Пример:2 Привести данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием координат:
Решение: Составим матрицу этой квадратичной формы:
Составим характеристическое уравнение:
Отсюда получаем: Корни характеристического уравнения:
Для система уравнений, из которой находятся собственные векторы, выглядит так:
Её фундаментальная система решений: Эти векторы не ортогональны друг другу, поэтому применим к нимпроцесс ортогонализации Шмидта. Положими подберёмтак, чтобы было выполнено условиеИмеем:т.е.Следовательно,
Запишем теперь систему уравнений для
Её ф.с.р. состоит из одного вектора: Этот вектор ортогонален векторами
Пронормируем
векторы
разделив каждый вектор на его длину.
Получим ортонормированный базис из
собственных векторов:
Матрица перехода от исходного базиса к новому базисуравна:
В новых координатах квадратичная форма будет иметь вид Старые координаты выражаются через новые следующим образом:
Обратные формулы:
т.е.
Упражнение 1.
Привести данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием координат средствами MATLAB (создать м-файл, определиться с входящими параметрами):
Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка
Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис ,и точка О – начало координат). Рассмотрим общее уравнение второго порядка:
.
Обозначим через сумму старших слагаемых:
и рассмотрим квадратичную форму . Её матрицасимметрическая.
В общем случае преобразование поворота осей координат
(6)
приведёт линию (5) к виду
. (7)
Обозначим ,.
кривая эллиптического типа | и разных знаков | эллипс | |
и одного знака | мнимый эллипс | ||
кривая гиперболического типа | гипербола | ||
пара пересекающихся прямых | |||
кривая параболического типа | и одного знака | пара мнимых параллельных прямых | |
и разных знаков | пара параллельных прямых | ||
пара совпадающих прямых | |||
парабола | |||
Пример 3:Определить вид и расположение кривой второго порядка
.
(8)
Решение. Слагаемые второго порядка в (8) составляют квадратичную форму
,
которую преобразование неизвестных по формулам
(9)
приводит к сумме квадратов
Тогда уравнение кривой (8) преобразованием (9) приведётся к виду
.
Здесь ,и, следовательно,, – кривая эллиптического типа.
Как при рассмотрении выше случая 1, соберём слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими:
, или
Полагаем и получим. Это уравнение эллипса с полуосямии центром в точке
Упражнение 2.
Продумать и решить
пример 3 средствами MATLAB.
Привести геометрическую иллюстрацию.
Критерий Сильвестра.
Определение: Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «» или «».
Определение: Квадратичная форма называется положительно определённой, если при всех за исключениемКвадратичная форма называется отрицательно определённой, если при всех
Теорема: Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов неизвестных с коэффициентами«+1»: Квадратичная форма является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда приводится к виду
Определение: Пусть– квадратичная форма с матрицей, .