ: 24.
Пример 4. Решить уравнение (2 = 1.
Решение. Запишем уравнение в виде (2.
Тогда .
Ответ: + , .
5. Нестандартные методы решений показательных уравнений.
Пример 1.
Решите уравнение 3 + (3х – 10) + 3 – х = 0.
Решение. Данное уравнение кроме показательных функций содержит линейные функции у = 3х – 10 и у = 3 – х. Можно заметить, что относительно р = оно является квадратным:
3р2 + (3х – 10) р + 3 – х = 0
и поэтому
р = = =
= = =
= ,
откуда р = , р = 3 – х.
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
= , = 3 – х.
Корень первого уравнения х = . Второе уравнение имеет корень х = 1, а других корней не имеет, т. к. его левая часть – всюду возрастающая функция, а правая – всюду убывающая.
Ответ: 1; .
Пример 2.
Решить уравнение + х = 2.
Решение. Применив основное логарифмическое тождество, получим уравнение х2 – 2х – 1 + х = 2, (*)
корни которого х1 = и х2 = .
Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворяет неравенству:
х2 – 2х – 1 0. (**)
Это можно сделать проще (не подставляя в неравенство полученные числа). Перепишем уравнение (*) в виде х2 – 2х – 1 = 2 – х,
тогда видим, что выражение х2 – 2х – 1 положительно тогда и только тогда, когда х 2. Таким образом, вместо проверки неравенства (**) можно проверить условие х 2. Теперь видно, что только х = является корнем данного уравнения. Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение = .
Решение. В данном уравнении удобно применить следующий прием: разделив числители и знаменатели в обеих частях уравнения на 0,получим равносильное исходному уравнение:
=.
Далее сделаем замену = у, у0 и получаем =. (*)
Можно заметить, что у 1, у . Таким образом, получаем равносильное (*) уравнение
(5 + 5у) (2 – 3у) = 4 – 4у; 10 – 5у – 15у2 – 4 + 4у = 0;
15у2 + у – 6 = 0; D = 1 + 360 = 361;
у1= у2= ; у1 = , у2 0.
Вернемся к нашей замене, получим уравнение = , откуда х = 1.
Ответ: 1.
Пример 4. Решить уравнение + = + 1.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде:
+ = + 1.
Сделаем замену = ; = b, b тогда + -1 – 2 – 1 = 0;
2b + b – 3 – = 0; 2(b – ) + (b – ) = 0; (b – )(2 + 1) = 0, откуда b = поскольку уравнение 2 + 1 = 0 корней не имеет.
Таким образом, = и х2 + 1 = 2х. Очевидно, что х = 1.
Ответ: 1.
Пример 5. Решить уравнение 6 · + 8 · = 48.
Решение. Разделим обе части уравнения на 24, получим уравнение
+ = 2.
Применяя неравенство ||| + |b| (его легко доказать возведением обеих частей в квадрат), получим |х – 2| + |х – 4| |х – 2 – (х – 4)| = 2 и
|х – 1| + |х – 3| |х – 1 – (х – 3)| = 2, поэтому 1 и 1.
Тогда, исходное уравнение равносильно системе уравнений:
. Ответ:
Пример 5. Решить уравнение х2 – 2х + 2 = 2 · –
Решение. Представим уравнение в виде ( – 1)2 + (х – 1)2 = 0.
Это уравнение равносильно системе: откуда х = 1.
Ответ: 1.
Пример 6. Решить уравнение + + = 6,5 + 3,25 + 1,625 + …(выражение в правой части – бесконечная геометрическая прогрессия).
Решение. В правой части – сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии S, где b1 = 6,5; q = = 0,5 S = = = 13.
Теперь перепишем уравнение в виде + + = 13 · =13, = 16,
откуда х = 4. Ответ: 4.
Пример 7. Решить уравнение 3 · + 37 · = 26 · .
Решение. Для того, чтобы решить данное уравнение разделим обе его части на . Получаем
3 · + 37 · – 26 = 0. (*)
Пусть t = , t тогда уравнение (*) принимает вид
3t2 + 37t – 26 = 0,
корнями которого являются числа .
Итак, исходное уравнение равносильно уравнению:
= ,
из которого находим единственный корень исходного уравнения: = = х = . Ответ: .
6.
Решение показательных уравнений с параметром.
Пример 1. Найти решение уравнения 3 + 27 = · при всех значениях Решение. Запишем уравнение в виде 3 – · = – 27
(3 – ) · = – 27 = , где 0.
Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 4, получим:
= ) х – 2 = ), х = 2 + ), где 0.
Решим полученное неравенство методом интервалов и получим .
Ответ: 2 + ), где при уравнение решений не имеет.
Пример 2. Решить уравнение · = при всех действительных значениях
Решение. Уравнение имеет смысл при Тогда запишем уравнение в виде:
· = = = х = ,
где – 3, учитывая область допустимых значений
Ответ: при ; нет корней при ;
Пример 3. Решить уравнение = 1.
Решение. Если – 1 = 1, т.е. = 2, тогда х..
Если , то х2 – х + 1 = 0 и х1,2 = .
Ответ: х, при = 2; , при при (; уравнение решений не имеет.
Пример 4. При каких значениях параметра р уравнение
= 2 имеет единственное решение?
Решение.
Поскольку:
,
сделав замену , тогда получим уравнение вида:
= 2 + = ( )2 = 0
= . Прологарифмировав обе части уравнения, получим: х = х (*)
При любом значении параметра р есть решение х = 0, поэтому для единственности решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы второе уравнение совокупности не имело решений.
Область допустимых значений (*):
Если то
Если , то
Данное уравнение имеет единственное решение(х = 0 – решение исходного уравнения при любом значении р), если уравнение не имеет решений, что происходит тогда, когда 9р2 -24 Ответ:
Пример 5. При каждом значении параметра решить уравнение
+ 1 = .
Решение. Запишем уравнение в виде: = . Тогда если уравнение обращается в тождество, верное при любом значении переменной, т.е. х.. При
разделим обе части уравнения на . Получим =. Обозначим р = Учитывая, что 0 получим, что , или 1Таким образом, 1 , следовательно 3 Теперь сделаем обратную замену при плученных значениях , тогда .
Решения уравнения :
х =
Ответ: при ; (- при при других значениях уравнение решений не имеет.
Решение экспоненциальных уравнений — Алгебра II
Все ресурсы по Алгебре II
10 Диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Следующая →
Алгебра II Помощь » Математические отношения и основные графики » Экспоненты » Решение экспоненциальных уравнений и построение графиков » Решение экспоненциальных уравнений
Решите уравнение для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начните с признания того, что обе части уравнения имеют корневой член .
Используя правило степени, мы можем установить степени равными друг другу.
Сообщить об ошибке
Решите уравнение для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начните с признания того, что обе части уравнения имеют один и тот же корневой член, .
Мы можем использовать правило степени для объединения показателей степени.
Установить степени равными друг другу.
Сообщить об ошибке
В 2009 г., популяция рыб в пруду составляла 1034 особи. В 2013 году их было 1711.
Напишите экспоненциальную функцию роста вида , которую можно использовать для моделирования популяции рыб через количество лет, прошедших с 2009 года.Объяснение:
Найдите значения a и b :
В 2009 г.
и (ноль лет с 2009 г.). Подставьте это в экспоненциальную форму уравнения:
. Решите, чтобы получить .
В 2013 г. и . Следовательно,
или . Найдите , чтобы получить
.
Тогда функция экспоненциального роста равна
.
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
8 и 4 являются степенью числа 2.
Отчет о ошибке
Решение для:
Возможные ответы:
916. Правильный ответ. Объяснение:Поскольку обе части уравнения имеют одно и то же основание, приравняйте члены.
Прибавьте 9 к обеим сторонам:
Затем вычтите 2x с обеих сторон:
Наконец, разделите обе стороны на 3:
Отчет о ошибке
Решение для:
Возможные ответы:
Нет решения
Правильно.
Объяснение:
125 и 25 обе степени числа 5.
Следовательно, уравнение можно переписать как
.
Использование свойства распределения,
.
Так как обе стороны теперь имеют одинаковое основание, установите два показателя степени равными друг другу и решите:
Прибавьте 30 к обеим частям:
Прибавьте к обеим сторонам:
Разделите обе части на 20:
Отчет Ошибка
Решить .
Возможные ответы:
Нет решения
Правильный ответ:
4
55
5
Объяснение: И 27, и 9 являются степенями числа 3, поэтому уравнение можно переписать как
.
Использование Распределительного свойства,
.
Теперь, когда обе части имеют одинаковое основание, приравняйте два показателя степени и решите.
Добавить 12 к обеим сторонам:
Вычитается с обеих сторон:
Отчет о ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
0016
Объяснение:
Первый шаг в этой задаче — разделить обе части на три: . Затем поймите, что 8 можно переписать и с основанием 2 (). Следовательно, ваш ответ – 3.
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Преобразуем в основание.
Нам известно следующее:
Упрощение.
Решить.
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Преобразуем в основание.
Мы знаем следующее:
Упростим.
Решить.
.
Сообщить об ошибке
← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по Алгебре II
10 Диагностические тесты
630 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
Объяснение урока: Решение экспоненциальных уравнений с использованием свойств показателей
В этом пояснении мы научимся решать показательные уравнения, используя свойства показателей.
Давайте начнем с нескольких примеров экспоненциальных уравнений. В одном 10=100, в другом
3=9––, а третья – 36=6||. Обратите внимание, что переменная
𝑥 входит в показатель степени в левой части первого уравнения, переменная 𝑎 входит
в показатель степени в обеих частях второго уравнения, а переменная 𝑦 входит в показатель степени в
правая часть третьего уравнения. Эти три примера показательных уравнений приводят нас к следующему определению.
Определение: Экспоненциальное уравнение
Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменная используется в одном или нескольких показателях степени.
Чтобы определить набор решений показательного уравнения, часто бывает полезно переписать его так, чтобы каждая сторона
состоит из того же основания , возведенного в степень . Для этого нам часто приходится вспоминать некоторые
правила показателей ниже.
Свойства: Правила экспонентов
Производство
Обратите внимание, что каждое правило в левом столбце включает операции с двумя показателями степени.
- Правило произведения гласит, что при умножении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием мы
сохранить основание и найти сумму показателей. Мы будем использовать правило произведения , чтобы найти, что
2×2=2=2.
- Точно так же правило частных утверждает, что при делении экспоненциальных выражений с одинаковыми
базу, сохраняем базу и находим разность показателей. Мы будем использовать частное правило найти, что 55=5=5.
- Правило мощности гласит, что при возведении степени основания в другую степень мы сохраняем основание
и найти произведение показателей. Мы воспользуемся степенным правилом , чтобы найти, что 7=7=7×.
Правила в правом столбце позволяют нам упростить или переписать выражение, включающее основание, возведенное в
определенный вид власти.
- Правило нулевой степени утверждает, что любое основание, возведенное в степень 0, равно 1. Мы бы использовали правило нулевой степени , чтобы найти, что 3=1.
- Правило отрицательной степени гласит, что любое основание, возведенное в отрицательную степень, равно 1 больше
основание возводится в аддитивную обратную экспоненте. Мы использовали бы правило отрицательного порядка , чтобы
найти, что 6 = 16.
- Наконец, правило дробной экспоненты утверждает, что любое основание, возведенное в дробную степень с
числитель 1 равен корню из основания. Степень корня является знаменателем показателя степени.
Мы воспользуемся правилом дробной экспоненты , чтобы найти, что 2=√2.
Теперь давайте рассмотрим несколько примеров того, как эти правила используются при решении показательных уравнений.
Пример 1. Поиск решения системы экспоненциальных уравнений
Учитывая, что 2=32, найдите значение 𝑥.
Ответ
Чтобы найти значение 𝑥, мы должны начать с переписывания уравнения так, чтобы обе части
состоят из одного и того же основания, возведенного в степень. Левая часть уравнения уже представляет собой основание, возведенное
в степень — основание 2 возводится в степень 𝑥. Таким образом, мы должны определить, является ли правая часть
уравнения также можно записать в виде основания 2, возведенного в степень. Если сможет, то у нас не будет
переписать левую часть уравнения. Нам нужно будет только переписать правую часть.
Рассмотрим первые пять положительных целых степеней числа 2:
2=22=2×2=42=2×2×2=82=2×2×2×2=162=2×2×2×2×2=32
Мы видим, что 32 можно переписать как основание 2, возведенное в степень 5. Это означает, что мы можем
оставить левую часть уравнения 2=32 без изменений и переписать уравнение как
2=2.
Теперь мы можем найти значение 𝑥, поскольку показатели в обеих частях уравнения
должно быть одинаковым. Значение 𝑥 равно 5,9.0005
Проверка
Мы можем проверить наш ответ, подставив 5 в исходное уравнение для 𝑥. Это дает
2=32, что можно переписать как 32=32, поэтому наш ответ должен быть правильным.
Обратите внимание, что мы также можем найти значение 𝑥, взяв корень пятой степени из обеих частей оригинала
уравнение, хотя этот метод не так прост и требует использования двух из
правила показателей. Во-первых, мы получаем √2=√32, что можно переписать как
√2=√2,√2=2.или
Правило дробной экспоненты позволяет нам переписать √2 как
(2), поэтому уравнение принимает вид
(2)=2,
а правило мощности позволяет нам переписать (2) как
2, поэтому уравнение становится
2=2.
Переписав 2 как 2, мы получим 2=2. Приравнивание показателей дает нам 𝑥5=1, а умножение обеих частей
𝑥5=1 на 5 дает нам 𝑥=5, тот же ответ, который мы получили раньше.
В следующем примере мы будем вычислять экспоненциальное выражение после решения пары экспоненциальных
уравнения.
Пример 2. Вычисление показательных выражений после решения показательных уравнений
Учитывая, что 8=4=64, найдите значение 𝑦+𝑧.
Ответ
Чтобы найти значение 𝑦+𝑧, мы должны начать с перезаписи 8=4=64
как два отдельных уравнения:
8=648=4.и
Давайте сначала рассмотрим уравнение 8=64. Мы можем начать решать ее, переписав ее
так что обе стороны состоят из одного и того же основания, возведенного в степень. Левая сторона уже является основанием, возведенным в степень —
основание 8 возводится в степень 𝑦. Таким образом, мы должны определить, может ли правая часть также быть записана как
основание 8 возведено в степень. Если сможет, то нам нужно будет переписать только эту сторону, а не левую.
Поскольку 8=8×8=64, мы можем оставить левую часть уравнения 8=64 без изменений.
и перепишем уравнение как
8=8.
Приравнивая степени, мы можем заключить, что 𝑦=2.
Теперь рассмотрим уравнение 8=4. Опять же, мы должны переписать его так, чтобы обе части состояли из
то же основание, возведенное в степень. Поскольку 2=2×2=4 и 2=2×2×2=8,
мы можем переписать уравнение как
2=2,
с каждой стороны, имеющей основание 2. степенное правило Экспоненты позволяет нам переписать 2
как 2 и 2 как 2, поэтому уравнение принимает вид
2=2.
Поскольку показатели степени в обеих частях уравнения должны быть одинаковыми, мы знаем, что 3𝑦=2𝑧.
Напомним, что мы получили 𝑦=2 как решение уравнения 8=64. Потому что мы уже
зная значение 𝑦, мы можем подставить его в уравнение 3𝑦=2𝑧, чтобы получить
3(2)=2𝑧 или 6=2𝑧. Разделив обе части 6=2𝑧
на 2 дает нам 𝑧=3.
Обратите внимание, что мы также можем найти значение 𝑧, переписав 8=4=64 в виде уравнений
8=644=64.и
Чтобы решить 4=64, мы можем оставить левую часть уравнения без изменений и использовать тот факт, что
4=4×4×4=64, чтобы переписать уравнение как
4=4.
Приравнивая степени, мы можем заключить, что 𝑧=3. Это то же значение 𝑧, что
мы пришли ранее.
Поскольку теперь мы знаем значения как 𝑦, так и 𝑧, мы можем подставить их в выражение
𝑦+𝑧 и упростить: 2+3=5. Значение 𝑦+𝑧 равно 5,9.0005
Теперь давайте рассмотрим задачу с биномиальными показателями .
Пример 3. Поиск набора решений экспоненциального уравнения с биномиальными показателями
Найдите значение 𝑥, для которого 81=13.
Ответ
Нас попросили найти значение 𝑥, для которого 81=13. В левой части этого уравнения основание 81 возводится в степень
𝑥+5. Поскольку 𝑥+5 имеет два члена, это биномиальный показатель.
Справа основание 13 возводится в степень 𝑥. Поскольку и 81, и 13 являются степенями числа 3, проще всего было бы переписать
уравнение так, что 3 является основанием с обеих сторон.
При этом получаем
3=3.
Затем мы можем использовать правило степени показателей степени, чтобы переписать уравнение как
3=3()
и распределите в экспоненте с левой стороны, чтобы получить
3=3.
Приравняв показатели друг к другу, мы получим уравнение
4𝑥+20=−𝑥
и позволяет нам решить для 𝑥. Мы должны вычесть 20 с обеих сторон, чтобы получить
4𝑥=−𝑥−20
а затем добавьте 𝑥 к обеим сторонам, чтобы получить
5𝑥=−20.
Наконец, разделив обе части на 5, мы можем найти значение 𝑥, для которого
81=13. Значение 𝑥 равно −4.
Следующая задача похожа на ту, которую мы только что рассмотрели, но уравнение, которое мы будем решать
включает два биномиальных показателя вместо одного.
Пример 4. Поиск набора решений экспоненциального уравнения с биномиальными показателями
Найдите значение 𝑥, для которого 8=2. Дайте ответ с точностью до десятых.
Ответ
Мы можем найти значение 𝑥, для которого 8=2
сначала переписав уравнение так, чтобы каждая сторона состояла из одного и того же основания, возведенного в степень. В этом случае мощность с каждой стороны будет представлена биномиальным показателем.
Так как 2=2×2×2=8, мы можем переписать уравнение как
2=2.
Теперь обе части уравнения имеют основание 2, поэтому нет необходимости переписывать правую часть.
Далее мы можем использовать правило мощности степени переписать 2
как 2(), что дает нам уравнение
2=2,()
и мы можем затем распределить 3 в экспоненте с левой стороны, чтобы получить
2=2.
Приравнивание двух биномиальных показателей дает нам уравнение
3𝑥+6=𝑥+4,
что позволяет нам решить для 𝑥. Во-первых, вычитание 𝑥 с обеих сторон дает нам уравнение
2𝑥+6=4.
Тогда, вычитая по 6 с обеих сторон, получаем
2𝑥=−2.
Наконец, разделив обе части на 2, мы можем найти значение 𝑥, для которого
8=2. Значение 𝑥 равно –1.
Проверить
Теперь давайте проверим наш ответ. Подстановка –1 в уравнение для 𝑥
дает нам 8 = 2––, и после упрощения биномиального показателя с каждой стороны,
получаем 8=2. Поскольку 8=8 и 2=2×2×2=8,
мы можем переписать уравнение как 8=8. Таким образом, наше значение 𝑥 должно быть правильным.
Иногда в экспоненциальных уравнениях используются символы абсолютного значения. В следующем примере мы рассмотрим такое уравнение.
Пример 5. Решение экспоненциальных уравнений с абсолютным значением с использованием законов экспонент
Найдите набор решений 2=8|–|–.
Ответ
Начнем с того, что перепишем уравнение 2=8|–|–
так что одно и то же основание возводится в степень с каждой стороны. Мы можем использовать тот факт, что
2=2×2×2=8 переписать уравнение как
2=2.||
Теперь, когда с каждой стороны имеется основание 2, мы можем использовать правило степени степени для замены
2 с 2(),
давая нам уравнение
2=2,||()
и после распределения 3 в экспоненте с правой стороны, мы получаем
2=2.||
Поскольку показатели степени должны быть равны друг другу, мы знаем, что уравнение
|8𝑥–12|=12𝑥–12 должно быть верным.
Уравнение |8𝑥–12|=12𝑥–12 является уравнением с абсолютной величиной, поэтому мы должны рассмотреть два
разные случаи: когда 8𝑥–12 положительно и когда отрицательно. Когда он положительный, мы получаем
уравнение 8𝑥–12=12𝑥–12, а когда оно отрицательное, мы получаем уравнение
–(8𝑥–12)=12𝑥–12. Каждое из этих уравнений можно решить относительно 𝑥
как показано ниже:
8𝑥−12=12𝑥−128𝑥−12+12=12𝑥−12+128𝑥=12𝑥8𝑥−8𝑥=12𝑥−8𝑥0=4𝑥04=4𝑥40=𝑥−(8𝑥−12)=12−2𝑥1−1−2−2=𝑥1−12−8
Решение уравнений показывает, что 𝑥 может быть равно 0 или 65. Однако мы должны заменить каждое
значение в уравнение |8𝑥–12|=12𝑥–12 и упростить следующим образом, чтобы быть уверенным:
|8(0)−12|=12(0)−12|0−12|=0−12|−12|=−1212=−12|||865−12|||=1265 −12|||935−12|||=1425−12|||−225|||=225225=225
Поскольку 12=–12 ложно, а 225=225 верно, мы знаем, что только
65, а не 0, входит в систему решений уравнения 2=8|–|–. Следовательно, набор решений равен 65.
Наконец, давайте рассмотрим еще один пример показательного уравнения с биномиальными показателями.
Пример 6. Поиск набора решений экспоненциального уравнения с биномиальными показателями
Определите набор решений 𝑥=6.
Ответ
Обратите внимание, что показатель степени в обеих частях уравнения 𝑥=6
𝑥–64. Поскольку показатель степени с одной стороны такой же, как с другой, мы знаем, что
один элемент набора решений уравнения должен быть равен 6. Это связано с тем, что значение 6 для 𝑥
приведет к тому, что одно и то же основание будет возведено в одну и ту же степень с каждой стороны. Подставляя 6 в уравнение для
𝑥 дает нам
6=6,
и частичное упрощение дает
6=6,6=6.или
Предположим, однако, что вместо 𝑥 мы заменили –6. После частичного упрощения мы получим
(−6)=6.
Поскольку –28 – четное число, и –6, и 6, возведенные в эту степень, дадут один и тот же результат. Этот
означает, что другой элемент набора решений должен быть равен –6.
Мы также должны помнить, что правило нулевой степени гласит, что любое основание, возведенное в степень 0, равно
равным 1. Таким образом, любые значения 𝑥, приводящие к показателю степени 𝑥–64
равный 0, также будет в наборе решений уравнения 𝑥=6–. В этом случае значение основания в левой части уравнения не имеет значения. Мы можем решить уравнение
𝑥–64=0 следующим образом, чтобы найти эти дополнительные элементы набора решений:
𝑥−64=0𝑥−64+64=0+64𝑥=64𝑥=±√64𝑥=±8.
Таким образом, два дополнительных элемента набора решений равны 8 и –8, так что теперь мы знаем полное
множество решений 𝑥=6. Набор решений {6,–6,8,–8}.
Проверка
Мы можем проверить, что 8 и –8 действительно являются значениями 𝑥, которые составляют уравнение
𝑥=6 верно, если подставить их в уравнение и упростить. Замена 8 на 𝑥 дает
8=6,
который можно упростить до
8=6,8=6.или
Замена -8 на 𝑥 дает
(−8)=6,()()
который можно упростить до
(−8)=6,(−8)=6.или
Используя правило нулевой степени , как 8=6, так и (−8)=6
можно упростить до 1=1, что верно. Таким образом, и 8, и –8 на самом деле
элементы набора решений.
Теперь давайте закончим, повторив некоторые ключевые моменты.
Ключевые моменты
- Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная используется в одном или нескольких показателях степени.
- Чтобы определить набор решений показательного уравнения, часто бывает полезно переписать его так:
что каждая сторона состоит из одного и того же основания, возведенного в степень.
- Переписать экспоненциальное уравнение так, чтобы каждая сторона состояла из одного и того же основания, возведенного в
степени, иногда необходимо использовать одно или несколько правил экспоненты.
- Экспоненциальное правило, которое обычно используется при решении показательных уравнений, это силовое правило , или (𝑎)=𝑎. В нем говорится, что когда
возводя степень основания в другую степень, мы сохраняем основание и находим произведение показателей.
И 27, и 9 являются степенями числа 3, поэтому уравнение можно переписать как
.
Использование Распределительного свойства,
.
Теперь, когда обе части имеют одинаковое основание, приравняйте два показателя степени и решите.
Добавить 12 к обеим сторонам:
Вычитается с обеих сторон:
Отчет о ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
0016 Объяснение:
Первый шаг в этой задаче — разделить обе части на три: . Затем поймите, что 8 можно переписать и с основанием 2 (). Следовательно, ваш ответ – 3.
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Преобразуем в основание.
Нам известно следующее:
Упрощение.
Решить.
Сообщить об ошибке
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Преобразуем в основание.
Мы знаем следующее:
Упростим.
Решить.
.
Сообщить об ошибке
← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по Алгебре II
10 Диагностические тесты 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Объяснение урока: Решение экспоненциальных уравнений с использованием свойств показателей
В этом пояснении мы научимся решать показательные уравнения, используя свойства показателей.
Давайте начнем с нескольких примеров экспоненциальных уравнений. В одном 10=100, в другом
3=9––, а третья – 36=6||. Обратите внимание, что переменная
𝑥 входит в показатель степени в левой части первого уравнения, переменная 𝑎 входит
в показатель степени в обеих частях второго уравнения, а переменная 𝑦 входит в показатель степени в
правая часть третьего уравнения.
Эти три примера показательных уравнений приводят нас к следующему определению.
Определение: Экспоненциальное уравнение
Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменная используется в одном или нескольких показателях степени.
Чтобы определить набор решений показательного уравнения, часто бывает полезно переписать его так, чтобы каждая сторона состоит из того же основания , возведенного в степень . Для этого нам часто приходится вспоминать некоторые правила показателей ниже.
Свойства: Правила экспонентов
Производство
Обратите внимание, что каждое правило в левом столбце включает операции с двумя показателями степени.
- Правило произведения гласит, что при умножении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием мы
сохранить основание и найти сумму показателей. Мы будем использовать правило произведения , чтобы найти, что
2×2=2=2.
- Точно так же правило частных утверждает, что при делении экспоненциальных выражений с одинаковыми базу, сохраняем базу и находим разность показателей. Мы будем использовать частное правило найти, что 55=5=5.
- Правило мощности гласит, что при возведении степени основания в другую степень мы сохраняем основание и найти произведение показателей. Мы воспользуемся степенным правилом , чтобы найти, что 7=7=7×.
Правила в правом столбце позволяют нам упростить или переписать выражение, включающее основание, возведенное в определенный вид власти.
- Правило нулевой степени утверждает, что любое основание, возведенное в степень 0, равно 1. Мы бы использовали правило нулевой степени , чтобы найти, что 3=1.
- Правило отрицательной степени гласит, что любое основание, возведенное в отрицательную степень, равно 1 больше
основание возводится в аддитивную обратную экспоненте. Мы использовали бы правило отрицательного порядка , чтобы
найти, что 6 = 16.
- Наконец, правило дробной экспоненты утверждает, что любое основание, возведенное в дробную степень с
числитель 1 равен корню из основания. Степень корня является знаменателем показателя степени.
Мы воспользуемся правилом дробной экспоненты , чтобы найти, что 2=√2.
Мы использовали бы правило отрицательного порядка , чтобы
найти, что 6 = 16.Теперь давайте рассмотрим несколько примеров того, как эти правила используются при решении показательных уравнений.
Пример 1. Поиск решения системы экспоненциальных уравнений
Учитывая, что 2=32, найдите значение 𝑥.
Ответ
Чтобы найти значение 𝑥, мы должны начать с переписывания уравнения так, чтобы обе части
состоят из одного и того же основания, возведенного в степень. Левая часть уравнения уже представляет собой основание, возведенное
в степень — основание 2 возводится в степень 𝑥. Таким образом, мы должны определить, является ли правая часть
уравнения также можно записать в виде основания 2, возведенного в степень.
Если сможет, то у нас не будет
переписать левую часть уравнения. Нам нужно будет только переписать правую часть.
Рассмотрим первые пять положительных целых степеней числа 2: 2=22=2×2=42=2×2×2=82=2×2×2×2=162=2×2×2×2×2=32
Мы видим, что 32 можно переписать как основание 2, возведенное в степень 5. Это означает, что мы можем оставить левую часть уравнения 2=32 без изменений и переписать уравнение как 2=2.
Теперь мы можем найти значение 𝑥, поскольку показатели в обеих частях уравнения должно быть одинаковым. Значение 𝑥 равно 5,9.0005
Проверка
Мы можем проверить наш ответ, подставив 5 в исходное уравнение для 𝑥. Это дает 2=32, что можно переписать как 32=32, поэтому наш ответ должен быть правильным.
Обратите внимание, что мы также можем найти значение 𝑥, взяв корень пятой степени из обеих частей оригинала
уравнение, хотя этот метод не так прост и требует использования двух из
правила показателей.
Во-первых, мы получаем √2=√32, что можно переписать как
√2=√2,√2=2.или
Правило дробной экспоненты позволяет нам переписать √2 как (2), поэтому уравнение принимает вид (2)=2, а правило мощности позволяет нам переписать (2) как 2, поэтому уравнение становится 2=2.
Переписав 2 как 2, мы получим 2=2. Приравнивание показателей дает нам 𝑥5=1, а умножение обеих частей 𝑥5=1 на 5 дает нам 𝑥=5, тот же ответ, который мы получили раньше.
В следующем примере мы будем вычислять экспоненциальное выражение после решения пары экспоненциальных уравнения.
Пример 2. Вычисление показательных выражений после решения показательных уравнений
Учитывая, что 8=4=64, найдите значение 𝑦+𝑧.
Ответ
Чтобы найти значение 𝑦+𝑧, мы должны начать с перезаписи 8=4=64 как два отдельных уравнения: 8=648=4.и
Давайте сначала рассмотрим уравнение 8=64.
Мы можем начать решать ее, переписав ее
так что обе стороны состоят из одного и того же основания, возведенного в степень. Левая сторона уже является основанием, возведенным в степень —
основание 8 возводится в степень 𝑦. Таким образом, мы должны определить, может ли правая часть также быть записана как
основание 8 возведено в степень. Если сможет, то нам нужно будет переписать только эту сторону, а не левую.
Поскольку 8=8×8=64, мы можем оставить левую часть уравнения 8=64 без изменений. и перепишем уравнение как 8=8.
Приравнивая степени, мы можем заключить, что 𝑦=2.
Теперь рассмотрим уравнение 8=4. Опять же, мы должны переписать его так, чтобы обе части состояли из
то же основание, возведенное в степень. Поскольку 2=2×2=4 и 2=2×2×2=8,
мы можем переписать уравнение как
2=2,
с каждой стороны, имеющей основание 2. степенное правило Экспоненты позволяет нам переписать 2
как 2 и 2 как 2, поэтому уравнение принимает вид
2=2.
Поскольку показатели степени в обеих частях уравнения должны быть одинаковыми, мы знаем, что 3𝑦=2𝑧.
Напомним, что мы получили 𝑦=2 как решение уравнения 8=64. Потому что мы уже зная значение 𝑦, мы можем подставить его в уравнение 3𝑦=2𝑧, чтобы получить 3(2)=2𝑧 или 6=2𝑧. Разделив обе части 6=2𝑧 на 2 дает нам 𝑧=3.
Обратите внимание, что мы также можем найти значение 𝑧, переписав 8=4=64 в виде уравнений 8=644=64.и
Чтобы решить 4=64, мы можем оставить левую часть уравнения без изменений и использовать тот факт, что 4=4×4×4=64, чтобы переписать уравнение как 4=4.
Приравнивая степени, мы можем заключить, что 𝑧=3. Это то же значение 𝑧, что мы пришли ранее.
Поскольку теперь мы знаем значения как 𝑦, так и 𝑧, мы можем подставить их в выражение 𝑦+𝑧 и упростить: 2+3=5. Значение 𝑦+𝑧 равно 5,9.0005
Теперь давайте рассмотрим задачу с биномиальными показателями .
Пример 3. Поиск набора решений экспоненциального уравнения с биномиальными показателями
Найдите значение 𝑥, для которого 81=13.
Ответ
Нас попросили найти значение 𝑥, для которого 81=13. В левой части этого уравнения основание 81 возводится в степень 𝑥+5. Поскольку 𝑥+5 имеет два члена, это биномиальный показатель.
Справа основание 13 возводится в степень 𝑥. Поскольку и 81, и 13 являются степенями числа 3, проще всего было бы переписать уравнение так, что 3 является основанием с обеих сторон.
При этом получаем 3=3.
Затем мы можем использовать правило степени показателей степени, чтобы переписать уравнение как 3=3() и распределите в экспоненте с левой стороны, чтобы получить 3=3.
Приравняв показатели друг к другу, мы получим уравнение
4𝑥+20=−𝑥
и позволяет нам решить для 𝑥. Мы должны вычесть 20 с обеих сторон, чтобы получить
4𝑥=−𝑥−20
а затем добавьте 𝑥 к обеим сторонам, чтобы получить
5𝑥=−20.
Наконец, разделив обе части на 5, мы можем найти значение 𝑥, для которого 81=13. Значение 𝑥 равно −4.
Следующая задача похожа на ту, которую мы только что рассмотрели, но уравнение, которое мы будем решать включает два биномиальных показателя вместо одного.
Пример 4. Поиск набора решений экспоненциального уравнения с биномиальными показателями
Найдите значение 𝑥, для которого 8=2. Дайте ответ с точностью до десятых.
Ответ
Мы можем найти значение 𝑥, для которого 8=2 сначала переписав уравнение так, чтобы каждая сторона состояла из одного и того же основания, возведенного в степень. В этом случае мощность с каждой стороны будет представлена биномиальным показателем.
Так как 2=2×2×2=8, мы можем переписать уравнение как 2=2.
Теперь обе части уравнения имеют основание 2, поэтому нет необходимости переписывать правую часть.
Далее мы можем использовать правило мощности степени переписать 2
как 2(), что дает нам уравнение
2=2,()
и мы можем затем распределить 3 в экспоненте с левой стороны, чтобы получить
2=2.
Приравнивание двух биномиальных показателей дает нам уравнение 3𝑥+6=𝑥+4, что позволяет нам решить для 𝑥. Во-первых, вычитание 𝑥 с обеих сторон дает нам уравнение 2𝑥+6=4.
Тогда, вычитая по 6 с обеих сторон, получаем 2𝑥=−2.
Наконец, разделив обе части на 2, мы можем найти значение 𝑥, для которого 8=2. Значение 𝑥 равно –1.
Проверить
Теперь давайте проверим наш ответ. Подстановка –1 в уравнение для 𝑥 дает нам 8 = 2––, и после упрощения биномиального показателя с каждой стороны, получаем 8=2. Поскольку 8=8 и 2=2×2×2=8, мы можем переписать уравнение как 8=8. Таким образом, наше значение 𝑥 должно быть правильным.
Иногда в экспоненциальных уравнениях используются символы абсолютного значения. В следующем примере мы рассмотрим такое уравнение.
Пример 5. Решение экспоненциальных уравнений с абсолютным значением с использованием законов экспонент
Найдите набор решений 2=8|–|–.
Ответ
Начнем с того, что перепишем уравнение 2=8|–|– так что одно и то же основание возводится в степень с каждой стороны. Мы можем использовать тот факт, что 2=2×2×2=8 переписать уравнение как 2=2.||
Теперь, когда с каждой стороны имеется основание 2, мы можем использовать правило степени степени для замены 2 с 2(), давая нам уравнение 2=2,||() и после распределения 3 в экспоненте с правой стороны, мы получаем 2=2.||
Поскольку показатели степени должны быть равны друг другу, мы знаем, что уравнение |8𝑥–12|=12𝑥–12 должно быть верным.
Уравнение |8𝑥–12|=12𝑥–12 является уравнением с абсолютной величиной, поэтому мы должны рассмотреть два
разные случаи: когда 8𝑥–12 положительно и когда отрицательно. Когда он положительный, мы получаем
уравнение 8𝑥–12=12𝑥–12, а когда оно отрицательное, мы получаем уравнение
–(8𝑥–12)=12𝑥–12.
Каждое из этих уравнений можно решить относительно 𝑥
как показано ниже:
8𝑥−12=12𝑥−128𝑥−12+12=12𝑥−12+128𝑥=12𝑥8𝑥−8𝑥=12𝑥−8𝑥0=4𝑥04=4𝑥40=𝑥−(8𝑥−12)=12−2𝑥1−1−2−2=𝑥1−12−8
Решение уравнений показывает, что 𝑥 может быть равно 0 или 65. Однако мы должны заменить каждое значение в уравнение |8𝑥–12|=12𝑥–12 и упростить следующим образом, чтобы быть уверенным: |8(0)−12|=12(0)−12|0−12|=0−12|−12|=−1212=−12|||865−12|||=1265 −12|||935−12|||=1425−12|||−225|||=225225=225
Поскольку 12=–12 ложно, а 225=225 верно, мы знаем, что только 65, а не 0, входит в систему решений уравнения 2=8|–|–. Следовательно, набор решений равен 65.
Наконец, давайте рассмотрим еще один пример показательного уравнения с биномиальными показателями.
Пример 6. Поиск набора решений экспоненциального уравнения с биномиальными показателями
Определите набор решений 𝑥=6.
Ответ
Обратите внимание, что показатель степени в обеих частях уравнения 𝑥=6
𝑥–64.
Поскольку показатель степени с одной стороны такой же, как с другой, мы знаем, что
один элемент набора решений уравнения должен быть равен 6. Это связано с тем, что значение 6 для 𝑥
приведет к тому, что одно и то же основание будет возведено в одну и ту же степень с каждой стороны. Подставляя 6 в уравнение для
𝑥 дает нам
6=6,
и частичное упрощение дает
6=6,6=6.или
Предположим, однако, что вместо 𝑥 мы заменили –6. После частичного упрощения мы получим (−6)=6.
Поскольку –28 – четное число, и –6, и 6, возведенные в эту степень, дадут один и тот же результат. Этот означает, что другой элемент набора решений должен быть равен –6.
Мы также должны помнить, что правило нулевой степени гласит, что любое основание, возведенное в степень 0, равно
равным 1. Таким образом, любые значения 𝑥, приводящие к показателю степени 𝑥–64
равный 0, также будет в наборе решений уравнения 𝑥=6–.
В этом случае значение основания в левой части уравнения не имеет значения. Мы можем решить уравнение
𝑥–64=0 следующим образом, чтобы найти эти дополнительные элементы набора решений:
𝑥−64=0𝑥−64+64=0+64𝑥=64𝑥=±√64𝑥=±8.
Таким образом, два дополнительных элемента набора решений равны 8 и –8, так что теперь мы знаем полное множество решений 𝑥=6. Набор решений {6,–6,8,–8}.
Проверка
Мы можем проверить, что 8 и –8 действительно являются значениями 𝑥, которые составляют уравнение 𝑥=6 верно, если подставить их в уравнение и упростить. Замена 8 на 𝑥 дает 8=6, который можно упростить до 8=6,8=6.или
Замена -8 на 𝑥 дает
(−8)=6,()()
который можно упростить до
(−8)=6,(−8)=6.или
Используя правило нулевой степени , как 8=6, так и (−8)=6
можно упростить до 1=1, что верно.
Таким образом, и 8, и –8 на самом деле
элементы набора решений.
Теперь давайте закончим, повторив некоторые ключевые моменты.
Ключевые моменты
- Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная используется в одном или нескольких показателях степени.
- Чтобы определить набор решений показательного уравнения, часто бывает полезно переписать его так: что каждая сторона состоит из одного и того же основания, возведенного в степень.
- Переписать экспоненциальное уравнение так, чтобы каждая сторона состояла из одного и того же основания, возведенного в степени, иногда необходимо использовать одно или несколько правил экспоненты.
- Экспоненциальное правило, которое обычно используется при решении показательных уравнений, это силовое правило , или (𝑎)=𝑎. В нем говорится, что когда
возводя степень основания в другую степень, мы сохраняем основание и находим произведение показателей.
