Пределы функций с примерами решения
Содержание:
- Примеры с решением
- Предел последовательности. Предел функции. Вычисление пределов
- Сформулируем определение предела функции
- Теперь приведем конкретные примеры вычисления некоторых пределов.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки Сформулируем два эквивалентных определения предела функции в точке Определение (Гейне, на «языке последовательностей»). Число называется пределом функции в точке если для любой последовательности сходящейся к последовательность сходится к числу
Здесь, конечно, предполагается, что сходящаяся кпоследовательность пробегает значения, для которых функция определена.
Определение (Коши, на «языке »), Число называется пределом функциив точке если для любого сколь угодно малого числа можно найти такое число (зависящее от ), что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство
Тот факт, что есть предел функции в точке принято записывать следующим образом:
Геометрический смысл предела функции в точке заключается в следующем: число называется пределом функции в точке если для произвольной -окрестности точки существует такая -окрестность точки что для всех из этой -окрестности соответствующее значение функции
лежит в -окрестности точки Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы, ограниченной прямыми и (рис.
4.1)
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Примеры с решением
Пример 1.
Доказать, что
Возьмем произвольное число Нужно доказать, что существует такое зависящее от число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство или
Теперь очевидно, что следует взять
Пример 2.
Доказать, что не существует предел Это следует из того, что последовательность стремится к нулю при однако последовательность не стремится ни к какому пределу при Теперь определим понятие предела функции в бесконечности.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Область определения функции примеры решения |
Нормальное распределение примеры решения |
Производная показательно степенной функции |
Интегрирование по частям примеры решения |
Определение
Число называется пределом функции при и обозначается
если функция определена для всех удовлетворяющих неравенству при некотором и для произвольного числа существует такое число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство (рис.
4.2).
Аналогично можно определить предел функции при или
Предел из функции в точке а в своей области (если она существует) является значением , что функция подходит в качестве аргумента подходы. Концепция предела является фундаментальной концепцией исчисления и анализа.
Определение
Число называется пределом функции при и обозначается если функция определена для всех удовлетворяющих неравенству при некотором и для произвольного числа существует такое число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство (рис. 4.3)
Пример 3.
Доказать, что
Функция определена для всех действительных
Возьмем произвольное число Мы должны найти такое число чтобы для всех выполнялось неравенство
Поскольку это неравенство эквивалентно неравенству то очевидно, что число является искомым.
Предел последовательности. Предел функции. Вычисление пределов
Прежде чем перейти к определению предела напомним, что в математике используются три вида бесконечностей
Бесконечность не является числом, она показывает, как меняется переменная величина, которая конечна в любой момент времени.
Теперь определим понятие последовательности и ее предела. Последовательностью называется множество чисел, которое перенумеровано с помощью целых чисел и расположено в порядке возрастания номеров.
Если задана последовательность то тем самым любому целому неотрицательному значению п поставлено в соответствие значение
Например, члены геометрической прогрессии являются последовательными значениями функции где — целые положительные числа.
Может случиться так, что с увеличением значения будет неограниченно приближаться к какому-то числу В этом случае говорят, что число является пределом функции целочисленного аргумента или последовательности при и пишут или
Число является пределом последовательности если для можно найти такое что для всех с номерами справедливо неравенство
Используя приведенное определение, докажем, что последовательность имеет предел, равный
Согласно определению имеем
Таким образом, мы доказали, что для любого наперед заданного можно найти такое что при всех будет выполняться (3.
Теперь рассмотрим функцию непрерывного аргумента (рис. 3.24)
и предположим, что неограниченно приближается к числу При этом может оказаться, что соответствующее значение неограниченно приближается к некоторому числу В этом случае говорят, что число есть предел функции при
| На практике это определение используется только в относительно необычных ситуациях. Для многих приложений проще использовать определение для доказательства некоторых основных свойств пределов и использовать эти свойства для ответа на простые вопросы, касающиеся пределов. |
Сформулируем определение предела функции
Число называется пределом функции при если для можно найти такое что для всех удовлетворяющих условию будет справедливо неравенство: Заметим, что функция не обязательно должна быть определена в предельной точке она должна быть определена лишь в некоторой окрестности этой точки.
Тот факт, что — предел функции при записывается так:
Данное нами определение иллюстрируется рис. 3.24. Используя приведенное определение предела, докажем, что
На основании определения имеем
Таким образом, мы доказали, что исходная функция будет отличаться от 6 меньше, чем на если будет выполняться неравенство . В данном случае
Приведенное определение не дает способа вычисления пределов. Ниже мы рассмотрим некоторые из таких методов.
Дадим понятие о левых и правых пределах функции и точках ее разрыва.
Если при так, что принимает только значения, меньшие то пишут
называют левым пределом.
Аналогично, если при так, что принимает только значения, большие то пишут и называют правым пределом.
Геометрическая иллюстрация левого и правого пределов дана на рис. 3.25.
Из рис. 3.25 следует, что в точке функция имеет разрыв. Он носит название разрыва первого рода (в точке разрыва первого рода левый и правый пределы не равны и конечны).
Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Примерами разрывов второго рода являются бесконечные разрывы (рис. 3.26).
Предположим, что аргумент функции неограниченно возрастает т. е. является бесконечно большим аргументом. Может оказаться, что при этом функция стремится к некоторому пределу (рис. 3.27).
Функция стремится к пределу при если для можно найти такое что для всех значений удовлетворяющих неравенству будет выполняться условие
Теперь рассмотрим случай стремления функции к бесконечности при Функция стремится к бесконечности при если для можно найти такое что для всех значений удовлетворяющих условию выполняется неравенство Это определение иллюстрируется рис. 3.28.
Напомним, что функция называется ограниченной в данной области изменения аргумента, если существует такое, что для всех значений принадлежащих рассматриваемой области, будет выполняться неравенство Если такого числа нет, то функция является неограниченной в данной области.
Например, функция является ограниченной на своей области определения (рис. 3.29).
Дадим определение бесконечно малой величины.
Функция называется бесконечно малой при или если или
Например, функция при есть бесконечно малая величина, так как
Постоянное очень малое число не является бесконечно малой величиной. Единственное число, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, это ноль. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин можно проследить из теоремы 3.1: если — бесконечно малая величина, то бесконечно большая величина и наоборот.
Теперь приведем конкретные примеры вычисления некоторых пределов.Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Если подставить предельное значение, то получим неопределённость Поэтому для решения подобных примеров
используют следующий прием: делят числитель и знаменатель в максимальной степени, в данном случае на Тогда получим
Пример 7:(Предел в квадратных скобках — это второй замечательный предел)
Пример 8:
Методические рекомендации к практической работе «Вычисление пределов функций с помощью раскрытия неопределенностей»
org/Person»>
Пархоменко Елена Александровна, учитель математикиРазделы: Математика
Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции, раскрытие неопределенностей , раскрытие других видов неопределённости; вычисление предела многочлена и отношения многочленов (при x → 0, x → x0). Повторить и систематизировать знания по данной теме.
Обеспечение практической работы:
- Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
- Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.
- Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Теоретический материал, примеры вычисления пределов
Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε.
Для обозначения такого предела используют символику:
При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:
- Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
- Постоянный множитель можно выносить за знак предела
- Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
- Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
- Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
Вычисление несложных пределов
1. Найти предел функции
Решение:
| Имеем неопределенность вида |
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю.
В результате неопределенность будет раскрыта.
2. Найти предел функции
Решение:
| Имеем неопределенность вида |
или
3. Найти предел функции
Решение:
| Имеем неопределенность вида |
Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.
4. Найти предел функции
Решение:
| Имеем неопределенность вида |
Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.
5. Найти предел функции
Решение:
| В данном случае имеем неопределённость вида |
Для её раскрытия можно использовать свойство, что существенно упростит вычисление предела, в отличии от примеров 2,3,4, хотя их можно тоже вычислить, используя данное свойство.
| Пусть дана дробно-рациональная функция | , |
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. Тогда:
- Если степень многочлена P(x) больше степени многочлена Q(x), то
- Если степень многочлена P(x) меньше степени многочлена Q(x), то
- Если степень многочлена P(x
,
где p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x в данных многочленах.
В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому
6. Найти предел функции
Решение:
| В данном случае снова имеем неопределённость вида |
Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому
7. Найти предел функции
Решение:
| Имеем неопределенность вида |
Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x — 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
8. Найти предел функции
Решение:
| Имеем неопределенность вида |
| Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом |
9. Найти предел функции
Решение:
В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.
| Имеем | , тогда |
Задания для самостоятельной работы (см. Приложение)
Практика. Примеры решения задач по темам: предел функции, вычисление производных, исследование функции
Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на
тему Практика. Примеры решения задач по темам: предел функции, вычисление производных, исследование функции.
Презентация на заданную тему содержит 21 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь
проигрывателем,
если материал оказался полезным для Вас — поделитесь им с друзьями с
помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Презентации» Математика» Практика. Примеры решения задач по темам: предел функции, вычисление производных, исследование функции
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Практика. Примеры решения задач по темам Вычисление предела функции Вычисление производных Исследование функции
Слайд 2
Описание слайда:
1. Предел функции
Приведены примеры решения следующих классов задач
1.1. Предел дробно-рациональной функции
1.
2. Предел сложной функции
1.3. Второй замечательный предел
1.4. Первый замечательный предел
Слайд 3
Описание слайда:
1. Предел функции. Теоретические сведения Предел – величина А, к которой сколь угодно близко стремится некоторый процесс. В математическом анализе это – предел функции в бесконечности, предел функции в точке. Основные обозначения: Предел функции в бесконечности или — Предел функции в точке х0 : — слева, левосторонний — справа, правосторонний Условие непрерывности функции в точке
Слайд 4
Описание слайда:
1. Предел функции. Теоретические сведения.
В любом процессе значение предела, величина А, может равняться :
а)±∞ .
А — бесконечно большая величина (ББВ). Процесс не ограничен
б)±0 . А — бесконечно малая величина (БМВ). Процесс ограничен
с)константе С. Процесс ограничен
Основные теоремы о пределах:
1).Функция не может иметь более одного предела
2).Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций
3). Предел произведения функций равен произведению их пределов
4). Предел частного от деления двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел делителя не равен нулю
5). Предел сложной функция f(U(x)), равен пределу f от предела U
Слайд 5
Описание слайда:
1.1. Предел дробно-рациональной функции Примеры решения:
Слайд 6
Описание слайда:
1.
1. Предел дробно-рациональной функции
Примеры решения:
Слайд 7
Описание слайда:
1.2. Предел сложной функции вычисляется по правилу . Примеры решения а) б) Решение данного класса задач основано на свойствах и графиках функции ax при ограничениях Рассматриваются два диапазона значений а:
Слайд 8
Описание слайда:
1.2. Предел сложной функции вычисляется по
правилу .
в)
г)
Решение данного класса задач основано на свойствах и
графиках функции ax при ограничениях
Рассматриваются два диапазона значений а:
Слайд 9
Описание слайда:
1.3. Второй замечательный предел и его следствие а) Вводим новую переменную t=x-2;x=t+2
Слайд 10
Описание слайда:
1.3. Второй замечательный предел и его следствие б) в)
Слайд 11
Описание слайда:
1.
4. Первый замечательный предел и его следствие
а)
б)
Преобразуем числитель и знаменатель ;
Тогда
Слайд 12
Описание слайда:
2. Вычисление производных Производная функции в точке х=х0 -предел отношения приращения функции у = f(х0+х)-f(х0) к приращению аргумента х при х ->0 Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0). или Дифференциал функции dy=df= f'(x0)х =f'(x)dx Геометрический смысл производной: тангенс угла касательной к функции в точке х0 , тангенс угла , tg Геометрический смысл дифференциала: первое линейное приращение функции в точке х0 + х, отрезок KN
Слайд 13
Описание слайда:
2.
Таблица производных.
1. постоянная; 2.
3.
4.
6.
Правила дифференцирования
1. 2.
3. 4.
5.
Слайд 14
Описание слайда:
2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции а) Решение.
Слайд 15
Описание слайда:
2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции
б)
Решение.
Слайд 16
Описание слайда:
2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции в) Решение. Обозначим: f1(x)=3x; f2(x)= cos(1-x2) Функция — сложная функция. Тогда
Слайд 17
Описание слайда:
2.1. Вычислить первую и вторую производную, дифференциал функции г) Решение. Обозначим Тогда
Слайд 18
Описание слайда:
3. Исследование функции
Решение задачи исследования функции сводится к выполнению следующих действий:
1. Определение точек разрыва, интервалов непрерывности, области определения функции (ООФ)
2.
Анализ на четность, нечетность, периодичность
3. Определение (если возможно) точек пересечения функции с осями координат Х, У
4. Вычисление пределов – на границах ООФ, в точках разрыва
5. Определение точек экстремума и перегиба. Решение этой задачи связано с вычислением и последующим анализом поведения первой и второй производных функции
6. Построение графика функции
7. Определение области значений функции, ОЗФ
Слайд 19
Описание слайда:
3. 1. Исследование функции – примеры а) Исследуемая функция — точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет; ООФ=(-∞;∞) — Четность: y(-1)=y(1) –функция четная — Пределы функции: На границах ООФ . Функция четная Левый и правый пределы в точках разрыва – нет Уравнение наклонной асимптоты Наклонной асимптоты нет Точки пересечения графика с осями координат
Слайд 20
Описание слайда:
а) Исследуемая функция
— Точки экстремумов и интервалы монотонности
— Точки перегиба, выпуклость, вогнутость
Результат исследования представлен в таблице 3.
1.а
Слайд 21
Описание слайда:
а) Исследуемая функция Таблица 3.1.а
Tags Практика. Примеры решения задач по темам: предел функции, вычисление производных, исследование функции
Похожие презентации
Презентация успешно отправлена!
Ошибка! Введите корректный Email!
Пределы функций. Примеры решений.
Пределы функций. Примеры решений.
Теория пределов – это один из разделов математического анализа.
Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют
десятки приемов решений пределов различных видов.
Существуют десятки нюансов и
хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки
попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто
встречаются на практике.
Итак, что же такое предел?
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем
известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае .
Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических
заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также
бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем
следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к
единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое.
Построим последовательность: сначала ,
затем , ,
…, ,
….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать
так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно
близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что
в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо
говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в
функцию бесконечность
и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять
начинаем увеличивать до
бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод:
при функция неограниченно
возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного
потренироваться.
В том случае, если ,
попробуйте построить последовательность , , .
Если , то
, , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также
обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом
вверху, да хоть с миллионом: , то
все равно , так
как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по
сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала
мы смотрим на числитель и находим в
старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь
смотрим на знаменатель и тоже находим в
старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих,
в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется
от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти
предел
Снова в числителе и знаменателе находим в
старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим
числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти
предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно
записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо
разделить числитель и знаменатель на .
Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под
записью подразумевается
не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое
число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Пример 4
Решить
предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.
Итак,
решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для
того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
Далее
находим корни:
Таким
образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим
числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Что
важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли
за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу
нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если
в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда
это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем?
Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не
потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
!
Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается
очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять
знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то
есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и
терять его совсем не нужно.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел
Начинаем
решать.
Сначала
пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена
неопределенность вида ,
которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем
нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у
нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось
организовать (которое
и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите
внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То
есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь
осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить
«виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Готово.
Как
должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Умножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример 7
Найти предел
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим
числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Простейшие виды пределов:
, , , , , , , , , , , ,
Правило 1: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Пример 1.
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 2.
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3.
Разделим числитель и знаменатель на
Правило 2: если в числителе и
знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида ,
то для ее раскрытия нужно разложить числитель и
знаменатель на множители.
Пример 1.
Разложим числитель на
множители.
Пример 2.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Правило 3: когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Пример 3.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей
Правило. Для вычисления предела функции в точкеили принадо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
.
Примеры
Найти пределы функций:
2.
;
3. ;
4. ;
5. .
При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного значения часто приводит к неопределенным выражениям вида:,,,,,,.
Например, или.
Выражения вида ,,,,,,называютсянеопределенностями.
Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.
Неопределенность вида
Если ипри(), то говорят, что их частноепредставляет собой неопределенность вида.
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх.
Например,
.
Рассмотрим дробно−рациональную функцию
(),
представляющую
собой отношение двух многочленов
относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение
этой функции при
.
При нахождении предела данной функции при могут иметь место три варианта ответа:
1. | , если ; |
2. | , если ; |
3. | , если . |
Из этого следует, что предел отношения двух многочленов при во всех случаях равен пределу отношения их старших членов.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
3. .
Неопределенность вида
Если требуется
найти
,
гдеи− бесконечно малые функции при(),
т.е.,
то в этом случае вычисление предела
называют раскрытием неопределенности
вида
.
Рассмотрим возможные приемы раскрытия такой неопределенности.
Выделение критического множителя
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
Преобразование иррациональных выражений
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо:
− перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель, домножив дробь на сопряженные выражения,
− либо сделать замену переменной.
Замечание.
Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Применение первого замечательного предела
Правило. Для раскрытия неопределенности вида , содержащей тригонометрические выражения, используют первый замечательный предел:
или ,
где и.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2.
;
4. .
Применение эквивалентных бесконечно малых величин
Правило. Для раскрытия неопределенности вида можно и числитель и знаменатель заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
.
Неопределенности вида и
Если ипри, то их разностьпредставляет собой неопределенность вида .
Если ипри, то их произведение− это неопределенность вида .
Правило. Неопределенности вида ираскрываются путем их преобразования и сведения к неопределенностям видаили.
Примеры
Найти пределы функций:
.
Неопределенности вида ,,
Пусть функция имеет вид:
.
Если при ,, а, то имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:
; ;
или
; .
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
3. ;
Если при ,, а, то имеем неопределенность вида .
Если ипри, то имеет место неопределенность .
Для раскрытия неопределенностей вида иих преобразуют и сводят к неопределенности видаследующим образом:
.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.
Упражнения
Односторонние пределы. Найти пределы:
1. ; Ответ:;
; Ответ: ;
2. ; Ответь:;
; Ответ: 0.
Непосредственное вычисление пределов. Найти пределы:
3. ; Ответ: 15;
4. ; Ответ:.
5. ; Ответ: 0.
Раскрытие неопределенности . Найти пределы:
6. ; Ответ: 0;
7. ; Ответ: -2;
8. ; Ответ:;
9. ; Ответ:.
Раскрытие неопределенности . Найти пределы:
10. ; Ответ:;
11. ; Ответ: -2;
12. ; Ответ:;
13. ; Ответ:;
14. ; Ответ: -12;
15. ; Ответ:.
16. ; Ответ:;
17. ; Ответ:;
18. ; Ответ:;
19. ; Ответ:;
20. ; Ответ:.
Раскрытие неопределенностей . Найти пределы:
21. ; Ответ:;
22. ; Ответ:;
23. ; Ответ: 0;
24. ; Ответ: 1.
Раскрытие неопределенности. Найти пределы:
25. ; Ответ:;
26. ; Ответ:;
27. ; Ответ:;
28. ; Ответ:.
1
Первый слайд презентации
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос
решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют
десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки
нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее,
мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые
наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка.
Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы
математического анализа и дал строгие определения, определение предела,
в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться
в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов,
так как доказал огромное количество теорем математического анализа,
причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем
рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.
Изображение слайда
2
Слайд 2
А сразу пример,
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела lim.
2) Записи под значком предела. Запись читается
«икс стремится к единице». Чаще всего – именно, хотя вместо «икса» на практике
встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы
может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ∞).
3) Функции под знаком предела, в данном случае
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение
«икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое.
Построим последовательность: сначала, затем,, …,, …. То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс»
последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются
к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного,
нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Изображение слайда
3
Слайд 3
Итак, первое правило : Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое Это тот случай, когда x неограниченно возрастает, то есть: сначала 1, потом 10, потом 100, затем 1000 и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией 1-x ? ` 1-1=0, 1-10=-9, 1-100=-99, 1-1000=-999, … Итак, если x→∞, то функция 1- x стремится к минус бесконечности!
Изображение слайда
4
Слайд 4
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем
в функцию бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать x до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при x →∞ функция неограниченно возрастает
Изображение слайда
5
Слайд 5
И еще серия примеров: Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда x→∞, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида
Изображение слайда
6
Слайд 6
Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так,
и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим X в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум
Старшая степень в числителе равна двум.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность
необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени
Изображение слайда
7
Слайд 7
Пример 2 Найти предел Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку Пример 3 Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1
Изображение слайда
8
Слайд 8
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может
получиться конечное число, ноль или бесконечность. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы:
в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не
к бесконечности, а к конечному числу.
Пример 4
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и
имеется неопределенности вида
то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель
на множители.
Очевидно, что можно сократить на
Изображение слайда
9
Слайд 9
Пример 5
Вычислить предел
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель
Знаменатель:
,
Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Изображение слайда
10
Слайд 10
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида Пример 6 Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Изображение слайда
11
Слайд 11
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни
тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно
превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить
тройку под корни:
Изображение слайда
12
Последний слайд презентации: Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. Пример 7 Спасибо за внимание !
Изображение слайда
2.3 Предельные законы. Исчисление, том 1
Цели обучения
- 2.3.1 Знать основные предельные законы.
- 2.3.2 Используйте предельные законы, чтобы оценить предел функции.
- 2.3.3 Оцените предел функции факторингом.
- 2.3.4
Используйте предельные законы для оценки предела полиномиальной или рациональной функции.
- 2.3.5 Оцените предел функции факторингом или с помощью сопряженных.
- 2.3.6 Оцените предел функции, используя теорему сжатия.
В предыдущем разделе мы оценивали пределы, просматривая графики или создавая таблицу значений. В этом разделе мы устанавливаем законы для расчета лимитов и узнаем, как применять эти законы. В студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу площади круга, адаптировав метод, разработанный греческим математиком Архимедом. Начнем с переформулировки двух полезных предельных результатов из предыдущего раздела. Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для вычисления многих пределов.
Оценка пределов с помощью предельных законов
Первые два предельных закона были сформулированы в книге «Два важных предела», и мы повторяем их здесь. Эти основные результаты вместе с другими предельными законами позволяют нам вычислять пределы многих алгебраических функций.
Теорема 2,4
Базовые предельные результаты
Для любого действительного числа a и любой константы c ,
limx→ax=alimx→ax=a
(2.14)
limx→ac=climx→ac=c
(2.15)
Пример 2.13
Оценка базового предела
Оцените каждый из следующих пределов, используя результаты базового предела.
- limx→2xlimx→2x
- лимкс→25лимкс→25
Решение
- Предел x , когда x приближается к a равно a : limx→2x=2.limx→2x=2.
- Пределом константы является константа: limx→25=5. limx→25=5.
Рассмотрим теперь предельные законы, индивидуальные свойства пределов. Доказательства справедливости этих законов здесь опущены.
Теорема 2,5
Предельные законы
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) определены для всех x≠ax≠a на некотором открытом интервале, содержащем a . Предположим, что L и M — действительные числа такие, что limx→af(x)=Llimx→af(x)=L и limx→ag(x)=M.limx→ag(x)=M. Пусть c — константа. Тогда верно каждое из следующих утверждений:
Закон суммы для пределов: limx→a(f(x)+g(x))=limx→af(x)+limx→ag(x)=L+Mlimx→a(f(x)+g(x) ))=limx→af(x)+limx→ag(x)=L+M
Разностный закон для пределов: limx→a(f(x)−g(x))=limx→af(x)−limx →ag(x)=L−Mlimx→a(f(x)−g(x))=limx→af(x)−limx→ag(x)=L−M
Постоянный кратный закон для пределов: limx→ acf(x)=c·limx→af(x)=cLlimx→acf(x)=c·limx→af(x)=cL
Закон произведения для пределов: limx→a(f(x)·g(x) ))=limx→af(x)·limx→ag(x)=L·Mlimx→a(f(x)·g(x))=limx→af(x)·limx→ag(x)=L· M
Закон частных для пределов: limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=LMlimx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx →ag(x)=LM для M≠0M≠0
Степенной закон для пределов: limx→a(f(x))n=(limx→af(x))n=Lnlimx→a(f(x))n=(limx→af(x))n=Ln для каждого положительного целого числа n .
Корневой закон для пределов: limx→af(x)n=limx→af(x)n=Lnlimx→af(x)n=limx→af(x)n=Ln для всех L , если n нечетное и для L≥0L≥0, если n четно и f(x)≥0f(x)≥0.
Теперь мы практикуем применение этих предельных законов для оценки предела.
Пример 2.14
Оценка предела с использованием предельных законов
Используйте предельные законы для вычисления limx→−3(4x+2).limx→−3(4x+2).
Решение
Давайте применим законы ограничения шаг за шагом, чтобы убедиться, что мы понимаем, как они работают. Мы должны иметь в виду требование, что при каждом применении предельного закона должны существовать новые пределы для применения предельного закона.
limx→−3(4x+2)=limx→−34x+limx→−32Применить закон суммы.=4·limx→−3x+limx→−32Применить закон постоянного кратного.=4·(−3)+2= −10. Применить основные предельные результаты и упростить. limx→−3(4x+2)=limx→−34x+limx→−32Применить закон сумм. .=4·(−3)+2=−10. Примените базовые предельные результаты и упростите.
Пример 2,15
Многократное использование предельных законов
Использование предельных законов для вычисления limx→22×2−3x+1×3+4.limx→22×2−3x+1×3+4.
Решение
Чтобы найти этот предел, нужно несколько раз применить предельные законы. Опять же, нам нужно иметь в виду, что, поскольку мы переписываем предел в терминах других пределов, каждый новый предел должен существовать для применения предельного закона.
limx→22×2−3x+1×3+4=limx→2(2×2−3x+1)limx→2(x3+4) Применим частное, убедившись, что (2)3+4≠0=2·limx→ 2×2−3·limx→2x+limx→21limx→2×3+limx→24Применить закон суммы и закон постоянного кратного.=2·(limx→2x)2−3·limx→2x+limx→21(limx→2x)3 +limx→24Применить степенной закон.=2(4)−3(2)+1(2)3+4=14. Применить основные законы пределов и упростить.limx→22×2−3x+1×3+4=limx→2 (2×2−3x+1)limx→2(x3+4) Применить частное, убедившись, что (2)3+4≠0=2·limx→2×2−3·limx→2x+limx→21limx→2×3 +limx→24Применить закон суммы и константно-кратный закон. =2·(limx→2x)2−3·limx→2x+limx→21(limx→2x)3+limx→24Применить степенной закон.=2(4) −3(2)+1(2)3+4=14. Примените основные предельные законы и упростите.
Контрольно-пропускной пункт 2.11
Используйте предельные законы для вычисления limx→6(2x−1)x+4.limx→6(2x−1)x+4. На каждом шаге укажите применяемый предельный закон.
Пределы полиномиальных и рациональных функций
Вы, наверное, уже заметили, что в каждом из предыдущих примеров было так, что limx→af(x)=f(a).limx→af(x)=f(a). Это не всегда верно, но верно для всех многочленов при любом выборе a и для всех рациональных функций при всех значениях 9.0029 a , для которых определена рациональная функция.
Теорема 2,6
Пределы полиномиальных и рациональных функций
Пусть p(x)p(x) и q(x)q(x) — полиномиальные функции. Пусть a будет реальным числом. Тогда
limx→ap(x)=p(a)limx→ap(x)=p(a)
limx→ap(x)q(x)=p(a)q(a), когда q(a )≠0. limx→ap(x)q(x)=p(a)q(a), когда q(a)≠0.
Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, рассмотрим многочлен p(x)=cnxn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0.p(x)=cnxn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0. Применяя закон суммы, постоянного кратного и степенной закон, мы получаем
limx→ap(x)=limx→a(cnxn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0)=cn(limx→ax)n+cn−1(limx→ax)n−1+⋯+c1 (limx→ax)+limx→ac0=cnan+cn−1an−1+⋯+c1a+c0=p(a).limx→ap(x)=limx→a(cnxn+cn−1xn−1+⋯+ c1x+c0)=cn(limx→ax)n+cn−1(limx→ax)n−1+⋯+c1(limx→ax)+limx→ac0=cnan+cn−1an−1+⋯+c1a+ с0=р(а).
Теперь из частного закона следует, что если p(x)p(x) и q(x)q(x) полиномы, для которых q(a)≠0,q(a)≠0, то
limx→ap(x)q(x)=p(a)q(a).limx→ap(x)q(x)=p(a)q(a).
Пример 2.16 применяет этот результат.
Пример 2.16
Оценка предела рациональной функции
Вычислить limx→32×2−3x+15x+4.limx→32×2−3x+15x+4.
Решение
Поскольку 3 находится в области рациональной функции f(x)=2×2−3x+15x+4,f(x)=2×2−3x+15x+4, мы можем вычислить предел, подставив 3 вместо x в функция. Таким образом,
limx→32×2−3x+15x+4=1019.limx→32×2−3x+15x+4=1019.
Контрольно-пропускной пункт 2.12
Вычислить limx→−2(3×3−2x+7).limx→−2(3×3−2x+7).
Дополнительные методы оценки пределов
Как мы видели, мы можем легко вычислить пределы многочленов и пределы некоторых (но не всех) рациональных функций путем прямой подстановки. Однако, как мы видели во вступительном разделе о пределах, limx→af(x)limx→af(x), безусловно, может существовать, когда f(a)f(a) не определено. Следующее наблюдение позволяет оценить многие пределы этого типа:
Если для всех x≠a,f(x)=g(x)x≠a,f(x)=g(x) на некотором открытом интервале, содержащем a , тогда limx→af(x)=limx→ag(x).limx→af(x)=limx→ag(x).
Чтобы лучше понять эту идею, рассмотрим предел limx→1×2−1x−1.limx→1×2−1x−1.
Функция
f(x)=x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1f(x)=x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1
и функция g(x)=x+1g(x)=x+1 идентичны для всех значений x≠1. x≠1. Графики этих двух функций показаны на рис. 2.24.
Рисунок 2,24 Графики f(x)f(x) и g(x)g(x) идентичны для всех x≠1.x≠1. Их пределы в 1 равны.
Мы видим, что
limx→1×2−1x−1=limx→1(x−1)(x+1)x−1=limx→1(x+1)=2.limx→1×2−1x−1=limx→1(x −1)(x+1)x−1=limx→1(x+1)=2.
Предел имеет вид limx→af(x)g(x),limx→af(x)g(x), где limx→af(x)=0limx→af(x)=0 и limx→ag(x )=0.limx→ag(x)=0. (В этом случае мы говорим, что f(x)/g(x)f(x)/g(x) имеет неопределенную форму 0/0.)0/0.) Следующая стратегия решения проблем дает общую схему для оценки пределов этого типа.
Стратегия решения проблем
Стратегия решения проблем: вычисление предела, когда f(x)/g(x)f(x)/g(x) имеет неопределенную форму 0/0
- Во-первых, нам нужно убедиться, что наша функция имеет соответствующий вид и не может быть вычислена сразу с помощью предельных законов.
- Затем нам нужно найти функцию, которая равна h(x)=f(x)/g(x)h(x)=f(x)/g(x) для всех x≠ax≠a на некотором интервале содержащий . Для этого нам может потребоваться выполнить один или несколько из следующих шагов:
- Если f(x)f(x) и g(x)g(x) полиномы, мы должны разложить каждую функцию на множители и исключить любые общие множители.
- Если числитель или знаменатель содержит разность, содержащую квадратный корень, мы должны попытаться умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, содержащее квадратный корень.
- Если f(x)/g(x)f(x)/g(x) сложная дробь, начнем с ее упрощения.
- Наконец, мы применяем предельные законы.
Следующие примеры демонстрируют использование этой стратегии решения проблем. Пример 2.17 иллюстрирует метод фактор-и-отмены; В примере 2.18 показано умножение на сопряженное число. В примере 2.19, рассмотрим упрощение сложной дроби.
Пример 2.17
Оценка лимита путем факторизации и отмены
Вычислить limx→3×2−3x2x2−5x−3.limx→3×2−3x2x2−5x−3.
Решение
Шаг 1. Функция f(x)=x2−3x2x2−5x−3f(x)=x2−3x2x2−5x−3 не определена для x=3.x=3. На самом деле, если мы подставим 3 в функцию, мы получим 0/0,0/0, что не определено. Факторизация и отмена — хорошая стратегия:
limx→3×2−3x2x2−5x−3=limx→3x(x−3)(x−3)(2x+1)limx→3×2−3x2x2−5x−3=limx→ 3x(x−3)(x−3)(2x+1)
Шаг 2. Для всех x≠3,×2−3x2x2−5x−3=x2x+1.x≠3,×2−3x2x2−5x−3=x2x+1. Следовательно,
limx→3x(x−3)(x−3)(2x+1)=limx→3x2x+1.limx→3x(x−3)(x−3)(2x+1)=limx→ 3х2х+1.
Шаг 3. Вычисление с использованием предельных законов:
limx→3x2x+1=37.limx→3x2x+1=37.
Контрольно-пропускной пункт 2.13
Вычислить limx→−3×2+4x+3×2−9.limx→−3×2+4x+3×2−9.
Пример 2.18
Оценка предела путем умножения на сопряжение
Вычислить limx→−1x+2−1x+1.limx→−1x+2−1x+1.
Решение
Шаг 1. x+2−1x+1x+2−1x+1 имеет вид 0/00/0 при −1. Начнем с умножения на x+2+1,x+2+1, сопряженное число x+2−1,x+2−1, на числитель и знаменатель:
limx→−1x+2−1x+1 =limx→−1x+2−1x+1·x+2+1x+2+1.limx→−1x+2−1x+1=limx→−1x+2−1x+1·x+2+1x+ 2+1.
Шаг 2. Затем мы умножаем числитель. Мы не умножаем знаменатель, потому что надеемся, что (x+1)(x+1) в знаменателе в конце сократится:
=limx→−1x+1(x+1)(x+2+1).=limx→−1x+1(x+1)(x+2+1).
Шаг 3. Тогда отменяем:
=limx→−11x+2+1.=limx→−11x+2+1.
Шаг 4. Наконец, мы применяем предельные законы:
limx→−11x+2+1=12.limx→−11x+2+1=12.
Контрольно-пропускной пункт 2.14
Вычислить limx→5x-1-2x-5.limx→5x-1-2x-5.
Пример 2.19
Вычисление предела путем упрощения сложной дроби
Вычисление limx→11x+1−12x−1.limx→11x+1−12x−1.
Решение
Шаг 1. 1x+1−12x−11x+1−12x−1 имеет вид 0/00/0 в точке 1. Упростим алгебраическую дробь, умножив на 2(x+1)/2(x+1 ):2(x+1)/2(x+1):
limx→11x+1−12x−1=limx→11x+1−12x−1·2(x+1)2(x+1) .limx→11x+1−12x−1=limx→11x+1−12x−1·2(x+1)2(x+1).
Шаг 2. Далее умножаем через числители. Не умножайте знаменатели, потому что мы хотим сократить множитель (x−1):(x−1):
=limx→12−(x+1)2(x−1)(x+1) .=limx→12−(x+1)2(x−1)(x+1).
Шаг 3. Затем упростим числитель:
=limx→1−x+12(x−1)(x+1).=limx→1−x+12(x−1)(x +1).
Шаг 4. Теперь выносим −1 из числителя:
=limx→1−(x−1)2(x−1)(x+1).=limx→1−(x−1 )2(х−1)(х+1).
Шаг 5. Затем мы сокращаем общие делители (x−1):(x−1):
=limx→1−12(x+1).=limx→1−12(x+ 1).
Шаг 6. Наконец, мы оцениваем, используя предельные законы:
limx→1−12(x+1)=−14.limx→1−12(x+1)=−14.
Контрольно-пропускной пункт 2,15
Вычислить limx→−31x+2+1x+3.limx→−31x+2+1x+3.
Пример 2.20 не соответствует ни одному из шаблонов, установленных в предыдущих примерах. Однако, проявив немного творчества, мы все еще можем использовать те же методы.
Пример 2.20
Оценка предела, когда законы предела не применяются
Вычислить limx→0(1x+5x(x−5)).limx→0(1x+5x(x−5)).
Решение
И 1/x1/x, и 5/x(x−5)5/x(x−5) не имеют предела в нуле. Поскольку ни одна из двух функций не имеет предела в нуле, мы не можем применить закон сумм для пределов; мы должны использовать другую стратегию. В этом случае мы находим предел, выполняя сложение, а затем применяя одну из наших предыдущих стратегий. Обратите внимание, что
1x+5x(x−5)=x−5+5x(x−5)=xx(x−5).1x+5x(x−5)=x−5+5x(x−5)=xx (х-5).
Таким образом,
limx→0(1x+5x(x−5))=limx→0xx(x−5)=limx→01x−5=−15.limx→0(1x+5x(x−5) )=limx→0xx(x−5)=limx→01x−5=−15.
Контрольно-пропускной пункт 2.16
Вычислить limx→3(1x−3−4×2−2x−3). limx→3(1x−3−4×2−2x−3).
Теперь вернемся к односторонним ограничениям. Простые модификации предельных законов позволяют применить их к односторонним пределам. Например, чтобы применить предельные законы к пределу формы limx→a−h(x),limx→a−h(x), мы требуем, чтобы функция h(x)h(x) была определена над открытым интервал вида (b,a);(b,a); для предела вида limx→a+h(x),limx→a+h(x) требуется, чтобы функция h(x)h(x) была определена на открытом интервале вида (a,c ).(a,c). Пример 2.21 иллюстрирует это положение.
Пример 2.21
Оценка одностороннего предела с использованием законов пределов
Оцените каждый из следующих пределов, если это возможно.
- limx→3−x−3limx→3−x−3
- limx→3+x−3limx→3+x−3
Решение
Рисунок 2.25 иллюстрирует функцию f(x)=x−3f(x)=x−3 и помогает нам понять эти ограничения.
Рисунок
2,25
На графике показана функция f(x)=x−3. f(x)=x−3.
- Функция f(x)=x−3f(x)=x−3 определена на интервале [3,+∞].[3,+∞). Поскольку эта функция не определена слева от 3, мы не можем применить предельные законы для вычисления limx→3−x−3.limx→3−x−3. На самом деле, поскольку f(x)=x−3f(x)=x−3 не определено слева от 3, limx→3−x−3limx→3−x−3 не существует.
- Поскольку f(x)=x−3f(x)=x−3 определяется справа от 3, предельные законы применимы к limx→3+x−3.limx→3+x−3. Применяя эти предельные законы, мы получаем limx→3+x−3=0.limx→3+x−3=0.
В примере 2.22 мы рассматриваем односторонние пределы кусочно определенной функции и используем эти пределы, чтобы сделать вывод о двустороннем пределе той же функции.
Пример 2,22
Вычисление двустороннего предела с использованием предельных законов
)2ifx≥2, оцените каждый из следующих пределов: 92. В точке (2,1) есть замкнутый круг. Вершина параболы находится в точке (3,0).»>
Рисунок
2,26
На этом графике показана функция f(x). f(x).
- Поскольку f(x)=4x−3f(x)=4x−3 для всех x в (−∞,2),(−∞,2), заменить f(x)f(x) в ограничиться 4x−34x−3 и применить предельные законы:
limx→2−f(x)=limx→2−(4x−3)=5.limx→2−f(x)=limx→2−(4x −3)=5.
- Поскольку f(x)=(x−3)2f(x)=(x−3)2 для всех x в (2,+∞),(2,+∞), заменить f(x)f( x) в пределе с (x−3)2(x−3)2 и применить предельные законы:
limx→2+f(x)=limx→2+(x−3)2=1.limx→2+f(x)=limx→2+(x−3)2=1.
- Поскольку limx→2−f(x)=5limx→2−f(x)=5 и limx→2+f(x)=1,limx→2+f(x)=1, заключаем, что limx→2f (x)limx→2f(x) не существует.
Контрольно-пропускной пункт 2.17
График f(x)={−x−2ifx<−12ifx=−1x3ifx>−1f(x)={−x−2ifx<−12ifx=−1x3ifx>−1 и оценка limx→−1−f(x ).limx→−1−f(x).
Теперь обратим внимание на вычисление предела вида limx→af(x)g(x),limx→af(x)g(x), где limx→af(x)=K,limx→af(x )=K, где K≠0K≠0 и limx→ag(x)=0.limx→ag(x)=0. То есть f(x)/g(x)f(x)/g(x) имеет вид K/0,K≠0K/0,K≠0 при и .
Пример 2,23
Вычисление предела формы K/0,K≠0K/0,K≠0 с использованием предельных законов
Вычисление limx→2−x−3×2−2x.limx→2−x−3×2−2x.
Решение
Шаг 1. После подстановки x=2,x=2 мы видим, что этот предел имеет вид −1/0.−1/0. То есть, когда x приближается к 2 слева, числитель приближается к -1; и знаменатель приближается к 0. Следовательно, величина x−3x(x−2)x−3x(x−2) становится бесконечной. Чтобы лучше понять, каков предел, нам нужно разложить знаменатель на множители:
limx→2−x−3×2−2x=limx→2−x−3x(x−2).limx→2−x−3×2−2x=limx→2−x−3x(x−2).
Шаг 2. Поскольку x−2x−2 является единственной частью знаменателя, которая равна нулю при подстановке 2, мы затем отделяем 1/(x−2)1/(x−2) от остальной части функция:
=limx→2−x−3x·1x−2.=limx→2−x−3x·1x−2.
Шаг 3. limx→2−x−3x=−12limx→2−x−3x=−12 и limx→2−1x−2=−∞. limx→2−1x−2=−∞. Следовательно, произведение (x−3)/x(x−3)/x и 1/(x−2)1/(x−2) имеет предел +∞:+∞:
limx→2−x−3×2−2x=+∞.limx→2−x−3×2−2x=+∞.
Контрольно-пропускной пункт 2.18
Вычислить limx→1x+2(x−1)2.limx→1x+2(x−1)2.
Теорема сжатия
Методы, которые мы разработали до сих пор, очень хорошо работают для алгебраических функций, но мы все еще не можем вычислить пределы самых простых тригонометрических функций. Следующая теорема, называемая теоремой сжатия, оказывается очень полезной для установления основных тригонометрических пределов. Эта теорема позволяет нам вычислять пределы, «сжимая» функцию с пределом в точке a , который неизвестен, между двумя функциями, имеющими общий известный предел в a . Рисунок 2.27 иллюстрирует эту идею.
Рисунок
2,27
Теорема сжатия применяется, когда f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)≤g(x)≤h(x) и limx→af(x)=limx→ah(x). limx→ af(x)=limx→ah(x).
Теорема 2,7
Теорема сжатия
Пусть f(x),g(x),f(x),g(x) и h(x)h(x) определены для всех x≠ax≠a на открытом интервале, содержащем a . Если
f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)≤g(x)≤h(x)
для всех x≠ax≠a в открытом интервале, содержащем a и
limx→af(x)=L=limx→ah(x)limx→af(x)=L=limx→ah(x)
, где L — действительное число, тогда limx→ag(x)=L.limx→ag(x)=L.
Пример 2,24
Применение теоремы о сжатии
Применение теоремы о сжатии для вычисления limx→0xcosx.limx→0xcosx.
Решение
Поскольку −1≤cosx≤1−1≤cosx≤1 для всех x , мы имеем −|x|≤xcosx≤|x|−|x|≤xcosx≤|x|.
Поскольку limx→0(−|x|)=0=limx→0|x|,limx→0(−|x|)=0=limx→0|x|, из теоремы о сжатии получаем limx→0xcosx= 0.limx→0xcosx=0. Графики функций f(x)=−|x|,g(x)=xcosx,f(x)=−|x|,g(x)=xcosx и h(x)=|x|h(x) =|х| показаны на рис. 2.28.
Рисунок 2,28 Графики f(x),g(x),f(x),g(x) и h(x)h(x) показаны вокруг точки x=0.x=0.
Контрольно-пропускной пункт 2.19
Используйте теорему сжатия для вычисления limx→0x2sin1x.limx→0x2sin1x.
Теперь мы используем теорему о сжатии, чтобы разобраться с несколькими очень важными ограничениями. Хотя это обсуждение несколько длинное, эти ограничения оказываются бесценными для развития материала как в следующем разделе, так и в следующей главе. Первый из этих пределов: limθ→0sinθ.limθ→0sinθ. Рассмотрим единичный круг, показанный на рис. 2.29.. На рисунке мы видим, что sinθsinθ — это координата y на единичной окружности, соответствующая отрезку линии, показанному синим цветом. Радианная мера угла θ — это длина дуги, которую он опирает на единичную окружность. Рисунок
2,29
Функция синуса показана линией на единичной окружности. Поскольку limθ→0+0=0limθ→0+0=0 и limθ→0+θ=0,limθ→0+θ=0, с помощью теоремы сжатия мы заключаем, что limθ→0+sinθ=0.limθ→0+sinθ=0. Чтобы увидеть, что limθ→0−sinθ=0limθ→0−sinθ=0, заметим, что для −π2<θ<0,0<−θ<π2−π2<θ<0,0<−θ<π2 и следовательно, 0 limθ→0sinθ=0.limθ→0sinθ=0. (2.16) Далее, используя тождество cosθ=1−sin2θcosθ=1−sin2θ для −π2<θ<π2,−π2<θ<π2, мы видим, что limθ→0cosθ=limθ→01−sin2θ=1.limθ→0cosθ=limθ→01−sin2θ=1. (2.17) Теперь мы рассмотрим предел, который играет важную роль в последующих главах, а именно limθ→0sinθθ. Рисунок
2.30
Функции синуса и тангенса показаны линиями на единичной окружности. Разделив на sinθsinθ во всех частях неравенства, получим 1<θsinθ<1cosθ.1<θsinθ<1cosθ. Эквивалентно имеем 1>sinθθ>cosθ.1>sinθθ>cosθ. Поскольку limθ→0+1=1=limθ→0+cosθ,limθ→0+1=1=limθ→0+cosθ, заключаем, что limθ→0+sinθθ=1.limθ→0+sinθθ=1. Применяя манипуляцию, подобную той, что использовалась для демонстрации того, что limθ→0−sinθ=0, limθ→0−sinθ=0, мы можем показать, что limθ→0−sinθθ=1.limθ→0−sinθθ=1. Таким образом, limθ→0sinθθ=1.limθ→0sinθθ=1. (2.18) В примере 2.25 мы используем этот предел, чтобы установить limθ→01−cosθθ=0.limθ→01−cosθθ=0. Этот предел также оказывается полезным в последующих главах. Оценка limθ→01-cosθθ.limθ→01-cosθθ. На первом шаге мы умножаем на сопряженное, чтобы можно было использовать тригонометрическое тождество для преобразования косинуса в числителе в синус: limθ→01−cosθθ=limθ→01−cosθθ·1+cosθ1+cosθ=limθ→01−cos2θθ(1+cosθ)=limθ→0sin2θθ(1+cosθ)=limθ→0sinθθ·sinθ1+cosθ=1 02=0.limθ→01−cosθθ=limθ→01−cosθθ·1+cosθ1+cosθ=limθ→01−cos2θθ(1+cosθ)=limθ→0sin2θθ(1+cosθ)=limθ→0·sinθθsinθ1+cosθ= 1·02=0. Следовательно, limθ→01−cosθθ=0.limθ→01−cosθθ=0. (2.19) Оценить limθ→01−cosθsinθ.limθ→01−cosθsinθ. Некоторые из геометрических формул, которые мы считаем само собой разумеющимися сегодня, были впервые получены методами, которые предвосхищают некоторые из методов исчисления. Греческий математик Архимед (ок. 287–212 гг. до н. э.) был особенно изобретателен, используя многоугольники, вписанные в круги, для аппроксимации площади круга по мере увеличения числа сторон многоугольника. Он никогда не выдвигал идею предела, но мы можем использовать эту идею, чтобы увидеть, что его геометрические построения могли предсказать предел. Мы можем оценить площадь круга, вычислив площадь вписанного правильного многоугольника. Представьте, что правильный многоугольник состоит из n треугольников. Взяв предел, когда угол при вершине этих треугольников стремится к нулю, вы можете получить площадь круга. Чтобы убедиться в этом, выполните следующие действия: Рисунок
2.31 Техника оценки площадей регионов с помощью полигонов рассматривается во Введении в интеграцию. В следующих упражнениях используйте законы пределов для оценки каждого предела. Обоснуйте каждый шаг, указав соответствующий предельный закон (законы). 83. limx→0(4×2−2x+3)limx→0(4×2−2x+3) 84. limx→1×3+3×2+54−7xlimx→1×3+3×2+54−7x 85. limx→−2×2−6x+3limx→−2×2−6x+3 86. limx→−1(9x+1)2limx→−1(9x+1)2 В следующих упражнениях используйте прямую замену для оценки каждого предела. 87. limx→7x2limx→7×2 88. limx→−2(4×2−1)limx→−2(4×2−1) 89. limx→011+sinxlimx→011+sinx 90. limx→2e2x−x2limx→2e2x−x2 91. limx→12−7xx+6limx→12−7xx+6 92. limx→3lne3xlimx→3lne3x В следующих упражнениях используйте прямую замену, чтобы показать, что каждый предел приводит к неопределенной форме 0/0.0/0. Затем оцените предел. 93. limx→4×2−16x−4limx→4×2−16x−4 94. limx→2x−2×2−2xlimx→2x−2×2−2x 95. limx→63x−182x−12limx→63x−182x−12 96. limh→0(1+h)2−1hlimh→0(1+h)2−1h 97. предел→9t−9t−3предел→9t−9t−3 98. limh→01a+h−1ah,limh→01a+h−1ah, где a — ненулевая вещественная константа 99. limθ→πsinθtanθlimθ→πsinθtanθ 100. limx→1×3−1×2−1limx→1×3−1×2−1 101. limx→1/22×2+3x−22x−1limx→1/22×2+3x−22x−1 102. limx→−3x+4−1x+3limx→−3x+4−1x+3 В следующих упражнениях используйте прямую замену для получения неопределенного выражения. Затем используйте метод примера 2.23, чтобы упростить функцию, чтобы помочь определить предел. 103. limx→−2−2×2+7x−4×2+x−2limx→−2−2×2+7x−4×2+x−2 104. limx→−2+2×2+7x−4×2+x−2limx→−2+2×2+7x−4×2+x−2 105. limx→1−2×2+7x−4×2+x−2limx→1−2×2+7x−4×2+x−2 106. limx→1+2×2+7x−4×2+x−2limx→1+2×2+7x−4×2+x−2 В следующих упражнениях предположим, что limx→6f(x)=4, limx→6g(x)=9, limx→6f(x)=4, limx→6g(x)=9 и limx→6h(x )=6. 107. limx→62f(x)g(x)limx→62f(x)g(x) 108. limx→6g(x)−1f(x)limx→6g(x)−1f(x) 109. limx→6(f(x)+13g(x))limx→6(f(x)+13g(x)) 110. limx→6(h(x))32limx→6(h(x))32 111. limx→6g(x)−f(x)limx→6g(x)−f(x) 112. limx→6x·h(x)limx→6x·h(x) 113. limx→6[(x+1)·f(x)]limx→6[(x+1)·f(x)] 114. limx→6(f(x)·g(x)−h(x))limx→6(f(x)·g(x)−h(x)) [T] В следующих упражнениях с помощью калькулятора нарисуйте график каждой кусочно определенной функции и изучите график, чтобы оценить заданные пределы. 115. f(x)={x2,x≤3x+4,x>3f(x)={x2,x≤3x+4,x>3 116. g(x)={x3−1,x≤01,x>0g(x)={x3−1,x≤01,x>0 117. h(x)={x2−2x+1,x<23−x,x≥2h(x)={x2−2x+1,x<23−x,x≥2 В следующих упражнениях используйте следующие графики и законы пределов для оценки каждого предела. 118. limx→−3+(f(x)+g(x))limx→−3+(f(x)+g(x)) 119. limx→−3−(f(x)−3g(x))limx→−3−(f(x)−3g(x)) 120. limx→0f(x)g(x)3limx→0f(x)g(x)3 121. limx→−52+g(x)f(x)limx→−52+g(x)f(x) 122. limx→1(f(x))2limx→1(f(x))2 123. limx→1f(x)−g(x)3limx→1f(x)−g(x)3 124. limx→−7(x·g(x))limx→−7(x·g(x)) 125. limx→−9[x·f(x)+2·g(x)]limx→−9[x·f(x)+2·g(x)] Для следующих задач оцените предел, используя теорему сжатия. Используйте калькулятор, чтобы построить график функций f(x),g(x),f(x),g(x) и h(x)h(x), если это возможно. 126. [T] Правда или ложь? Если 2x−1≤g(x)≤x2−2x+3,2x−1≤g(x)≤x2−2x+3, то limx→2g(x)=0.limx→2g(x)=0. 127. [Т] limθ→0θ2cos(1θ)limθ→0θ2cos(1θ) 128. limx→0f(x),limx→0f(x), где f(x)={0,xrationalx2,xirrationalf(x)={0,xrationalx2,xirrational 129. [T] В физике величина электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии r в вакууме, определяется законом Кулона: E(r)=q4πε0r2,E(r)=q4πε0r2, где E представляет собой величину электрического поля, q представляет собой заряд частицы, r представляет собой расстояние между частицей и точкой измерения напряженности поля, а 14πε014πε0 представляет собой постоянную Кулона: 8,98·8×109 Н. м2/С2.8.988×109 Н·м2/см2. 130. [T] Плотность объекта определяется его массой, деленной на его объем: ρ=m/V.ρ=m/V. 9 Диагностические тесты
308 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept ← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая → Исчисление 2 Помощь »
Ограничения »
Концепции лимита Оценка лимита: Возможные ответы: Не существует Правильный ответ: 9 Таким образом, мы видим, что при 0<θ<π2,0 limθ→0sinθθ. Чтобы оценить этот предел, мы используем единичный круг на рис. 2.30. Обратите внимание, что этот рисунок добавляет к рисунку 2.30 еще один треугольник. Мы видим, что длина стороны, противолежащей углу θ в этом новом треугольнике — это tanθ.tanθ. Таким образом, мы видим, что для 0<θ<π2,sinθ<θ Пример
2,25
Оценка важного тригонометрического предела
Решение
Контрольно-пропускной пункт
2.20
Студенческий проект
Вывод формулы площади круга
2.31 через θθ и r .
(Замените (1/2)sinθ(1/2)sinθ на sin(θ/2)cos(θ/2)sin(θ/2)cos(θ/2) в вашем выражении.) ( Подсказка: limθ→0(sinθ)θ=1).limθ→0(sinθ)θ=1). Раздел 2.3 Упражнения
limx→6h(x)=6. Используйте эти три факта и законы пределов для оценки каждого предела. limr→0+E(r). Каков физический смысл этой величины? Это физически актуально? Почему вы оцениваете справа? Концепции предельных значений — исчисление 2
Все ресурсы исчисления 2
Прямая оценка предела даст неопределенный ответ .
Переписывая предел в терминах синуса и косинуса, мы можем попытаться манипулировать функцией, чтобы использовать свойство .
Умножая функцию на аргументы функции синуса, мы видим, что предел будет равен .
Сообщить об ошибке
Найдите предел при приближении к бесконечности.
Возможные ответы:
Неубедительно
Правильный ответ:
Объяснение:Выражение можно переписать как .
Напомним, что теорему сжатия можно использовать для нахождения предела. Функция синуса имеет диапазон от , что означает, что диапазон должен находиться внутри этой границы.
Умножить член на.
Примите предел по мере приближения к бесконечности для всех членов.
Поскольку левый и правый концы этого интервала равны нулю, можно сделать вывод, что он также должен стремиться к нулю.
Правильный ответ: 0.
Сообщить об ошибке
Определить предел.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы определить, постройте график функции и обратите внимание на направление слева и справа от кривой по мере ее приближения.
Как влево, так и вправо уходит в минус бесконечность.
Ответ:
Сообщить об ошибке
Что из следующего верно?
Возможные ответы:
Если и , то существует.
Если существует, то и оба существуют.
и существовать тогда и только тогда, когда существует.
Если ни , ни не существует, то также не существует.
Правильный ответ:
Если и , то существует.
Объяснение:
Если и , то существует.
Это можно строго доказать, используя определение предела, но, скорее всего, это выходит за рамки вашего класса.
Сообщить об ошибке
Определить лимит:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Изолируйте константу в пределе.
Свойство limit .
Следовательно:
Сообщить об ошибке
Оценить предел, если возможно:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
19 Объяснение:
Чтобы оценить , обратите внимание, что внутренний член после подстановки будет приближаться к бесконечности. Арктангенс очень большого числа приближается к .
Ответ .
Сообщить об ошибке
Оцените следующий лимит:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Первый шаг – вынести член высшей степени из многочлена сверху и снизу (фактически выделив 1):
, что станет
Оценивая предел, мы приближаемся .
Сообщить об ошибке
Оцените следующее ограничение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
6 Объяснение:Чтобы оценить предел, сначала вытяните наибольший степенной член сверху и снизу (по сути, мы удаляем 1):
, что становится
Подставляя бесконечность, мы находим, что числитель приближается к нулю, что приближает весь предел к 0,
Сообщить об ошибке
Оцените следующий предел:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:Чтобы оценить предел, сначала вытащите член с наивысшей степенью из числителя и знаменателя (по сути, вы вытягиваете 1):
Как вы можете видеть, члены и по мере приближения к бесконечности стремятся к нулю . Осталось .
Сообщить об ошибке
Оцените следующий предел:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:Чтобы легко вычислить этот предел, просто вытяните множитель члена высшей степени над членом высшей степени (1):
Как видите, после деления на 1 знаменатель становится равным 1 и числитель становится 0,9{-n}+1\}\). Это в точности то же самое, что и функция выше, за исключением того, что доменом теперь являются натуральные числа, а не действительные числа. Если вы хотите узнать «предел, когда \(n\) стремится к бесконечности», вы будете искать очень большие значения \(n\), точно так же, как вы искали очень большие значения \(x\).
Имея в виду, что процесс будет очень похож на просмотр пределов последовательностей и функций, давайте углубимся!
См. Ограничения функции для обзора функций и способов определения их пределов.
Определение предела последовательности
Во-первых, давайте взглянем на неформальное определение предела последовательности:
предел последовательности — это значение, к которому приближается последовательность по мере того, как число членов становится очень большим. большой.
Более формально:
Пусть \( L \) будет действительным числом. Последовательность имеет предел \( L \) по мере того, как \( n \) приближается к \( \infty \), если задано \( \epsilon > 0 \) , существует число \( M > 0 \) такое, что \( n > M \) подразумевает \( \left| s_n — L \right| < \epsilon \). Мы пишем, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L, \]
и говорят, что последовательность сходится к \( L \) . Говорят, что последовательности, не имеющие предела, расходятся .
Взяв предел функции как \( x \to \infty\), вы взяли кандидата на предел (назовите его \( L \) для удобства), а затем проверили, можете ли вы «поймать» функцию значения, близкие к \(L\), если \(x\) достаточно велики.
Прежде чем двигаться дальше, давайте посмотрим на картину происходящего. 9{-n} +1 \} \) . Кандидатом на предел является \( L = 1 \). Нарисуйте точки последовательности вместе с возможным пределом \( L = 1 \) и нарисуйте линии \( y = L + \epsilon = 1 + \epsilon \) и \( y = L — \epsilon = 1 — \эпсилон\) .
Перехват значений последовательности | StudySmarter Original
Как видите, каким бы маленьким ни было \( \epsilon \), вы всегда сможете уйти достаточно далеко (другими словами, выбрать достаточно большое \( M \) ), чтобы последовательность значения заключены между линиями \( y = 1 + \epsilon \) и \( y = 1 + \epsilon \). Это означает, что последовательность сходится к пределу \( L = 1 \).
Как математически записать предел последовательности?
Существует два основных способа записи «предел последовательности при стремлении \(n\) к бесконечности равен \(L\)», и вы можете использовать любой из них:
\[ \{ s_n \ } \к л; \] или
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L .
\]
Оба означают одно и то же. Вы также можете сказать, что последовательность \( \{s _n \} \) сходится к \( L \).
Естественно, вы не хотите выбирать кандидата для предела, а затем должны найти подходящее \( M \), которое достаточно велико каждый раз, когда вы хотите показать, что последовательность сходится и к чему она сходится. К счастью, поскольку последовательности являются функциями, вы можете использовать те же правила ограничений для функций, что и для последовательностей.
Единственность предела сходящейся последовательности
Прежде чем говорить о единственности предела последовательности, давайте подумаем о решении линейного уравнения. Мы говорим, что линейное уравнение \[ ax+b=0, \], где \( a \) и \( b \) — действительные числа, имеет единственное решение. Это означает, что только одно значение \(x\) удовлетворяет любой заданной паре значений \(a\) и \(b\).
То же самое можно сказать и о пределе последовательности. Если последовательность сходится к некоторому значению и, следовательно, имеет предел, мы говорим, что этот предел уникален для этой последовательности.
Пределы последовательности Формулы
Предположим, у вас есть две последовательности \( \{s _n \} \) и \( \{t _n \} \) , и вы знаете, что обе они сходятся. Другими словами, существуют числа \( L \) и \( P \) такие, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L \mbox{ и } \lim\limits_{n \ в \infty} t_n = P . \]
Тогда выполняются следующие правила:
Правило суммы:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n + \lim\limits_{n \to \infty} t_n = L + P . \]
Правило разности:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n — \lim\limits_{n \to \ infty} t_n = L — P . \]
Правило продукта:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} s_n \right) \ cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]
Постоянное множественное правило: для любой константы \( C \),
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (C \cdot s_n ) = C\cdot \lim\limits_{n \to \infty} s_n = C \cdot L. \]
Частное правило: Если \( P \not= 0 \) и \( t_n \not= 0 \) для всех \( n \in \mathbb{n} \), то
\[ \lim\ limit_{n \to \infty} \left( \frac{s_n}{t_n} \right) = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} s_n}{\lim\limits_{n \to \infty } t_n }= \frac{L}{P} . \]
Должно быть известно, что оба предела, с которыми вы работаете, сойдутся, чтобы эти свойства оставались верными!
Так как же свойства пределов последовательностей помогают понять, что если последовательность сходится, предел должен быть уникальным?
Предположим, у вас есть последовательность, которая сходится к двум разным вещам, скажем, \( \{ s_n \} \to L\) и \( \{ s_n \} \to P\) , где \( L \not= П \). Затем вы можете использовать правило разности, чтобы сказать, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — s_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n — \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L — P . \]
Но постойте, \( s_n — s_n = 0 \), так что также верно, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — s_n ) = \lim\limits_ {n \to \infty} 0 = 0. {-n} +1 \} \) , используйте свойства пределов для последовательностей, чтобы найти предел как \( n \to \infty \ ). 9{-n} +\lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1. \end{align} \]
Убедитесь, что условия для использования правил для последовательностей встретились очень важно. Помните, что вы должны знать, что обе последовательности сходятся и что, если вы используете правило отношения, у последовательности в знаменателе есть ненулевой предел. Если это не так, может случиться все что угодно!
Что произойдет, если одна из ваших последовательностей не сходится? Даже если предел произведения существует, вы не можете умножить то, чего не существует. Следующие три примера покажут вам, что может произойти, если оба предела не сходятся.
Пример 1. Возьмем последовательности \( \{ s_n \} = \{ n \} \) и
\[ \{ t_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} . \]
Тогда \( \{ s_n \} \) расходится, а \( \{ t_n \} \to \infty \). Но
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) &= \lim\limits_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n } \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 1 . \end{align} \]
Итак, здесь вы получаете 1 за предел продукта.
Пример 2: Можно ли получить что-то еще за лимит продукта, если лимит одной из последовательностей не выходит? Если вместо этого вы возьмете последовательность 92 \cdot \frac{1}{n} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} n , \end{align} \]
и произведение расходится. Таким образом, вы можете получить лимит продукта, которого нет!
Таким образом, если у вас нет правильных условий для использования правила продукта, может случиться что угодно, и вы не можете заранее предсказать, что это может быть!
Примеры пределов последовательностей
Давайте посмотрим на другие примеры того, какие виды пределов может иметь функция, и случаи, когда у нее нет предела.
Имеет ли последовательность
\[ \{ s_n \} = \left\{ 2 + \frac{4}{n} \right\} \]
предел? Если так, то, что это?
Ответ:
Другой способ сформулировать этот вопрос: «Приближается ли указанная выше последовательность к одному значению, когда \( n \) становится большим? Посмотрим!
В вопросе есть \( \frac{4 {n} \) term. Давайте посмотрим на функцию, эквивалентную этому. Для функции
\[ f(x) = \frac{1}{x} \]
вы знаете, что
\[ \begin {align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \\ &= 0 \end{align} \ ]
, потому что функция имеет горизонтальную асимптоту \( y =0 \). Это означает, что последовательность
\[ \{ t_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} \]
также имеет
\[ \begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty} t_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \\ &= 0 \end{align} \]
, так как последовательность такая же, как и функции, кроме домена. На самом деле, вы можете увидеть это и графически.
График последовательности {1/n} на положительной оси X | StudySmarter Оригинал
Теперь, когда мы вспомнили характеристики обратной функции, давайте вернемся к исходному вопросу. Теперь вы знаете, что можете применить правило суммы, чтобы получить
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} s_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{4}{n} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4}{n}, \end {align} \]
, а затем постоянное правило, чтобы получить:
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac {4}{n} &= 2 + 4 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \\ &= 2 + 4 \cdot 0 \\ &= 2. \end{align } \]
Таким образом, последовательность имеет предел, и значение равно 2.
Сходится ли последовательность
\[ \left\{ \frac{1 + 4n}{5 + 6n} \right\} \]
? Если да, то к чему он сходится?
Ответ:
Иногда вам нужно попробовать разные вещи, чтобы найти тот, который позволит вам правильно использовать правила. Вы хотели бы использовать правило отношения, чтобы решить эту проблему.
Сначала попробуйте настроить две последовательности: \( \{ s_n \} = \{ 1 + 4n \} \) и \( \{ t_n \} = \{ 5 + 6n \} \). К сожалению, есть проблема, так как правило отношения требует, чтобы обе эти последовательности имели предел, и ни одна из них не сходится к конечному числу!
Для второй попытки разбейте его на две части вместо одной. Вы знаете, что
\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1}{5+6n} + 4 \cdot \frac{n}{5 + 6n}, \]
, что определенно ближе к полезности, но все же не совсем из-за этого термина
\[ \frac{n}{5+6n} \]
.
Вторая попытка натолкнет вас на мысль, что сначала нужно вынести \( n \) из знаменателя. Тогда у вас есть
\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1+4n}{n \left( \frac{5}{n}+6 \right) } . \]
Было бы очень хорошо сократить это \( n \) в знаменателе с единицей в числителе, но для этого вам нужно сначала разложить это на множители: \[ \begin{align} \frac{1 +4n}{5+6n} & =\frac{n \left(\frac{1}{n}+4 \right) }{n \left( \frac{5}{n}+6 \right) } \\ &= \frac{ \frac{1}{n} + 4}{ \frac{5}{n} + 6}. \end{align} \]
Алгебра на помощь! Теперь настройте две последовательности для использования частного правила:
\[ \{ s_n \} = \left\{\frac{1}{n}+4 \right\} \mbox{ и } \{ t_n \} = \left\{ \frac{5}{n} + 6 \right\}. \]
Оба из них имеют пределы, на самом деле
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n}+ 4 \right) = 4 \]
и
\[ \lim\limits_{n \to \infty} t_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} +6 \right) = 6 \]
, где вы применили правило суммы и правило константы, как в предыдущем примере. Теперь вы знаете, что можете применить правило частного, чтобы получить
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + 4n}{5 + 6n} &= \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}. \end{выравнивание} \]
Следовательно, последовательность сходится, и предел равен \( \frac{2}{3} \).
Вы можете сделать эту задачу короче, если вспомните свойства рациональных функций. Если наибольшая степень в числителе совпадает с наибольшей степенью в знаменателе, вы можете «поделить» коэффициенты, чтобы получить предел. В этом случае наибольшая степень в числителе равна 4n , а наибольшая степень в знаменателе — 6n , поэтому деление дает 4/6 = 2/3, что одновременно является пределом и говорит вам, что 9n \право\} \) сходятся? Если да, то к чему он сходится?
Ответ:
Чтобы получить представление о том, как ведет себя эта последовательность, давайте выпишем некоторые члены этой последовательности.
\[ \{-1, 1, -1, 1, \dots \} \]
Если последовательность имеет предел, то предел должен быть либо \(-1 \), либо \(1 \) поскольку это единственные два значения в последовательности, и они вообще не меняются. Давайте посмотрим, что происходит графически, когда вы пытаетесь выбрать \( L = 1 \) в качестве предельного значения.
Является ли L=1 пределом последовательности? | StudySmarter Original
Глядя на рисунок выше, вы можете видеть, что не имеет значения, насколько большое значение \( M \) вы выберете, невозможно получить все значения последовательности между двумя линиями \( y = 1 + \эпсилон\) и \(у = 1 — \эпсилон\). Это означает, что эта последовательность не сходится.
Можно также сказать, что последовательность расходится с .
Доказательство предела последовательности
Иногда вы столкнетесь с такой последовательностью, как
\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]
, где свойства пределов для последовательностей не могут быть применены. В таком случае может помочь Теорема сжатия. Поскольку последовательности — это всего лишь особый вид функций, теорему сжатия можно переформулировать для последовательностей.
Обзор теоремы о сжатии для функций см. в разделе Теорема о сжатии .
Теорема сжатия: Предположим, что есть две последовательности \( \{ s_n \} \) и \( \{ t_n \} \), обе из которых сходятся к одному и тому же значению \( L \), и что существует существует \( N \ in \mathbb{N} \) такой, что \( s_n \ le w_n \le t_n \) для всех \( n \ge N \). Затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} w_n = L . \]
Давайте посмотрим, как применяется теорема сжатия. Возвращаясь к последовательности
\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\}, \]
, идея состоит в том, чтобы «втиснуть» ее между двумя последовательностями, которые, как вы знаете, сходятся. Во-первых, давайте посмотрим на график некоторых значений этой последовательности.
График значений последовательности, сходящихся к 0 | StudySmarter Original
Конечно, похоже, что она сходится к нулю, но вам нужно найти две последовательности, которые, как вы знаете, сходятся к нулю, чтобы «втиснуть» ее между ними. Одна последовательность, с которой вы уже работали и которая сходится к нулю, — это последовательность 9. 0019
\[ \{ s_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\}. \]
Вы также знаете, что \( -1 \le \cos n \le 1 \) для любого \( n\), поэтому
\[ — \frac{1}{n} \le \frac{ \ cos n}{n} \le \frac{1}{n} \]
для любого \( n \). Это означает, что вы можете взять вторую последовательность, которую вам нужно сжать, чтобы она была
\[ \{ t_n \} = \left\{ -\frac{1}{n} \right\}. \]
Взглянув на график для всех трех последовательностей,
Используя теорему о сжатии, найдя 2 последовательности, которые сходятся к 0, чтобы использовать их для «сжатия» исходной последовательности | StudySmarter Оригинал
Таким образом, использование теоремы сжатия для последовательностей доказывает, что последовательность
\[ \{ w_n \} = \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]
сходится.
Теорема об абсолютном значении
Существует очень удобное следствие теоремы о сжатии для последовательностей, называемое теоремой об абсолютном значении.
Теорема абсолютного значения: Пусть \( \{ s_n \} \) будет последовательностью. Если
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| с_н \право| = 0, \]
9п \право| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 1. \end{align} \]Таким образом, хотя абсолютное значение последовательности сходится, сама последовательность не сходится. Поэтому проверка условия, что предел абсолютного значения последовательности равен нулю, с помощью применения теоремы об абсолютном значении очень важна!
Последовательности, расходящиеся до бесконечности
Иногда последовательность становится все больше и больше, как в случае с последовательностью. Это несколько более приятная ситуация, чем та, которая просто продолжает прыгать, но все равно не сходится. Вместо этого у него есть специальное имя. 9n = \infty , \]
последовательность \( \{ s_n \} \) расходится к бесконечности.
Ограничение последовательности — ключевые выводы
- Пусть \(L\) — действительное число. Последовательность имеет предел \( L \) по мере того, как \( n \) приближается к \( \infty \), если задано \( \epsilon > 0 \) , существует число \( M > 0 \) такое, что \( n > M \) подразумевает \( \left| s_n — L \right| < \epsilon \). Мы пишем, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L, \]
и говорим, что последовательность сходится к \( L \) . Говорят, что последовательности, не имеющие предела, расходятся .
Если последовательность \( \{ s_n \} \) такова, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \pm \infty , \]
, то мы говорим, что последовательность расходится до \(\pm\infty\).
Теорема сжатия: Предположим, что есть две последовательности \( \{ s_n \} \) и \( \{ t_n \} \), обе из которых сходятся к одному и тому же значению \( L \), и что существует \( N \ в \mathbb{N} \) такое, что \( s_n \ le w_n \le t_n \) для всех \( n \ge N \). Затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} w_n = L . \]
Теорема абсолютного значения: Пусть \( \{ s_n \} \) будет последовательностью. Если
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| с_н \право| = 0, \]
, затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = 0.
\]Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.
Предположим, у вас есть две последовательности \( \{s _n \} \) и \( \{s _n \} \) , и существуют числа \( L \) и \( P \) такие, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L \mbox{ и } \lim\limits_{n \to \infty} t_n = P . \]
Тогда выполняются следующие правила:
Правило суммы:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n + \lim\limits_{n \to \infty} t_n = L + P . \]
Правило разности:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n — \lim\limits_{n \ в \infty} t_n = L — P . \]
Правило продукта:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} s_n \right) \cdot \ влево( \lim\limits_{n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]
Постоянное множественное правило: для любой константы \( C \),
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (C \cdot s_n ) = C\cdot \lim\limits_{n \to \infty} s_n = C \cdot L.
\]Частное правило: Если \( P \not= 0 \) и \( t_n \not= 0 \) для всех \( n \in \mathbb {n} \), затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{s_n}{t_n} \right) = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} s_n}{\lim\ limit_{n \to \infty} t_n }= \frac{L}{P} . \]
Объяснение урока: Число Эйлера (𝑒) как предел
В этом объяснении мы узнаем, как использовать определение 𝑒 (числа Эйлера) для оценки некоторых специальные лимиты.
Число Эйлера (𝑒=2,71828…) очень полезно и возникает во многих различных областях науки. математика, включая расчет сложных процентов, задачи оптимизации, исчисление и определение функция, представляющая стандартное нормальное распределение вероятностей.
Возможно, первоначально это число было найдено при поиске экспоненциальной функции, которая дифференцируется сама в себя. Однако мы также можем найти число Эйлера, используя пределы, и это то, что мы рассмотрим в этом объяснении.
Мы можем определить число Эйлера, используя следующий предел: 𝑒=1+1𝑥.lim→∞
Используя таблицу значений, мы можем увидеть, как этот предел приближается к числу Эйлера по мере увеличения 𝑥.
| 𝑥 | 1+1 𝑥 |
|---|---|
| 1 | 1+11=2 |
| 10 | 1+110=2.59374… |
| 100 | 1+1100=2.70481… |
| 1 000 | 1+11000 = 2,71692… |
| 10 000 | 1+110000 = 2,71814… |
| 10018 10018 10018 1001814… | |
| 1+1100000=2,71826… |
Мы можем использовать этот предел, чтобы помочь оценить пределы и решить проблемы, связанные с пределами этой формы. Прежде чем мы посмотрим на любой
примеров, давайте рассмотрим другой предел, который также приводит к числу Эйлера.
Попробуем подставить 𝑥=1𝑦 в наш предыдущий предел. Поскольку мы рассматриваем предел как 𝑥→∞ и 𝑥=1𝑦, мы можем сказать, что при 𝑥→∞, 𝑦→0. Подставляя их в 𝑒=1+1𝑥lim→∞, мы получим 𝑒=(1+𝑦).lim→
Теперь мы знаем два предела, которые дают число Эйлера. Подведем итоги только что показанных результатов.
Определение: число Эйлера как предел оценить пределы, которые мы не могли раньше.
Пример 1. Вычисление предела с использованием константы Эйлера
Определить lim→∞1+1𝑥.
Ответ
Мы могли бы сначала попытаться вычислить этот предел напрямую. В нашем пределе 𝑥 приближается к бесконечности, что означает, что знаменатель 1𝑥 неограниченно растет, а числитель остается постоянным, поэтому 1𝑥 приближается к 0. Это означает, что выражение в наших скобках приближается к 1. Однако наш показатель степени (4𝑥) равен приближается к бесконечности, когда 𝑥 приближается к бесконечности.
Итак, мы получаем lim→∞∞1+1𝑥=1, что является неопределенной формой. Это означает, что нам нужно будет попробовать какой-то другой метод для оценки нашего предела.
Заметим, что заданный нами предел очень похож на тот, который выражает значение числа Эйлера: 𝑒=1+1𝑥.lim→∞
нам дали показатель степени 4𝑥, а не 𝑥. Мы можем использовать законы экспонент, чтобы перевыразить это следующим образом:
Прежде чем мы сможем подставить число Эйлера в предельное выражение, нам нужно вывести показатель степени 4 за предел. При условии, что новый предел существует, мы можем использовать правило степени для пределов, чтобы добиться этого:
Предел внутри нашей экспоненты существует, потому что это просто наш предельный результат для числа Эйлера 𝑒. Итак, мы используем наш предельный результат и заменяем предел в скобках на 𝑒, что дает нам limlim→∞→∞1+1𝑥=1+1𝑥=𝑒.
Наш следующий пример показывает, как мы можем использовать наш другой предельный результат, чтобы помочь нам оценить предел.
Пример 2. Нахождение пределов путем их преобразования в формы пределов в натуральной степени
Определить lim→(𝑥+1).
Ответ
Поскольку нас просят оценить предел, мы могли бы начать с попытки сделать это напрямую. Когда 𝑥 приближается к 0, выражение в скобках приближается к 1, а величина нашего показателя степени неограниченно растет. Это неопределенная форма, а именно 1∞, поэтому нам нужно будет попробовать другой метод.
Мы видим, что наш предел аналогичен одному из наших предельных результатов, связанных с числом Эйлера, который равен lim→(1+𝑥)=𝑒.
Итак, мы можем попробовать использовать этот результат, чтобы оценить наш предел.
Для этого мы хотим, чтобы наш показатель степени 1110𝑥 был таким же, как у предельного результата, который равен 1𝑥. Чтобы сделать это, мы начнем с использования наших законов показателей степени, чтобы переписать наш предел: где мы переставляем члены в скобках и используем тот факт, что 1110𝑥=1𝑥⋅1110.
На данный момент мы хотим использовать наш предельный результат, включающий число Эйлера; однако сначала нам нужно вывести нашу экспоненту за пределы нашего предела, а для этого нам нужно использовать правило степени для пределов.
Это говорит нам о том, что мы можем вывести экспоненту за пределы предела при условии, что наш новый предел существует.
В нашем случае имеем limlim→→(1+𝑥)=(1+𝑥), и мы знаем, что это верно потому что предел в наших скобках точно такой же, как предельный результат, включающий число Эйлера. Подставляя этот предел равным 𝑒, получаем (1+𝑥)=𝑒.lim→
Не всегда возможно напрямую использовать наши предельные результаты для числа Эйлера 𝑒. Возможно, нам придется использовать другие инструменты, такие как полиномиальное деление, факторинг или замену. Тем не менее, основная предпосылка та же самая: мы берем предел, который мы не можем оценить, и записываем его в форме для 𝑒, которую мы можем затем использовать для оценки наших предельных результатов.
Пример 3. Оценка предела путем преобразования его в форму предела в натуральной степени
Определить lim→∞1−7𝑥.
Ответ
Нас просят оценить предел, который мы могли бы попытаться оценить напрямую. Таким образом, когда 𝑥 приближается к ∞, выражение в скобках приближается к 1, а показатель степени неограниченно растет. Следовательно, имеем lim→∞∞1−7𝑥=1.
Это неопределенная форма, поэтому нам нужно будет попробовать другой метод для оценки этого предела.
Этот предел аналогичен одному из предельных результатов, связанных с числом Эйлера, поэтому мы можем попробовать использовать этот результат, чтобы помочь нам оценить наш предел. У нас есть много вариантов, как это сделать.
Мы попытаемся записать этот предел в форме, где мы можем использовать 𝑒=(1+𝑛).lim→
Однако также можно использовать 𝑒=1+1𝑛. lim→∞
Обычно один из предельных результатов оказывается проще, чем другой, и может быть очень сложно определить, какой предельный результат использовать, просто взглянув на вопрос, поэтому, если мы застряли, используя один результат, мы всегда можем попробовать использовать другой предел, который находится в форме с показателем степени 1𝑛.
Чтобы записать наш предел в этой форме, нам понадобится замена. Мы хотели бы 1+𝑛 в наших скобках, поэтому мы используем замену 𝑛=−7𝑥.
Мы можем изменить эту замену, чтобы найти 𝑥 через 𝑛 так, чтобы 𝑥=−7𝑛.
Умножив это на 5, мы получим 5𝑥=−35𝑛.
Используя эту замену, мы можем переписать наш предел как limlim→∞→∞1−7𝑥=(1+𝑛).
и мы хотим знать, что происходит с точки зрения 𝑛, поэтому нам нужно посмотреть на нашу замену. Поскольку 𝑥 приближается к бесконечности, −7𝑥 приближается к 0, а поскольку 𝑛=−7𝑥, мы также должны иметь то, что 𝑛 приближается к 0,9.0019
Это дает нам limlim→∞→(1+𝑛)=(1+𝑛).
Теперь воспользуемся одним из законов экспонент: limlim→ →(1+𝑛)=(1+𝑛).
Наконец, применим степенное правило для пределов: limlim→→ (1+𝑛)=(1+𝑛),, что, как мы знаем, мы можем сделать в этом случае, потому что полученный предел является нашим предельным результатом, включающим число Эйлера.
Все, что нам нужно сделать сейчас, это заменить этот предел на 𝑒 и переставить, чтобы в итоге мы получили (1+𝑛)=𝑒=1𝑒. lim→
В следующем примере мы рассмотрим предел рациональной функции, возведенной в линейный показатель.
Пример 4. Нахождение пределов путем преобразования их в формы пределов в натуральной степени
Определить lim→∞𝑥+4𝑥−4.
Ответ
Мы могли бы попробовать вычислить этот предел напрямую. В наших скобках у нас есть рациональная функция, и мы знаем, что когда 𝑥 приближается к ∞, мы можем увидеть, что происходит, посмотрев на частное старших членов в нашей рациональной функции. Поскольку это равно 1, предел нашей рациональной функции также равен 1. Однако наш показатель степени неограниченно растет, поэтому мы имеем lim→∞∞𝑥+4𝑥−4=1, что является неопределенная форма. Поэтому нам нужно будет попробовать другой метод для оценки этого предела.
Вместо этого попробуем оценить это, используя предельный результат, включающий число Эйлера: →∞→∞𝑥+4𝑥−4=𝑥−4+8𝑥−4=1+8𝑥−4.
Если мы сравним два предела, мы увидим, что нам нужно использовать замену. Мы хотим, чтобы в скобках было 1+1𝑛, поэтому мы используем замену 1𝑛=8𝑥−4.
Когда 𝑥 приближается к бесконечности, мы видим, что 8𝑥−4 приближается к 0, поэтому 𝑛 также должно стремиться к бесконечности.
Прежде чем использовать эту замену, нам также нужно переставить 𝑥 с точки зрения 𝑛, что мы можем сделать следующим образом.
Возьмем обратное значение обеих частей нашей подстановки, что даст нам 𝑛=𝑥−48.
Затем умножаем на 8 и прибавляем по 4 к обеим сторонам: 𝑥=8𝑛+4.
Теперь мы можем использовать эту замену, чтобы переписать наш предел: 1+1𝑛.
Мы хотим использовать наш предельный результат, но сначала нам нужно, чтобы показатель степени был равен 𝑛. Для этого нам сначала потребуется использовать законы экспонент в сочетании с правилом произведения для пределов, так что 1𝑛⋅1+1𝑛.
Чтобы использовать правило произведения для пределов, нам нужно, чтобы существовал предел обоих факторов. Мы покажем в нашей работе, что оба этих предела существуют.
Один из этих пределов можно вычислить напрямую: lim→∞1+1𝑛=1.
Затем, чтобы вычислить наш другой предел, мы используем законы экспонент и правило степени для пределов, истинно при условии, что этот предел существует, а мы знаем, что он существует, потому что это наш предыдущий предельный результат. Это означает, что мы можем заменить этот предел константой Эйлера 𝑒: 1+1𝑛=𝑒.lim→∞
Следовательно, мы показали lim→∞𝑥+4𝑥−4=𝑒.
Мы также можем использовать эти результаты для решения пределов, включающих более сложные функции.
Пример 5: вычисление пределов путем их преобразования в формы пределов в натуральной степени
Определить limtan→−4𝑥+1cot.
Ответ
Мы могли бы попробовать вычислить этот предел напрямую. Внутри скобок у нас непрерывная функция, поэтому мы можем просто подставить 𝑥=0. Однако наш показатель степени неограниченно растет, поэтому мы имеем limtanlimtan→→∞∞−4𝑥+1=−40+1=1,cot, что является неопределенной формой, поэтому мы нужно будет попробовать другой метод, чтобы оценить этот предел.
Вместо этого попробуем оценить это, используя предельный результат, включающий число Эйлера, то есть 𝑒=(1+𝑛).lim→
find нам нужно будет преобразовать выражение в скобках в форму 1+𝑛. Для этого мы начнем с подстановки 𝑛=−4𝑥.tan
. Мы знаем, что когда 𝑥 приближается к 0, −4𝑥tan будет приближаться к 0 путем прямой подстановки, поэтому 𝑛 также должно стремиться к 0. Кроме того, взяв обратную величину обоих стороны нашей замены и перестановки, мы имеем −4𝑛=1𝑥=𝑥.tancot
Используя все это, мы можем переписать наш предел следующим образом: законы показателей и правило степени для пределов для получения требуемого показателя степени 1𝑛: 𝑛).
Конечно, это при условии, что предел внутри скобок существует, что, как мы знаем, существует, поскольку lim→(1+𝑛)=𝑒.
Наконец, мы можем использовать наш предельный результат, чтобы вычислить предел в скобках как константу Эйлера:0019
Следовательно, мы смогли показать limtan→−4𝑥+1=1𝑒. cot
До сих пор мы исследовали пределы, которые приводят к числу Эйлера. Рассмотрим теперь некоторые ограничения, приводящие к обратная функция 𝑓(𝑥)=𝑒. Когда мы рассматриваем любую экспоненциальную функцию, 𝑝(𝑥)=𝑎, мы знаем, что его обратная функция является логарифмической функцией с основанием 𝑎, 𝑞(𝑥)=𝑥log. Поэтому, когда мы рассматриваем обратную функцию 𝑓(𝑥)=𝑒, мы знаем, что это будет логарифмическая функция с основанием 𝑒, 𝑔(𝑥)=𝑥log, натуральный логарифм. Натуральный логарифм функция может быть записана как 𝑔(𝑥)=(𝑥)ln. Вот график, показывающий экспоненциальную функцию и функция натурального логарифма. Мы можем видеть, как они являются отражением друг друга в строке 𝑦=𝑥.
Прежде чем мы определим натуральный логарифм как предел, напомним некоторые полезные свойства:
- 𝑦=𝑥ln эквивалентно 𝑒=𝑥,
- 𝑒=𝑥ln, ln
- ln 00=06,
- ln 06,
- ln 06,
- =0,
- loglnln𝑥=𝑥𝑎.
Для каждого 𝑥, 𝑦∈ℝ и 𝑛∈ℝ, - lnlnln𝑥𝑦 = 𝑥+𝑦,
- lnlnln𝑥𝑦 = 𝑥 -𝑦,
- lnln𝑥 = 𝑛𝑥,
- lnlog𝑥 × 𝑒 = 1.
Мы начнем с рассмотрения уравнения
| 𝑦=𝑎−1, | (1) |
где 𝑥 и 𝑦 — переменные, а 𝑎 — вещественная константа. Для этого уравнение, мы можем видеть, что когда 𝑥→0, 𝑎→1 и, следовательно, 𝑦→0 тоже. Мы можем переместить 1 в другую часть уравнения и взять натуральный логарифм обеих частей этого уравнения, чтобы получить lnln𝑎=(𝑦+1).
Используя свойства логарифмов, мы можем преобразовать это в
| 𝑥𝑎=(𝑦+1)𝑥=(𝑦+1)𝑎.lnlnlnln | (2) |
Рассмотрим теперь следующий предел: lim→𝑎−1𝑥.
Используя (1) и (2), мы можем переписать это как limlimlnln→→𝑎−1𝑥=𝑦𝑎(𝑦+1).
Обратите внимание, что, как упоминалось ранее, когда 𝑥→0, 𝑦→0 также. Мы можем изменить правую часть этого уравнения, используя свойства логарифмов и пределов, следующим образом:
limlimlnlnlimlnlnlimlnlnlnlimlnlnlnlim→→→→→→𝑎−1𝑥=𝑦𝑎(𝑦+1)=𝑎(𝑦+1)=𝑎(𝑎) +1)=𝑎(𝑦+1).
Теперь можно заметить, что предел в знаменателе дроби — это предел, равный числу Эйлера. Следовательно, мы можем сказать, что limlnlnln→𝑎−1𝑥=𝑎𝑒=𝑎.
Мы можем использовать это предельное определение натурального логарифма для решения задач. Еще пара определений пределов которые также могут помочь нам решить проблемы limloglogandlimln→→(𝑥+1)𝑥=𝑒(𝑥+1)𝑥=1.
Ниже мы можем обобщить пределы, полученные в виде логарифмов.
Определение: логарифмы как пределы
Давайте теперь рассмотрим несколько примеров того, как мы можем использовать эти ограничения для решения задач.
Пример 6. Вычисление предела с помощью натурального логарифма
Определить lim→7−12𝑥.
Ответ
Здесь нам дали ограничение на оценку, поэтому мы можем сначала попытаться сделать это напрямую. Если мы подставим 0 в наш предел,
мы получим 00, который не определен. Следовательно, нам нужно будет использовать какой-то другой метод для определения
этот предел.
Когда мы смотрим на этот предел, мы можем заметить, что он очень похож на предел, вычисляемый с помощью натурального логарифма. Позволять сравним его с этим пределом: limln→𝑎−1𝑥=𝑎.
Мы заметили, что это очень похоже на предел, который нас попросили оценить. Константа 𝑎 равна до 7. У нас также есть небольшие различия в показателе степени и знаменателе дроби. Мощность 3𝑥 вместо 𝑥, а в знаменателе 2𝑥 вместо 𝑥. Чтобы оценить предел, нам нужно попытаться манипулировать им, чтобы он был более похож на предел, который нам дали.
Начнем с изменения показателя степени. Мы можем сделать это, используя замену. Мы хотим сделать так, чтобы экспонента была просто переменная, а не переменная, умноженная на константу. Мы можем использовать замену 3𝑥=𝑢, что эквивалентно к 𝑥=𝑢3.
Прежде чем мы сделаем эту замену, нам нужно рассмотреть, что произойдет с пределом. В пределе, указанном в вопросе, мы
рассматривают, когда 𝑥→0. Мы используем замену 𝑥=𝑢3, поэтому мы можем видеть
что когда 𝑥 стремится к 0, то же самое будет и 𝑢. Следовательно, когда 𝑥→0,
𝑢→0 также. Теперь мы можем выполнить нашу замену следующим образом:
limlim→→7−12𝑥=7−1.
Теперь мы можем видеть, что показатель степени равен просто 𝑢. Мы убрали коэффициент с помощью подстановки. Теперь это выглядит очень похоже на форму, которая нам нужна для ее оценки. Осталось разобраться с коэффициентом 𝑢 в знаменателе дроби. Мы можем начать с перемещения константы перед дробью: limlim→→7−1=327−1𝑢.
Теперь, используя предельные законы, мы можем переместить постоянный коэффициент перед пределом: limlim→→327−1𝑢=327−1𝑢.
Теперь мы можем видеть, что наш предел имеет форму limln→𝑎−1𝑥=𝑎, поэтому мы можем оценить чтобы получить наше решение: limlimln→→7−12𝑥=327−1𝑢=327.
Теперь мы рассмотрим последний пример в этом объяснении.
Пример 7. Вычисление предела с помощью натурального логарифма
Определить limln→(𝑥−1)𝑥−2.
Ответ
Мы могли бы попытаться решить этот вопрос, используя прямую замену. Однако, если мы попытаемся подставить 𝑥=2 в пределе мы получим 00, что не определено. Нам нужно будет использовать другой метод в чтобы оценить этот предел. Заметим, что он похож на предел, который мы умеем вычислять, а именно: limln→(𝑥+1)𝑥=1.
Мы заметили, что между этими двумя ограничениями есть несколько различий. Это значение, при котором лимит оценивается и с добавлением некоторых постоянных членов как в числителе, так и в знаменателе. Мы можем выполнить замену в нашем исходном пределе, чтобы попытаться заставить его выглядеть как предел, который мы знаем, как оценивать. мы заменим 𝑥−2=𝑢, что эквивалентно 𝑥=𝑢+2.
Прежде чем мы выполним эту замену, нам нужно рассмотреть, что произойдет с предельным значением 𝑥→2. Поскольку у нас есть 𝑢=𝑥−2, мы можем сказать, что при 𝑥→2, 𝑢→0. Мы
теперь готов заменить:
limlnlimln→→(𝑥−1)𝑥−2=(𝑢+1)𝑢.
После этой подстановки мы видим, что предел в точности имеет вид limln→(𝑥+1)𝑥=1. Следовательно, мы можем сказать, что limln→(𝑥−1)𝑥−2=1.
Давайте закончим повторением некоторых основных моментов этого объяснения.
Ключевые моменты
- Мы нашли и доказали два полезных предельных результата, связанных с числом Эйлера: 𝑒=(1+𝑥)𝑒=1+1𝑛.limandlim→→∞
- Мы нашли и доказали три полезных предельных результата, связанных с натуральным логарифмом: limlnlimlogloglimln→→→𝑎−1𝑥=𝑎,(𝑥+1)𝑥=𝑒,(𝑥+1)𝑥=1.
- Мы можем использовать эти результаты для оценки пределов, которые дают неопределенные формы путем прямой замены или оценки.
- Чтобы использовать эти результаты, нам иногда может понадобиться манипулировать нашим пределом, используя такие методы, как полиномиальное деление,
замещение или факторинг.
Пределы контрольной диаграммы | UCL LCL
Контрольные пределы отличают контрольные диаграммы от простого линейного графика или динамической диаграммы. Они похожи на полосы движения, которые помогают вам определить, стабилен ли ваш процесс или нет. Контрольные пределы составляют 90 249, рассчитанных по вашим данным. Формулы контрольных пределов сложны и различаются в зависимости от типа имеющихся у вас данных.
Вы можете попытаться рассчитать контрольные пределы самостоятельно, но…
- Это отнимет у вас кучу времени, и у вас есть дела поважнее.
- Вероятно, вы сделаете ошибки и получите неправильный ответ.
- Вам будет сложно поддерживать свой собственный шаблон.
Быстрые ссылки
Как рассчитать контрольные пределы?
Зачем столько формул?
Секретная формула, которая поможет вам игнорировать все остальное!
Вместо этого используйте проверенное программное обеспечение, такое как надстройка QI Macros для Excel
QI Macros — это простая в использовании надстройка для Excel, которая устанавливает новую вкладку на панели инструментов Excel.
БЕСПЛАТНЫЕ макросы QI, 30-дневная пробная версия
В стабильном процессе:
68,3% точек данных должны находиться в пределах ± 1 сигма.
95,5% точек данных должны находиться в пределах ± 2 сигма.
99,7% точек данных должны находиться между UCL и LCL.
Как рассчитать контрольные пределы?
- Сначала рассчитайте центральную линию . Центральная линия равна среднему значению или медиане ваших данных.
- Второй расчет сигма . Формула сигмы зависит от типа имеющихся у вас данных.
- В-третьих, вычислите линий сигмы . Это просто ± 1 сигма,
± 2 сигма и ± 3 сигма от центральной линии.
+ 3 сигма = Верхний контрольный предел (UCL)
— 3 сигма = Нижний контрольный предел (LCL)
Почему так много формул для сигмы?
Формула для сигмы зависит от типа данных, которые у вас есть:
- Является ли она непрерывной или дискретной?
- Каков размер выборки?
- Является ли размер выборки постоянным?
Каждый тип данных имеет свою собственную формулу для сигмы и, следовательно, свой тип контрольной диаграммы.
Существует семь основных типов контрольных карт (c, p, u, np, индивидуальный скользящий диапазон XmR, XbarR и XbarS). Кроме того, существует множество вариантов для особых обстоятельств. Как вы могли догадаться, это может стать некрасивым. Вот несколько примеров формул контрольного предела:
p Chart formula
Individual Moving Range Chart formula
X bar R Chart formula
* «Introduction to Statistical Quality Control,» Дуглас С. Монтгомери *
Секретная формула для игнорирования всех других формул. Программное обеспечение QI Macros SPC!
QI Macros — это простая в использовании надстройка для Excel, которая устанавливает новую вкладку на панели инструментов Excel.
Просто выберите свои данные, и QI Macros сделает все расчеты и нарисует контрольную диаграмму для вас.
Расчеты макросов QI проверены и точны.
QI Макросы, встроенные в код, достаточно умны, чтобы:
- анализировать ваши данные и выбирать для вас правильную контрольную диаграмму (и формулы).
- выделяют нестабильные точки и тренды красным цветом.
- определить, когда у вас произошло изменение процесса и необходимо пересчитать ваши контрольные пределы.
БЕСПЛАТНЫЕ макросы QI, 30-дневная пробная версия
Макросы QI также упрощают обновление расчетов контрольных пределов
После создания контрольной диаграммы с помощью макросов QI можно легко обновить контрольные пределы с помощью меню инструментов QI Macros Chart Tools. Чтобы получить доступ к меню, вы должны находиться на диаграмме или на диаграмме, встроенной в рабочий лист.
Вот что можно сделать одним нажатием кнопки:
- Запустить мастер изменения процесса, чтобы определить, где произошли изменения
- Показать изменение процесса (т. е. контрольные пределы ступеней лестницы) в выбранной вами точке
- Ghost a Point — оставить точку данных на графике, но удалить ее из расчетов контрольных пределов
- Удалить точку — удалить точку с графика и из расчетов контрольных пределов
- Recalculate UCL/LCL — пересчитать контрольные пределы после добавления новых данных
Также можно легко повторно запустить анализ стабильности после изменения данных или расчетов контрольных пределов.
Почему стоит выбрать программное обеспечение QI Macros Control Chart для Excel?
Доступный
- Только 329 долларов США долларов США — меньше со скидками за количество
- Без годовой абонентской платы
- Бесплатная техническая поддержка
Простота использования
- Работает прямо в Excel
- Создать диаграмму за секунды
- Простота настройки и обмена диаграммами
Проверенный и надежный
- Более 100 000 пользователей
- Более чем в 80 странах
- Пятизвездочный рейтинг CNET — без вирусов
Центральная предельная теорема: определение и примеры
Содержание:
- Что такое центральная предельная теорема?
- Определение с использованием исчисления
- Центральная предельная теорема Примеры: шаг за шагом с видеоклипами
- Центральная предельная теорема TI 89
- TI 83 Центральная предельная теорема (видео)
Что такое центральная предельная теорема?
Посмотрите обзорное видео:
Центральная предельная теорема меньше примера 2
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Центральная предельная теорема утверждает, что выборочное распределение выборки означает, что приближается к нормальному распределению по мере увеличения размера выборки — независимо от формы распределения населения . Этот факт особенно актуален для размеров выборки более 30.
Все это говорит о том, что по мере того, как вы берете больше выборок, особенно больших, ваш график выборочных средних будет больше походить на нормальное распределение.
Вот что говорит центральная предельная теорема в графическом виде. На картинке ниже показан один из самых простых видов теста: бросание честного кубика. Чем больше 90 249 раз вы бросаете кубик 90 250 , тем более вероятно, что форма распределения средств будет похожа на 9.0249 график нормального распределения .
Фото предоставлено: cmglee|Wikimedia Commons
Центральная предельная теорема и средние значения
Важным компонентом центральной предельной теоремы является то, что среднее значение вашей выборки будет средним значением совокупности . Другими словами, сложите средние значения из всех ваших выборок, найдите среднее значение, и это среднее значение будет вашим фактическим средним значением генеральной совокупности. Точно так же, если вы найдете среднее значение всех стандартных отклонений в своей выборке, вы найдете фактическое стандартное отклонение для своей совокупности. Это довольно полезное явление, которое может помочь точно предсказать характеристики популяции. Посмотрите видео, объясняющее это явление, или узнайте больше об этом здесь: Среднее значение выборочного распределения среднего.
Если вы занимаетесь вычислениями, вы можете более точно определить CLT, используя определение предела. CDF стандартизированного выборочного среднего (X̄ — μ) / σ сходится поточечно к CDF (Φ) стандартного нормального распределения. Это показано интегралом:
Где:
- X n — последовательность IID,
- Φ(z) = ℙ (Z ≤ z) =
Примечание : предполагается, что ожидаемое значение X и X 2 < бесконечность.
Примеры центральной предельной теоремы
Нужна помощь с домашним заданием? Посетите нашу обучающую страницу!
Словесная задача Центральная предельная теорема , скорее всего, будет содержать фразу «предположим, что переменная нормально распределена » или подобную ей. С этими примерами центральной предельной теоремы вы получите:
- Население (т. е. 29-летние мужчины, пожилые люди в возрасте от 72 до 76 лет, все зарегистрированные автомобили, все владельцы кошек)
- В среднем (например, 125 фунтов, 24 часа, 15 лет, 15,74 доллара США)
- Стандартное отклонение (например, 14,4 фунта, 3 часа, 120 месяцев, 196,42 доллара США)
- Размер выборки (т.е. 15 мужчин, 10 пожилых людей, 79 автомобилей, 100 домохозяйств)
Щелкните ссылку, чтобы перейти к одному из трех примеров центральной предельной теоремы:
- Я хочу найти вероятность того, что среднее значение больше определенного числа
- Я хочу найти вероятность того, что среднее значение равно меньше определенного числа
- Я хочу найти вероятность того, что среднее значение равно между определенным набором чисел по обе стороны от среднего
Примеры центральной предельной теоремы: больше
Для текстовых задач по центральной предельной теореме, которые содержат фразу «больше чем» (или подобную фразу, например, «выше»).
Посмотрите видео для примера.
Центральная предельная теорема больше примера #3
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
1. Общие шаги
Шаг 1: Определите части проблемы . В вашем вопросе должно быть указано:
- среднее значение (среднее или μ)
- стандартное отклонение (σ)
- Численность населения
- размер выборки (n)
- число, связанное со знаком «больше чем» ( ). Примечание : это среднее значение выборки. Другими словами, проблема спрашивает вас: «Какова вероятность того, что выборочное среднее из x элементов будет больше, чем это число?
Шаг 2: Нарисуйте график. Отметьте центр средним значением. Заштрихуйте область примерно выше (то есть область «больше чем»). Этот шаг необязателен, но он может помочь вам увидеть то, что вы ищете.
Шаг 3: Используйте следующую формулу, чтобы найти z-значение. Подставьте числа из шага 1.
Нажмите здесь, если вам нужны простые пошаговые инструкции по решению этой формулы.
- Вычтите среднее значение (μ на шаге 1) из значения «больше чем» (на шаге 1). Отложите этот номер на время.
- Разделите стандартное отклонение (σ в шаге 1) на квадратный корень вашей выборки (n в шаге 1). Например, если в вашей выборке тридцать шесть детей, а стандартное отклонение равно 3, то 3/√36 = 0,5 .
- Разделите результат шага 1 на результат шага 2 (т.е. шаг 1/шаг 2)
Шаг 4: Найдите z-оценку, рассчитанную на шаге 3, в z-таблице. Если вы не помните, как искать z-показатели, вы можете найти объяснение в шаге 1 этой статьи: Область справа от z-показателя.
Шаг 5: Вычтите z-значение из 0,5. Например, если ваш результат равен 0,1554, то 0,5 – 0,1554 = 0,3446.
Шаг 6: Преобразуйте десятичную дробь в шаге 5 в проценты . В нашем примере 0,3446 = 34,46%.
Вот и все!
2. Конкретный пример
В. Определенная группа получателей социальных пособий получает пособия по программе SNAP в размере 110 долларов в неделю со стандартным отклонением в 20 долларов. Если взять случайную выборку из 25 человек, какова вероятность того, что их средняя выгода превысит 120 долларов в неделю?
Шаг 1: Вставьте информацию в z-формулу:
= (120-110)/20 √25 = 10/(20/5) = 10/4 = 2,5.
Шаг 2: Найдите z-значение в таблице (или рассчитайте его с помощью технологии). Z-показатель 2,5 имеет площадь примерно 49,38%. Прибавляя 50% (для левой половины кривой), получаем 99,38%.
Вернуться к началу для получения дополнительных примеров центральной предельной теоремы
Примеры центральной предельной теоремы: меньше чем
Решение центральной предельной теоремы словесных задач, содержащих словосочетание «меньше чем» (или подобное словосочетание, например «ниже») .
Посмотрите видео с рабочим примером:
Центральная предельная теорема меньше примера 2
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
1. Общие шаги
Шаг 1: Определите части проблемы . В вашем вопросе должно быть указано:
- среднее значение (среднее или μ)
- стандартное отклонение (σ)
- Численность населения
- размер выборки (n)
- число, связанное с «меньше чем» ( )
Шаг 2: Нарисуйте график. Отметьте центр средним значением. Заштрихуйте область примерно ниже (т. е. область «меньше чем»). Этот шаг необязателен, но он может помочь вам увидеть то, что вы ищете.
Шаг 3: Используйте следующую формулу, чтобы найти z-значение. Подставьте числа из шага 1.
Щелкните здесь, если вам нужны простые пошаговые инструкции по использованию этой формулы.
Если формулы вас смущают, все, что эта формула просит вас сделать, это:
- Вычесть среднее значение (μ в шаге 1) из меньшего значения ( в шаге 1). Отложите этот номер на время.
- Разделите стандартное отклонение (σ в шаге 1) на квадратный корень из вашего образца (n в шаге 1). Например, если в вашей выборке тридцать шесть детей, а стандартное отклонение равно 2, то 3 / √ 36 = 0,5 .
- Разделите результат шага 1 на результат шага 2 (т.е. шаг 1/шаг 2)
Шаг 4: Найдите z-оценку, рассчитанную на шаге 4, в z-таблице. Если вы не помните, как искать z-показатели, вы можете найти объяснение в шаге 1 этой статьи о площади справа от z-показателя на кривой нормального распределения.
Шаг 5: Добавьте z-показатель к 0,5. Например, если ваш z-показатель равен 0,1554, то 0,5 + 0,1554 равно 0,6554.
Шаг 6: Преобразование десятичной дроби в шаге 6 в проценты . В нашем примере 0,6554 = 65,54%.
Вот и все!
2. Конкретный пример
Средняя зарплата 29-летних мужчин составляет 29 321 долл. США при стандартном отклонении 2 120 долл. США. Если взять выборку из 100 мужчин, какова вероятность того, что их средняя заработная плата будет меньше 29 000 долларов?
Шаг 1: Вставьте значения в z-формулу:
= (29 000 – 29 321) / (2 120/√100) = -321/212 = -1,51.
Шаг 2: Найдите z-значение в левой z-таблице (или воспользуйтесь технологией). -1,51 имеет площадь 93,45%.
Однако это не ответ, , так как вопрос требует МЕНЬШЕ, а 93,45% — это площадь «больше», поэтому вам нужно вычесть из 100%.
100% – 93,45% = 6,55% или около 0,07.
Вернуться к началу, чтобы узнать больше Примеры центральной предельной теоремы
Примеры центральной предельной теоремы: Между
Посмотрите видео для примера:
Пример центральной предельной теоремы
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Пример задачи: На выставке собак участвуют 250 собак, средний вес которых составляет 12 фунтов при стандартном отклонении 8 фунтов. Если наугад выбраны 4 собаки, какова вероятность того, что их средний вес больше 8 фунтов и меньше 25 фунтов?
Шаг 1: Определите части проблемы. В вашем вопросе должно быть указано:
- среднее (среднее или μ) стандартное отклонение (σ) размер популяции
- размер выборки (n)
- число, связанное с «меньше чем» 1
- число, связанное с «больше чем» 2
Шаг 2: Нарисуйте график. Обозначьте центр средним значением. Закрасьте область между 1 и 2. Этот шаг не является обязательным, но может помочь вам увидеть то, что вы ищете.
Шаг 3: Используйте следующую формулу, чтобы найти z-значения.
Все, что вам нужно сделать в этой формуле, это:
а) Вычесть среднее значение (μ в шаге 1) из значения больше (Xbar в шаге 1): 25 – 12 = 13.
б) разделить стандарт отклонение (σ на шаге 1) на квадратный корень вашей выборки (n на шаге 1): 8 / √ 4 = 4
c) Разделите результат от a на результат от b : 13 / 4 = 3,25
Шаг 4 Используйте формулу из шага 3, чтобы найти значения z. На этот раз используйте Xbar2 из шага 1 (8).
a) Вычтите среднее значение (μ на шаге 1) из значения больше (Xbar на шаге 1): 8 – 12 = -4.
b) Разделите стандартное отклонение (σ на шаге 1) на квадратный корень вашей выборки (n на шаге 1): 8 / √ 4 = 4
c) Разделите результат от до на результат от b: -4 / 4= -1
Шаг 5: Найдите значение, рассчитанное на шаге 3, в z-таблице.
Значение Z 3,25 соответствует 0,4994
Шаг 6: Найдите значение, рассчитанное на шаге 4, в z-таблице.
Значение Z, равное 1, соответствует 0,3413
Обратите внимание, что колоколообразная кривая симметрична, поэтому, если вы хотите найти отрицательное значение, например -1, просто найдите положительный аналог. Площадь будет та же.
Шаг 7: Сложите шаги 5 и 6 вместе:
.4994 + .3413 = .8407
Шаг 8: Преобразуйте десятичную дробь в шаге 7 в проценты:
.8407 = 84,07%
Вот и все!
Вернуться к началу, чтобы узнать больше Примеры центральной предельной теоремы
Пример задачи: В группу студентов муниципальных колледжей входят студенты из бедных районов (p = 0,33). Какова вероятность того, что в случайной выборке из 45 студентов из населения будет от 20% до 40% учащихся из городских районов?
Шаг 1: Нажмите ПРИЛОЖЕНИЯ. Выделите Stats/List Editor с помощью клавиш прокрутки. Нажмите Ввод.
Если вы не видите редактор статистики/списка, вам необходимо загрузить приложение. См. инструкции здесь.
Шаг 2: Нажмите F5 и прокрутите вниз до C: BinomialCdf .
Шаг 3: Введите 45 в поле Num Trials .
Шаг 4: Прокрутите вниз и введите 0,33 в поле Prob Success .
Шаг 5: Прокрутите вниз и введите 9в поле Нижнее значение (поскольку 20% от 45 = 9).
Шаг 6: Прокрутите вниз и введите 18 в поле Верхнее значение (поскольку 40% от 45 = 18). Нажмите Ввод.
Шаг 7: Считайте результат: Cdf = .857142 . Это означает, что вероятность того, что в вашей случайной выборке будет от 20 до 40 % городских жителей, составляет 85,71 % .
Посмотрите видео или прочитайте статью ниже:
TI 83 Центральная предельная теорема Примеры
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Калькулятор TI 83 имеет встроенную функцию, которая может помочь вам рассчитать вероятности задач по центральной теореме, которые обычно содержат фразу «предположим, что распределение нормальное» (или вариант этой фразы).
Функция normalcdf требует ввода нижней границы, верхней границы, среднего значения и стандартного отклонения .
Пример задачи : Компания по производству удобрений производит органические удобрения в мешках по 10 фунтов со стандартным отклонением 1,25 фунта на мешок. Какова вероятность того, что среднее значение случайной выборки из 15 мешков будет от 9 до 9,5 фунтов?
Шаг 1 : 2-я VARS 2.
Шаг 2 : Введите переменные (нижняя граница, верхняя граница, среднее значение и стандартное отклонение). Разделите каждую переменную запятой: 9,9,5, 10,(1,25/√15)).
Шаг 3 : Нажмите ENTER. Это возвращает вероятность 0,05969 или .05969% .
Совет: Если у вас есть вопрос, требующий «больше» или «меньше» определенного числа, введите 999999999 для нижней или верхней границы. Например, если вы хотите узнать вероятность того, что вес будет больше 8 фунтов, введите:
NORMALCDF(8,999999999,10,1.