Примеры вычисления производной функции: Примеры вычисления производных

Оглавление

Пример 1 Дано: 

Найти .

Зафиксируем точку  и найдем значение производной от конкретной функции в конкретной точке. Действуем по алгоритму.

1)Вычисляем значение . Иллюстрируем все это графиком.

Рис. 1. Кубическая парабола.

Зафиксировав точку , вычислим значение функции в этой точке. Получим .

2) Даем аргументу приращение  ,получаем   — новое значение аргумента.

Примечание. В данном случае приращение положительное. Можно дать приращение отрицательное, тогда функция будет либо увеличиваться, либо уменьшаться. Важно, что –любое.

3) Вычислить значение функции в новой точке , подставив эту точку в функцию.

.

4) Найдем , то есть разность между значением функции в новой точке минус значение функции в старой точке.

.

Имеем две точки: значение аргумента  и значение функции в точке , новое значение аргумента и значение функции при новом значении аргумента. Разность этих значений функции дает .

5) Найдем разностное отношение

.

Знаменатель для всех функций один и тот же, — приращение аргумента, а числитель – свой для каждой функции. Получили разностное отношение. Далее надо упростить его, сократить на  и сделать дальнейший анализ.

Упрощать в данном случае можно по-разному. Можно применить формулу или куб суммы, или разность кубов. Напомним, что

. В данном случае  — это ,  — это . Имеем

Раскрывая скобки, получили многочлен. Приведем подобные члены. Дальше надо преобразовать так, чтобы  сократить. Вынесем за скобки, получим    Теперь можно сократить на , ведь , оно не равно нулю. Имеем соотношение следующего вида

. Осталось узнать, что происходит, когда . В данном случае второй член выражения  пропадет, и третий член пропадет. Останется , то есть .

Результат

, то есть смысл такой: 3 выносим как сомножитель и показатель уменьшили на единицу.

Итак, зафиксировали точку , нашли производную от конкретной функции в конкретной точке . Точка  может быть любая.

Ответ: .

Итак, мы зафиксировали функцию  — кубическую параболу. Была задача: найти производную этой функции в конкретной точке  . Мы зафиксировали точку  и действовали по алгоритму, который был изложен в общем виде, и применен к данной функции. Этот алгоритм можно применять к любой функции, а именно: вычислить значение функции в точке , подставив значение  в закон соответствия, то есть в функцию, дать приращение аргумента, найти значение функции при новом значении аргумента и получить приращение функции, то есть разность между  значениями функции в новой точке и старой. Далее, надо найти разностное отношение , упростить его так, чтобы вынести   за скобку и сократить на . В результате получится выражение, члены которого зависят от  и не зависят от него. Если члены, которые зависят от  прямо пропорциональны ему, то они при  стремятся к нулю, то есть пропадают. Остаются только члены, которые не зависят от . Таким образом получим значение производной.

Для знакомых с пределами  .

Важно понять, что есть члены с  члены  и члены без . При этом члены с  пропадают, остается то, что называется производной.

Итак, производная от кубической функции в любой точке  — это .

Возьмем конкретный пример.

Дано: 

Найти: , то есть конкретное значение функции в точке .

Решение.

1) Найти производную в любой точке . .

2) Найти . .

Физический и геометрический смысл решения задачи.

В момент , если двигаться (уезжать от дома) по закону , скорость равна 12. Если к этой кривой мы проведем касательную в точке , то эта касательная имеет угол наклона  (см.рис.2). Так вот . Это говорит о том, что угол довольно большой, так как  растет быстро (от дома мы уезжаем довольно быстро). Более того, чем дальше, тем быстрее скорость.

Рис. 2. Физический и геометрический смысл решения задачи.

Итак, рассмотрено подробное применение общего алгоритма нахождения производной для конкретной функции. Детализировано подробно каждое действие, решили одну из типовых задач, а именно, как находить значение производной функции в конкретной точке. Для этого нужно найти значение функции в произвольной точке, а потом найти значение производной в конкретной точке.

Диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние функ­ций «с нуля», т. е. ис­хо­дя из опре­де­ле­ния про­из­вод­ной и тео­рии пре­де­лов – вещи до­ста­точ­но тру­до­ём­кая. По­это­му ма­те­ма­ти­ки вы­чис­ли­ли про­из­вод­ные эле­мен­тар­ных функ­ций. По­лу­чи­лась таб­ли­ца про­из­вод­ных, где всё уже го­то­во.

Про­из­вод­ные неко­то­рых эле­мен­тар­ных функ­ций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Дано: 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство

Изоб­ра­зим гра­фик функ­ции:  (см. Рис. 1). За­фик­си­ру­ем точку  и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та . По­лу­ча­ем новое зна­че­ние ар­гу­мен­та  и, со­от­вет­ствен­но, новое зна­че­ние функ­ции . То есть при пе­ре­хо­де от зна­че­ния ар­гу­мен­та  к  зна­че­ния функ­ции из­ме­ня­ют­ся со­от­вет­ствен­но от  до  . Зна­че­ние функ­ции в новой точке равно .

По­лу­чи­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (вы­де­лен крас­ным цве­том), ка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся два при­ра­ще­ния – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та () и при­ра­ще­ние функ­ции (– раз­ность между зна­че­ни­ем функ­ции в новой точке и зна­че­ни­ем функ­ции в ста­рой точке).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Най­дём от­но­ше­ние :

Умно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на вы­ра­же­ние :

В чис­ли­те­ле по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние раз­но­сти квад­ра­тов:

Сле­до­ва­тель­но:

Про­ана­ли­зи­ру­ем дан­ное вы­ра­же­ние при :

 – про­из­воль­ное до­пу­сти­мое число, по­это­му:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

1. Най­дём про­из­вод­ную в любой точке :

2. Най­дём про­из­вод­ную в за­дан­ной точке:

Как из­вест­но, это зна­че­ние яв­ля­ет­ся тан­ген­сом угла на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­вой , про­ве­дён­ной в точке с абс­цис­сой 4 (см. Рис. 2):

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

Дано: 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство

На ри­сун­ке 3 по­ка­за­но, каким об­ра­зом ведёт себя функ­ция . За­фик­си­ру­ем точку  и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та . По­лу­ча­ем новое зна­че­ние ар­гу­мен­та (новую точку) . При пе­ре­хо­де от зна­че­ния ар­гу­мен­та  к  зна­че­ния функ­ции из­ме­ня­ют­ся со­от­вет­ствен­но от  до .

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Най­дём от­но­ше­ние :

Для упро­ще­ния этого вы­ра­же­ния ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти си­ну­сов:

При :

Объ­яс­ним это, рас­смот­рев три­го­но­мет­ри­че­ский круг с ра­ди­у­сом 1 и угол, рав­ный  (см. Рис. 4). Нам необ­хо­ди­мо найти длину дуги  и длину хорды .

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Длина дуги равна про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са на цен­траль­ный угол:

Ра­ди­ус равен 1, по­это­му длина дуги чис­лен­но равна цен­траль­но­му углу, ко­то­рый равен . Сле­до­ва­тель­но:

Хорда  со­сто­ит из двух ка­те­тов тре­уголь­ни­ков  и , ко­то­рые равны про­из­ве­де­нию ги­по­те­ну­зы (еди­ни­ца, так как это ра­ди­ус) на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла. Сле­до­ва­тель­но:

При  длина дуги стре­мит­ся к длине хорды:

То есть при ма­лень­ком угле дуга и хорда по длине нераз­ли­чи­мы.

Таким об­ра­зом, до­мно­жив вы­ра­же­ние  на 2, по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние , ко­то­рое есть от­но­ше­ние длины хорды к длине дуги:

Но так как , то:

Сле­до­ва­тель­но, при :

По­это­му:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

1. Най­дём про­из­вод­ную в любой точке :

2. Най­дём про­из­вод­ную в за­дан­ной точке:

Ответ: .

Дано: 

Найти: тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­вой  в точ­ках: а) ; б) ; в)

Ре­ше­ние

На ри­сун­ке 5 по­ка­за­на ил­лю­стра­ция к за­да­че. Изоб­ра­же­на си­ну­со­и­да, к точке кри­вой с абс­цис­сой  про­ве­де­на ка­са­тель­ная, ко­то­рая об­ра­зу­ет угол  с осью . Тан­генс дан­но­го угла необ­хо­ди­мо найти. Также необ­хо­ди­мо найти тан­генс угла, ко­то­рый об­ра­зо­вы­ва­ет­ся при пе­ре­се­че­нии оси абс­цисс с ка­са­тель­ной, про­ве­дён­ной к точке кри­вой с абс­цис­сой 0 и  .

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как , то:

а) Для точки  тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен:

б) Для точки  тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен:

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая , изоб­ра­жён­ная на ри­сун­ке 5, яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к си­ну­со­и­де в точке 0.

в) Для точки , тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен:

Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси .

Ответ: а) ; б) ; в) .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/algebra/10-klass/video/primery-vychisleniya-proizvodnyh-funktsiya-f-x-x-sup-3-sup-tipovye-zadachi

http://interneturok. ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/tablitsa-proizvodnyh-proizvodnye-trigonometricheskih-funktsiy-tipovye-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=fuCBw8gdRH8

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://www.absolom.ru/mathprofi/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi.html

2.6 Скорость изменения и производная – методы исчисления 1

Скорость изменения и производная

Когда мы введем понятие производной функции, мы увидим, что оно связано с известными понятиями из алгебры, такими как наклон и скорость изменения.

Нас часто интересует скорость изменений, таких как изменение численности населения, изменение концентрации лекарства в кровотоке, изменение дохода компании, изменение скорости автомобиля и т. д.

Следующий пример позволяет нам исследовать скорость изменения скорости падающего объекта.

Предположим, мы роняем помидор с крыши 100-футового здания и измеряем время его падения.

Подробное описание: Каждая точка имеет измерение времени в секундах, соответственно как 0, 0,5, 1,0, 1,5, 2 и 2,5.
На некоторые вопросы легко ответить прямо из таблицы:

1. Сколько времени потребовалось помидору, чтобы упасть на 100 футов? (2,5 секунды)
2. На какое расстояние упал помидор за первую секунду? (100 – 84 = 16 футов)
3. На какое расстояние упал помидор за последнюю секунду? (64 – 0 = 64 фута)
4. Как далеко помидор упал между [латекс]t = 0,5[/латекс] и [латекс]t = 1[/латекс]? (96 – 84 = 12 футов)

Некоторые вопросы требуют небольшого расчета:

5. Какова была средняя скорость помидора во время его падения? \[\text{Средняя скорость}=\frac{\text{расстояние падения}}{\text{общее время}}=\frac{\Delta\text{позиция}}{\Delta\text{время}}=\ frac{-100 \text{ ft}}{2.5 \text{ s}}=-40 \text{ ft/s}\]
6. Какова была средняя скорость между [latex]t=1[/latex] и [latex]t=2[/latex] секундами? \[\text{Средняя скорость}=\frac{\Delta\text{позиция}}{\Delta\text{время}}=\frac{36\text{фут}- 84\text{фут}}{2\ text{ s} – 1\text{ s}}=\frac{-48 \text{ ft}}{1 \text{ s}}=-48 \text{ ft/s}\]

Некоторые вопросы сложнее:

7. С какой скоростью падал помидор через 1 секунду после падения? Этот вопрос существенно отличается от двух предыдущих вопросов о средней скорости. Здесь мы хотим мгновенная скорость , скорость в момент времени. К сожалению, помидор не оснащен спидометром, поэтому нам придется дать приблизительный ответ. Одно грубое приближение мгновенной скорости через 1 секунду — это просто средняя скорость за все время падения, -40 футов/с. Но помидор падал медленно в начале и быстро ближе к концу, поэтому оценка «-40 футов/с» может быть или не быть хорошим ответом. Мы можем получить лучшее приближение мгновенной скорости при [латексе]t=1[ /latex] путем вычисления средних скоростей за короткий промежуток времени вблизи [latex]t = 1[/latex]. Средняя скорость между [латекс]t = 0,5[/латекс] и [латекс]t = 1[/латекс] составляет [латекс]\dfrac{-12\text{ футов}}{0,5\текст{с}} = — 24\text{ футов/с}[/latex], а средняя скорость между [latex]t = 1[/latex] и [latex]t = 1,5[/latex] равна [latex]\dfrac{-20\text { футов}}{0,5\текст{ с}} = -40\текст{ фут/с}[/латекс], поэтому мы можем быть достаточно уверены, что мгновенная скорость находится между -24 фут/с и -40 фут/с.

В целом, чем короче временной интервал, для которого мы вычисляем среднюю скорость, тем лучше средняя скорость будет аппроксимировать мгновенную скорость. Средняя скорость за интервал времени равна [latex]\dfrac{\Delta\text{position}}{\Delta\text{time}}[/latex], что представляет собой наклон секущей через две точки на график зависимости высоты от времени. Мгновенная скорость в определенное время и на определенной высоте представляет собой наклон касательной на графике в точке, заданной этим временем и высотой.

Подробное описание: На горизонтальной оси указано время в секундах. Вертикальная ось обозначена как высота в футах. Линия касается кривой в точке (0,5, 96) с меткой m = -24 фута/с. Пунктирная касательная показана в точке (1.0, 84) с меткой m = -40 ft/s.

Средняя против мгновенной скорости

Средняя скорость = [latex]\dfrac{\Delta\text{position}}{\Delta\text{time}}[/latex] = наклон секущей через 2 точки.

Мгновенная скорость = наклон касательной к графику.

Растущие бактерии

Предположим, мы настроили машину для подсчета количества бактерий, растущих на чашке Петри. Сначала бактерий мало, поэтому популяция растет медленно. Затем нужно разделить больше бактерий, чтобы популяция росла быстрее. Позже для растущей популяции становится больше бактерий и меньше места и питательных веществ, поэтому популяция снова растет медленно. Наконец, бактерии израсходовали большую часть питательных веществ, и их популяция сокращается по мере того, как бактерии умирают.

Подробное описание: пик кривой приходится приблизительно на (13, 5). Кривая помечена как бактерии. Горизонтальная ось простирается от 0 до 20 со временем метки в днях. Вертикальная ось простирается от 0 до 5 с количеством меток в тысячах.
График населения можно использовать для ответа на ряд вопросов.

1. Какова популяция бактерий в момент времени [latex]t = 3[/latex] дня? Судя по графику, в момент времени [latex]t = 3[/latex] популяция составляет около 0,5 тысячи, или 500 бактерий.
2. Каков прирост населения от [latex]t = 3[/latex] до [latex]t =10[/latex] дней? При [latex]t = 10[/latex] население составляет около 4,5 тысяч, поэтому прирост составляет около 4000 бактерий.
3. Какова скорость роста населения от [латекс]t = 3[/латекс] до [латекс]t = 10[/латекс] дней?Скорость роста от [латекс]t = 3[/латекс] до [latex]t = 10[/latex] — среднее изменение численности населения за это время:
   \[ \begin{align*}
   \text{среднее изменение численности населения }=& \frac{\text{изменение численности населения} }{\text{изменение во времени}}\\
   =& \frac{\Delta\text{население}}{\Delta\text{время}} \\
   =& \frac{4000\text{ бактерии}}{7\text{ дней}} \\
   \ приблизительно 570\text{ бактерий/день}.
   \end{align*} \]Это наклон секущей, проходящей через две точки (3, 500) и (10, 4500).
4. Какова скорость прироста населения на третий день при [latex]t = 3[/latex]? Этот вопрос касается мгновенной скорости изменения населения, наклон линии которой равен касательной к кривой населения в точке (3, 500). Если мы нарисуем линию, приблизительно касательную к кривой в точке (3, 500), и выберем две точки рядом с концами отрезка касательной, мы можем оценить, что мгновенная скорость роста популяции составляет примерно 320 бактерий/день.

Подробное описание: Пик кривой приходится приблизительно на (13, 5). Кривая помечена как бактерии. Горизонтальная ось простирается от 0 до 20 со временем метки в днях. Вертикальная ось простирается от 0 до 5 с количеством меток в тысячах. Показана касательная, проходящая через (3, 500) с меткой касательной m = 320/день. Секущая проходит через точки (3, 500) и (10, 4500) с меткой секущей m = 570/сут.

Касательные линии

Попробуйте это!

График ниже представляет собой график [латекс]у=f(х)[/латекс]. Мы хотим найти наклон касательной в точке (1, 2).

Подробное описание: График начинается с (1, 0) и увеличивается до максимума в (0,8, 2,1). Затем график уменьшается и достигает минимума в точке (2, -1), а затем график увеличивается до точки (2,6, 0,3).

Сначала проведите секущую между (1, 2) и (2, −1) и вычислите ее наклон. Примечание. Секущая — это прямая линия, соединяющая две точки на кривой. Теперь нарисуйте секущую между точками (1, 2) и (1,5, 1) и вычислите ее наклон.

Сравните две нарисованные линии. Что было бы лучшим приближением касательной к кривой в точке (1, 2)?

Теперь проведите секущую между (1, 2) и (1,3, 1,5) и вычислите ее наклон. Является ли эта линия еще лучшим приближением касательной?

Теперь нарисуйте касательную и измерьте ее наклон. Вы видите закономерность на склонах?

Вы должны были заметить, что по мере того, как интервал становился все меньше и меньше, секущая становилась ближе к касательной, а ее наклон приближался к наклону касательной. Это хорошая новость — мы знаем, как найти наклон секущей.

В некоторых приложениях нам нужно знать, где график функции [latex]f(x)[/latex] имеет горизонтальные касательные линии (наклоны = 0).

Пример 1

Ниже приведен график [латекс]у = г(х)[/латекс]. При каких значениях [latex]x[/latex] график [latex]g(x)[/latex] имеет горизонтальные касательные?

Подробное описание: График уменьшается, затем увеличивается, затем уменьшается, затем увеличивается, затем уменьшается.
2[/латекс] в точке (2,4).

Мы могли бы оценить наклон [latex]L[/latex] по графику, но не будем. Вместо этого мы воспользуемся идеей, что секущие через крошечные промежутки приближаются к касательной.

Подробное описание: ось x проходит от -1 до 3, а ось y проходит от 0 до 10. Показана касательная, проходящая через (2, 4). Показана секущая, проходящая через (2, 4) и (3, 9) с меткой m = 5.

Мы видим, что линия, проходящая через (2,4) и (3,9) на графике [latex]f[/latex] является аппроксимацией наклона касательной, и мы можем точно вычислить этот наклон : [латекс] м = \ гидроразрыва {\ Delta y} {\ Delta x} = \ гидроразрыва {9-4} {3-2} = 5 [/латекс]. Но [latex]m = 5[/latex] — это всего лишь оценка наклона касательной, а не очень хорошая оценка. Это слишком большое. Мы можем получить лучшую оценку, выбрав вторую точку на графике [latex]f[/latex], которая ближе к (2,4) — точка (2,4) фиксирована и должна быть одной из точек мы используем.

Из второго рисунка видно, что наклон линии, проходящей через точки (2,4) и (2,5,6,25), является лучшим приближением наклона касательной в точках (2,4): [латекс ]m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,25 — 4}{2,5 — 2} = \frac{2,25}{0,5} = 4,5[/latex], лучшая оценка, но все же приближение. Мы можем продолжать выбирать точки все ближе и ближе к (2,4) на графике [latex]f[/latex], а затем вычислять наклоны линий через каждую из этих точек и точку (2,4): 92[/латекс]

Мы можем легко вычислить этот предел с помощью прямой подстановки, обнаружив, что по мере того, как интервал [latex]h[/latex] сжимается до 0, наклон секущей приближается к наклону касательной, 4.

Задача касательной прямой и мгновенная проблема скорости — это та же проблема. В каждой задаче мы хотели знать, насколько быстро что-то было меняется в момент времени , и ответом оказалось нахождение наклона касательной , которую мы аппроксимировали наклоном секущей . Эта идея является ключом к определению наклона кривой.

Производная

Мы можем рассматривать производную по-разному. Вот три из них:

• Производная функции [latex]f[/latex] в точке (x, f(x)) представляет собой мгновенную скорость изменения.
• Производная — это наклон касательной к графику [latex]f[/latex] в точке [latex](x, f(x))[/latex].
• Производная — это наклон кривой [latex]f(x)[/latex] в точке [latex](x, f(x))[/latex].

Функция называется дифференцируемой в [латекс](х, f(х))[/латекс], если ее производная существует в [латекс](х, f(х))[/латекс].

Обозначение производной

Производная [латекс]у = f(x)[/латекс] по отношению к [латекс]х[/латекс] записывается как \[f'(x)\] ( читать вслух как «[latex]f[/latex] prime of [latex]x[/latex]») или \[y’\] (читать вслух как «почему Prime») или \[\frac{dy}{ dx}\] (читается вслух как «ди почему ди экс») или \[\frac{df}{dx}.\]

Обозначение, похожее на дробь, называется Обозначение Лейбница . Он отображает не только имя функции ([latex]f[/latex] или [latex]y[/latex]), но и имя переменной (в данном случае [latex]x[/latex]) . Это похоже на дробь, потому что производная — это наклон. На самом деле это просто [латекс]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], написанное латинскими буквами, а не греческими.

Глагольные формы

Мы находим производную функции, или взять производную функции, или продифференцировать функцию.

Мы используем адаптацию нотации [latex]\frac{df}{dx}[/latex] для обозначения «найти производную от [latex]f(x)[/latex]:» \[\frac{d }{dx}\left[f(x)\right]=\frac{df}{dx}.\] [В книге используются круглые скобки вместо квадратных скобок — обе формы записи допустимы.]

Формальная алгебраическая Определение

\[f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Практическое определение

Производную можно аппроксимировать, глядя на среднюю скорость изменения или наклон секущей на очень маленьком интервале. Чем меньше интервал, тем ближе он к истинной мгновенной скорости изменения, наклону касательной или наклону кривой.

Заглядывая вперед

Скоро у нас будут методы для вычисления точных значений производных по формулам. Если функция дана вам в виде таблицы или графика, вам все равно придется аппроксимировать таким образом.

Это основа нашего обсуждения деривативов. Примечательно, что такая простая идея (наклон касательной) и такое простое определение (для производной [латекс]f'(x)[/латекс]) приведут к столь многим важным идеям и приложениям.

Пример 3

Найдите наклон касательной к [latex]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] при [latex]x = 3[/latex].

Наклон касательной представляет собой значение производной [latex]f'(3)[/latex]. [latex]f(3)=\frac{1}{3}[/latex] и [latex]f(3+h)=\frac{1}{3+h}[/latex], поэтому, используя формальное предельное определение производной, \[ f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}. \]

Мы можем упростить, приведя дроби к общему знаменателю:
\[ \begin{align*}
\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{ 1}{3}}{h}=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}\cdot\frac{3}{3}-\frac{1} {3}\cdot\frac{3+h}{3+h}}{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{3}{9+3h}- \frac{3+h}{9+3h}}{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{3-(3+h)}{9+3h} }{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{3-3-h}{9+3h}}{h} \\
=& \lim\limits_{ ч \ до 0} \ гидроразрыва {\ гидроразрыва {-ч} {9+3h}}{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{-h}{9+3h}\cdot\frac{1}{h} \\
=& \lim \limits_{h\to 0}\frac{-1}{9+3h} \\
\end{align*} \] и оценка с использованием прямой замены: \[\lim\limits_{h\to 0}\ frac{-1}{9+3h}=\frac{-1}{9+3(0)}=-\frac{1}{9}.\]

Таким образом, наклон касательной к [ латекс]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] при [latex]x = 3[/latex] равно [latex]-\frac{1}{9}[/latex].

Производная как функция

Теперь мы знаем, как найти (или хотя бы приблизительно) производную функции для любого [latex]x[/latex]-значения; это означает, что мы также можем думать о производной как о функции. Входные данные те же самые [latex]x[/latex]; вывод представляет собой значение производной при этом значении [latex]x[/latex].

Пример 4

Ниже приведен график функции [latex]y=f(x)[/latex]. Мы можем использовать информацию на графике, чтобы заполнить таблицу со значениями [latex]f'(x):[/latex]

-ось простирается от 0 до 2. Максимум достигается в (1,1), а минимум достигается в (3, -1).
При различных значениях [latex]x[/latex] нарисуйте наиболее приближенную линию касательной и измерьте ее наклон. Возможно, вам придется расширить свои линии, чтобы вы могли прочитать некоторые моменты. В общем, ваша оценка наклона будет лучше, если вы выберете точки, которые легко читаются и находятся далеко друг от друга. Вот оценки для нескольких значений [latex]x[/latex] (части используемых касательных линий показаны выше на графике):

Таблица 2.8

[латекс]х[/латекс]	[латекс]y=f(x)[/латекс]	[latex]f'(x)=[/latex] расчетный наклон касательной к кривой в точке [latex](x,y)[/latex].
0	0	1
1	1	0
2	0	-1
3	-1	0
3,5	0	2

Мы также можем оценить значения [латекс]f'(x)[/латекс] при некоторых нецелочисленных значениях [латекс]х[/латекс]: [латекс]f'(0,5) \приблизительно 0,5[/латекс] и [латекс]f'(1,3) \приблизительно -0,3[/латекс].

Мы можем думать даже о целых интервалах. Например, если [латекс]0 \lt x \lt 1[/латекс], то [латекс]f(x)[/латекс] возрастает, все наклоны положительны, и поэтому [латекс]f'(x) [/латекс] положительный.

Значения [latex]f'(x)[/latex] определенно зависят от значений [latex]x[/latex], а [latex]f'(x)[/latex] является функцией [ латекс]х[/латекс]. Мы можем использовать результаты в таблице, чтобы набросать график [latex]f'(x). [/latex]

Подробное описание: ось x простирается от 0 до 5, а ось y простирается от -1 до 2. Метка на графике m(x) = наклон f(x).

Пример 5

Показан график высоты [латекс]h(t)[/латекс] ракеты в момент времени [латекс]t[/латекс].

Подробное описание: Ось X простирается от 0 до 10 и помечена как время в секундах. Вертикальная ось простирается от 0 до 300 и отмечена высотой в футах. График начинается с (0, 0) и достигает максимума в (5, 300), а затем уменьшается.
Нарисуйте график скорости ракеты в момент времени [latex]t[/latex]. (Скорость — это производная функции высоты, поэтому она представляет собой наклон касательной к графику положения или высоты.) Мы можем оценить наклон функции в нескольких точках. На нижнем графике ниже показана скорость ракеты. Это [латекс]v(t) = h'(t)[/латекс].

Подробное описание: Верхний график показывает, что сначала увеличивается, а затем уменьшается. Ось X простирается от 0 до 10. Вертикальная ось проходит от 0 до 300 и обозначается как рост в футах. График начинается с (0, 0) и достигает максимума в (5, 300), а затем уменьшается. На нижнем графике показана убывающая линия, проходящая через (5, 0). Вертикальная ось отмечена как скорость в футах в секунду. 92-4h}{h} \qquad \text{(Теперь упростим.)}\\
=& \lim\limits_{h\to 0} \frac{h(4x+2h-4)}{h} \qquad \text{(Убрать h, затем отменить.)} \\
=& \lim\limits_{h\to 0} (4x+2h-4)
\end{align*} \]
Мы можем найти предел этого выражения прямой подстановкой: \[ f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} (4x+2h-4)=4x-4\]

Обратите внимание, что производная зависит от [латекс] x,[/latex] и что эта формула сообщит нам наклон касательной к [latex]f[/latex] при любом значении [latex]x[/latex]. Например, если бы мы хотели узнать наклон касательной [латекс]f[/латекс] при [латекс]х = 3[/латекс], мы просто вычислили бы: [латекс]f'(3)=4(3) -4=8[/латекс].

Формула для производной функции очень мощная, но, как вы видите, вычисление производной с использованием определения предела занимает очень много времени. В следующем разделе мы определим некоторые шаблоны, которые позволят нам начать создавать набор правил для поиска производных без необходимости определения предела.

Интерпретация производной

До сих пор мы подчеркивали производную как наклон линии, касательной к графику. Эта интерпретация очень наглядна и полезна при изучении графика функции, и мы продолжим ее использовать. Однако производные используются в самых разных областях и приложениях, и в некоторых из этих областей используются другие интерпретации. Ниже приведены несколько интерпретаций производной, которые обычно используются.

Общее

Скорость изменения: [latex]f ‘(x)[/latex] — это скорость изменения функции в [latex]x[/latex]. Если единицами для [latex]x[/latex] являются годы, а единицами для [latex]f(x)[/latex] являются люди, то единицы для [latex]\frac{df}{dx}[/latex ] представляют собой [латекс]\frac{\text{люди}}{\текст{год}}[/латекс], скорость изменения численности населения.

Графический

Наклон: [латекс]f ‘(x)[/латекс] — это наклон линии, касательной к графику [латекс]f[/латекс] в точке [латекс]( х, f(x))[/латекс] .

Физическая

Скорость: Если [latex]f(x)[/latex] — это положение объекта в момент времени [latex]x[/latex], то [latex]f ‘(x)[/latex] ] — это скорость объекта в момент времени [латекс]х[/латекс]. Если единицами измерения [latex]x[/latex] являются часы, а [latex]f(x)[/latex] — расстояние, измеренное в милях, то единицы измерения для [latex]f ‘(x) = \frac{df} {dx}[/latex] — [латекс]\frac{\text{миль}}{\текст{час}}[/латекс], миль в час, что является мерой скорости.

Ускорение: если [latex]f(x)[/latex] — это скорость объекта в момент времени [latex]x[/latex], то [latex]f ‘(x)[/latex] — это ускорение объекта в момент времени [latex]x[/latex]. Если единицами измерения для [латекс]х[/латекс] являются часы, а [латекс]f(х)[/латекс] имеет единицы измерения [латекс]\фракция{\текст{мили}}{\текст{час}}[ /латекс], то единицы измерения ускорения [латекс]f ‘(x) = \frac{df}{dx}[/latex] равны [латекс]\frac{\text{мили/час}}{\text{ час}} =\frac{\text{миль}}{\текст{час}^2}[/латекс], мили в час в час.

Бизнес

Предельные затраты, предельный доход и предельная прибыль. Мы рассмотрим эти термины более подробно позже в этом разделе. По сути, предельные издержки равны примерно 90 253 дополнительным 90 254 затратам на создание еще одного объекта после того, как мы уже создали [латекс]x[/латекс] объектов. Если единицами измерения [латекс]x[/латекс] являются велосипеды, а единицами измерения [латекс]f(x)[/латекс] являются доллары, то единицы измерения [латекс]f ‘(x) = \frac{df} {dx}[/latex] равны [латекс]\frac{\text{доллары}}{\text{велосипед}}[/латекс], стоимость одного велосипеда.

В контексте бизнеса слово « предельный » обычно означает производную или скорость изменения некоторой величины.

Одной из сильных сторон исчисления является то, что оно обеспечивает единство и экономию идей среди различных приложений. Словарь и задачи могут быть разными, но идеи и даже обозначения исчисления по-прежнему полезны.

Пример 7

Предположим, что кривая спроса на виджеты имеет вид [latex]D(p)=\frac{1}{p}[/latex], где [latex]D[/latex] — количество виджетов тысячами по цене [латекс]п[/латекс] долларов. Интерпретируйте производную от [latex]D[/latex] по адресу [latex]p =[/latex]$3.

Обратите внимание, что мы рассчитали [латекс]D'(3)[/латекс] ранее как [латекс]D'(3)=-\frac{1}{9}\приблизительно -0,111[/латекс].

Поскольку [latex]D[/latex] имеет единицы тысячи виджетов , а единицы для [latex]p[/latex] — это цены в долларах, единицы для [latex]D'[/latex] будут [ латекс]\frac{\text{тысячи виджетов}}{\text{стоимость в долларах}}[/latex]. Другими словами, он показывает, как изменится спрос при повышении цены.

В частности, [латекс]D'(3)\приблизительно -0,111[/латекс] говорит нам, что при цене 3 доллара спрос будет уменьшают примерно на 0,111 тыс. штук на каждый доллар увеличения цены.

CoCalc — Differentiation Notes.sagews

Project: Math 241

Path: 05 — Differentiation Assignment/Differentiation Notes.sagews

Views: ²¹²⁰
License: OTHER
Изображение:

Ubuntu2004

| Встроить | Скачать | Raw

Этот материал был разработан Аароном Трешамом из Гавайского университета в Хило и
под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 4. 0 International License.

Предпосылки:

В прошлый раз мы видели, что наклон прямой, касательной к функции f(x)f(x)f(x) в точке (x0,f(x0))(x_0,f(x_0) )(x0​,f(x0​)) равно lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)- f(x_0)}{h}h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​.

Поскольку каждая точка на графике fff имеет свою касательную, наклон касательной может измениться. Чтобы отслеживать эти наклоны, мы определяем новую функцию, называемую «производной» от fff.

Другими словами, производная функции f(x)f(x)f(x), обозначаемая f′(x)f'(x)f′(x) или ddxf(x)\frac{d} {dx}f(x)dxd​f(x) дает наклон линии, касательной к fff в точке xxx. Замена x0x_0x0 на xxx в приведенном выше пределе приводит к следующей формуле для производной: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\ к 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

Примечание: наклон касательной также является (мгновенной) скоростью изменения функции. Таким образом, вы можете думать о производной f’f’f’ как о скорости изменения fff. 2f(x)=x2. 92 производная(f,x)(x=3)