Разложение на линейные множители онлайн: Разложение на множители онлайн

Содержание

x 2 4 разложить на множители

Вы искали x 2 4 разложить на множители? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x 2 9 разложить на множители, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «x 2 4 разложить на множители».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x 2 4 разложить на множители,x 2 9 разложить на множители,как разложить многочлен на множители онлайн калькулятор,как разложить на множители многочлен онлайн калькулятор,калькулятор для разложения на множители,калькулятор множителей,калькулятор онлайн разложение на множители,калькулятор онлайн разложение на множители многочлена,калькулятор онлайн разложения многочлена на множители,калькулятор онлайн розкласти на множники,калькулятор разложение многочлена на множители,калькулятор разложение многочлена на множители онлайн,калькулятор разложение на множители,калькулятор разложение на множители квадратного трехчлена,калькулятор разложение на множители многочлена,калькулятор разложение на множители онлайн,калькулятор разложения многочлена на множители,калькулятор разложения многочлена на множители онлайн,калькулятор разложения на многочлена множители онлайн,калькулятор разложения на множители,калькулятор разложения на множители многочлена,калькулятор разложите на множители,калькулятор разложить на множители,калькулятор со степенями на разложение на множители,квадратное уравнение разложить на множители онлайн,онлайн калькулятор разложение квадратного трехчлена на множители,онлайн калькулятор разложение многочлена на множители,онлайн калькулятор разложение на множители,онлайн калькулятор разложение на множители квадратного трехчлена,онлайн калькулятор разложение на множители многочлена,онлайн калькулятор разложения многочлена на множители,онлайн калькулятор разложения на множители многочлена,онлайн разложение,онлайн разложение многочлена,онлайн разложение многочлена на множители,онлайн разложение на множители,онлайн разложить выражение на множители,онлайн разложить на множители выражение,онлайн разложить на множители трехчлен,онлайн разложить уравнение на множители,онлайн раскладывать на множители,разложение квадратного трехчлена на множители калькулятор,разложение квадратного трехчлена на множители калькулятор онлайн,разложение квадратного трехчлена на множители онлайн калькулятор,разложение квадратного уравнения на множители онлайн,разложение многочлена на множители калькулятор,разложение многочлена на множители калькулятор онлайн,разложение многочлена на множители онлайн,разложение многочлена на множители онлайн калькулятор,разложение многочлена на множители онлайн калькулятор с решением,разложение на многочлены онлайн,разложение на множители калькулятор,разложение на множители калькулятор онлайн,разложение на множители квадратного трехчлена калькулятор,разложение на множители квадратного трехчлена онлайн калькулятор,разложение на множители квадратного уравнения онлайн,разложение на множители многочлена калькулятор онлайн,разложение на множители многочлена онлайн,разложение на множители многочлена онлайн калькулятор,разложение на множители онлайн,разложение на множители онлайн калькулятор со степенями и буквами,разложение на множители онлайн многочлена,разложение на множители онлайн многочлена калькулятор,разложение на множители онлайн трехчлена,разложение на множители трехчлена онлайн,разложение онлайн,разложение трехчлена на множители онлайн,разложения многочлена на множители онлайн калькулятор,разложения на множители калькулятор онлайн,разложения на множители многочлена онлайн калькулятор,разложения на множители онлайн калькулятор,разложите многочлен на множители калькулятор,разложите многочлен на множители калькулятор онлайн,разложите многочлен на множители онлайн,разложите многочлен на множители онлайн калькулятор,разложите на множители x 2 x 4,разложите на множители калькулятор,разложите на множители калькулятор онлайн,разложите на множители многочлен онлайн,разложите на множители многочлен онлайн калькулятор,разложите на множители онлайн,разложите на множители онлайн калькулятор,разложить квадратное уравнение на множители онлайн,разложить квадратный трехчлен на множители онлайн калькулятор,разложить многочлен на множители калькулятор онлайн,разложить многочлен на множители многочлен онлайн калькулятор с решением,разложить многочлен на множители онлайн,разложить многочлен на множители онлайн калькулятор,разложить многочлен на множители онлайн калькулятор с решением,разложить многочлен на множители онлайн калькулятор с решением 7 класс,разложить на линейные множители онлайн,разложить на многочлен на множители онлайн калькулятор с решением,разложить на многочлены онлайн,разложить на множители выражение онлайн,разложить на множители калькулятор,разложить на множители калькулятор онлайн,разложить на множители квадратное уравнение онлайн,разложить на множители квадратный трехчлен калькулятор онлайн,разложить на множители квадратный трехчлен онлайн калькулятор,разложить на множители многочлен онлайн,разложить на множители многочлен онлайн калькулятор,разложить на множители многочлены онлайн калькулятор,разложить на множители на многочлен онлайн калькулятор с решением,разложить на множители онлайн,разложить на множители онлайн выражение,разложить на множители онлайн калькулятор,разложить на множители онлайн калькулятор с решением,разложить на множители онлайн калькулятор с решением 8 класс,разложить на множители онлайн многочлен,разложить на множители онлайн многочлен калькулятор,разложить на множители онлайн уравнение,разложить на множители с решением онлайн,разложить на множители уравнение онлайн,разложить уравнение на множители онлайн,раскладывать на множители онлайн,уравнение разложить на множители онлайн.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x 2 4 разложить на множители. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как разложить многочлен на множители онлайн калькулятор).

Решить задачу x 2 4 разложить на множители вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x1 и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·.

..·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x) является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2 — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1 на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0 и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x на множители.

Решение

Видим, что x1=0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 . Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

xi	Коэффициенты многочленов
	1	3	-1	-9	-18
1	1	3+1·1=4	-1+4·1=3	-9+3·1=-6	-18+(-6)·1=-24
-1	1	3+1·(-1)=2	-1+2·(-1)=-3	-9+(-3)·(-1)=-6	-18+(-6)·(-1)=-12
2	1	3+1·2=5	-1+5·2=9	-9+9·2=9	-18+9·2=0
2	1	5+1·2=7	9+7·2=23	9+23·2=55
-2	1	5+1·(-2)=3	9+3·(-2)=3	9+3·(-2)=3
3	1	5+1·3=8	9+8·3=33	9+33·3=108
-3	1	5+1·(-3)=2	9+2·(-3)=3	9+3·(-3)=0

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15 на x+52 .

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2 на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Разложение многочлена на множители по схеме Горнера

Многочлен вида
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀
можно разложить на множители по схеме Горнера, если известен хотя бы 1 его корень.

Разберем деление по схеме Горнера на примере:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 9 — 10 — 27 — 10 = -36 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 9 — 10 + 27 — 10 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является -1, а значит исходный многочлен должен делиться на x + 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	9	-10	-27	-10
-1

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень -1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	2	9	-10	-27	-10
-1	2

Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7

-1 ∙ 2 + 9 = 7

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17

-1 ∙ 7 — 10 = -17

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10

-1 ∙ (-17) — 27 = -10

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0

-1 ∙ (-10) — 10 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(2x³ + 7x² — 17x — 10)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x³ + 7x² — 17x — 10.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Как мы уже выяснили, делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 — 17 — 10 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 7 + 17 — 10 = 12 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 — 17 ∙ 2 — 10 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2

Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2	11

2 ∙ 2 + 7 = 11

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2	11	5

2 ∙ 11 — 17 = 5

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2	11	5	0

2 ∙ 5 — 10 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(x — 2)(2x² + 11x + 5)

Многочлен 2x² + 11x + 5 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа 5. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -5

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2	11	5	0
-5	2

Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2	11	5	0
-5	2	1

-5 ∙ 2 + 11 = 1

	2	9	-10	-27	-10
-1	2	7	-17	-10	0
2	2	11	5	0
-5	2	1	0

-5 ∙ 1 + 5 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(x — 2)(x + 5)(2x — 1)

Примеры использования схемы Горнера

Разложение многочленов на множители в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Понятие о разложении на множители:

Часто, особенно при преобразованиях дробных алгебраических выражений, бывает нужно представить данный многочлен в виде произведения двух или более многочленов. При этом требуется, чтобы оба множителя содержали одну букву. Преобразование многочлена к виду произведения многочленов называется разложением многочлена на множители.

Например, равенство которое легко проверяется перемножением многочленов x + З и х + 4 дает разложение многочлена на множители х + 3 и х + 4 .

Конечно, разложение на множители возможно далеко не всегда.

Например, многочлен x + 2 нельзя представить, в виде произведения двух многочленов, содержащих букву х, так как старший член произведения двух таких многочленов содержит х по крайней мере во второй степени, а может быть и в более высокой, в то время как многочлен х + 2 таких степеней буквы х не содержит. Многочленов, не допускающих разложения на множители, существует сколько угодно.

Многочлен, который не может быть представлен в виде произведения двух многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий хотя бы одну букву, называется неприводимым или неразложимым на множители многочленом. Так, многочлен x + 2 неприводим. Наоборот, если многочлен может быть разложен на множители, то он называется приводимым.

Задача о разложении многочлена на множители имеет сходство с задачей о разложении целых чисел на множители. Здесь неприводимые многочлены играют такую роль, какую там играют простые числа, а приводимые многочлены — такую же, как составные числа. Задача о разложении целого числа на множители считается решенной до конца, когда число разложено, на простые множители и дальнейшее разложение невозможно. Таким же образом задача о разложении многочлена на множители может считаться решенной до конца, если все множители, получающиеся в результате разложения, оказываются неприводимыми. Однако так поставленная задача в общем виде очень трудна. В частности, часто бывает трудно ответить на вопрос, приводим заданный многочлен или не приводим? Полное решение этой задачи недоступно по своей трудности для учащихся средней школы.

Однако существует целый ряд простых приемов для разложения многочленов на множители, и искусное владение этими приемами дает возможность почти всегда найти разложение, если только оно вообще возможно.

Заметим еще, что ставить задачу о разложении на множители имеет смысл для многочленов, содержащих более одного члена. Для одночленов, задача решена сама собой, так как одночлен есть произведение степеней букв, а степень тоже есть произведение, но только равных множителей. Преобразование, подобное

нельзя рассматривать как разложение на множители. Это просто переход от сокращенной записи к развернутой За • а • а. Даже в арифметике при разложении целых чисел на простые множители принято пользоваться записью с применением степеней. Например,

Вынесение за скобку

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Здесь можно заметить, что все три члена многочлена имеют общий множитель ab. Действительно,

На основании распределительного закона данный многочлен можно записать в виде произведения суммы первых множителей его членов на одночлен ab. Итак,

Ответ :

Прием, примененный в рассмотренном примере, называется вынесением за скобку. Этот прием тесно связан с правилом умножения многочлена на одночлен. Так же как правило умножения многочлена на одночлен, вынесение за скобку основывается на распределительном законе. При умножении многочлена на одночлен распределительный закон применяется для того, чтобы представить в виде суммы произведение суммы на число. При вынесении за скобку, наоборот, сумма нескольких слагаемых, имеющих общий множитель, преобразовывается в произведение некоторой суммы на этот множитель.

При вынесении за скобку следует руководствоваться следующим правилом:

Правило. .Если все члены многочлена содержат некоторую букву в каких-либо степенях, то можно вынести за скобку степень этой буквы с наименьшим из показателей, с которыми буква входит в отдельные члены многочлена. Если таких букв имеется несколько, то выносится за скобку произведение степеней этих букв с надлежащими показателями.

Точно так же можно выносить за скобку числовой коэффициент. Вообще говоря, этот коэффициент может быть взят каким угодно. Например,

Однако наиболее удобно так выбирать коэффициент, чтобы многочлен, остающийся в скобке, имел целые коэффициенты, не имеющие общего целого множителя, например,

или

При преобразовании алгебраических выражений вынесение за скобку играет вспомогательную роль. Поэтому выбор знака коэффициента, а иногда и его величины, должен производиться в соответствии с целью, для достижения которой делается вынесение за скобку. В частности, часто бывает нужно вынести за скобку численный множитель, например,

Отметим, наконец, что вынесение за скобку возможно во всяком алгебраическом выражении, представляющем собой сумму нескольких слагаемых, имеющих общий множитель, например,

Иногда при этом наличие общего множителя становится очевидным только после некоторых преобразований.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Здесь мы видим, что если из выражения,
находящегося в первой скобке, вынести число 3, то в скобке останется двучлен, члены которого только знаками отличаются от членов второй скобки. Поэтому преобразование нужно вести так:

Применение вынесения за скобку к расположению многочлена по степеням одной буквы

Многочлены, содержащие одну букву, целесообразно записывать в порядке убывания степеней. Это оказалось полезным при умножении многочленов, это полезно при разложении на множители и при делении многочлена на многочлен.

Такая запись часто оказывается удобной и для многочленов, содержащих несколько букв. При этом из всех букв нужно выбрать одну, главную букву и записывать, одночлены в порядке убывания степеней этой буквы.

Например, многочлен расположен в порядке убывания степеней буквы х. Если бы мы в этом многочлене в качестве главной буквы взяли вместо х другую букву, например b, мы должны были бы записать его члены в другом порядке, именно

При таком расположении часто оказывается, что имеется несколько, членов, содержащих главную букву в одной и той же степени. В нашем примере имеется два члена, содержащих х в первой степени. Для того чтобы еще более подчеркнуть, что за главную букву принимается х, целесообразно рассматривать члены, содержащие х в одной и той же степени, как подобные, и соединять их вместе посредством вынесения буквы х в надлежащей степени за скобку из алгебраической суммы таких членов. Так,

В такой записи многочлен выглядит как многочлен, зависящий только от одной буквы х, но с буквенными коэффициентами и с буквенным свободным членом. Так, коэффициентами в многочлене являются и свободным членом является abc.

Естественно поставить вопрос о том, какую букву нужно выбрать за главную, если мы хотим расположить по степеням одной буквы многочлен, зависящий от нескольких букв.

Если многочлен рассматривается без связи с какой-либо задачей, то выбор главной буквы совершенно безразличен. Если же многочлен получается при решении задачи, часто условие задачи подсказывает, какую букву следует считать главной.

Рассмотрим один пример этого рода.

Задача:

Коробка имеет длину а см, ширину b см. Требуется найти высоту, при которой площадь поверхности коробки равняется s см.

Решение:

Обозначим высоту буквой х. Поверхность коробки составлена из шести прямоугольников. Два из этих прямоугольников (дно и крышка) имеют площадь аb другие два (левая и правая стенки) имеют площадь bх , и последние два (передняя и задняя стенки) имеют площадь ах . Следовательно, между четырьмя буквами a, b, s и х имеется следующая зависимость:

или, что то- же самое,

Мы получили уравнение, в левой части которого находится многочлен, зависящий от букв a, b, x и s Какую же из этих . четырех букв следует принять за главную букву? Конечно, х, так как х играет особую роль в задаче. Числа а, b и s — это числа известные данные. Число х — неизвестное. Поэтому полученное нами уравнение следует записать так:

А теперь его легко решить.

Сумма чисел равна нулю. Следовательно, это противоположные числа:

Произведение числа х на число 2а + 2b равно s — 2аb. Следовательно,

Задача решена.

Способ группировки

Рассмотрим следующий пример на умножение многочленов:

Мы воспользовались правилом 1 умножения многочлена на многочлен (гл. III, § 9).

Представим теперь себе, что у нас поставлена обратная задача. Дан многочлен Требуется разложить его на множители. Очевидно, что для этого нужно провести те же вычисления, но в обратном порядке:

Мы объединяем первое слагаемое со вторым и выносим из их суммы а за скобку, одновременно объединяем третье и четвертое слагаемые и из их суммы выносим за скобку b: В обеих скобках получается одно и то же выражение с + d, и его снова выносим за скобку.

Рассмотрим теперь еще один пример, в котором разложение на множители заранее неизвестно.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Мы видим, что если объединить первое и второе слагаемые, то из их суммы можно вынести за скобку За, а из суммы третьего слагаемого с четвертым можно вынести за скобку — 2b. В обоих случаях в скобке остается одно и то же выражение c + d, так что многочлен преобразуется в сумму двух слагаемых, имеющих общий множитель с + d. После этого можно вынести за скобку c + d.

Наметив такой план преобразований, переходим к его осуществлению:

Примененный в рассмотренном примере способ называется способом группировки. В общем виде способ группировки состоит в том, что слагаемые, из которых составлен многочлен, объединяются в группы с таким расчетом, чтобы после вынесения в каждой группе некоторых одночленов за скобку в скобках оказались бы одинаковые многочлены.

Конечно, совсем не обязательно объединять слагаемые, находящиеся рядом, как это было сделано в рассмотренных примерах. В многочлене 3ac+3ad-2bc-2bd мы могли с тем же успехом объединить первое слагаемое С третьим, а второе с четвертым. Действительно,

А в многочлене а*—АЬс— аЪ — 4ас группировка соседних слагаемых ничего не дает. Здесь нужно объединить первое слагаемое с третьим, второе с четвертым пли первое с четвертым, второе с третьим:

или

Разложение отдельных членов многочлена на подобные слагаемые

Часто бывает, что при умножении многочлена на многочлен после того как скобки раскрыта можно сделать приведение подобных членов. Поэтому при разложении многочлена на множители часто бывает полезно прежде чем совершать группировку разбить некоторые одночлены на подобные слагаемые с тем, чтобы эти слагаемые разнести потом в разные группы.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

В этом многочлене группировка его членов бесполезна для разложения на множители. Однако, если предварительно разбить одночлен 3аb на сумму двух членов аb и 2ab и разнести их в разные группы, то разложение удастся. Действительно,

Более того, при умножении многочленов возможно, что некоторые слагаемые, получившиеся в результате раскрытия скобок, при приведений подобных членов взаимно уничтожаются. Поэтому иногда при разложении многочлена на множители перед группировкой слагаемых нужно вставить новый одночлен, взяв его два раза с противоположными знаками.

Пример:

Применение формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения часто значительно облегчают разложение на множители, позволяя избежать разложения одночленов на подобные слагаемые и обойтись без вставки новых одночленов .

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Мы видим, что исследуемый многочлен есть разность квадратов чисел х и 2. Следовательно, его можно записать в виде произведения суммы этих чисел на их разность

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Мы видим, что сумма первых трех слагаемых есть квадрат суммы чисел х и 2у. Действительно, квадрат первого числа равен , удвоенное произведение первого на второе равно 4ху, квадрат второго равен Итак,

Теперь наш многочлен приведен к виду разности квадратов чисел (х + 2у) и 3z. Следовательно, его можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Прежде всего надо вынести за скобку 2х

Теперь мы видим, что многочлен, находящийся в скобке, есть разность кубов чисел х и 2у. По сокращенной формуле мы знаем, что разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на «неполный квадрат их суммы». Итак,

Окончательно получаем

Мы прерывали запись действий рассуждениями. Конечно, при решении такого рода примеров рассуждения надлежит производить без записи—вслух или про себя, и запись должна выглядеть так:

Более сложные примеры с решением

Мы разобрали несколько приемов разложения многочлена на множители— вынесение за скобку, способ группировки, разложение одночленов на подобные слагаемые, использование формул сокращенного умножения. Не существует никаких общих правил для того, какими из этих приемов и в каких сочетаниях их друг с другом надлежит пользоваться для достижения цели в каждом частном
случае. (Конечно, если это возможно, следует раньше всего сделать вынесение за скобку. Это никогда не ведет к усложнению, но часто упрощает задачу.) Поэтому, прежде чем приступить к выкладке, необходимо вдуматься в строение разлагаемого многочлена и
составить план действий. Для того чтобы показать, как составлять этот план, рассмотрим несколько более сложных примеров.

Пример:

Разложить на множители многочлен

Решение:

Мы видим, что если из суммы первых двух слагаемых вынести х у, в скобке останется х + у. Попробуем сгруппировать остальные слагаемые так, чтобы х + у входило множителем в сумму слагаемых каждой группы. Мы видим, что «хорошей» в этом
смысле группой является сумма при вынесении из нее за скобку в скобке останется х + у. Остается группа слагаемых Если в этой группе вынести за скобку z, то в скобке oстанется т. е. квадрат суммы (х + у). Итак,

Первый множитель можно разложить дальше, воспользовавшись способом группировки:

Пример:

Решение:

Здесь прежде всего бросается в глаза, сходство с кубом суммы или разности чисел , х и 1. Однако это сходство обманчиво— знаки не те! Поэтому следует искать другой прием. Например, хорошо сгруппировать вместе крайние члены и 1 и средние — , ибо содержит , множитель x + l по формуле суммы кубов, и тот же множитель х + 1 обнаруживается в ; посредством вынесения за скобку. Итак,

Пример:

Решение:

Здесь целесообразно член разбить на сумму двух членов и Действительно, тогда сумма первых трех членов, а также взятая с обратным знаком сумма последних трех представится в виде квадратов, и после этого останется применить формулу для разложения разности квадратов. Осуществим этот план:

Пример:

Решение:

Сравнивая результаты, мы видим, что разлагается на два множителя:. В этом можно убедиться и непосредственно:

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Пример:

Разложить на множители

Решение:

В последних двух примерах разложение удается посредством преобразования в разность квадратов. рода выражения называются неполными квадратными трехчленами, хотя на самом деле они состоят только из двух слагаемых. Например, неполные трехчлены.

Для разложения квадратного трехчлена на множители можно рекомендовать два способа, которые мы рассмотрим на решении одного примера.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Способ 1. Рассмотрим тождество

которое легко проверяется. Действительно,

Из этого тождества следует, что если мы сумеем разложить коэффициент при х на сумму двух слагаемых а и b так, чтобы произведение ab этих слагаемых равнялось свободному члену, то нам удастся найти разложение трехчлена на множители.

В нашем примере в качестве таких слагаемых можно взять 5 и —3. Тогда

Способ 2. В данном трехчлене выделим полный квадрат суммы посредством следующего рассуждения. Заметим, что есть квадрат числа х. Примем х за первое слагаемое. Рассмотрим затем следующий член 2х как удвоенное произведение первого слагаемого х на второе. Очевидно, что за второе слагаемое s нужно принять 1. Затем добавляем квадрат этого второго слагаемого и, чтобы равенство не нарушилось, сразу его отнимаем. Получим

Дальнейшее ясно: и следовательно,

Во втором способе, в отличие от первого, мы не прибегаем к подбору. Мы собираем все члены, содержащие х, в выражение, имеющее вид полного квадрата, и затем, если это возможно, пользуемся
формулой для разложения разности квадратов.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Если коэффициент при отличен от 1, следует предварительно вынести его за скобку.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Второй способ, кроме этого, дает возможность выяснить вопрос о том, разлагается квадратный трехчлен на множители или нет. Именно, если число, остающееся после выделения полного квадрата суммы или разности из квадратного трехчлена, не является квадратом со знаком минус, то трехчлен не может быть разложен на множители.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Этот трехчлен на множители не разлагается.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Разложение на множители тоже невозможно.

Оба приема разложения можно применять к трехчленам, содержащим, кроме выбранной главной буквы, также и другие буквы.

Пример:

Разложить на множители

Решение:

Дополнение к разложению многочленов на множители

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Разложение квадратного трёхчлена на множители 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Объяснение нового способа разложения квадратного трёхчлена на множители

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если – корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

, где – старший коэффициент, – корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение – квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство верности теоремы на примере

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если – корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если – корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Проверка верности теоремы для любого уравнения

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

, а мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Формулировка новой теоремы

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Решение задач

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Способ 1

Поскольку – корни уравнения, то – это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Способ 2

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если – корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Дальше разложим трёхчлен на множители , т. е. для решения нам необходимы корни , для этого нам необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

, необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

равна 0?

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Для того чтобы найти значения p, нам необходимо решить следующее уравнение

. Однако не забудьте, что записать необходимые значения p мы можем не просто после решения данного уравнения, поскольку они должны как минимум существовать, это значит, что должно выполняться неравенство .

Попробуем сразу подобрать первый корень уравнения по теореме Виета:

, отсюда видно, что , для того чтобы проверить правильность корней, проверяем их по теореме Виета: . Мы определили, что или , поэтому эти цифры становятся для нас подозрительными, т. е. теми, что могут удовлетворять нашему условию.

Проверим, что подходит для нас, поскольку , такая система может существовать, поэтому из второго уравнения получаем следующее: .

Таким же образом проверим : , где мы сразу видим, что не имеет корней, таким образом даём ответ на поставленный вопрос: При значении параметра , сумма корней квадратного уравнения равна 0.

Выводы

Итак, мы вспомнили теорему Виета и рассмотрели тему «Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители» с её помощью, а также выяснили, что следующее применение теоремы Виета это вычисление всех выражений, которые зависят от суммы и произведения корней.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Вся элементарная математика (Источник).
Портал Естественных Наук (Источник).
Интернет-портал аКак? (Источник).

Домашнее задание

Разложите квадратные трёхчлены на множители: а) ; б) ; в) .
Сократите дроби: а) ; б) ; в) ;
№534, №538, №543 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Разложение квадратного трёхчлена на множители — формула, алгоритм, примеры

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта
Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители по теореме Виета
Примеры

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта

Данный алгоритм является универсальным. 2} = $$

$$ =-\frac{x-16}{x+2} = \frac{16-x}{x+2}$$

математических слов: линейная факторизация

индекс: нажмите на букву






индекс: предметные области

Линейная факторизация

Факторная форма полинома в каждый множитель которого является линейным полиномом.

Пример: линейный факторизация 2 х ³ – 6 х ² + 4 х 2 х ( х – 1)( х – 2).

эта страница обновлена 19 июля 17
Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления
написано, проиллюстрировано и создано Брюсом Симмонсом.
Copyright © 2000, Брюс Симмонс.
Все права защищены.

Запись многочлена как произведения линейных множителей

jpg»>

	Учебники по алгебре!

года.

Суббота, 24 сентября



	Дом
	Вычисления с отрицательными числами
	Решение линейных уравнений
	Системы линейных уравнений
	Решение линейных уравнений графически
	Алгебра Выражения
	Вычисление выражений и решение уравнений
	Правила дробей
	Факторинг квадратных трехчленов
	Умножение и деление дробей
	Деление десятичных дробей на целые числа
	Сложение и вычитание радикалов
	Вычитание дробей
	Факторизация многочленов по группировке
	Наклоны перпендикулярных линий
	Линейные уравнения
	Корни — Радикалы 1
	График линии
	Сумма корней квадратного числа
	Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
	Факторинг трехчленов со старшим коэффициентом 1
	Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
	Упрощение выражений с отрицательными показателями
	Решение уравнений 3
	Решение квадратных уравнений
	Графики родителей и семьи
	Сбор похожих терминов
	-й Корень
	Степень частного свойства показателей
	Сложение и вычитание дробей
	Проценты
	Решение линейных систем уравнений методом исключения
	Квадратичная формула
	Дроби и смешанные числа
	Решение рациональных уравнений
	Умножение специальных биномов
	Округление чисел
	Факторинг по группам
	Полярная форма комплексного числа
	Решение квадратных уравнений
	Упрощение сложных дробей
	Алгебра
	Общие журналы
	Операции с числами со знаком
	Умножение дробей в общем
	Разделение многочленов
	Многочлены
	Высшие степени и переменные показатели
	Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
	Написание рационального выражения в минимальных терминах
	Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
	Решение линейных уравнений
	Квадрат бинома
	Свойства отрицательных показателей
	Обратные функции
	дроби
	Вращение эллипса
	Умножение чисел
	Линейные уравнения
	Решение уравнений с одним логарифмическим членом
	Объединение операций
	Эллипс
	Прямые линии
	Графическое отображение неравенств с двумя переменными
	Решение тригонометрических уравнений
	Сложение и вычитание дробей
	Простые трехчлены как произведения двучленов
	Соотношения и пропорции
	Решение уравнений
	Умножение и деление дробей 2
	Рациональные числа
	Разница двух квадратов
	Факторизация многочленов по группировке
	Решение уравнений, содержащих рациональные выражения
	Решение квадратных уравнений
	Деление и вычитание рациональных выражений
	Квадратные корни и действительные числа
	Порядок действий
	Решение нелинейных уравнений подстановкой
	Формулы расстояния и средней точки
	Линейные уравнения
	Графики с использованием точек пересечения x и y
	Свойства показателей степени
	Решение квадратных уравнений
	Решение одношаговых уравнений с использованием алгебры
	Относительно простые числа
	Решение квадратного неравенства с двумя решениями
	Квадратика
	Операции над радикалами
	Факторизация разности двух квадратов
	Прямые линии
	Решение квадратных уравнений методом факторинга
	Графики логарифмических функций
	Упрощение выражений, включающих переменные
	Добавление целых чисел
	Десятичные числа
	Разложение на множители полностью общих квадратных трехчленов
	Использование шаблонов для умножения двух двучленов
	Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями
	Рациональные показатели
	Горизонтальные и вертикальные линии

Выражение
Уравнение
Неравенство
Contact us

Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM

Solve
Graph
System

Solve
Graph
System

Math solver on ваш сайт

Наших пользователей:

Эта версия справки по алгебре потрясающая! Улучшенный интерфейс, лучшие подсказки и удобство работы. На самом деле, я улучшил свою алгебру от провала с тех пор, как начал ее использовать.
Джонсон, Нью-Йорк

Я никогда не видел ничего подобного! Шаг за шагом я изучаю сложную алгебру вместе с моими детьми!
Брайан Т. Гомес, SD

У моей дочери дислексия, и у нее всегда были проблемы с математикой. Ваша программа дала ей необходимые объяснения и пошаговые инструкции, чтобы не только выжить по математике в 11 классе, но и преуспеть в ней. Спасибо.
МБ, Иллинойс

Как мать, которая одновременно является научным сотрудником и президентом компании (мы делаем ранние анализы ADME Tox для лекарств — индустрия открытий), я очень беспокоюсь о математическом образовании моей дочери. Ваша программа по алгебре очень помогла ей. Его терпеливые, полные объяснения были почти такими же, как у профессионального репетитора, но гораздо более удобными и, разумеется, менее дорогими.
Паола Рэнди, IN

Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь.

Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 07.06.2009:

бесплатный тренировочный тест sat9 для пятого
первичные 6 тренировочных тестов ks2
графических целых чисел на числовой прямой
ПРЕОБРАЗОВАТЬ ДРОБИ В ДЕСИМЕЛЬНЫЕ
техасский калькулятор эмулятор pocketpc
квадратичная формула + интерактивная
рабочих листов для детей KS2
примеров в линейных уравнениях инвестиционных задач
Комбинация перестановок для чайников
упростить дроби с помощью «c-программирования»
бесплатных печатных листов по круговым диаграммам
умножение и деление степени онлайн работа
Алгебра Программы
бесплатный урок математики 8-й
листы с простыми дробями
ks3 тест по алгебре
рабочие листы для печати по дистрибутивной собственности
как записать смешанные числа в процентах
комбинирование похожих терминов, рабочий лист
печатных тестовых вопросов для GED
двухшаговые уравнения для печати
taks научные модели бумаги для 5-х классов
найти закрытый ключ апплета d rsa
самый простой способ выучить и понять алгебру
история о-уровня прошлых документов
полезный тест штата Нью-Йорк для 6 класса по математике 206
правильные, неправильные дроби для первоклассников
бесплатных количественных упражнений GMAT
сложение положительных и отрицательных целых чисел, рабочий лист
онлайн факторинг
n-й корень на калькуляторе ti83
ПРИМЕР УРАВНЕНИЯ, КОТОРОЕ ЛЕГЧЕ РЕШИТЬ В КАЧЕСТВЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ, А НЕ ЗНАКА РАДИКАЛА
Рабочий лист по умножению на решетке 4 класс
мод функция в TI 83
Джеймс Бреннан «Алгебра»
выражение формы квадратный корень a
Идеальная таблица квадратного корня
несколько уравнений, пересекающих ось x
листов для печати по математике ged
Рабочие листы по неравенству
тригонометрические ответы онлайн
Калькулятор программирует формулу квадрата
большой общий делитель
Предварительная алгебра Учебник для коррекции учебника
Алгебра/Макдугал-Литтел
калькулятор неявного дифференцирования
Решение уравнений с 3 переменными — Сравнение
примеров математических мелочей
квадратных корней для детей
вопросников кумон для стандартного
буквальное уравнение помощь
Рабочий лист умножения дробей
примеров математики мелочи математика
BOOLean упрощенный калькулятор
бесплатная предварительная алгебра
бревно основание 2 ти-83
«диаграмма Смита» программа TI 89
упрощение и факторизация многочленов
excel формула квадратное уравнение
процентные формулы
распечатки на сатинированной бумаге kS2
база апплета журнала 10
саксонская алгебра 2 книга ответы
БЕСПЛАТНЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ ДЛЯ 10-ГО КЛАССА
одновременное программирование уравнений на TI-83 плюс
интеграл от деления полинома
веселье камней глава 12 вопросы и ответы
макдугал литтел алгебра 2 тесты с отличием
Полином «Интегрированная математика Merrill»
вопросов по английскому языку
texas tools Ti 81 против Ti82
свободных рабочих листов с квадратным корнем
Найдите идеальный квадрат
Решатель уравнений для программ-калькуляторов
бесплатных печатных листов для колледжа
дискриминант для решения физических задач
решатель задач по алгебре
научный калькулятор casio скачать для mac
средний уровень алгебры на линейных упражнениях
алгебра для чайников+pdf
ответов, которые я могу получить за домашнее задание по математике в строке
нелинейное уравнение Matlab
l. c.m расчет в java
сложение и вычитание радикалов
преобразовать смешанное число в десятичное
Наибольший общий делитель
комбинация перестановок Matlab
Математика 9 класса
Рабочие листы треугольника
онлайн
лист сложения и вычитания отрицательных и положительных чисел
специальные значения таблицы триггеров
бесплатно онлайн 9 класс математика
бесплатные уроки алгебры — это легко
неравенств линейных полиномиальных по 1 переменной по 2 переменным
математика + площадь + ks2
образец статьи по математике для линейных уравнений
квадратичная формула ти-89калькулятор как
таблицы умножения/листы для печати
практический тест для 7 класса по математике для шлюза в грузии бесплатно

Калькулятор факторинга

Базовый калькулятор

Калькулятор факторинга

Найдите коэффициенты:

Ответ:

10 множителей числа 48:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Пары множителей числа 48:

1 × 48 = 48
2 × 24 = 48
3 × 16 = 48
4 × 12 = 48
6 × 8 = 48

Как этот калькулятор может быть лучше?

Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.

Получить виджет для этого калькулятора

Поделитесь этим калькулятором и страницей

Калькулятор Использование

Калькулятор факторинга находит факторы и пары факторов положительного или отрицательного числа. Введите целое число, чтобы найти его множители.

Для положительных целых чисел калькулятор будет представлять только положительные множители, потому что это обычно принятый ответ. Например, вы получаете 2 и 3 как пару множителей из 6. Если вам также нужны отрицательные множители, вам нужно будет продублировать ответ самостоятельно и повторить все множители как отрицательные, такие как -2 и -3, как еще одну пару множителей из 6. , С другой стороны, этот калькулятор даст вам отрицательные коэффициенты для отрицательных целых чисел. Например, -2 и 3 И 2 и -3 являются парами множителей -6.

Факторы — это целые числа, которые перемножаются для получения другого числа. Исходные числа являются факторами номера продукта. Если a x b = c, то a и b являются множителями c.

Допустим, вы хотите найти множители числа 16. Вы найдете все пары чисел, которые при умножении дают 16. Мы знаем, что 2 и 8 являются делителями 16, потому что 2 x 8 = 16. 4 является делителем 16, потому что 4 x 4 = 16. Также 1 и 16 являются делителями 16, потому что 1 x 16 = 16. Делители 16 равны 1, 2, 4, 8, 16.

Вы также можете думать о множителях с точки зрения деления: множители числа включают все числа, которые без остатка делятся на это число без остатка. Рассмотрим число 10. Поскольку 10 делится без остатка на 2 и 5, вы можете заключить, что и 2, и 5 являются множителями 10.

В таблице ниже перечислены множители для чисел 3, 18, 36 и 48. Важно отметить что каждое целое число имеет по крайней мере два делителя: 1 и само число. Если число имеет только два делителя, то это число является простым числом.

Примеры списков факторов

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

4 901 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Как разложить числа на множители: Факторизация

Этот калькулятор умножает числа на множители на пробное деление. Выполните следующие действия, чтобы использовать пробное деление для нахождения множителей числа.

Найдите квадратный корень из целого числа n и округлить до ближайшего целого числа. Назовем это число с .
Начните с числа 1 и найдите соответствующую пару множителей: n ÷ 1 = и . Итак, 1 и n являются парой множителей, потому что при делении получается целое число с нулевым остатком.
Проделайте то же самое с числом 2 и продолжите проверку всех целых чисел ( n ÷ 2, № ÷ 3, n ÷ 4… n ÷ s ) вверх через квадратный корень, округленный до с . Запишите пары множителей, в которых в результате деления получаются целые числа с нулевым остатком.
Когда вы достигнете n ÷ s и вы записали все пары множителей, вы успешно разложили число на множители п .

Пример факторизации с использованием Trial Division

Коэффициенты 18:

Квадратный корень из 18 равен 4,2426, округлен до ближайшего целого числа 4
Проверяя целые числа от 1 до 4 на деление на 18 с остатком 0, мы получаем следующие пары множителей: (1 и 18), (2 и 9), (3 и 6). Делители числа 18 равны 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Факторы отрицательных чисел

Вся приведенная выше информация и методы обычно применимы к разложению на множители отрицательных чисел. Просто обязательно следуйте правилам умножения и деления отрицательных чисел, чтобы найти все множители отрицательных чисел. Например, коэффициенты -6 равны (1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3). См. Калькулятор решения математических уравнений и раздел, посвященный Правила операций умножения.

Связанные факторинговые калькуляторы

См. наш Калькулятор общих факторов, чтобы найти все факторы набора чисел и узнать, какие из них являются общими.

Калькулятор наибольшего общего делителя находит наибольший общий делитель (НОД) или наибольший общий делитель (НОД) набора чисел.

См. Калькулятор наименьшего общего знаменателя для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей, целых и смешанных чисел.

Подпишитесь на CalculatorSoup:

Cancelling linear factors calculator

Expression
Equation
Inequality
Contact us

Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM

Solve
Graph
System

Решить
График
Система

Математический решатель на вашем сайте

Наших пользователей:

Я использовал вашу программу для подготовки к экзамену по алгебре. Мне очень нравится пошаговый процесс решения и пояснения.
Кен Роджерс, Лос-Анджелес.

Я использовал Алгебратор, и это очень помогло. Я нахожу это очень полезным в качестве проверки против моих проблем. Я решаю их вручную, а затем использую для проверки своей работы.
Марк Хансен, Иллинойс

В тот день ко мне пришел мой сын, и он попросил купить ему программу под названием «Алгебратор», он сказал мне, что все его друзья в школе используют ее, я думал, что это как и другие программы, дорогой и бесполезный инструмент, но это оказалось довольно неожиданно. Большое спасибо!
Бад Пиппин, Юта

Ваша программа меня спасла Это действительно что-то. Спасибо.
Мигель Сан-Мигель-Гонсалес, Ларедо, инт. Университет

Я хотел бы поблагодарить создателя за подготовку такого потрясающего программного обеспечения. Это сделало алгебру простой, предоставляя экспертную помощь с дробями и уравнениями.
CB, Оклахома

Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 22 июля 2014 г.:

Тест Пифагора по математике Онтарио
квадратичная парабола
Примеры текстовых задач на линейные дифференциалы первого порядка
Рабочий лист вероятностей Макгроу-Хилла
нахождение неизвестной переменной в показателе степени
создание игр с линейными уравнениями
Шпаргалка «Тест анализа уравнений»
бесплатный онлайн калькулятор алгебры
ca Государственный испытательный образец пятого класса
алгебра найдите размер прямоугольника, который будет иметь максимальную площадь словесные задачи
бесплатных рабочих листов по алгебре — третий класс
Поэма о математике
бесплатных ответов по алгебре
свойства логарифмов на ti 83
упростить подкоренные выражения + калькулятор
где найти журнал на калькулятор Ти-83
построение полярных точек ti89
9 класс ТАКС Математика
рабочие листы по математике для детей бесплатно онлайн 8-9
ti89 калькулятор для бесплатного использования онлайн
Бесплатные рабочие листы ks2 по математике для печати
Тригонометрические ответы
Matlab преобразовать основание счисления
сделать лагранжиан на калькуляторе
«Бесплатный» онлайн-калькулятор квадратичных биномов
простой рациональный casio
решатель стандартных форм
переменных в радикальной форме
одновременных квадратных уравнений
рабочих листов по расширению перевода для начального возраста
Метод Рунга Кутте второго порядка в Matlab
объяснение коэффициента ks2
Калькулятор факторизации рациональных выражений
алгебра для чайников
книга учета затрат
прошлые экзамены по математике ks3
бесплатных рабочих листов по преалгебре
заполнение квадрата для чайников
как решать неоднородные уравнения 2-го порядка
ЖК-рабочие листы
многоразовые диаграммы
техасская алгебра один гленко глава восьмая
тренировочный склон glencoe/mcgraw-hill
план урока по десятичным дробям, дробям и процентам
Тригономические функции
программа алгебры
испытательная практика калифорнийской звезды для печати
объединение однородных терминов деятельности
«векторная механика» динамика + программы ти-89
Калькулятор от наименьшего к наибольшему
бесплатный алгебраический калькулятор онлайн
умножение рациональных выражений, содержащих многочлены
Упрощение радикальных выражений
целых рабочих листов для 8 класса
мостов к алгебре
Вопросы на логическое мышление для 4-го классаi рабочие листы по математике калифорнийский стандарт
математический коэффициент масштабирования
графические уравнения параболы бесплатно
gcse математические листы факторизация
бесплатных тестов и уроков по математике для 9-го класса
Онлайн-руководство по вычитанию трехзначных чисел
Уклон Математическое слово Задача
решать квадратные уравнения, находя квадратные корни
Калькулятор полиномиальных уравнений
Техасская книга по геометрии ответ
Научная книга McDougal Littell для девятиклассников
ti89 функция хевисайда
онлайн обучение алгебре
найти корни 3 степени
основы концептуальной физики ответы
Экзаменационные работы по математике A Plus
быстро выучить алгебру
алгебра II помощь
бесплатные листы с задачами по геометрии для 7 класса
softmath. com
т-89 онлайн калькулятор
многочленов Для чайников
математический уклон рабочий лист
тест по алгебре
заказанные парные рабочие листы 4 класс
интегрировать комплексные числа на TI-89
«Рабочие листы по английскому языку 3 класс»,
разминка для урока экспоненты
как поместить задачи истории в квадратное уравнение
факторинг биномов лист
как вычислить доли окружности в алгебре

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 18188

Навыки развития

Вычисление многочлена с помощью теоремы об остатках.
Используйте теорему о факторах для решения полиномиального уравнения.
Используйте теорему о рациональных нулях, чтобы найти рациональные нули.
Найдите нули полиномиальной функции.
Используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти полиномы с заданными нулями.
Используйте правило знаков Декарта.
Решение реальных приложений полиномиальных уравнений

Новая пекарня предлагает расписные торты для детских дней рождений и других праздников. Пекарня хочет, чтобы объем маленького пирога составлял 351 кубический дюйм. Торт имеет форму прямоугольного твердого тела. Они хотят, чтобы длина торта была на четыре дюйма больше ширины торта, а высота торта составляла одну треть его ширины. Какими должны быть размеры формы для торта?

Эту задачу можно решить, написав кубическую функцию и решив кубическое уравнение для объема торта. В этом разделе мы обсудим различные инструменты для записи полиномиальных функций и решения полиномиальных уравнений.

В предыдущем разделе мы научились делить многочлены. Теперь мы можем использовать полиномиальное деление для вычисления многочленов, используя теорему об остатках . Если полином делится на \ (x – k \), остаток можно быстро найти, вычислив полиномиальную функцию в \ (k \), то есть \ (f (k) \). Давайте пройдемся по доказательству теоремы.

Напомним, что алгоритм деления утверждает, что для полиномиального делимого $f(x)$ и ненулевого полиномиального делителя $d(x)$, где степень $d(x)$ равна меньшей или равной степени $f(x)$, существуют уникальные полиномы $q(x)$ и $r(x)$ такие, что

\[f(x)=d (x)q(x)+r(x)\]

Если делитель $d(x)$ равен $x−k$, это принимает вид

\[f(x) =(x−k)q(x)+r\]

Поскольку делитель $x−k$

линейный, остаток будет константой, $r$. И если мы оценим это для $x=k$, мы получим

\[\begin{align} f(k)&=(k−k)q(k)+r \\ &=0{\cdot}q(k)+r \\ &=r \end{align }\]

Другими словами, $f(k)$ — это остаток от деления $f(x)$ на $x−k$.

Теорема об остатках:

Если многочлен $f(x)$ делится на $x−k$, то остаток равен $f(k)$.

Учитывая полиномиальную функцию $f$, оцените $f(x)$ в точке $x=k$, используя теорему об остатках.

Используйте синтетическое деление, чтобы разделить многочлен на $x−k$. 92+2x−7\) в точке $x=2$.

Решение

Чтобы найти остаток с помощью теоремы об остатках, используйте синтетическое деление, чтобы разделить полином на $x−2$.

\[ 2 \begin{array}{|ccccc} \; 6 & −1 & −15 & 2 & −7 \\ \text{} & 12 & 22 & 14 & 32 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{ccccc} 6 & 11 & \ ; 7 & \;\;16 & \;\; 25 \end{array} \]

Остаток равен 25. Следовательно, $f(2)=25$.

Анализ 92+2\) в точке $x=−3$.

Ответить: $f(-3)=-412$

Факторная теорема — еще одна теорема, которая помогает нам анализировать полиномиальные уравнения. Он говорит нам, как нули полинома связаны с факторами. Напомним, что алгоритм деления.

\[f(x)=(x−k)q(x)+r\]

Если $k$ равно нулю, то остаток $r$ равен $f(k)= 0$ и $f (x)=(x−k)q(x)+0$ или $f(x)=(x−k)q(x)$.

Заметьте, что в такой форме $x−k$ является множителем $f(x)$. Мы можем заключить, что если $k$ является нулем $f(x)$, то $x−k$ является множителем $f(x)$.

Аналогично, если $x−k$ является множителем $f(x)$, то оставшаяся часть алгоритма деления $f(x)=(x−k)q(x)+r $ равно $0$. Это говорит нам о том, что $k$ является нулем.

Эта пара импликаций и есть факторная теорема. Как мы вскоре увидим, многочлен степени $n$ в комплексной системе счисления будет иметь $n$ нулей. Мы можем использовать теорему о факторах, чтобы полностью разложить многочлен на произведение $n$ множителей. После того, как многочлен был полностью факторизован, мы можем легко определить нули многочлена.

ТЕОРЕМА ФАКТОРА

Согласно теореме о факторах, $k$ является нулем $f(x)$ тогда и только тогда, когда $(x−k)$ является множителем $f (Икс)$.

: Имея множитель $k$ и многочлен третьей степени, используйте теорему о множителях, чтобы разложить многочлен на множители

Используйте синтетическое деление, чтобы разделить многочлен на $(x−k)$.
Подтвердите, что остаток равен $0$.

Запишите полином как произведение $(x−k)$ и квадратного частного. 92-х+30\). Найдите оставшиеся факторы. Используйте коэффициенты, чтобы определить нули полинома .
Решение:
Мы можем использовать синтетическое деление, чтобы показать, что $(x+2)$ является фактором многочлена.
\[ -2 \begin{массив}{|cccc} \; 1 & −6 & −1 & 30 \\ \text{} & -2 & 16 & -30 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 1 & -8 & \; 15 & \;\;0 \end{массив} \]
Остаток равен нулю, поэтому $(x+2)$ является множителем многочлена. Мы можем использовать алгоритм деления, чтобы записать полином как произведение делителя и частного: 92−4x−16\), учитывая, что $(x−2)$ — множитель полинома.
Ответить
Нули равны 2, –2 и –4.
Другое применение теоремы об остатках — проверка того, является ли рациональное число нулем для данного многочлена. Но сначала нам нужен пул рациональных чисел для проверки. Теорема о рациональных нулях помогает нам сузить число возможных рациональных нулей, используя соотношение множителей постоянного члена и множителей старших коэффициент многочлена
Рассмотрим квадратичную функцию с двумя нулями, $x=\frac{2}{5}$ и $x=\frac{3}{4}$. По теореме о факторах с этими нулями связаны множители. Примем каждый фактор равным 0, а затем построим исходную квадратичную функцию без коэффициента растяжения.
Обратите внимание, что два множителя постоянного члена, 6, являются двумя числителями исходных рациональных корней: 2 и 3. Точно так же два множителя из старшего коэффициента, 20, являются двумя знаменателями из исходные рациональные корни: 5 и 4. 9{n−1}+…+a_1x+a_0\) имеет целые коэффициенты, то каждый рациональный нуль $f(x)$ имеет вид $\frac{p}{q}$, где $ p$ является фактором постоянного члена $a_0$ и $q$ является фактором старшего коэффициента $a_n$.
Когда старший коэффициент равен 1, возможные рациональные нули являются множителями постоянного члена.
: Учитывая полиномиальную функцию $f(x)$, используйте теорему о рациональном нуле, чтобы найти рациональные нули.
Определить все множители постоянного члена и все множители старшего коэффициента. 92−4\).
Решение:
Единственными возможными рациональными нулями $f(x)$ являются частные множителей последнего члена, -4, и множителей старшего коэффициента, 2.
Постоянный член равен –4; множители –4 равны $p=±1,±2,±4$.
Старший коэффициент равен 2; множители 2 равны $q=±1,±2$.
Если какие-либо из четырех действительных нулей являются рациональными нулями, то они будут иметь один из следующих множителей -4, разделенных на один из множителей 2.
\[\dfrac{p}{q}=±\dfrac{1}{1},±\dfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \frac{p}{q}=±\dfrac{2}{1},±\dfrac{2}{2} \; \; \; \; \; \; \dfrac{p}{q}=±\dfrac{4}{1},±\dfrac{4}{2}\]
Обратите внимание, что $\frac{2}{2}=1$ и $\frac{4}{2}=2$, которые уже были перечислены. Поэтому мы можем сократить наш список.
\[\dfrac{p}{q} = \dfrac{\text{Факторы последнего}}{\text{Факторы первого}}=±1,±2,±4,±\dfrac{1} {2}\]
Пример $\PageIndex{4}$: использование теоремы о рациональных нулях для нахождения рациональных нулей 92−4x+1\).
Решение:
Теорема о рациональном нуле говорит нам, что если $\frac{p}{q}$ является нулем $f(x)$, то $p$ является множителем 1 и $q$ является множителем 2.
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{множитель\пространство\пространственная постоянная\пространственный член}{множитель\пространство\начальный пробел\коэффициент пробела}\]
\[=\dfrac{фактор\пространство\пространство 1}{фактор\пространство\пространство 2}\]
Коэффициенты 1 равны ±1, а коэффициенты 2 равны ±1 и ±2. Возможные значения для $\frac{p}{q}$ равны ±1 и $±\frac{1}{2}$. Это возможные рациональные нули функции. Мы можем определить, какие из возможных нулей являются фактическими нулями, подставив эти значения вместо $x$ в $f(x)$. 92+2х+1\).
Ответить
Нет рациональных нулей.
Теорема о рациональном нуле помогает нам сократить список возможных рациональных нулей для полиномиальной функции. Как только мы это сделали, мы можем повторно использовать синтетическое деление для определения всех нулей полиномиальной функции.
: Учитывая полиномиальную функцию $f$, используйте синтетическое деление, чтобы найти ее нули.
Используйте теорему о рациональных нулях, чтобы перечислить все возможные рациональные нули функции.
Используйте синтетическое деление для оценки заданного возможного нуля путем синтетического деления кандидата на многочлен. Если остаток равен 0, кандидат является нулем. Если остаток не равен нулю, кандидат отбрасывается.
Повторите второй шаг, используя частное, полученное при синтетическом делении. Если возможно, продолжайте, пока частное не станет квадратичным.
Найдите нули квадратичной функции. Три возможных метода решения квадратичных уравнений: разложение на множители, завершение квадрата и использование квадратичной формулы. 93−3x−1\).
Решение:
Теорема о рациональном нуле говорит нам, что если $\dfrac{p}{q}$ является нулем $f(x)$, то $p$ является множителем из –1 и $q$ является множителем 4.
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{фактор\пространство\пространственная постоянная\пространственный терм}{множитель\пространство\ведущий пробел \пространственный коэффициент}\]
\[=\dfrac{фактор\пространство\пространство -1}{фактор\пространство\пространство 4}\]
Коэффициенты –1 равны ±1, а коэффициенты 4 равны ±1, ±2 и ±4. Возможные значения для $\dfrac{p}{q}$: $±1$,$±\dfrac{1}{2}$ и $±\dfrac{1}{4} $. Это возможные рациональные нули функции. Мы будем использовать синтетическое деление для оценки каждого возможного нуля, пока не найдем тот, который дает остаток 0. Легко определить, является ли 1 нулем: просто сложите коэффициенты каждого члена. Если результат равен 0, $x=1$ является нулем. Начнем с 1. 92\]
Мы уже знаем, что 1 — это ноль. Другой нуль будет иметь кратность 2, потому что множитель возводится в квадрат. Чтобы найти другой ноль, мы можем установить коэффициент равным 0,
.
\[2x+1=0\]
\[х=-\dfrac{1}{2}\]
Нули функции равны 1 и $−\frac{1}{2}$ с кратностью 2.
Анализ
Посмотрите на график функции $f$ на рисунке $\PageIndex{1}$. Обратите внимание, что в точке $x = −0,5$ график отскакивает от оси x, указывая на четную кратность (2,4,6…) для нуля −0,5. В точке $x=1$ график пересекает ось x, указывая нечетную кратность (1,3,5…) для нуля $x=1$.
Рисунок $\PageIndex{1}$.
Теперь, когда мы можем найти рациональные нули для полиномиальной функции, мы рассмотрим теорему, в которой обсуждается количество комплексных нулей полиномиальной функции. Основная теорема алгебры говорит нам, что каждая полиномиальная функция имеет по крайней мере один комплексный нуль. Эта теорема является основой для решения полиномиальных уравнений.
Предположим, что $f$ полиномиальная функция четвертой степени и $f (x)=0$. Основная теорема алгебры утверждает, что существует по крайней мере одно комплексное решение, назовем его $c_1$. По теореме о факторах мы можем записать $f(x)$ как произведение $x−c_1$ и полиномиального частного. Поскольку $x−c_1$ является линейным, полиномиальное частное будет иметь третью степень. Теперь применим основную теорему алгебры к полиномиальному фактору третьей степени. У него будет хотя бы один комплексный ноль, назовем его $c_2$. Таким образом, мы можем записать многочленное частное как произведение $x−c_2$ и нового многочленного частного степени два. Продолжайте применять основную теорему алгебры, пока не найдете все нули. Их будет четыре, и каждый даст множитель $f(x)$.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Основная теорема алгебры утверждает, что если $f(x)$ является полиномом степени $n > 0$, то $f(x) $ имеет хотя бы один комплексный нуль.
Мы можем использовать эту теорему, чтобы доказать, что если $f(x)$ является полиномом степени $n > 0$, а $a$ является ненулевым действительным числом, то $f (x)$ имеет ровно $n$ линейных множителей
\[f(x)=a(x−c_1)(x−c_2)…(x−c_n)\]
, где $c_1,c_2$,…,$c_n$ — комплексные числа. Следовательно, $f(x)$ имеет $n$ комплексных корней, если учесть кратности. 92+х+3\).
Решение:
Теорема о рациональном нуле говорит нам, что если $\frac{p}{q}$ является нулем $f(x)$, то $p$ является множителем 3 и $q$ является множителем 3.
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{фактор\пространство\пространственная постоянная\пространственный член}{фактор\пространство\ведущий пробел\ пространственный коэффициент}\]
\[=\dfrac{фактор\пространство\пространство 3}{фактор\пространство\пространство 3}\]
Коэффициенты 3 равны ±1 и ±3. Возможные значения для $\dfrac{p}{q}$ и, следовательно, возможные рациональные нули для функции равны ±3,±1 и $±\dfrac{1}{3}$. Мы будем использовать синтетическое деление для оценки каждого возможного нуля, пока не найдем тот, который дает остаток 0. Начнем с -3. 9{rd}\) полинома степени, мы ищем максимальное количество точек поворота. Таким образом, конечное поведение увеличения без ограничения вправо и уменьшения без ограничения влево будет продолжаться. Таким образом, показаны все x-перехваты для функции. Таким образом, либо кратность $x=−3$ равна 1 и есть два комплексных решения, что мы и нашли, либо кратность в точке $x=−3$ равна трем. В любом случае, наш результат правильный.
Рисунок $\PageIndex{2}$. 92−11x+4\).
Ответить
Нули равны $–4$, $\frac{1}{2}$ и $1$.
Жизненно важным следствием Фундаментальной теоремы алгебры , как мы заявили выше, является то, что полиномиальная функция степени $n$ будет иметь $n$ нулей в множестве комплексных чисел, если мы допускаем кратности . Это означает, что мы можем разложить полиномиальную функцию на $n$ множителей. Теорема о линейной факторизации утверждает, что полиномиальная функция будет иметь то же количество множителей, что и ее степень, и что каждый множитель будет иметь вид $(x−c)$, где $c$ — комплексное число.
Пусть $f$ полиномиальная функция с вещественными коэффициентами, и предположим, что $a + bi$, $b≠0$, является нулем $f(x)$. Тогда по теореме о факторах $x−(a+bi)$ является фактором $f(x)$. Чтобы $f$ имел действительные коэффициенты, $x−(a−bi)$ также должен быть фактором $f(x)$. Это верно, потому что любой множитель, кроме $x-(a-bi)$, при умножении на $x-(a+bi)$ оставит в произведении мнимые компоненты. Только умножение с сопряженными парами устранит мнимые части и даст действительные коэффициенты. Другими словами, если полиномиальная функция $f$ с действительными коэффициентами имеет комплексный нуль $a +bi$, то комплексно-сопряженная функция $a−bi$ также должна быть нулем функции $f(x )$. Это называется Комплексно-сопряженная теорема .
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННАЯ ТЕОРЕМА
Согласно теореме о линейной факторизации, полиномиальная функция будет иметь такое же количество множителей, как и ее степень, и каждый множитель будет иметь форму $(x−c)$ , где $c $ — комплексное число.
Если полиномиальная функция $f$ имеет вещественные коэффициенты и комплексный нуль в форме $a+bi$, то комплексно-сопряженный нуль, $a−bi$, также является нулем.
: Имея нули полиномиальной функции $f$ и точку $(c, f(c))$ на графике $f$, используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти полином функция.
Используйте нули для построения линейных множителей многочлена.
Умножьте линейные коэффициенты, чтобы расширить полином.
Подставьте $(c,f(c))$ в функцию, чтобы определить старший коэффициент.
Упростить.
Пример $\PageIndex{7}$: использование теоремы о линейной факторизации для нахождения полинома с заданными нулями , $i$, такие, что $f(−2)=100$. 92−5x+30\]
Анализ
Мы обнаружили, что и $i$, и $−i$ были нулями, но нужно было указать только один из этих нулей. Если $i$ является нулем полинома с действительными коэффициентами, то $−i$ также должен быть нулем полинома, потому что $−i$ комплексно сопряжено с $i$ .
Если бы $2+3i$ было задано как нуль многочлена с вещественными коэффициентами, то должно ли $2−3i$ также быть нулем?
Да. Когда любое комплексное число с мнимой составляющей задается как ноль многочлена с действительными коэффициентами, сопряженное число также должно быть нулем многочлена. 92−2x+10\)
Существует простой способ определить возможное количество положительных и отрицательных действительных нулей для любой полиномиальной функции. Если многочлен записать в порядке убывания, Правило знаков Декарта говорит нам о связи между количеством изменений знака в $f(x)$ и количеством положительных действительных нулей. Например, полиномиальная функция ниже имеет одну смену знака.
Это говорит нам о том, что функция должна иметь 1 положительный действительный нуль. 9{n−1}+…+a_1x+a_0\) — полиномиальная функция с действительными коэффициентами:
Количество положительных действительных нулей либо равно количеству перемен знака $f(x)$, либо меньше числа перемен знака на четное целое число.
Количество отрицательных действительных нулей либо равно количеству изменений знака $f(−x)$, либо меньше числа изменений знака на четное целое число.
Пример $\PageIndex{8}$: Использование правила знаков Декарта 92+4x−12 \end{выравнивание} \]
Опять же, есть две смены знака, поэтому отрицательных действительных корней либо 2, либо 0.
Как видно из таблицы $\PageIndex{1}$, есть четыре возможности.
Таблица $\PageIndex{1}$
Положительные действительные нули Отрицательные действительные нули Сложные нули Всего нулей
2 2 0 4
2 0 2 4
0 2 2 4
0 0 4 4
Анализ
Мы можем подтвердить количество положительных и отрицательных действительных корней, изучив график функции. 2−15x+12\). Используйте график, чтобы проверить количество положительных и отрицательных действительных нулей для функции.
Ответить
Должно быть 4, 2 или 0 положительных действительных корней и 0 отрицательных действительных корней. График показывает, что существует 2 положительных действительных нуля и 0 отрицательных действительных нулей.
Теперь мы представили множество инструментов для решения полиномиальных уравнений. Давайте воспользуемся этими инструментами для решения задачи о пекарне с самого начала раздела.
Пример $\PageIndex{9}$
Решение полиномиальных уравнений
Новая пекарня предлагает расписные торты для детских дней рождений и других праздников. Пекарня хочет, чтобы объем маленького пирога составлял 351 кубический дюйм. Торт имеет форму прямоугольного твердого тела. Они хотят, чтобы длина торта была на четыре дюйма больше ширины торта, а высота торта составляла одну треть его ширины. Какими должны быть размеры формы для торта?
Решение:
Начните с написания уравнения для объема торта. Объем прямоугольного тела определяется выражением $V=lwh$. Нам было дано, что длина должна быть на четыре дюйма больше ширины, поэтому мы можем выразить длину торта как $l=w+4$. Нам было дано, что высота торта составляет одну треть ширины, поэтому мы можем выразить высоту торта как $h=\dfrac{1}{3}w$. Запишем объем торта через ширину торта. 92−1053\) Вычтите 1053 с обеих сторон.
Правило знаков Декарта говорит нам, что есть одно положительное решение. Теорема о рациональном нуле говорит нам, что возможными рациональными нулями являются $\pm 1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351,$ и $±1053\ ). Мы можем использовать синтетическое деление, чтобы проверить эти возможные нули. Только положительные числа имеют смысл в качестве размеров торта, поэтому нам не нужно проверять отрицательные значения. Давайте начнем с тестирования значений, которые имеют наибольший смысл в качестве размеров небольшого листового пирога. Торт шириной в 1 дюйм маловероятен, и, складывая коэффициенты, мы видим, что 1 не является решением.
Мы будем использовать синтетическое деление для проверки \(x=3$.
Поскольку 3 тоже не решение, проверим $x=9$.
Синтетическое деление дает в остатке 0, поэтому 9 является решением уравнения. Мы можем использовать отношения между шириной и другими размерами, чтобы определить длину и высоту формы для выпечки.
$l=w+4=9+4=13$ и $h=\dfrac{1}{3}w=\dfrac{1}{3}(9)=3$
противень для кекса должен иметь размеры 13 дюймов на 9 дюймов на 3 дюйма
$\PageIndex{7}$
Транспортный контейнер в форме прямоугольного тела должен иметь объем 84 кубических метра. Клиент сообщает производителю, что из-за содержимого длина контейнера должна быть на один метр больше ширины, а высота должна быть на один метр больше, чем удвоенная ширина. Каковы должны быть размеры контейнера?
Ответить
3 метра на 4 метра на 7 метров
Носители
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с нулями полиномиальных функций.
Вещественные нули, множители и графики полиномиальных функций
Теорема комплексной факторизации
Найти нули полиномиальной функции
Нахождение нулей полиномиальной функции 2
Нахождение нулей полиномиальной функции 3
Чтобы найти $f(k)$, определите остаток многочлена $f(x)$ при делении на $x−k$. Это известно как теорема об остатках. См. пример $\PageIndex{1}$.
Согласно теореме о факторах, $k$ является нулем $f(x)$ тогда и только тогда, когда $(x−k)$ является фактором $f(x)$. См. Пример$\PageIndex{2}$.
Согласно теореме о рациональном нуле каждый рациональный нуль полиномиальной функции с целыми коэффициентами будет равен множителю постоянного члена, деленному на множитель старшего коэффициента. См. Пример $\PageIndex{3}$ и Пример $\PageIndex{4}$.
Когда старший коэффициент равен 1, возможные рациональные нули являются множителями постоянного члена.
Синтетическое деление можно использовать для нахождения нулей полиномиальной функции. См. пример $\PageIndex{5}$.
Согласно основной теореме, каждая полиномиальная функция степени больше 0 имеет по крайней мере один комплексный нуль (имейте в виду, что действительные числа являются комплексными числами). См. пример $\PageIndex{6}$., а также примеры $\PageIndex{2}$, $\PageIndex{4}$ и $\PageIndex{5}$.
С учетом кратностей полиномиальная функция будет иметь столько же множителей, сколько и ее степень. Каждый фактор будет иметь вид $(x−c)$, где $c$ — комплексное число. См. пример $\PageIndex{7}$.
Количество положительных вещественных нулей полиномиальной функции либо равно количеству перемен знака у функции, либо меньше числа перемен знака на четное целое число.
Количество отрицательных действительных нулей полиномиальной функции либо равно количеству перемен знака $f(−x)$, либо меньше числа перемен знака на четное целое число. См. пример $\PageIndex{8}$.
Полиномиальные уравнения моделируют многие сценарии реального мира. Синтетическое деление часто можно использовать для решения уравнения. См. пример $\PageIndex{9}$.
Правило знаков Декарта
правило, которое определяет максимально возможное количество положительных и отрицательных действительных нулей на основе количества изменений знака $f(x)$ и $f(−x)\ )

Факторная теорема
\(k$ является нулем полиномиальной функции $f(x)$ тогда и только тогда, когда $(x−k)$ является множителем $f( x)$

Основная теорема алгебры
Полиномиальная функция степени больше 0 имеет хотя бы один комплексный нуль.
Теорема о линейной факторизации
С учетом кратностей полиномиальная функция будет иметь столько же множителей, сколько и ее степень, и каждый множитель будет иметь вид $(x−c)$, где $c\ ) — комплексное число.
Теорема о рациональном нуле
Возможные рациональные нули полиномиальной функции имеют вид \(\frac{p}{q}$, где $p$ — множитель постоянный член, а $q$ является множителем старшего коэффициента.
Теорема об остатках
Если многочлен $f(x)$ делится на $x−k$, то остаток равен значению $f(k)$
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Лицензия
CC BY-NC-SA
Показать страницу TOC
да
Включено
да
Теги
расчет: да
Извлечение сигналов, устойчивых к количеству электродов и смещению, для одновременного и пропорционального миоэлектрического контроля в режиме онлайн с помощью алгоритмов факторизации
. 2014 май; 22(3):623-33.
doi: 10.1109/ТНСРЕ.2013.2282898. Epub 2013 10 октября.
Сильвия Мучели, Нин Цзян, Дарио Фарина
PMID: 24132017
DOI: 10.1109/ТНСРЭ.2013.2282898
Сильвия Мучели и др. IEEE Trans Neural Syst Rehabil Eng. 2014 май.
. 2014 май; 22(3):623-33.
doi: 10.1109/ТНСРЕ.2013.2282898. Epub 2013 10 октября.
Авторы
Сильвия Мучели, Нин Цзян, Дарио Фарина
PMID: 24132017
DOI: 10. 1109/ТНСРЭ.2013.2282898
Абстрактный
Предыдущие исследования предлагали извлечение сигналов миоэлектрического контроля путем линейной факторизации записей многоканальной электромиограммы (ЭМГ) мышц предплечья. В этой статье дополнительно анализируется теоретическая основа уменьшения размерности сигналов ЭМГ высокой плотности от мышц предплечья. Более того, это показывает, что факторизация паттернов мышечной активации в весах и сигналах активации с помощью неотрицательной матричной факторизации (NMF) является надежной по отношению к конфигурации канала, из которой получаются сигналы ЭМГ. Сигналы поверхностной ЭМГ высокой плотности были зарегистрированы от мышц предплечья шести человек. Веса и сигналы активации, извлеченные в автономном режиме из 10 конфигураций каналов с различными номерами каналов (6, 8, 16, 19).2 канала) были очень похожи. Кроме того, метод оказался устойчивым к смещениям электродов как в поперечном, так и в продольном направлении по отношению к мышечным волокнам. Во втором эксперименте шесть испытуемых напрямую использовали сигналы активации, извлеченные из ЭМГ высокой плотности, для онлайн-задач целенаправленного управления, включающих одновременное и пропорциональное управление двумя степенями свободы запястья. Веса синергии для этой контрольной задачи были извлечены из эталонной конфигурации, а сигналы активации были рассчитаны онлайн из эталонной конфигурации, а также из двух смещенных конфигураций, имитирующих сдвиг электрода. Несмотря на сдвиг электрода, скорость выполнения задачи, время выполнения задачи и эффективность выполнения, как правило, статистически не отличались среди конфигураций электродов. Онлайн-производительность также была в основном одинаковой при использовании 6, 8 или 16 каналов EMG. Устойчивость метода к количеству и расположению каналов, доказанная как в офлайн, так и в онлайне, указывает на то, что сигналы ЭМГ, записанные от мышц предплечья, могут быть аппроксимированы линейными мгновенными смесями сигналов активации, и оправдывает использование алгоритмов линейной факторизации для извлечения в минимально контролируемым образом, управляющие сигналы для одновременного управления протезом с несколькими степенями свободы.
Похожие статьи
Требуется ли точное сопоставление сигналов ЭМГ с кинематикой для точного миоэлектрического контроля в режиме онлайн?
Цзян Н., Вуяклия И., Ребаум Х., Грайманн Б., Фарина Д. Цзян Н и др. IEEE Trans Neural Syst Rehabil Eng. 2014 май; 22(3):549-58. doi: 10.1109/ТНСРЕ.2013.2287383. Epub 2013 25 октября. IEEE Trans Neural Syst Rehabil Eng. 2014. PMID: 24235278
Надежное извлечение базисных функций для одновременного и пропорционального миоэлектрического контроля с помощью разреженной неотрицательной матричной факторизации.
Линь С., Ван Б., Цзян Н., Фарина Д. Лин С и др. Дж. Нейронная инженерия. 2018 апр; 15 (2): 026017. дои: 10.1088/1741-2552/аа9666. Дж. Нейронная инженерия. 2018. PMID: 256
Карты поверхностной ЭМГ высокой плотности от мышц плеча и предплечья.
Рохас-Мартинес М., Маньянас М.А., Алонсо Х.Ф. Рохас-Мартинес М. и соавт. J Neuroeng Rehabil. 2012 10 декабря; 9:85. дои: 10.1186/1743-0003-9-85. J Neuroeng Rehabil. 2012. PMID: 23216679 Бесплатная статья ЧВК.
Повышение устойчивости к смещению электродов ЭМГ высокой плотности для миоэлектрического контроля за счет общих пространственных паттернов.
Пан Л., Чжан Д., Цзян Н., Шэн С., Чжу С. Пан Л. и др. J Neuroeng Rehabil. 2015 2 декабря; 12:110. дои: 10.1186/с12984-015-0102-9. J Neuroeng Rehabil. 2015. PMID: 26631105 Бесплатная статья ЧВК.
Извлечение нейронной информации из поверхностной ЭМГ для управления протезами верхних конечностей: новые направления и проблемы.
Фарина Д., Цзян Н., Ребаум Х., Холобар А., Грайманн Б., Дитл Х., Ашманн О.К. Фарина Д. и др. IEEE Trans Neural Syst Rehabil Eng. 2014 июль; 22 (4): 797-809. дои: 10.1109/ТНСРЕ.2014.2305111. Epub 2014, 11 февраля. IEEE Trans Neural Syst Rehabil Eng. 2014. PMID: 24760934 Обзор.
Посмотреть все похожие статьи
Цитируется
Уменьшение количества электродов ЭМГ при онлайн-классификации жестов рук с изменением положения запястья.
Пелаес Мурсьего Л., Хенрих М.С., Спайч Э.Г., Досен С. Пелаес Мурсьего Л. и др. J Neuroeng Rehabil. 2022 21 июля; 19(1):78. doi: 10.1186/s12984-022-01056-w. J Neuroeng Rehabil. 2022. PMID: 35864513 Бесплатная статья ЧВК.
Анализ распознавания жестов рук в реальном времени с помощью временных сверточных сетей.
Цинганос П., Янсен Б., Корнелис Дж., Скодрас А. Цинганос П. и соавт. Датчики (Базель). 2022 22 февраля; 22 (5): 1694. дои: 10.3390/s22051694. Датчики (Базель). 2022. PMID: 35270841 Бесплатная статья ЧВК.
Нейронные механизмы ловкости рук.
Собинов А.Р., Бенсмая С.Ю. Собинов А.Р. и соавт. Нат Рев Нейроски. 2021 дек; 22(12):741-757. doi: 10.1038/s41583-021-00528-7. Epub 2021 28 октября. Нат Рев Нейроски. 2021. PMID: 34711956 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.
Сколько мышц? Поиск оптимального набора мышц для оптимизации производительности Myocontrol.
Камарделла С., Джуната М., Це К.С., Фрисоли А., Тонг Р.К. Камарделла С. и др. Front Comput Neurosci. 2021 7 октября; 15:668579.
No related posts.