Признаки делимости чисел: Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Содержание

Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • наибольший общий делитель пары чисел;
  • признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.

Глоссарий по теме

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.

Дополнительная литература:

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Целое число

Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.

Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.

Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).

Рисунок 1 – числовой луч

Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)

Рисунок 2 – числовой луч

Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).

Рисунок 3 – числовой луч

Делимость. Делитель и частное.

Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.

Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.

Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.

Свойства делимости.

Перечислим некоторые свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы – сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).

9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно простые числа.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.

НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

Делимость суммы и произведения.

Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.

1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.

2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.

3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.

4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.

5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.

6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.

Деление с остатком.

Натуральное число n можно представить в виде:

n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)

где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).

Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).

Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.

Алгоритм Евклида.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел

где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток rk)

ИЛИ(остаток rn)

ИЛИ (остаток 0)

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

Признаки делимости.

Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.

Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:

0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.

Таблица 1 – Признаки делимости

Число n

Число a делится на число n тогда и только тогда, когда

2

последняя цифра числа a делится на 2

3

сумма всех цифр числа a делится на 3

4

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4

5

число a оканчивается цифрой 0 или 5

7

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7

8

число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8

9

сумма всех цифр числа a делится на 9

10

число a оканчивается цифрой 0

11

знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11

13

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13

25

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.

Метод математической индукции для доказательства делимости.

Схема метода:

1. Базис индукции.

Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.

3. Шаг индукции (индукционный переход).

Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.

4. Вывод.

Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача №1

Условие:

Найдите среди чисел пары взаимно простых.

65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26

Решение:

Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.

По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.

По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.

По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.

По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.

Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.

Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.

Получим возможные пары:

(65; 14)

(30; 273) или (30; 1001)

(110; 1001) или (110; 273)

(35; 26)

Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.

Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.

Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.

Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.

Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).

Задача №2.

Условие:

Найдите НОД(2457, 1473).

Решение:

Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.

Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:

2457 = 1 · 1473 + 984

1473 = 1 · 984 + 489

984 = 2 · 489 + 6

489 = 81 · 6 + 3

6 = 3 · 2

Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.

Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.

Задача №3.

Условие:

Определите, делится ли число 17943646 на 7.

Решение:

Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.

Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.

Задача №4.

Условие:

Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.

Решение:

Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.

1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:

+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0

Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.

3. Рассмотрим выражение при n = k +1.

+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4

Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:

+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.

Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:

+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.

4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.

Признаки делимости чисел — правила и примеры решений

Для быстрого решения задач и примеров по математике необходимо знать признаки делимости натуральных чисел. Это правила, которые помогают быстро понять, кратно ли большое число заданному. Существуют признаки делимости простых чисел — 2, 3, 5, 7, 11 и составных, которыми являются 6, 12. Одни признаки делимости совсем простые, другие несколько сложнее. Эти свойства с примерами будут полезны и взрослым, уже подзабывшим курс математики, и школьникам.

Содержание

  • Дроби с кратными от 1 до 5
  • Свойства делителей от 6 до 10
  • Разрядные единицы
  • Делители от 11 и выше
  • Признак делимости на составное число
  • Таблица кратных от 2 до 10

Дроби с кратными от 1 до 5

На единицу делится любое целое число.

Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.

Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.

Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.

Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388. Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка. Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.

Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.

Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.

Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.

Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.

Свойства делителей от 6 до 10

Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.

Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.

Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.

Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:

  • 2*9=18.
  • 67−18=49.
  • 49:7=7.

Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.

В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:

  • 2*7=14.
  • 49−14=35.
  • 35:7=5.

Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.

Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.

Разрядные единицы

Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль. Еще примеры:

  • 4958700:100=49587.
  • 374000:1000=374.
  • 5781000:100=5781.
  • 97430:10=9743.

Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.

Делители от 11 и выше

Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.

Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.

Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:

  • 7+3=10,
  • 5+5=10,
  • 10−10=0.

Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:

  • 7+0+9=16.
  • 4+1=5.
  • 16−5=11.

В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:

  • 5+4+6=15.
  • 0+8=8.
  • 15−8=7.

Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.

Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.

Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.

Например, 6942:

  • 2*4=8.
  • 694+8=702.
  • 702:13=54.

Еще пример — 754:

  • 4*4=16.
  • 75+16=91.
  • 91:13=7.

Признак делимости на составное число

Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.

Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.

Таблица кратных от 2 до 10

Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:

Делимость на: Признак числа:
2 Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8
3 Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3
4 Две последние цифры делятся на 4
5 Окончание на 5 или 0
6 Одновременная кратность 2 и 3
8 Три последние цифры кратны 8
9 Сумма цифр кратна 3
10 Окончание равно нулю

Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.

Предыдущая

МатематикаКвадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения

Следующая

МатематикаБином Ньютона — формула, доказательство и примеры решения

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости.

  1. Делители и кратные
  2. Признаки делимости
  3. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
  4. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)

Сегодня мы расскажем про делители и кратные натуральных чисел. Вам будет интересно узнать про признаки делимости чисел и деление всех чисел на простые и составные. Мы рассмотрим разложение на простые множители и научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.

Делители и кратные

Предположим, у нас с вами есть 6 яблок, и мы хотим разделить их поровну между двумя нашими друзьями. Мы можем это сделать — каждый получит по три яблока. А между тремя? Тогда каждый получит по 2 яблока. А между четырьмя друзьями? Можно ли разделить поровну, в том смысле, чтобы каждый получил целое количество яблок? Нельзя! Шесть на четыре нацело не делится. Между пятью  тоже нельзя.

Всё просто. Шесть делится нацело на 1, 2, 3 и 6. Эти числа 1236 называются делителями числа 6. Они его делят нацело, а число 6, в свою очередь, делится на них нацело и называется кратным этим числам. Число 6 кратно одному, кратно двум, кратно трём и кратно 6.

Нетрудно заметить, что у любого натурального числа есть хотя бы как минимум два делителя — это единица и само это число, кроме единицы, потому что единица делится нацело только на единицу.

Делителем натурального числа А называется натуральное число, на которое А делится нацело.

Кратным числу А называется натуральное число, которое делится на А нацело.

Нетрудно заметить, что любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, наименьшее из которых — само это число.

Признаки делимости

Какие бывают признаки делимости натуральных чисел? Рассмотрим число 123456, можете сказать об этом числе по внешнему виду. Как по внешнему виду определить, на что можно разделить это число. Это и есть признаки делимости натуральных чисел

Признак делимости на 2

На 2делится любое натуральное число, запись которых заканчивается на 0, 2, 4, 6

Например, очень большое число 120345876568 точно делится на два, так как его запись оканчивается цифрой 8

Так же следует запомнить, что любое число, которое делится на 2, а также число, которое заканчивается либо на 0, либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, называются четным.

Любое число, которое не делится на два, то есть заканчивается либо на 1, либо на 3, либо 5, либо на 7 или 9, называется, соответственно, нечетным.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Число 156879 делится на 3, так как 1+5+6+8+7+9=36 делится на 3.

Признак делимости на 4

Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4.

Число 362836 делится на 4, так как последние 2 цифры образуют число 36, которое делятся на 4.

Признак делимости на 5

Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5.

Признак делимости на 6

Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6.

Признак делимости на 8

Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8.

Число 12586023064 делится на 8, так как последние 3 цифры образуют число 64, которое делятся на 8.

Признак делимости на 9

Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.

Признак делимости на 25

Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25.

Признак делимости на 10

Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10.

 

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители

Натуральное число называют простым, если оно имеет 2 делителя — единица и самое это число. То есть, если натуральное число не делится нацело ни на что, кроме как на единицу и на само это число, то такое число – простое.

Теперь, зная определение простых чисел, узнаем, какое существует наименьшее простое число. Единица? Нет, единица имеет только один делитель, а по определению простое число имеет два.

Наименьшее простое число — это 2. Оно делится на 2 и на 1. 2 — это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа – нечетные.

Но необязательно нечетное число является простым. Те числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными.

Куда отнести тогда единицу, спросите вы? Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.

Любое составное число можно представить в виде двух множителей, каждый из которых больше единицы.

Разложение натурального числа на простые множители:

Шаг 1.

Выберите число, которое необходимо разложить на простые множители

Шаг 2.

Убедитесь в том, что это число составное, то есть делится еще на какие-то числа, кроме единицы и самого себя. В этом вам помогут признаки делимости чисел.

Шаг 3. Нарисуйте схему, как на рисунке. У нас есть черта, слева от неё записываем числа, которые будут получаться в результате разложения, а справа нужные нам простые множители. Сразу проверяем, делится ли исходное число на 2. В нашем случае делится. Записываем 2 справа. Результат деления исходного числа на 2, а именно 142, записываем слева. Таким образом, мы проверяем каждый раз, на какие простые числа делится следующий результат деления. Когда получилось 71, проверяем, на какие простые числа делится 71. Число 71 не делится ни на что, кроме как на единицу и на само себя. Поэтому записываем число 71 справа, как простое число, а результат деления единицу записываем слева. Именно единицей должна оканчиваться любая схема разложения. Проверяем, чтобы справа были все простые числа. Получилось следующее разложение: 284 равно 2 * 2 * 71

 

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)

Для того чтобы усвоить данную тему, следует хорошо разобраться в том, как раскладывать число на простые множители.

Наибольшим общим делителем (НОД) называют наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

Как найти НОД? Для этого нужно выполнить два пункта:

1. Разложите два числа на простые множители

2. Найдите произведение общих делителей этих чисел

Наименьшим общим кратным (НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.

Как найти НОК двух чисел?

1. Разложите эти два числа на простые множители

2. Запишите разложение одного из этих чисел

3. Дописать в это разложение те множители другого разложения, которые еще не вошли в данное разложение, и вычислить произведение всех получившихся чисел.

Признаки делимости чисел (18 слайдов)

Слайд 1


Признаки делимости чисел
Выполнила: Стариннова Анастасия ученица 6 «а» класса Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна, учитель I квалификационной категории МАОУ СШ № 8 с.п. Новосмолинский

Слайд 2


На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 13 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач. Мы заинтересовались историей делимости чисел. Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?

Слайд 3


Цель: узнать, не выполняя деления, делится ли число на … Задачи: изучить историю математики о делимости чисел узнать признаки делимости на натуральные числа от 2 до 25

Слайд 4


История математики о делимости чисел
Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка.  Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду. Эратосфен (около 275–194 до н. э.) — один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами — ему принадлежат интересные исследования в области математики, астраномии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач. Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа. Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.  Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.

Слайд 5


Признак делимости на 4
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо число, которое делится на 4.

В остальных случаях – не делится. Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля. Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.
Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.

Слайд 6


Признак делимости на 6
Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится. Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3. Число 315 не может быть разделено на 6, в виду того, что оно не делится на 2, но делится на 3.

Слайд 7


Признак делимости на 7
Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7. Число 672 делится на 7, так как 67–(2*2)=63,число 63 делится на 7. Число 587 не делится на 7, так как 58-(7*2)=44, число 44 не делится на 7.

Слайд 8


Признак делимости на 8
Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится. Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями. Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8. Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8. Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.

Слайд 9


Признак делимости на 11
Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Разберемся на примере: Проверим, делится ли число 90 904 на 11 без остатка. 1. Вычислим сумму цифр на нечетных местах:9 + 9 + 4 = 22 2. Сумма цифр на четных местах:0 + 0 = 0 3.Вычислим разницу между суммами цифр, которые стоят на нечетных и четных местах.22 − 0 = 22 4. Проверим, делится ли число 22 на 11 без остатка.22 : 11 = 2 Значит число 90 904 делится на 11 без остатка.

Слайд 10


Признак делимости на 12
Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и делится на 4. Число 948 делится на 12, так как 9+4+8=21, 21 делится на 3 и 48 делится на 4. Число 548 не делится на 12, так как 5+4+8=17, 17 не делится на 3, а 48 делится на 4.

Слайд 11


Признак делимости на 13
Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры.  Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13. Число 5967 делится на 13, так как 596+(7*4)=624, 62+(4*4)=78, 7+(8*4)=39, 39 делится на 13.

Слайд 12


Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда когда, оно делится на 2 и на 7. Например: 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14. Признак делимости на 15 Число делится на 15, тогда когда это число делится на 3 и на 5. Число 885 делится на 15, так как это число делится на 5 и 8+8+5=21 делится на 3.

Слайд 13


Признак делимости на 16
1-й признак делимости на 16 Натуральное число делится без остатка на 16: — если последние четыре цифры в его записи образуют число, которое делится на 16; — если его запись оканчивается четырьмя нулями. 2-й признак делимости на 16 Натуральное число делится на 16 без остатка, если сумма — цифра из разряда тысяч, умноженная на 8, плюс цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 10, плюс цифра из разряда единиц, — делится на 16.

Слайд 14


Признак делимости на 17
Натуральное число  делится на 17, если разность — это число без его последней цифры минус его последняя цифра, умноженная на 5, — делится на 17. Признак делимости на 18 Число делится на 18 тогда, когда число делится на 2 и на 9. Число 702 делится на 18, так как это число делится на 2 и 7+0+2=9 делится на 9. Признак делимости на 19 Чтобы число делилось на 18 нужно: зачеркнуть последнюю цифру и к полученному числу прибавить число, равное удвоенной зачеркнутой цифре. Повторить до получения числа меньше 19. Число 893 делится на 18, так как 89+(3*2)=95, 9+(5*2)=19.

Слайд 15


Признак делимости на 20
Если запись натурального числа оканчивается цифрой нуль и предпоследняя цифра в записи — четная, то такое число делится без остатка на 20. Признак делимости на 21 Натуральное число делится на 21, если 1) сумма цифр этого числа делится на 3; 2) разность между числом без его последней цифры и удвоенной последней цифрой, делится на 7.

Слайд 16


Признак делимости на 22
Число делится на 22, если делится на 2 и на 11. Признак делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23. Признак делимости на 24 1-й признак делимости на 24 Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3 и три последние цифры в его записи образуют число, которое делится на 8.

Слайд 17


2-й признак делимости на 24 Натуральное число делится на 24, если сумма его цифр делится на 3, и сумма —  цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 2, плюс цифра из разряда единиц — делится на 8. Признак делимости на 25 Если запись натурального числа заканчивается следующими цифрами: 00, 25, 50 или 75, то такое число делится на 25 без остатка.

Слайд 18


Спасибо за внимание!

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Обыкновенные дроби
  5. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Вопрос: что такое признаки делимости чисел ?

Ответ: признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.

Знать эти признаки необходимо при решении многих арифметических задач.

 

Признак делимости на 10

Рассмотрим несколько чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, например,

60, 130, 2340

Каждое из этих чисел делится без остатка на 10

Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0.

60 : 10 = 6

130 : 10 = 13

2340 : 10 = 234

Вывод: любое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10

 

Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10 

Проверим это утверждение, например, на числе 234

234 : 10 = 23 целых в остатке 4

(неполное частное 23 и остаток 4 — последняя цифра в записи числа 234)

Вывод: если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.

 

Определение

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Если запись натурального числа оканчи­вается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Остаток в этом случае равен последней цифре в записи числа.

 

Обратим внимание на то, что число 10 = 2 · 5 (число 10 делится без остатка и на 2, и на 5).

Вывод: число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.

Например, 70 = 7 · 10 = 7 · (2 · 5) = (7 · 2) · 5 = 14 · 5, значит, 70 : 5 = 14.

А из того что 70 = 7 · (5 · 2) = (7 · 5) · 2 = 35 · 2, получаем, что 70 : 2 = 35.

 

Полные десятки

Существует такое понятие, как «круглое» число — это целое число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. 

Такие числа принято называть «круглыми» («полными«) десятками.

Например, числа 40, 530, 3270, 3200 являются полными десятками.

40четыре десятка

530пятьдесят три десятка

3270триста двадцать семь десятков

3200триста двадцать десятков

Полные десятки делятся и на 10, и на 5, и на 2.

 

Признак делимости на 5

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и еди­ниц, например

46 = 40 + 6, 539 = 530 + 9, 3278 = 3270 + 8.

Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц.

Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

 

Определение

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.

Например, числа 270 и 275 делятся без остатка на 5

 

Если же запись числа оканчи­вается другой цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 272 и 273 на 5 без остатка не делятся.

 

Четные и нечетные числа

Определение

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными.

 

Из однозначных чи­сел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётные, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётные

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9нечётными.

 

Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны).

Вывод: любое на­туральное число чётно, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.

 

Определение

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Например, числа 2, 30, 74, 56, 108 чётные, а числа 3, 31, 75, 57, 109 не­чётные.

 

Это интересно

Древнегреческий философ (профессиональный мыслитель), математик и мистик (верил в существование сверхъестественных сил) Пифагор Самосский, чётные числа считал женскими, а нечётные — мужскими

На рисунке числа от 1 до 100 (чётные и нечётные числа разного цвета)

В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечётными цифрами, а плохое – с чётными. Поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечётное количество блюд. Люди верили, что нечётные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность. А чётные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения.

Таблица признаков делимости чисел

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 865, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Задание 875, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Задание 888, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

6 класс

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 44, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 47, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 143, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 829, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 35, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 100, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 121, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 242, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 140, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 151, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 195, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 213, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 251, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 342, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 602, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 682, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 703, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 947, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

  • Признак делимости на 2
  • Признак делимости на 3
  • Признак делимости на 4
  • Признак делимости на 5
  • Признак делимости на 6
  • Признак делимости на 7
  • Признак делимости на 8
  • Признак делимости на 9
  • Признак делимости на 10
  • Признак делимости на 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

  • 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
  • 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

  • 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
  • 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
  • 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Примеры:

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=23/4.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

  • 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
  • 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

  • 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
  • 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Примеры:

  • 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
  • 105 – делится на 7, т. к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
  • 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
  • 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

  • 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
  • 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Правил доказательства делимости | Brilliant Math & Science Wiki

Тапас Мазумдар, Ада Мизи, Самир Хан, а также

способствовал

Содержимое
  • Правила делимости для некоторых выбранных целых чисел
  • Доказательства
  • Делимость на 2 (Аналогично для 5 и 10)
  • Делимость на 3 (аналогично 9)
  • Делимость на 4 (аналогично 25)
  • Делимость на 6
  • Делимость на 7
  • Делимость на 8 (аналогично 125)
  • Делимость на 11
  • Делимость на 12
  • Делимость на 13
  • Смотрите также
  • Делимость на 1: Каждое число делится на 111.
  • Делимость на 2: Число должно иметь 0, 2, 4, 6,0, \ 2, \ 4, \ 6,0, 2, 4, 6 или 888 в качестве разряда единиц.
  • Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 333.
  • Делимость на 4: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на 444.
  • Делимость на 5: Число должно иметь 000 или 555 в качестве разряда единиц.
  • Делимость на 6: Число должно делиться как на 222, так и на 333.
  • Делимость на 7: Абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, должна делиться на 777 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число).
  • Признак делимости на 8: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на 888.
  • Признак делимости на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 999.
  • Делимость на 10: Число должно иметь 000 в качестве разряда единиц.
  • Делимость на 11: Абсолютная разница между суммой чередующихся пар цифр должна делиться на 111111.
  • Делимость на 12: Число должно делиться как на 333, так и на 444.
  • Делимость на 13: Сумма четырехкратных цифр единиц с числом, образованным остальными цифрами, должна делиться на 131313 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число).
  • Делимость на 25: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на 252525.
  • Признак делимости на 125: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на 125125125.

Теперь мы обсудим вывод этих правил. В каждом доказательстве переменная будет иметь вид

N=anan−1an−2…a2a1a0‾ N = \overline {a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1 a_0}N=an​ ан−1 ан−2 … а2 а1 а0 9k, \text{ где } k \ge 1, \text{ всегда делится на } 2\big)\\ & \equiv a_0 \pmod{2}. k-1, \text{ где } k \ge 1, \text{ всегда делится на } 3\big)\\ \\ \equiv &\left( a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1 + a_0 \right) \pmod{3}. \end{align}N≡≡​1×an​(mod3)+1×an−1​(mod3)+1×an−2​(mod3)+⋯+1×a2​(mod3)+1×a1 ​(mod3)+1×a0​(mod3)(как 10k−1, где k≥1, всегда делится на 3)(an​+an-1​+an-2​+⋯+a2​+a1​ +a0​)(mod3).​ 9k — 1,10k−1, где k≥1,k \ge 1,k≥1, также всегда делится на 999, а значит, сумма цифр числа в этом случае должна делиться на 999, так что число делится на 999, что подтверждает тест на делимость числа 999.

Любое число, в котором цифры десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на 444, само также делится на 444.

Докажите, что число 115641156411564 делится на 444, потому что 646464 делится на 444. 9k, \text{ где } k \ge 2, \text{ всегда делится на } 4\big) \\ & \equiv 10 a_1 + a_0 \pmod{4}. \end{align}N​≡0+0+0+⋯+0+10a1​+a0​(mod4)(как 10k, где k≥2, всегда делится на 4)≡10a1​+a0​(mod4) .

Следовательно, N≡0(mod4)N \equiv 0 \pmod{4}N≡0(mod4), если 10a1+a0=a1a0‾≡0(mod4)10a_1 + a_0 = \overline {a_1 a_0} \equiv 0 \ pmod{4}10a1​+a0​=a1​a0​​≡0(mod4).

Таким образом, если разряды десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на 4,4,4, то число также делится на 444. □_\квадрат□​ 9k,10k, где k≥2,k \ge 2,k≥2, также всегда делится на 252525 и, следовательно, если цифры в разряде десятков и единиц числа, взятого в таком порядке, делятся на 252525, то число также делится на 252525.

Любое число, которое делится и на 222, и на 333, также делится и на 666.

Докажите, что число 678678678 делится на 666, потому что 678678678 делится и на 222, и на 333.


Это не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что

, если N≡0(mod2)N \equiv 0 \pmod{2}N≡0(mod2) и N≡0(mod3)N \equiv 0 \pmod{3}N≡0(mod3), то N≡0 (mod2×3=6)N \экв 0 \pmod{2 \times 3 = 6}N≡0(mod2×3=6),

, так как 222 и 333 взаимно простые числа. □_\квадрат□​

Любое число, у которого абсолютная разность между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 000 или делится на 777, само делится на 777.

Докажите, что число 343343343 делится на 777, потому что 34−2×3=2834 — 2 х 3 = 2834−2×3=28 также делится на 777. 9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 — 2 a_0 \право) \\ &\эквив 0 \pmod{7}\\\\ \Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{7}. \end{выровнено}N7k−21a0​⇒10(an​an-1​an−2​…a2​a1​​−2a0​)​=10(10n−1an​+10n−2an−1​+10n− 3an−2​+⋯+10a2​+a1​)+20a0​−20a0​+a0​=10(10n−1an​+10n−2an−1​+10n−3an−2​+⋯+10a2​+a1 ​−2a0​)+21a0​=7k=10(10n−1an​+10n−2an−1​+10n−3an−2​+⋯+10a2​+a1​−2a0​)≡0(mod7)≡0 (мод7).​

Следовательно, поскольку 10≡3(mod7),10 \equiv 3 \pmod{7},10≡3(mod7), то для того, чтобы NNN делилось на 7,7,7, должно быть верно, что anan−1an−2 …a2a1‾−2a0≡0(mod7)\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \equiv 0 \pmod{7}an​an−1​an− 2​…a2​a1​−2a0​≡0(mod7).

Таким образом, для числа, если абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна 000 или делится на 7,7,7, то это число также делится на 777. □_\квадрат □​

Любое число, в котором разряды сотен, десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на 888, само также делится на 8.8.8.

Докажите, что число 741527415274152 делится на 888, потому что 152152152 делится на 888. 9k, \text{ где } k \ge 3, \text{ всегда делится на } 8\big) \\ & \эквив 100 а_2 + 10 а_1 + а_0 \пмод{8}. \end{align}N​≡0+0+0+⋯+102a2​+10a1​+a0​(mod8)(как 10k, где k≥3, всегда делится на 8)≡100a2​+10a1​+a0 (мод8).​

Следовательно, N≡0(mod8)N \equiv 0 \pmod{8}N≡0(mod8), если 100a2+10a1+a0=a2a1a0‾≡0(mod8)100 a_2 + 10a_1 + a_0 = \overline {a_2 a_1 a_0} \equiv 0 \pmod{8}100a2​+10a1​+a0​=a2​a1​a0​​≡0(mod8).

Таким образом, если разряды сотен, десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на 8,8,8, то число также делится на 888. □_\квадрат□​ 9k,10k, где k≥3,k \ge 3,k≥3, также всегда делится на 125125125 и, следовательно, если цифры сотен, десятков и единиц числа, взятого в таком порядке, делятся на 125125125 , то число также делится на 125125125.

Любое число, у которого абсолютная разность между суммой цифр в четных позициях и суммой цифр в нечетных позициях равна 000 или делится на 111111, само также делится на 111111.

Докажите, что число 105204105204105204 делится на 111111, потому что ∣(0+2+4)−(1+5+0)∣=0\big|(0+2+4)-(1+5+0)\big| =0∣∣​(0+2+4)−(1+5+0)∣∣​=0 делится на 111111. 9k \equiv -1 \bmod{11} \text{ если } k \text{ нечетно}\big)N≡±an​∓an−1​±an−2​⋯∓a2​±a1​∓a0​ (mod11).(как 10k≡+1mod11, если k четно, и 10k≡−1mod11, если k нечетно)

  • Предположим, что nnn четно, тогда мы имеем N≡an−an−1+an−2−⋯+a2−a1+a0(mod11)≡(an+an−2+⋯+a2+a0)−(an−1+an−3+⋯+a3+ a1)(mod11).\begin{выровнено} Н &\equiv a_n — a_{n-1} + a_{n-2} — \cdots + a_2 — a_1 + a_0 \pmod{11} \\ &\equiv \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_3 + a_1 \right ) \pmod{11}. \end{align}N​≡an​-an-1​+an-2​-⋯+a2​-a1​+a0​(mod11)≡(an​+an-2​+⋯+a2​+a0 ​)−(an−1​+an−3​+⋯+a3​+a1​)(mod11).​ Следовательно, N≡0(mod11)N \equiv 0 \pmod{11}N≡0(mod11), если (an+an−2+⋯+a2+a0)−(an−1+an−3+⋯+a3 +a1)≡0(mod11),\left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_3 + a_1 \right) \equiv 0 \pmod{11},(an​+an−2​+⋯+a2​+a0​)−(an–1​+an−3​+⋯+a3​+ a1​)≡0(mod11), учитывая, что nnn четно.

  • Предположим, что nnn нечетно, тогда мы имеем N≡−an+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a0(mod11)≡(an−1+an−3+⋯+a2+a0)−(an+an−2+⋯+a3 +a1)(mod11).\begin{выровнено} Н &\equiv -a_n + a_{n-1} — a_{n-2} + \cdots + a_2 — a_1 + a_0 \pmod{11} \\ &\equiv \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_1 \right ) \pmod{11}. \end{выровнено}N​≡-an​+an-1​-an-2​+⋯+a2​-a1​+a0​(mod11)≡(an-1​+an-3​+⋯+a2 ​+a0​)−(an​+an−2​+⋯+a3​+a1​)(mod11).​ Следовательно, N≡0(mod11)N \equiv 0 \pmod{11}N≡0(mod11), если (an−1+an−3+⋯+a2+a0)−(an+an−2+⋯+a3 +a1)≡0(mod11),\left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_1 \right) \equiv 0 \pmod{11},(an−1​+an−3​+⋯+a2​+a0​)−(an​+an−2​+⋯+a3​+ a1​)≡0(mod11), учитывая, что nnn нечетно.

Из двух приведенных выше условий мы заключаем, что для того, чтобы число делилось на 111111, его абсолютная разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, должна быть равна 000 или делиться на 111111. □_\квадрат□​

Любое число, которое делится и на 333, и на 444, также делится и на 121212.

Докажите, что число 10

21092 делится на 121212, потому что 10

21092 делится и на 333, и на 444.


Это также не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что

, если N≡0(mod3)N \equiv 0 \pmod{3}N≡0(mod3) и N≡0(mod4)N \equiv 0 \pmod{4}N≡0(mod4), то N≡0 (mod3×4=12),N \equiv 0 \pmod{3 \times 4 = 12},N≡0(mod3×4=12), так как 333 и 444 взаимно простые числа. □_\квадрат□​

Любое число, сумма четырех цифр единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на 131313, само также делится на 13. 13.13. 9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 + 4 a_0 \право) \\ &\эквив 0 \pmod{13}\\\\ \Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{13}. \end{выровнено}N13k+39a0​⇒10(an​an−1​an−2​…a2​a1​​+4a0​)​=10(10n−1an​+10n−2an−1​+10n− 3an−2​+⋯+10a2​+a1​)+40a0​−40a0​+a0​=10(10n−1an​+10n−2an−1​+10n−3an−2​+⋯+10a2​+a1 ​+4a0​)−39a0​=13k=10(10n−1an​+10n−2an−1​+10n−3an−2​+⋯+10a2​+a1​+4a0​)≡0(mod13)≡0 (мод13).​

Следовательно, поскольку 10≡10(mod13)10 \equiv 10 \pmod{13}10≡10(mod13), для того, чтобы NNN делилось на 131313, должно быть верно, что anan−1an−2…a2a1‾+4a0≡ 0(mod13)\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \equiv 0 \pmod{13}an​an−1​an−2​…a2​a1 +4a0​≡0(mod13).

Таким образом, для числа, если сумма четырехкратной цифры его единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на 131313, то это число также делится на 131313. □_\квадрат□​

Аналогичный логический подход позволяет проверить делимость каждого числа, просто наблюдая за последовательностью степеней 101010.

  • SAT Math: Коэффициенты, делимость и остатки
  • Применение правил делимости
  • Правила делимости

Цитировать как: Правила доказательства делимости. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/proof-of-divisibility-rules/

Правило делимости на 8 — методы, примеры

Правило делимости на 8 гласит, что число делится на 8, если цифры либо 000, либо они образуют число, которое делится на 8. Хотя меньшие числа можно легко проверить на делимость, существуют определенные правила для проверки делимости больших чисел. Эти правила помогают нам проверить, делится ли одно число на другое число без деления. Давайте узнаем больше о правиле делимости числа 8 в этой статье.

1. Что такое правило делимости числа 8?
2. Правило делимости на 8 для больших чисел
3. Правило делимости на 4 и 8
4. Правило делимости на 8 и 9
5. Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 8

Что такое правило делимости числа 8?

Согласно правилу делимости числа 8 , если последние три цифры данного числа нули или если число, образованное последними тремя цифрами, делится на 8, то такое число делится на 8. Например, в числе 4832 последние три цифры — 832, что делится на 8. Следовательно, данное число 4832 полностью делится на 8. Точно так же в числе 7000 последние три цифры — 000, что говорит нам о том, что 7000 делится на 8.

Признак делимости на 8 для больших чисел

Правила делимости упрощают и ускоряют процесс деления. В то время как проверка делимости для меньших чисел может быть выполнена легко, правила полезны для больших чисел. Например, чтобы проверить, делится ли 31 000 на 8, мы проверяем последние три цифры данного числа, то есть 000. Согласно правилу делимости 8, мы заключаем, что данное число 31 000 делится на 8. Другими словами , 31 000 проходит тест на делимость 8. Возьмем другой пример числа 354416. В этом случае последние три цифры равны 416, что делится на 8. Следовательно, 354416 делится на 8.

Правило делимости на 4 и 8

Правило делимости на 4 гласит, что данное число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. Например, в числе 2348 последние две цифры образуют число 48, которое делится на 4. Следовательно, 2348 делится на 4. Однако мы знаем, что правило делимости числа 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое делится на 8, то данное число делится на 8. Например, в числе 56824 последние 3 цифры образуют число 824, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 56824 делится на 8.

Правило делимости на 8 и 9

Проверить делимость на 8 несложно, так как нам достаточно рассмотреть три последние цифры заданного числа. Однако правило делимости 9 отличается от этого, но похоже на правило 3. Число делится на 9, если сумма всех его цифр кратна 9. Например, давайте проверим, делится ли 75816 на 8 и 9. Так как последние три цифры данного числа 816, что делится на 8, то данное число делится на 8. Теперь проверим его делимость на 9. Сумма чисел 7 + 5 + 8 + 1 + 6 = 27. Так как 27 делится на 9, значит, данное число 75816 делится на 9.

Признак делимости на 8 и 11

Мы видели, что признак делимости числа 8 проверяется путем рассмотрения трех последних цифр данного числа. Однако признак делимости на 11 отличается. Если разность сумм чередующихся цифр равна нулю или делится на 11, то число делится на 11. Проверим, делится ли 86416 на 8 и 11. Последние три цифры числа равны 416, т.е. делится на 8. Следовательно, число 86416 делится на 8. Теперь давайте проверим его делимость на 11, выполнив следующие шаги:

  • Шаг 1: Подсчитайте сумму альтернативных чисел, начиная справа. В данном случае это: 6 + 4 + 8 = 18.
  • Шаг 2: После этого подсчитайте сумму оставшихся альтернативных цифр, 1 + 6 = 7.
  • Шаг 3: Теперь найдите разницу между суммами: 18 — 7 = 11. Поскольку 11 делится на 11, данное число 86416 также делится на 11.

☛ Похожие темы

  • Правило делимости 3
  • Правило делимости на 4
  • Правило делимости числа 5
  • Правило делимости 6
  • Правило делимости числа 7
  • Правило делимости числа 9
  • Правило делимости 11
  • Правило делимости 13

 

Правило делимости на 8 с примерами

  1. Пример 1: Из следующего набора чисел выберите и запишите числа, которые делятся на 8, используя тест на делимость 8.

    3458, 432000, 7856

    Решение:

    а) В числе 3458 последние три цифры 458, что не делится на 8. Следовательно, 3458 не делится на 8. последние три цифры 000. Следовательно, 432000 делится на 8.

    в) В числе 7856 последние три цифры равны 856, что делится на 8. Следовательно, 7856 делится на 8.

  2. Пример 2: Обратите внимание на следующие утверждения и запишите истину или ложь, используя правило делимости 8.

    a) 2000 делится на 8.

    b) 1824 не делится на 8.

    c) 14238 не делится на 8.

    Решение:

    a. В 2000 году последние три цифры 000. Следовательно, 2000 делится на 8.

    б.) Неверно. В 1824 году последние три цифры 824, что делится на 8. Следовательно, 1824 делится на 8.

    в.) Верно. В числе 14238 последние три цифры — 238, что не делится на 8. Следовательно, 14238 не делится на 8.

  3. Пример 3: Проверить, делится ли число 456788 на 8 или нет.

    Решение:

    Используя правило делимости на 8, в числе 456788 последние три цифры равны 788, что не делится на 8. Следовательно, 456788 не делится на 8.

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по правилу делимости 8

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 8

Что такое правило делимости числа 8?

Правило делимости числа 8 гласит, что если последние три цифры данного числа являются нулями или если число, состоящее из последних трех цифр, делится на 8, то такое число делится на 8. Например, в 1848, последние три цифры 848, что делится на 8. Следовательно, данное число 1848 полностью делится на 8.

Используя правило делимости 8, проверьте, делится ли 2328 на 8.

Используя правило делимости 8, мы можем видеть, что последние три цифры числа 2328 равны 328, которое делится на 8. Следовательно, 2328 делится на 8.

Что такое правило делимости 8 и 9?

Правило делимости на 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое делится на 8, то данное число делится на 8. Правило делимости на 9говорит, что число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Используя признак делимости числа 8, проверьте, делится ли 1000 на 8.

Используя признак делимости числа 8, мы можем видеть, что последние три цифры числа 1000 — 000. Это означает, что 1000 делится на 8.

Как узнать, делится ли большое число на 8?

Чтобы проверить делимость больших чисел, нам нужно проверить последние три цифры данного числа. Если последние три цифры большого числа нули или число, которое делится на 8, то говорят, что данное число делится на 8. Например, чтобы проверить, делится ли 51 848 на 8, мы проверяем последние три цифры данного числа 848, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 51 848 делится на 8.

Что такое правило делимости 4 и 8?

Согласно правилу делимости на 4, данное число называется кратным 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4. Например, в числе 1136 последние две цифры образуют число 36. которое делится на 4. Следовательно, 1136 делится на 4. Однако правило делимости 8 гласит, что если последние три цифры данного числа равны нулям или образуют число, которое делится на 8, то данное число равно делится на 8. Например, в числе 56416 последние 3 цифры образуют число 416, которое делится на 8. Следовательно, мы можем сказать, что 56416 делится на 8.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Связанные рабочие листы

Искусство решения задач

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы только для базы 10 — в других базах есть свои, разные версии этих правил.

Содержание

  • 1 Делимость Видео
  • 2 Основы
    • 2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
    • 2.2 Правило делимости на 3 и 9
    • 2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
    • 2.4 Правило делимости для 7
    • 2.5 Правило делимости на 10 и степени 10
    • 2.6 Правило делимости для 11
    • 2.7 Общие правила для композитов
      • 2.7.1 Пример
  • 3 Расширенный
    • 3.1 Общее правило для простых чисел
    • 3.2 Правило делимости на 13
    • 3.3 Правило делимости для 17
    • 3.4 Правило делимости для 19
    • 3.5 Правило делимости для 29
    • 3.6 Правило делимости для 49
  • 4 Проблемы
  • 5 ресурсов
    • 5.1 Книги
    • 5.2 Классы
  • 6 См. также

Видео о делимости

https://youtu. be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это означает, что , а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но само 1899 не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени числа 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень числа 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.

Доказательство

Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости на 10 и степени 10

Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.

Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .

Правило делимости для 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.

Доказательство

Общее правило для составных чисел

Число делится на , где простая факторизация числа , если число делится на каждое из .

Пример

Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Разложение числа 36 на простые множители должно быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.

  • Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
  • Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится и на 4, и на 9. и должно делиться на 36.

Расширенный

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.

Правило делимости на 13

Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости для 19

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.

Полезно до 23:00. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.

Примеры:

49. Округлить: . Разница: . ? Да!

1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!

1470. Округлить: . Разница: . ? Да!

Доказательство

Задачи

  • Практические задачи на Alcumus
    • Делимость (преалгебра)
  • 2000 AMC 8 Проблемы/проблема 11
  • 2006 AMC 10B Проблемы/проблемы 25

Ресурсы

Книги
  • AoPS Введение в теорию чисел Мэтью Кроуфорд.
  • Искусство решения проблем Шандора Лехоцки и Ричарда Рущика.
Классы
  • AoPS Введение в курс теории чисел

См. также

  • Теория чисел
  • Модульная арифметика
  • Книги по математике
  • Математические соревнования

Правила делимости на 7, 11 и 12

В предыдущем уроке мы обсуждали правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10. В этом уроке мы собираемся чтобы поговорить о признаках делимости чисел 7, 11 и 12. Причина, по которой я разделил их, заключается в том, что 9Правила делимости 0036 для 7, 11 и 12 немного более продвинуты. Однако я обещаю вам, что, изучив соответствующие правила и применив их к некоторым практическим задачам, вы поймете, что они не так уж сложны. На самом деле, они действительно забавны!


Правило делимости на 7

Правило: Возьмите последнюю цифру и вычеркните ее из исходного числа. Затем удвойте его. Вычтите его из «нового» числа, которое является исходным числом, исключая последнюю цифру. Если разность делится на 7, то исходное число также должно делиться на 7. Если при первом применении результат явно не делится на 7, вы можете повторять процесс по мере необходимости, пока не получите двузначное число, которое может легко определить, делится оно на 7 или нет.


Пример 1: Верно или неверно. Число 6895 делится на 7.

Решение: возьмем последнюю цифру 6,89{\color{red}5}, которая \color{red}5, затем удвоим ее, таким образом, 2({\color{red}5 })=10. Теперь вычтите «новое» число (старое число без последней цифры) на удвоенную последнюю цифру, и мы получим 689-10=679. 679 делится на 7? Мы можем выполнить длинное деление. Но хорошо то, что мы можем выполнять этот процесс снова и снова, пока не достигнем двузначного числа, потому что гораздо проще узнать, делится оно на 7 или нет.

Давайте повторим процесс еще раз и посмотрим, что у нас получится. Помните, что на последнем шаге мы получили 679. Двигаемся дальше, последняя цифра 67{\color{red}9} равна \color{red}9. Если мы удвоим это, мы получим 2 ({\ color {red} 9}) = 18. Оставшееся число, которое образуется, когда мы избавляемся от последней цифры, равно 67. Если мы вычтем 67 из 18, мы получим 67-18=49.

Так как 49 делится на 7, значит, исходное число 6895 также должно делиться на 7. Итак, ответ Верен. ✔︎


Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 7?

Примечание: правильный ответ только один.

A) 18,046

B) 11,749

C) 20,704

D) 21 011


Я понял, что это может быть в этом, что больше, чем вы понимаете, что больше, чем вы понимаете, что это больше. становится намного легче. Ниже приведены простые шаги, которые, я надеюсь, помогут вам запомнить.

Этапы проверки делимости числа 7

  • Отбросьте последнюю цифру числа, а затем удвойте отброшенную цифру.
  • Вычтите его из нового числа, образованного удалением последней цифры исходного числа.
  • Повторяйте процесс, пока число не уменьшится до двух цифр.
  • Если двузначное число делится на 7, то исходное число делится на 7. В противном случае оно не делится.

Решение: В реальном тесте с несколькими вопросами вы можете случайным образом выбрать вариант (букву) для решения, поскольку вполне возможно, что вы сразу же наткнетесь на правильный ответ, что сэкономит вам много времени. . Но в этом уроке мы пойдем от А к D ради практики.

◉ Вариант тестирования A: 18 046

Отбросьте последнюю цифру 18 046, которая станет 1 804, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(6)=12.

Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 1804 — 12 = 1792. Мы сократили исходное пятизначное число до четырехзначного числа. Помните, мы хотим, чтобы оно было сокращено до двузначного числа. Давайте повторим процесс.

Отбросьте последнюю цифру 1792, которая станет 179, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2(2)=4.

Вычесть новое число из последней цифры, удвоенной: 179 — 4 = 175. Теперь мы сократили его до трехзначного числа. Давайте сделаем это еще раз!

Отбросьте последнюю цифру 175, которая станет 17, затем удвойте цифру, которую мы удалили, таким образом, 2(5)=10.

Вычесть из нового числа удвоенную последнюю цифру: 17-10=7.

Так как \color{red}7 делится на 7, то исходное число 18 046 также делится на 7. Таким образом, вариант А является правильным ответом. ✔︎

Окончательный ответ: опция A .


Я оставлю это вам в качестве упражнения, чтобы понять, почему варианты B , C и D НЕ делятся на 7. Тем не менее, ниже я все же предоставлю вам сокращенное решение. Я настоятельно рекомендую вам выполнить это упражнение не только для большей практики, но и потому, что оно приносит такое же удовлетворение, когда вы показываете, что число не делится на 7.

Попробуйте!

◉ Вариант тестирования B: 11 749

Ответ
  • Исходный номер: 11,749
  • 1,174-2(9)=1,174-18=1,156
  • 115-2(6)=115-12=103
  • 10-2(3)=10-6=4

Поскольку \color{red}4 не делится на 7, то 11 749 также не делится на 7. =2,070-8=2,062

  • 206-2(2)=206-4=202
  • 20-2(2)=20-4=16
  • Так как \color{red}16 не делится на 7, то 20 704 тоже не делится на 7.


    ◉ Вариант тестирования D: 21,011

    Ответ
    • Первоначальный номер: 21,011
    • 2 101-2 (1) = 2,101-2 = 2,099
    • 209-2 (9) = 209-18 = 191
    • 19-2 (1)=19-2=17

    Поскольку \color{red}17 не делится на 7, исходное число 21 011 также не делится на 7. ✘


    Пример 3: Выберите все подходящие варианты. Какие числа делятся на 7?

    Примечание. Может быть несколько ответов.

    A) 5 544

    B) 3,110

    C) 54,810

    D) 34,125

    РЕШЕНИЕ число делится на 7 или нет. С учетом сказанного я буду использовать сокращенное решение.

    ◉ Вариант проверки A: 5,544

    Мы проверяем, делится ли 5,544 на 7. Поскольку 42 можно разделить на 7, исходное число 5 544 также делится на 7. ✔︎


    ◉ Вариант тестирования B: 3,110

    Мы проверяем, делится ли 3,110 на 7.

    Поскольку 29 не делится на 7, исходное число 3110 также не делится на 7.


    ◉ Вариант проверки C: 54 810

    Проверим, делится ли 54 810 на 7.

    54-2(6)=54-12=42

    Алгоритм преобразовал исходное число в двузначное число 42, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 54 810 также должно делиться на 7. ✔︎


    ◉ Вариант проверки D: 34,125

    Определим, делится ли 34,125 на 7. 33-2(6)=33-12=21

    Мы преобразовали исходное пятизначное число в двузначное число 21, которое делится на 7. Отсюда следует, что исходное число 34 125 также должно делиться на 7. . ✔︎

    Таким образом, опции A , C и D делятся на 7.


    Правило делимости для 11

    Правило: Слева направо от числа возьмите первую цифру и присоедините к ней символ сложения слева. Затем вычтите его на следующую цифру, затем добавьте к результату третью цифру, и снова вычтите результат на четвертую цифру, и так далее и тому подобное. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.  

    Сокращенное правило: Поочередно складывать и вычитать цифры числа слева направо. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.

    Стандартное правило: Возьмите переменную сумму цифр числа. Если результат кратен 11, число делится на 11.

    ПРИМЕЧАНИЕ: Все приведенные выше правила означают одно и то же. Первые два правила носят более поучительный характер, в то время как последнее — это правило, с которым вы можете столкнуться в своем учебнике или которое вам преподает ваш учитель.


    Пример 1: Верно или неверно. Число 9581 делится на 11.

    Правило на самом деле довольно простое. Мы будем складывать и вычитать, а затем повторять шаблон, пока все цифры числа не будут обозначены символами плюс и минус слева направо. После настройки упрощаем. Если результат кратен 11, то исходное число также делится на 11.

    Вот настройка:

    +9-5+8-1

    Шаг 1: +9-5=4

    4+8-1

    Шаг 2: 4+8=12

    12 -1

    Шаг 3: 12-1=11

    11

    Поскольку окончательный результат равен 11 и кратен 11, то исходное число, равное 9581, делится на 11. Таким образом, наш окончательный ответ — Верно. ✔︎


    Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 11?

    Примечание: правильный ответ только один.

    A) 98,517

    B) 79,829

    C) 82,709

    D) 50,453


    We will check the divisibility of each number from option A to option D .

    ◉ Проверка варианта А: 98,517

    Давайте настроим его, взяв чередующуюся сумму цифр числа.

    9-8+5-1+7

    Тогда упрощаем.

    (9-8)+5-1+7

    1+5-1+7

    (1+5)-1+7

    6-1+7

    (6-1)+7

    5+7

    12

    Окончательный результат равен 12, что не кратно 11. Поэтому , исходное число 98 517 не делится на 11. ✘


    ◉ Проверка варианта B: 79 829

    Установите его, записав чередующуюся сумму цифр.

    7+9-8+2-9

    Упрощение.

    (7+9)-8+2-9

    16-8+2-9

    (16-8)+2-9

    8+2-9

    (8+2)-9

    10-9

    1

    Так как окончательный ответ \large{(1)} не делится на 11, то исходное число 79829 также не делится на 11. ✘


    Сначала мы строим знакопеременную сумму цифр числа.

    8-2+7-0+9

    Затем упрощайте слева направо. Не нужно беспокоиться о порядке операций, так как мы имеем дело только со сложением и вычитанием.

    (8-2)+7-0+9

    6+7-0+9

    (6+7)-0+9

    13-0+9

    (13-0)+9

    13+9

    22

    Так как окончательный результат 22, кратное 11, означает, что исходное число 82 709 делится на 11. Таким образом, окончательный ответ будет C . ✔︎

    ☞ Нет необходимости проверять вариант D, потому что мы уже нашли правильный ответ.

    Окончательный ответ: опция C .


    Пример 3: Какие числа делятся на 11? Выбрать все, что подходит.

    Примечание. Может быть несколько ответов.

    A) 69,245

    B) 73,186

    C) 843,210

    D) 918,071

    . 9+2-4+5

    {\color{red}6-9}+2-4+5

    -3+2-4+5

    {\color{red}-3+2}-4 +5

    -1-4+5

    {\color{red} -1-4}+5

    -5+5

    0

    Так как 0 кратно 11, то 69 245 делится на 11. } 7-3} + 1-8 + 6

    4 + 1-8 + 6

    {\ цвет {красный} 4 + 1} -8 + 6

    5-8 + 6

    {\ цвет {красный }5-8}+6

    -3+6

    3

    Поскольку 3 не кратно 11, то 73 186 не делится на 11. ✘


    11

    8-4+3-2+1-0

    {\color{red}8-4}+3-2+1-0

    4+3-2+1-0

    {\color{ красный} 4 + 3} -2 + 1-0

    7-2 + 1-0

    {\ цвет {красный} 7-2} + 1-0

    5 + 1-0

    {\ цвет { red}5+1}-0

    6-0

    6

    Поскольку 6 не кратно 11, следовательно, 843 210 не делится на 11. ✘


    11

    9-1+8-0+7-1

    {\цвет{красный}9-1}+8-0+7-1

    8+8-0+7-1

    {\ цвет {красный} 8 + 8} -0 + 7-1

    16-0 + 7-1

    {\ цвет {красный} 16-0} + 7-1

    16 + 7-1

    {\color{red}16+7}-1

    23-1

    22

    Поскольку 22 кратно 11, это означает, что 918 071 делится на 11. и D делятся на 11.


    Правило делимости на 12

    Правило: Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.

    • Число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3.
    • Число делится на 4 , если две последние цифры числа делятся на 4.

    Пример 1: Верно или неверно. Число 7 512 делится на 12.

    Решение:

    Первым делом нужно проверить, делится ли оно на 3. Сначала мы сложим все цифры числа 7 512.

    7 512

    7+5+1+2=15

    Поскольку 15 делится на 3, значит, 7512 также делится на 3.

    Последний шаг — проверить, делится ли число, состоящее из двух последних цифр исходного числа, на 4, тогда оно делится на 4.

    7,5{\color{red}12}

    Поскольку 12 делится на 4, то 7512 делится на 4.

    Следовательно, поскольку исходное число 7512 делится и на 3, и на 4, оно делится на 12. ✔︎


    Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 12?

    Примечание: правильный ответ только один.

    A) 527,037

    B) 981,128

    C) 746,936

    D) 49,9920

    . , число делится на 12, если оно делится на 3 и 4. Поскольку гораздо быстрее проверить делимость на 4 , чем на 3 , потому что для первого вам просто нужно посмотреть на последние две цифры числа и проверить, кратно ли оно 4, а второе займет немного больше времени, потому что вам придется сложить все цифры числа и проверить, делится ли сумма на 3. Поэтому мы сначала проверим делимость 4, а затем делимость 3. Обратный путь немного немного больше времени.

    ◉ Вариант проверки A: 527 037 на делимость 12

    Последние две цифры числа 527 037 — это \color{red}37, не кратное 4. Следовательно, оно не делится на 4. Нет необходимости проверять на делимость на 3, так как не выполняется одно из двух требований. Таким образом, 527 037 не делится на 12.


    ◉ Вариант проверки B: 981 128 на делимость 12

    Последние две цифры числа 981 128 — это \color{red}28, кратное 4, что делает его делящимся на 4 , Теперь давайте проверим, делится ли оно на 3, сложив все его цифры, таким образом, 9+8+1+1+2+8=29. Так как сумма 29 не делится на 3, то и само число не делится на 3. Поскольку 981 128 нельзя разделить на ни на , ни на 3, ни на 4, это означает, что два условия не выполнены, следовательно, исходное число не делится на 12. ✘


    ◉ Вариант проверки C: 746 936 на делимость 12

    Число \color{red}36 — это две последние цифры числа 746 936. И это число кратно 4, что делает исходное число делящимся на 4. Теперь о делимости на 3. Сложите все цифры 746,9.36, получаем 7+4+6+9+3+6=35. Сумма цифр не делится на 3. Отсюда следует, что число не делится и на 3. Поскольку одно из двух требуемых условий не выполняется (оба неверны), то 746 936 не делится на 12. ✘


    ◉ Вариант проверки D: 49,9920 на делимость 12

    Число 20 — это две последние цифры числа 49,9920, которое явно кратно 4, поэтому 49,9920 делится на 4. Складываем все цифры числа: 4+9+9+9+2+0=33. Сумма 33 делится на 3 и получается 49,9920 делится на 3. Поскольку исходное число делится и на 3, и на 4, оно также должно делиться на 12. ✔︎

    Окончательный ответ: вариант D .


    Пример 3: Какие числа делятся на 12? Выбрать все, что подходит.

    Примечание. Может быть несколько ответов.

    A) 344 888

    Число красного цвета 88 — это две последние цифры числа 344 888, которое явно кратно 4 и, следовательно, делится на 4.

    Сумма цифр числа 344 888 рассчитывается как 3+4+4+8+8+8=35. Но 35, очевидно, не делится на 3.

    Поскольку число 344 888 делится только на 4, но не на 3, невыполнение одного из двух требований означает, что исходное число не делится на 12. ✘


    B) 521 340

    Последние две цифры числа 521 340 образуют число \color{red}40, которое кратно 4, поэтому делится на 4.

    Складывая его цифры, получаем 5+2+1+3+4 +0=15. Сумма 15 делится на 3.

    Поскольку 521 340 делится и на 3, и на 4, то оно должно делиться и на 12. делится на 4.

    Сумма цифр 8+4+2+6+5+2=27. Число 27 делится на 3.

    Поскольку 842 652 делятся и на 3, и на 4, то оно также должно делиться на 12. делятся на 4,

    Сумма цифр 6+7+6+9+6+8=42 делится на 3.

    Поскольку исходное число можно разделить и на 3, и на 4, оно также должно делиться на 12.


    Вас также могут заинтересовать:

    Правила делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

    Как узнать, делится ли число на 7, 8 или 9

    Два несколько недель назад мы рассмотрели, как быстро проверить, делится ли число на 2 или 3, а на прошлой неделе мы узнали несколько хитрых приемов, которые вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли число на 4, 5 или 6. , Итак, каков наш логичный следующий шаг? Что ж, сегодня мы собираемся закончить эту серию, научившись проверять, делится ли число на 7, 8 или 9..

    Как определить, делится ли число на 7

    Быстрый и грязный совет Проверка числа на делимость на 7 состоит из трех шагов:

    1. Возьмите последнюю цифру проверяемого числа и удвоить это.
    2. Вычтите это число из остальных цифр исходного числа.
    3. Если это новое число либо 0, либо число, которое делится на 7, то вы знаете, что исходное число также делится на 7. Если вы еще не можете легко сказать, делится ли новое число на 7, вернитесь назад на первый шаг с этим новым меньшим числом и повторите попытку.

    Например, делится ли число 203 на 7? Что ж, давайте воспользуемся нашим трехэтапным процессом, чтобы узнать:

    1. Последняя цифра числа 203 — 3, так что удвойте это 3 x 2 = 6.
    2. Вычитание этого нового числа 6 из 20 (оставшиеся цифры исходного числа 203) дает 14.
    3. Поскольку 14 делится на 7, мы сразу можем сказать, что исходное число 203 также должно делиться на 7.

    Попробуем увеличить число. 2023 делится на 7?

    1. Последняя цифра числа 2023 — 3, так что двойное число равно 6.
    2. Вычитание 6 из 202 (оставшиеся цифры из 2023) дает нам 202 – 6 = 196.
    3. Делится ли 196 на 7? Я не уверен. Итак, давайте повторим процесс, используя новое число 196. Последняя цифра числа 196 — 6, поэтому вдвое больше 12. Вычитая это из 19 (оставшиеся цифры 196), мы получаем 19 — 12 = 7. Так как 7, безусловно, делится на 7 мы сразу знаем, что исходное число 2023 тоже делится на 7!

    Почему тест на делимость на 7 работает?

    Хорошо, это достаточно легко сделать, но это определенно немного странно… как это вообще может работать? Что ж, это фантастический вопрос, но, к сожалению, логика этого трюка слишком сложна, чтобы я мог объяснить ее здесь. Поэтому, хотя обычно я этого не делаю, в данном случае я оставлю объяснение трюка с делимостью на 7 на потом. А пока, если вам интересно узнать больше, вы можете ознакомиться с объяснением в разделе «Дополнение» внизу этой страницы.


    Как узнать, делится ли число на 8

    Теперь, когда мы знаем, как проверить делимость на все числа от 2 до 7, пришло время проверить делимость на 8.

    быстро и Грязный совет для проверки того, делится ли число на 8, состоит в том, чтобы проверить, делятся ли последние три цифры числа на 8. Если это так, то все число тоже делится на 8. Например, делится ли число 1 523 424 на 8? Что ж, быстрый и грязный совет говорит, что мы можем игнорировать все числа здесь, кроме последних трех: 424. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, делится ли это число на 8. Как вы можете проверить (полным делением или используя калькулятор), 424 / 8 = 53… значит, 424 делится на 8. Это означает, что исходное число 1 523 424 тоже делится на 8!

    Почему тест на делимость на 8 работает?

    Но почему это работает? Как мы можем просто игнорировать все эти другие цифры? Что ж, поскольку все степени числа 10, большие 100, то есть 1000, 10000, 100000 и т. д., делятся на 8 без остатка (например, 1000 / 8 = 125), остается проверить только делится ли часть числа меньше 1000 на 8. И это именно то, что говорит нам быстрый и грязный наконечник.

    Вы можете подумать, что проверка того, делятся ли последние три цифры числа на 8, требует много работы… и что это не то, что вы всегда можете сделать в уме. Вам также может быть интересно, есть ли более простой метод. Но, к сожалению, ответ «не совсем»… хотя есть хитрость, которая может ускорить процесс и позволить вам проделать всю работу в уме. Если вам интересно, обязательно ознакомьтесь с разделом «Бонус веб-статьи» в конце этой статьи, чтобы прочитать все об этом.


    Как определить, делится ли число на 9

    Последняя тема на сегодня — как проверить, делится ли число на 9. Как оказалось, этот тест очень похож на тест на делимость на 3, который мы говорили несколько статей назад.

    Быстрый и грязный совет для проверки, делится ли число на 9, состоит в том, чтобы сложить цифры в числе и проверить, делится ли полученная сумма на 9. Если это так, то исходное число делится на 9 слишком. Например, 1278 делится на 9.? Итак, сначала сложим цифры числа 1278: 1+2+7+8=18. Так как 18 делится на 9, то и все число тоже!

    Почему тест на делимость на 9 работает?

    Но почему тест на делимость на 9 работает? Опять же, логика очень похожа на тест делимости на 3, о котором мы говорили ранее. И вместо того, чтобы сразу же приходить и объяснять это, я позволю вам попытаться выработать аргументацию. Итак, вернитесь назад и посмотрите, как работает объяснение делимости на 3, и посмотрите, сможете ли вы использовать его для объяснения делимости на 9.тест. Если вы застряли или просто хотите проверить свою логику, я опубликую объяснение на странице Math Dude в Facebook… обязательно ознакомьтесь с ним.

    Практические задачи

    Итак, это все, на что у нас есть время на математику. Но прежде чем мы закончим, вот несколько практических задач для проверки ваших навыков тестирования делимости:

    1. Делится ли 952 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
    2. Делится ли число 504 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)
    3. Делится ли 792 на 7? ____ (Да/Нет) К 8? ____ (Да/Нет) К 9? ____ (Да/Нет)

    Ответы вы найдете в самом конце статьи. Проверив их, не стесняйтесь оставлять комментарии внизу страницы и дайте мне знать, как вы это сделали.

    Подведение итогов

    Если у вас есть вопросы о том, как решить эти практические задачи или любые другие математические вопросы, пожалуйста, напишите их мне по адресу [email protected], отправьте их через Twitter или станьте поклонником Math Dude на Facebook. и получить помощь от меня и других любителей математики там.

    До свидания, это Джейсон Маршалл с Быстрые и грязные советы чувака-математика по упрощению математики . Спасибо, что читаете любителей математики!

    Бонус к веб-статье: как проверить трехзначное число на делимость на 8

    Как мы видели ранее, тест на делимость на 8 требует от вас либо деления в большую сторону, либо использования калькулятора, чтобы проверить, являются ли последние три цифры из числа, которое вы тестируете, сами делятся на 8. Поскольку это своего рода боль и поскольку это побеждает цель «вычислить ответ в своей голове» этой серии, вот бонус быстрый и грязный совет , который вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли трехзначное число на 8:

    • Если первая цифра трехзначного числа четная, то все число делится на 8, если последняя две цифры делятся на 8.
    • Если первая цифра числа нечетная, то из двух последних цифр вычтите число 4 и проверьте, делится ли это новое число на 8. Если да, то и все число тоже.

    Например, мы можем сразу сказать, что число 658 не делится на 8. Как? Что ж, поскольку первая цифра 6 четная, все, что нам нужно сделать, это проверить, делятся ли две последние цифры 58 на 8. Поскольку это не так, мы знаем, что все число не делится на 8. С другой стороны, первая цифра числа 344 нечетная. Это означает, что мы можем проверить, делится ли 344 на 8, вычитая 4 из его последних двух цифр, 44 — 4 = 40, а затем проверяя, делится ли это новое число на 8. Поскольку 40 делится на 8, мы сразу знаем, что 344 тоже делится на 8.


    Практика решения задач

    1. Делится ли 952 на 7? Да . К 8? Да . К 9? .
    2. Делится ли число 504 на 7? Да . К 8? Да . К 9? Да .
    3. Делится ли 792 на 7? . К 8? Да . К 9? Да .

    Изображение разделения предоставлено Shutterstock

    UNIT 2. ДЕЛИМОСТЬ. ЦЕЛЫЕ. ПОЛНОМОЧИЯ.

    ДЕЛИМОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

    делителей целого числа — это числа, которые делятся на него точно.
    Между прочим, множители также называются делителями

    Для примера делители 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

    Число называется простым, если оно имеет ровно два множителя (т.е. 1 и саму себя).
    Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … . Обратите внимание, что 1 не является простым числом.

    ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ДО 100

    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,

    31,37,41,43, 47,53,59,61,

    67,71 ,73,79,83,89,97

    кратных числа — это все числа, в которые оно точно входит.

    Для , например , число кратно 6: 6, 12, 18, 24, 30, … .

    Составное число — это любое число, имеющее более двух делителей . Вот список составных чисел до 20. Как видите, все они могут быть разложены на множители. Например, 4 равняется 2, умноженным на 2, 6 равняется 3, умноженным на 2, 8 равняется 4, умноженным на 2, и так далее.

    Между прочим, ноль и единица не считаются ни простыми, ни составными числами — они относятся к отдельному классу!

    СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА ДО 20

    4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20


    Любое составное число можно записать как произведение простых множителей. Это называется простой факторизацией.

    ДЕРЕВО ФАКТОРОВ

    Деревья множителей используются для разложения числа на его простые множители.

    Пример: Нарисуйте дерево множителей для числа 60.

    Начнем с поиска двух целых чисел, которые при умножении дают 60, например 6 × 10: Продолжаем разбивать каждое число таким образом, пока не получим простое число. Как только достигается простое число, мы обводим его кружком, и тогда эта часть диаграммы завершается. Завершенное дерево факторов выглядит следующим образом:


    Числа, обведенные кружком, умножаются на 60, т. е. 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Это произведение называется простым разложением числа 60.

    Признаки делимости

    Признаки делимости
    Пример
    Число делится на 2, если последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
    168 делится на 2, так как последняя цифра 8.
    Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. 168 делится на 3, так как сумма цифр равна 15 (1+6+8=15), а 15 делится на 3.
    Число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4.
    316 делится на 4, так как 16 делится на 4.
    Число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5. 195 делится на 5, так как последняя цифра 5.
    Число делится на 6, если оно делится на 2 И делится на 3.
    168 делится на 6, так как делится на 2 И делится на 3.
    Число делится на 8, если число, состоящее из трех последних цифр, делится на 8.
    7120 делится на 8, так как 120 делится на 8.
    Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
    549 делится на 9, так как сумма цифр равна 18 (5+4+9=18), а 18 делится на 9.
    Число делится на 10, если последняя цифра 0.
    1,470 делится на 10, так как последняя цифра 0.

    Признак делимости на 11: Признак делимости на 11 является самым интересным из приведенных выше тестов (7 будет изучено ниже). Мы делаем две суммы (цифры с нечетными номерами и цифры с четными номерами), вычитаем одну сумму из другой и смотрим, делится ли она на 11. Кстати, если мы получим ноль, то она делится на 11. Мы можем повторить этот процесс, как мы это сделали с 3.

    давайте посмотрим на пример:

    34871903
    3+8+1+0 = 12
    4+7+9+3 = 23
    , суммируйте в разных порядках. На самом деле мы можем просто идти слева направо, добавляя и вычитая чередующиеся цифры: 3-4+8-7+1-9+0-3=-11 (делится на 11).


    LCM (наименьший общий кратный) и GCF (наибольший общий множитель)

    Чтобы найти либо наименьшее общее кратное (НОК) , либо наибольший общий делитель (НОК) двух чисел, вы всегда начинаете одинаково: вы находите простых факторизаций двух чисел. Затем вы помещаете факторы в красивую аккуратную сетку строк и столбцов, сравниваете и сопоставляете и выбираете то, что вам нужно.

    Найдите GCF и LCM 84 и 140:

    .
     Дерево множителей для числа 84 равно  Дерево множителей для числа 140 равно 9. 0345


    Мои простые факторизации таковы:

    • Итак: 84 = 2 × 2 × 3 × 7
    • Кроме того, 140 = 2 × 2 × 5 × 7

    Этот множитель имеет свой собственный список, причем каждый фактор имеет свой собственный список, столбец, сделает за меня большую часть работы

    Наибольший общий делитель, GCF(Mcd), является наибольшим числом, которое делится (является делителем) как на 84, так и на 140. Другими словами, это число, которое содержит все факторы, общие для обоих чисел. В этом случае GCF является произведением всех факторов, которые являются общими для чисел 84 и 140.

    Этот упорядоченный список, в котором каждый фактор имеет свой собственный столбец, сделает за меня большую часть работы.

     84  2  2  3    7
     140  2  2    5  7
     GFC  2 2      7


    Тогда GCF равен 2 × 2 × 7 = 28,

    С другой стороны, наименьшее общее кратное, НОК, это наименьшее число, которое содержит как множители 84, так и 140, наименьшее число, кратное обоим этим значениям. Тогда это будет наименьшее число, которое содержит по одному из каждого множителя в этих двух числах.

    factor» для аккуратного перечисления простых факторов в таблице, вы всегда можете легко найти LCM и GCF. Полностью факторизируйте числа, которые вам даны, аккуратно перечислите факторы, используя только один фактор для каждого столбца (у вас могут быть столбцы 2s, столбцы 3s и т. д., но 3 никогда не войдет в столбец 2s), а затем перенесите необходимые факторы вниз в нижний ряд.

    Для GCF вы переносите только те факторы, которые являются общими для всех списков; для LCM вы переносите все факторы, независимо от того, сколько или мало значений содержат этот фактор в их списках.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

    • Числовая линия бесконечно продолжается в обоих направлениях. На это указывают стрелки.
    • Целые числа больше нуля называются положительными целыми числами. Эти числа находятся справа от нуля на числовой прямой.
    • Целые числа меньше нуля называются отрицательными целыми числами. эти числа находятся слева от нуля на числовой прямой.
    • Целое число ноль нейтрально. Это ни положительно, ни отрицательно.
    • Знак целого числа может быть положительным (+) или отрицательным (-), за исключением нуля, который не имеет знака.
    • Два целых числа противоположны, если они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но на противоположных сторонах числовой прямой. У одного будет положительный знак, у другого отрицательный. В числовой строке выше +3 и -3 помечены как противоположные.

    АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА

    Количество единиц числа от нуля на числовой прямой. Абсолютное значение числа всегда является положительным числом (или нулем). Мы указываем абсолютное значение числа n, записывая n между двумя вертикальными чертами: | н |

    Примеры:

    | 6 | = 6; | -12 | = 12; | 0 | = 0; | 1234 | = 1234; | -1234 | = 1234
    ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: ОПЕРАЦИИ С ЧИСЛАМИ СО ЗНАКОМ

    Перед выполнением ЛЮБЫХ вычислений определите ОПЕРАЦИЮ!
    =Тогда следуйте инструкциям для ЭТОЙ операции.

    ДОПОЛНЕНИЕ

    Числа имеют ОДИНАКОВЫЙ ЗНАК?

    84 2 2 3 7
    44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444н.0345 7
    LCM 2 2 3 5 7
    7
    7
    7
    7
    7 7 7

    YES

    NO
    Same sings:

    Find the SUM

    Different signs:

    Find the DIFFERENCE

    (-3 ) + (-6) = (-9)
    (+4) + (+5) = (+9)
    (+5) + 8-7) = (-2)
    (-4) + (+6) = (+2)


    В любом случае Сохраняйте знак «БОЛЬШОЕ число». «БОЛЬШЕ» используется здесь как быстрый (но математически неточный) способ описать целое число с большей абсолютной величиной (т. е. расстоянием от нуля). В каждом из приведенных выше примеров ВТОРОЕ целое число имеет большее абсолютное значение.

    ВЫЧИТАНИЕ

    Во-первых, измените задачу ВЫЧИТАНИЯ в задачу Сложения:
    Во-первых, скопируйте задачу точно (-6) — (+2) =
    1. Первое число остается прежним (-6)
    2. Изменить операцию (-6) +
    3. Переключить СЛЕДУЮЩИЙ ЗНАК (-6) + (-2)
    4. Соблюдать правила сложения (- 6 ) + ( -2 ) = ( -8 )

    Вычесть означает: ( +2 ) — ( -6 )
        Сложить противоположное: ( +2 ) + ( +6 ) = ( +8 )

    Вычесть означает: ( -7 ) — ( -3 )
        Прибавьте противоположное: ( -7 ) + ( +3 ) = ( -4 )

    Вычтите означает: ( +4 ) — ( +9 )
        Прибавьте противоположное: ( +4 ) + (-9) = (-5)

    УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ

    Сначала ВЫПОЛНИТЕ умножение или деление.
    Затем определите знак: подсчитайте количество отрицательных знаков. .. ЧЕТНОЕ ли количество отрицательных знаков?

    • ДА (ЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
    • НЕТ (НЕЧЕТНОЕ количество отрицательных знаков) ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ

    Пример:

    Сначала точно скопируйте задачу: ( -2 ) · (-4) · (-6) =
    Выполните умножение или деление. 2 · 4 · 6 = 48
    Подсчитайте количество отрицательных знаков… Определите знаки ответа:
    ЧЕТНОЕ ли число отрицательных чисел?
    Если ДА, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ, в противном случае ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.
    Всего ТРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ, три НЕ ЕВА (это странно)
    Таким образом, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ( -2 ) · ( -4 ) · ( -6 ) = ( -48 )

    Примеры

    (4) : ( 2) · (6) = 12
        Всего НОЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
        Таким образом, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ

    (4) : (-2) · (6) = -12
        Всего ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ
        Один НЕЧЕТНЫЙ (это нечетно)
        Значит, ответ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ

    (-4) : (2) · (-6) = 12
        Всего ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
        Два равно ЧЕТНОМУ
        Итак, ответ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ 603 9000 ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ

    Задача: вычислить это арифметическое выражение: 18 + 36 : 3 2

    В прошлом году мы научились вычислять арифметическое выражение с более чем одной операцией по следующим правилам:

    Правило 1: Упрощайте все операции внутри скобок
    Правило 2: Выполняйте все умножения и деления, работая слева направо
    Правило 3: Выполняйте все операции сложения и вычитания, работая слева направо

    Однако в приведенной выше задаче есть показатель степени, поэтому мы не можем решить ее, не пересмотрев наши правила. .

    Правило 1: Упростите все операции внутри скобок
    Правило 2: Упростите все показатели степени, работая слева направо.
    Правило 3: Выполняйте все операции умножения и деления слева направо
    Правило 4: Выполняйте все операции сложения и вычитания слева направо

    Мы можем решить указанную выше проблему, используя наш пересмотренный порядок операций.

    Оценить это арифметическое экспресс:
    18 + 36: 3 2
    Упростить все показатели (Правило 2) 18 + 36:
    Дивизион (Правило 3) 18 + 4
    Дополнение (Правило 4) 22

    Power КОРНЕПЛОДЫ. КВАДРАТЫ, КУБЫ И ИХ КОРНИ

    Возведение в квадрат числа 3 2 означает «3 в квадрате», или 3 · 3. Маленькая двойка — это порядковый номер или степень. Она говорит нам, сколько раз мы должны умножить 3 (основание ) сам по себе Аналогично 7 2 означает «7 в квадрате», или 7 · 7. А 10 2 означает «10 в квадрате», или 10 · 10.
    Итак, 1 2 = 1 · 1 = 1; 2 2 = 2 · 2 = 4 ; 3 2 = 3 · 3 = 9; 4 2 = 4 · 4 = 16; 5 2 = 5 · 5 = 25.
    1, 4, 9, 16, 25… известны как квадратных чисел .

    Когда порядковый номер больше трех, мы говорим «в степени».
    Например: 3 7 — это «три в степени семь»,
    4 5 — это «четыре в степени пять».

    Свойства степени

    1. Произведение одинаковых оснований : Чтобы умножить степени на одно и то же основание, сложите показатели степени и оставьте общее основание.

    2 2 · 2 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5
    x M · X N = X M+N 957958958958958958958958888888888888888888888888888888888895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895895888888888. Соотношение одинаковых оснований: Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, вычтите показатели степени и оставьте общее основание.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    3. Степень в степени: Чтобы возвести степень в степень, сохраните основание и умножьте показатели степени.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    4. Произведение в степени: Чтобы возвести произведение в степень, возведите в степень каждый множитель.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    5. Возведение в степень: Чтобы возвести частное в степень, возведите числитель и знаменатель в степень.

    Напишите два примера с числами и переменными.

    Показатель степени один и ноль

    Обратите внимание, что 3 1 является произведением только одной 3, что, очевидно, равно 3.
    Также обратите внимание, что 3 5 = 3·3 4 . Также 3 4 = 3·3 3 .
    Продолжая эту тенденцию, мы должны иметь 3 1 = 3 · 3 0 .

    Другими словами, когда n, m и n − m положительны (и если x не равно нулю), можно, подсчитав количество вхождений x, увидеть, что

    В расширенном случае, когда n и m равны, уравнение будет выглядеть как

    , поскольку и числитель, и знаменатель равны. Поэтому мы принимаем это как определение x 0 .
    Это приводит к следующему правилу:

    Любое число в степени 1 само по себе.

    Любое ненулевое число в степени 0 равно 1; одна интерпретация этих полномочий

    как пустые продукты. Случай 0 0 обсуждается как

    Отрицательные показатели

    Отрицательный показатель степени означает деление на это количество множителей вместо умножения. Таким образом, 4 -3 равно 1/4 3 , а x -3 = 1/ x 3

    Как вы знаете, на ноль делить нельзя, поэтому

    x ≠ 0, когда x=0, x -n не определено.

    НАУЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ

    Для очень больших или очень малых чисел иногда проще использовать «научное обозначение» (так называемое, потому что ученые часто имеют дело с очень большими и очень маленькими числами).

    Формат записи числа в экспоненциальном представлении довольно прост:
    Первая цифра числа, за которой следует десятичная точка, а затем все остальные цифры числа, умноженные на 10 в соответствующей степени. Преобразование довольно простое.

    Пример: Запишите 12400 в экспоненциальном представлении.

    Это не очень большое число, но для примера оно подойдет. Чтобы перевести число
    в экспоненциальное представление, я сначала напишу «1,24». Это не то же самое 9Число 1589, но (1,24)(10000) = 12400, а 10000 = 10 4 . Тогда в научной нотации
    12400 записывается как 1,24 · 10 4 .

    КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

    Противоположное квадратному числу — квадратный корень.
    Мы используем символ √ для обозначения квадратного корня.
    Таким образом, мы можем сказать, что

    4 = 2 (4 называется подкоренным числом) и 25 = 5. (–5) · (–5) тоже 25,

    Итак, на самом деле 4 = 2 или -2. А 25 = 5 или – 5.

    Помните, что каждое положительное число имеет два квадратных корня.

    КУБИРОВАНИЕ ЧИСЛА

    1 3 = 1 · 1 · 1 = 1; 2 · 2 · 2 означает «2 в кубе» и записывается как 2 3 .
    3 3 = 3 · 3 · 3 = 27; 4 3 = 4 · 4 · 4 = 64; 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125

    1, 8, 27, 64, 125… известны как кубические числа.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта