Признаки равенства треугольников геометрия: Первый признак равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.

Содержание

Признаки равенства треугольников | Образовательная социальная сеть

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ ШКОЛА ИМЕНИ ДВАЖДЫ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА П.Р. ПОПОВИЧА»

Реферат

«Признаки равенства треугольников»

Выполнила: учащаяся 7 «В» класса Мигунова София

Учитель: Дарья Геннадьевна Исакова

МОСКВА

2016

Содержание

Введение …………………………………………………….……… 3

Историческая справка ………………………………………………5

Первый признак равенства треугольников ……………………..7

Второй признак равенства треугольников……………………….9

Третий признак равенства треугольников……………………….10

Заключение……………………………………………………..…….12

Список литературы…………………………………………………..13

Введение

Треугольник является одной из центральных фигур всей геометрии.

При решении задач используют его самые разнообразные свойства.

Свойства треугольника широко применяют на практике: в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности, при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии треугольник является очень значимой фигурой; треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов.

Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Тему треугольника можно продолжать неограниченно.

Каких только треугольников нет на свете!

Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя. Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб. Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

Поэтому изучение треугольника и всех его свойств – очень актуальная тема.

Цель данной работы – рассказать о признаках равенства треугольников, что является одним из важнейших их свойств.

Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.

В геометрии используются три признака равенства треугольников.

Данная тема практически изучена, так как на сегодняшний день существуют три признака равенства треугольников, доказываемых с помощью соответствующих теорем.

Историческая справка

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем (рис. 1): пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC и AB; в противоположном направлении восстанавливают CE и AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

Рис. 1

А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), создателем его также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени (рис. 2).

Рис. 2

Первый признак равенства треугольников

(по двум сторонам и углу между ними)

Рис. 3

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника (рис. 3). Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: ΔABC = ΔА1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Рис. 4

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, (рис. 4) у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1. Докажем, что ΔABC = ΔA1B1C1.

Так как ∠А = ∠А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Используя этот признак подобия, мы можем измерить высоту любой башни и не только высоту, а спроектировать на чертежах любую постройку.

Для исследования этого признака есть практическая задача на вычисление длины озера (рис. 5).

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500 м.

Рис. 5

Сколько же нужно много свободного пространства чтобы сделать эти измерения? А не легче ли применить второй признак подобия треугольников?

Второй признак равенства треугольников

(по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Рис. 6

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).

При измерении длины озера (рис. 7): так же можно отметить на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы отношения DC:CB и KC:AC оказалась равными.

Рис. 7

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Если в △АВС и △А1В1С1 будут иметь место следующие равенства AB=А1В1, ∠BAC=∠B1A1C1, ∠АВС= ∠А1В1С1. Наложим друг на друга треугольники А1В1С1 и АВС таким образом, чтобы совпали равные стороны AB и А1В1 и углы, которые к ним прилегают. Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, если это необходимо, треугольник А1В1С1 можно «перевернуть и приложить обратной стороной». Треугольники совпадут, следовательно, они могут считаться равными.

Третий признак равенства треугольников

(по трем сторонам)

Рис. 8

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис. 9) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой, однако, сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 10) Полученная конструкция — треугольник — будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников (рис. 11).

Рис. 11

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увечится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым получим третий признак равенства треугольников.

Рис. 12

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть для △ABC и △A1B1C1 справедливы равенства А1В1=АВ, В1С1=ВС, С1А1=СА. Переместим треугольник А1В1С1 таким образом, что сторона А1В1 совпадет со стороной АВ, и вершины B1 и B, A1 и A, совпадут. Возьмем окружность с центром в A и радиусом AC, и вторую окружность с центром B и радиусом BC. Эти окружности пересекутся в двух симметричных относительно отрезка AB точках: точкой C и точкой C2. Значит, C1 после переноса треугольника A1B1C1 должна совпасть или с точками C, или с C2. Любом случае, это будет означать равенство △ABC=△A1B1C1, так как треугольники △ABC=△ABC2 равны (ведь эти треугольники являются симметричными относительно отрезка AB (рис. 12).

Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

Заключение

В данной работе мы изучили такую важную и интересную геометрическую фигуру как треугольник, подробно рассмотрели признаки равенства треугольников, а также их важнейшие свойства и их применение на практике.

Кроме того, обратились к истории возникновения указанных признаков и свойств треугольников, узнали, как в древности проводили различные измерения, провели аналогии с настоящим временем. Ведь в наше время чтобы измерить высоту здания или найти расстояние мы не обходимся без гениальных идей Фалеса Милетского.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что главная цель работы достигнута, даны по возможности исчерпывающие ответы на поставленные задачи, освещены все изученные теоремы, отражающие три признака равенства треугольников.

Список литературы

1. Энциклопедия «Аванта» по математике, Москва, 2004 г.

2. «Википедия» — свободная энциклопедия.

3. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, Просвещение, 1982 г.

4. Гусева Т.М. Признаки подобия треугольников.- Москва, Первое сентября, приложение «Математика», 1999 г., №28

5. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9 классы», Москва, Просвещение, 2003 г.

Исследовательская работа «Признаки равенства треугольников» | Творческая работа учащихся по геометрии (8 класс) по теме:

VI городская научно-исследовательская конференция

учащихся и студентов «Шаг в будущее»

Научно – исследовательская работа

Признаки равенства треугольников

Секция: математика

Выполнил: Копьёв Никита Олегович

город Новый Уренгой

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 11»

8б класс

Научный руководитель: Волкова Любовь Николаевна,

Учитель алгебры и геометрии

город Новый Уренгой

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 11»

Новый Уренгой

2011год

Содержание работы:

Введение…………………………………………………………………………………………3

Описание методики исследования…………………………………………………………. ..5

Вывод и рекомендации.………………………………………………………………………10

Список литературы……………………………………………………………………………11

Введение.

Актуальность:

Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре: при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников. Для решения задач такого рода, необходимо знать признаки равенства треугольников.

В школьном курсе изучается только 3 признака равенства треугольников.

Новизна:

Уточнение количества признаков равенства треугольников (анализ). Помимо трёх основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Какие именно три соответствующих элемента нужно назвать для установления равенства треугольников?

Объект исследования:

Изучение признаков равенства треугольников.

Предмет исследования:

Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.

Цели исследования:

Расширить и углубить знания о конструкции (основе) создания признаков равенства треугольников.

Решаемые задачи:

Изучить литературу по исследуемой теме.
Уточнить количества признаков равенства треугольников.
Апробировать выдвинутую гипотезу путем доказательства теорем.

Метод исследования:

Теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Выдвижение гипотезы:

Возможно ли сформулировать, кроме трёх известных, другие признаки равенства треугольников?

Литературный обзор:

При изучении этого вопроса, нами было прочитано множество литературы. Во всех энциклопедиях в рамках изучения признаков равенства треугольников описывались лишь 3 признака равенства треугольников. В учебниках за седьмой класс так же предложены к изучению только 3 признака. И лишь в Справочнике по элементарной математике М.Я.Выгодского были предложены 4 признака.

Немного из истории:

Древнегреческий историк Геродот оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По летописи Геродота, с этого началась геометрия – «землемерие». Такое название связанно с применением геометрии для измерений на плоскости. Древние землемеры выполняли различные геометрические построения, измеряли длинны и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил, — всё это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур в первую очередь о треугольнике.

Описание методики исследования.

Треугольник – это одна из основных фигур в геометрии. Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из плоских фигур: любая плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет называться треугольником. Так же называют и заключённую внутри образовавшегося контура часть плоскости.

Признаки равенства треугольников.

Начнём с определения. Треугольники ABC и A1B1C1 называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы, т.е. сторона АВ равна стороне А1В1, угол при вершине А первого треугольника равен углу при вершине А1 второго треугольника , угол при вершине В равен углу при вершине В1 второго треугольника, угол при вершине С равен углу при вершине С1 второго треугольника, сторона ВС равна стороне В1С1, сторона АС равна стороне А1С1.

Можно назвать и иное определение, применяемое к любым фигурам: треугольники равны, если присутствует движение, приводящее один из них в другой.

В В1

А С А1 С1

Треугольник состоит из шести элементов. Из трёх углов и трёх сторон.

При этом возникает вопрос: «Какого наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников?»

Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному элементу, потому что неизвестно: «Будут ли равны остальные элементы?»

В В1

А С А1 С1

АС = А1С1

Так же невозможно установить равенство двух треугольников, используя два элемента по причине нехватки информации для установления равенства.

В1

А С А1 С1

АВ = А1В1, АС = А1С1.

Однако, при этом возможно установление равенства двух треугольников используя три элемента. Но при этом возникает вопрос: «Какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства двух треугольников?»

Возможны следующие тройки элементов:

Если две стороны угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если тру угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если две стороны и угол лежащий не между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу лежащему не между ними другого треугольника то такие треугольники равны.
Если сторона и два угла не содержащие её одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам не содержащим её другого треугольника то такие треугольники равны.

Первым трём соответствуют признаки равенства треугольников, которые учащиеся традиционно изучают в седьмом классе, а вот остальные следует проверить.

Итак, мы попытались найти ответ методом подбора. С этой целью мы оставили теоремы и попытались доказать их.

Первая теорема.

Формулировка: если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В Дано: АВС, А1В1С1,

В1 В = В1, А = А1,

С = С1.

Доказать: АВС = А1В1С1.

А С А1 С1

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1, А = А¹, В = В¹, С = С¹; попробую доказать, что треугольники равны.

Так как А = А1, то вершина А совпадёт с вершиной А1, при этом совместятся лучи АС с А1С1 и АВ с А1В1(рис.1). Но так как мы не знаем = А1В1, или нет, нельзя утверждать, что вершина В совпадёт с вершиной В1, следовательно в данном случае невозможно утверждать, что треугольники равны. Значит теорема не верна.

В1

А(А1) С 1 С

Рисунок № 1

Вторая теорема.

Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Но в этой теореме есть один нюанс: угол может лежать против большей из представленных сторон, а может лежать против меньшей из представленных сторон. Мы рассмотрим оба случая.

Первый случай.

Формулировка: если две стороны и угол, лежащий против меньшей стороны, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против меньшей стороны, другого треугольника то такие треугольники равны.

Дано: АВС , А¹В¹С¹,

АВ = А¹В¹, ВС = В¹С¹,

А1 С = С¹.

Доказать: АВС = А1В1С1.

В С В1 С1

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, С = С1, попробуем доказать, что треугольники равны.

Так как С = С1, то вершина С совместится с вершиной С1, при этом совместятся лучи ВС и В1С1, АС и А1С1(рис.2).

Так как ВС = В1С1, вершина В совместится с вершиной В1(рис.3). Но нам неизвестно равен ли угол В углу В1, нельзя утверждать что, вершина А совпадёт с вершиной А1, значит нельзя сказать, что треугольники равны. Значит теорема не верна.

В(В1)

В В

В1

А(А1) С(С1) А(А1) С(С1)

Рисунок № 2 Рисунок № 3

Второй случай.

Формулировка: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

В В1 Дано: АВС, А1В1С1, АВ = А1В1,

ВС = В1С1, А = А1.

Доказать: АВС = А1В1С1.

А С А1 С1

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, А = А1, попробуем показать, что треугольники равны.

Так как А = А1, то вершина А совместится с вершиной А1, при этом совместятся лучи АС и А1С1, АВ и А1В1(рис.4). Так как АВ = А1В1, вершина В совместится с вершиной В1(рис.5). Так как ВС = В1С1, то вершина С совместится с вершиной С1(рис.6). Следовательно, АВС = А1В 1С1. Значит теорема верна.

В В(В1) В(В1)

В1

А(А1) С1 С А(А1) С1 С А(А1) С(С1)

Рисунок № 4 Рисунок № 5 Рисунок № 6

Таким образом, можно считать эту теорему ещё одним признаком равенства треугольников.

Третья теорема.

Формулировка: если два угла и сторона прилежащая к одному из них одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне прилежащей к одному из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

В В1 Дано: АВС, А¹В¹С¹,

АВ = А1В1, А = А1, С = С1.

Доказать: АВС = А1В1С1.

А С А1 С1

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1, АВ = А1В1, А = А1, С = С1, попробуем доказать, что треугольники равны.

Так как у треугольников АВС и А1В1С1 два угла равны: А= А1, С= С1;

То третий угол будет равен по свойству углов треугольника. Таким образом, треугольники АВС и А1В1С1, будут равны по второму признаку: два угла и сторона, заключённая между ними. Из всего вышесказанного мы сделали вывод, что это не отдельный признак равенства треугольников, а частный случай второго признака.

Вывод:

В ходе исследования мы обнаружили ещё один признак равенства треугольников. А именно по двум сторонам и углу лежащему против большей из них.

Рекомендации:

Мы предлагаем рассматривать этот признак при обучении учащихся в седьмом классе. Так же данный признак можно использовать в отраслях промышленности, где при изготовлении планов и чертежей необходимо знать признаки равенства треугольников.

Список литературы:

Справочник школьника: 5 – 11 классы. – М.: АСТ – ПРЕСС, 2002.
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Главный редактор Э68 М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.
Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/Д.И. Аверьянов, М34 П. И. Алтынов, И. И. Баврин и др. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2000.
Большой справочник школьника: 5 – 11 классы. – 3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2000
Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – Ш67 3-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2000.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова: Под общ. ред. О. Г. Хинн; Худож. А. В. Кардашук, А. Е. Шабельник, А. О. Хоменко. – М.: АСТ, 1995.
Геометрия: Планиметрия: 7 – 9 кл.: Учебник и задачник. – М.: Дрофа, 1995. ил. Киселев А. П., Рыбкин Н. А.
Роганин А. Н. Математика: Карманный справочник. – Харьков: Веста: Издательство «Ранок», 2008. – 416 с.
Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009.
Справочник по элементарной математике, М.Я.Выгодский,1982г.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвящение, 1988.
Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся 5 – 6 классов. – М.: МИРОСЭ, 1995.
Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.
И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев, Справочник по математике.1965г.
Пособие по математике для поступающих в вузы, А. Д. Кутасов, Т. С. Пиголкина, В. И. Чехлов, Т. Х. Яковлева. 1985г.

Третий признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Треугольники
Третий признак равенства треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, так как AC = A₁C₁, AB =A₁B₁ и BC =B₁C₁.

Из данной теоремы следует, что

треугольник — жесткая фигура, т.е. фигура, не подверженная деформации.

Доказательство:

Дано: ABC, A₁B₁C₁, AC = A₁C₁, AB =A₁B₁, BC =B₁C₁.

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Приложим ABC к A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, а вершины

C и C₁ оказались по разные стороны от прямой AB (A₁B₁).

1. Луч CC₁ проходит внутри A₁C₁B₁.

2. Луч CC₁ совпадает с одной из сторон A₁C₁B₁.

3. Луч CC₁ проходит вне A₁C₁B₁.(обратите внимание, что, несмотря на то, что изображения в п.2 и в п.3 похожи, эти два случая для различных

треугольников)

Рассмотрим последний случай (остальные доказываются аналогично): Поскольку по условию теоремы AC = A₁C₁, BC =B₁C₁, то CB₁C₁ и CA₁C₁ — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника B₁CC₁ = B₁C₁C, A₁CC₁ =

A₁C₁C. Следовательно, B₁CA₁ = B₁C₁A₁(B₁CA₁ = B₁CC₁— A₁CC₁= B₁C₁C — A₁C₁C = B₁C₁A₁ ).

Таким образом, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, B₁CA₁= B₁C₁A₁, а из этого следует,что ABC = A₁B₁C₁по I признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 136, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 137, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 142, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 175, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 651, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1271, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1294, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Triangle Proofs — Common Core: High School

All Common Core: High School — Geometry Resources

6 диагностических тестов 114 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Common Core: High School — Справка по геометрии » Конгруэнтность » Доказательство теорем треугольника: CCSS.

Math.Content.HSG-CO.C.10 » Доказательства треугольника

Конгруэнтны ли следующие два треугольника? Если да, то какую теорему мы можем использовать, чтобы доказать это?

Возможные ответы:

Да, они конгруэнтны по теореме SAS

Нет, они не конгруэнтны

Недостаточно информации для ответа на этот вопрос

Да, они конгруэнтны по теореме ASA

Правильный ответ:

Да, они конгруэнтны по теореме SAS

Объяснение:

Из рисунка видно, что существуют две конгруэнтные пары соответствующих сторон, и одна конгруэнтная пара соответствующих углов, . Теорема сторона-угол-сторона (SAS) утверждает, что если две стороны и угол между этими двумя сторонами треугольника равны двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.

Сообщить об ошибке

Какая из следующих теорем доказывает, что следующие два треугольника равны?

Возможные ответы:

Теорема с углом угловой стороны

Теорема боковой стороны

Теорема на стороне угловой стороны

Правильный ответ:

Правильный ответ: 9000 9000

9005

Правильный ответ: 9000 9000

Правильный ответ:

9000 9000

Правильный ответ: 9000 9000

Сторона-сторона-сторона Теорема

Пояснение:

Эти два треугольника имеют три равные стороны. Теорема Side-Side-Side (SSS) утверждает, что если три стороны одного треугольника конгруэнтны соответствующим сторонам другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.

Сообщить об ошибке

Какие из следующих пар треугольников конгруэнтны по теореме ASA?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Теорема угол-сторона-угол (ASA) утверждает, что если два угла и сторона, прилежащая к ним, конгруэнтны двум углам, а сторона, прилежащая к ним, конгруэнтны другому треугольнику, то эти два треугольника конгруэнтны. Наш первый вариант не может быть правильным, потому что этот рисунок не дает никакой информации об углах. Это можно доказать с помощью теоремы SSS. Второй рисунок дает информацию только об одном угле, это можно доказать с помощью теоремы SAS. Третий вариант снова дает информацию только об одном угле.

На четвертой фигуре два угла равны, а прилежащие к ним стороны равны. Ясно, что это единственная фигура, конгруэнтность треугольников которой может быть доказана с помощью теоремы ASA.

Сообщить об ошибке

Какая из следующих теорем доказывает, что следующие два треугольника подобны?

Возможные ответы:

Недостаточно информации, чтобы определить, что эти треугольники подобны.

Теорема SSS

Теорема AA

Теорема SAS

Правильный ответ:

Теорема AA

Пояснение:

Когда мы смотрим на этот рисунок, мы видим, что у нас есть две пары конгруэнтных соответствующих углов, . Теорема об углах (AA) утверждает, что если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Сообщить об ошибке

Следующие два треугольника подобны? Если да, то какая теорема доказывает, что это верно?

Возможные ответы:

Недостаточно информации, чтобы определить, подобны ли эти треугольники

Да, эти треугольники подобны по теореме подобия SSS

Нет, эти треугольники не подобны

Да , эти треугольники подобны по теореме подобия AA

Правильный ответ:

Да, эти треугольники подобны по теореме подобия SSS

Пояснение:

Теорема о сходстве сторон утверждает, что если все три стороны одного треугольника пропорциональны другому, то эти треугольники подобны. и подобны по этой теореме, поскольку каждая из их сторон пропорциональна коэффициенту 4.

Сообщить об ошибке

Верно или неверно: сторона-сторона-угол — это доказанная теорема, доказывающая конгруэнтность треугольников.

Возможные ответы:

Верно

Неверно

Правильный ответ:

Неверно

Пояснение:

Тот факт, что у треугольника две стороны и один угол равны двум сторонам и углу другого треугольника, не гарантирует конгруэнтность этих двух треугольников. Чтобы два треугольника были конгруэнтными, две конгруэнтные стороны также должны содержать конгруэнтный угол. Ниже приведены два треугольника, которые имеют конгруэнтные стороны и один угол, но не конгруэнтны.

Сообщить об ошибке

Докажите, что параллелограмм имеет два конгруэнтных треугольника, и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Предположим, что это середина и середина . Докажи это .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Какое из следующих утверждений описывает теорему подобия угла-стороны-угла?

Возможные ответы:

Если у двух треугольников две пары сторон имеют одинаковые пропорции и углы между ними равны, то эти два треугольника конгруэнтны

Если два треугольника имеют все три пары сторон в одинаковых пропорциях , то эти два треугольника подобны

Если два треугольника имеют две пары равных углов, то эти два треугольника подобны

Если два треугольника имеют две пары сторон одинаковой пропорции и углы между ними равны, то эти два треугольника подобны

Верно Ответ:

Если у двух треугольников две пары сторон имеют одинаковые пропорции и углы между ними равны, то эти два треугольника подобны

Объяснение:

Теорема о подобии угла-стороны-угла утверждает, что если у двух треугольников две пары сторон имеют одинаковые пропорции, а прилежащие к ним углы равны, то эти два треугольника подобны. Подобные треугольники могут быть разного размера, но все углы должны быть равны. Если два треугольника имеют пару равных углов, то мы знаем, что их противоположные стороны этого угла должны быть пропорциональны друг другу. Если у нас также есть две пары сторон, которые имеют одинаковые пропорции, то эти треугольники будут подобны. Эта теорема гарантирует выполнение этих условий.

Сообщить об ошибке

Рассмотрим треугольник ниже. Линия – это высота треугольника. Докажите, что треугольник сложен из двух равных треугольников, .

Возможные ответы:

Доказательство:

Правильный ответ:

. КОРЕЦИЯ:

9005

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

All Common Core: High School — Geometry Resources

6 диагностических тестов 114 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

2.

1: Заявление о конгруэнтности — Mathematics LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 34124

Генри Африк
CUNY Нью-Йоркский технологический колледж через Нью-Йоркский городской технологический колледж в CUNY Academic Works 9025
Два треугольника называются конгруэнтными, если один из них можно наложить на другой так, что они совпадут (подойдут друг к другу). Это означает, что конгруэнтные треугольники являются точными копиями друг друга, и когда их совмещают, совпадающие стороны и углы, называемые соответствующими сторонами и углами, равны.
На рисунке \(\PageIndex{1}\) \(\треугольник ABC\) равен \(\треугольник DEF\). Символом соответствия является \(\cong\), и мы пишем \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\). \(\угол A\) соответствует \(\угол D\), \(\угол B\) соответствует \(\угол E\), а \(\угол C\) соответствует \(\угол F\ ). Сторона \(AB\) соответствует \(DE, BC\), соответствует \(EF\), а \(AC\) соответствует \(DF\).
Рисунок \(\PageIndex{1}\): \(\треугольник ABC\) равен \(\треугольник DEF\).
В этой книге оператор конгруэнтности \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) всегда будет записываться таким образом, чтобы соответствующие вершины располагались в одном и том же порядке. Для треугольников на рисунке \(\PageIndex{1}\) мы могли бы также пишите \(\triangle BAC \cong \triangle EDF\) или \(\triangle ACB \cong \triangle DFE\), но никогда, например, \(\triangle ABC \cong \triangle EDF\) или \(\triangle ACB \ конг \треугольник DEF\). (Имейте в виду, что не все учебники следуют этой практике. Многие авторы будут писать буквы без учета порядка. Если это так, то мы не можем сказать, какие части соответствуют утверждению о конгруэнтности)
Следовательно, мы всегда можем сказать, какие части соответствуют, просто исходя из конгруэнтности. Например, учитывая, что \(\треугольник ABC \cong \треугольник DEF\), сторона \(AB\) соответствует стороне \(DE\), поскольку каждая состоит из первых двух букв, \(AC\) соответствует DF, потому что каждый состоит из первой и последней букв, \(BC\) соответствует \(EF\), потому что каждый состоит из двух последних букв.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Если \(\triangle PQR \cong \triangle STR\)
1. перечислить соответствующие углы и стороны;
2. найти \(x\) и \(y\).
Решение
(1)
\(\begin{array} {rcll} {\underline{\triangle PQR}} & \ & {\underline{\triangle STR}} & {} \\ {\angle P} & = & {\angle S} & {\text{(первая буква каждого треугольника в утверждении сравнения)}} \\ {\angle Q} & = & {\angle T} & {\text{ (вторая буква)}} \\ {\angle PRQ} & = & {\angle SRT} & {\text{(третья буква. Мы не пишем «}\angle R = \angle R \text{«, так как} } \\ {} & & {} & {\text{каждый}\угол R \text{различен)}} \\ {PQ} & = & {ST} & {\text{(первые две буквы)}} \\ {PR} & = & {SR} & {\text{(первая и последняя буквы)}} \\ {QR} & = & {TR} & {\text{(последние две буквы)}} \end{ массив}\) 9{\circ})} \end{array}\)
Следовательно
Ответ: \(\треугольник ACD \cong \треугольник BCD\).
Пример \(\PageIndex{3}\)
Предполагая, что \(\треугольник I \cong \треугольник II\), напишите оператор сравнения для \(\треугольник I\) и \(\треугольник II\):
Решение
Углы, отмеченные одинаково, считаются равными.
\(\begin{массив} {rcll} {\underline{\triangle I}} & \ & {\underline{\triangle II}} & {} \\ {\angle A} & = & {\angle B } & {(\text{оба отмечены одной чертой})} \\ {\угол ACD} & = & {\угол BCD} & {(\text{оба отмечены двумя штрихами})} \\ {\угол ADC } & = & {\angle BDC} & {(\text{оба отмечены тремя штрихами})} \end{массив}\)
Отношения такие же, как в примере \(\PageIndex{2}\).
Ответ : \(\треугольник ACD \cong \треугольник BCD\).
1 — 4. Для каждой пары равных треугольников
(1) укажите соответствующие стороны и углы;
(2) найти \(x\) и \(y\).
1. \(\треугольник ABC \cong \треугольник DEF\).
2. \(\треугольник PQR \cong \треугольник STU\).
3. \(\треугольник ABC \cong \треугольник CDA\).
4. \(\треугольник ABC \cong \треугольник EDC\).
5 — 10. Напишите утверждения о сходстве для каждого из следующих. Предположим, что треугольники равны и что углы или стороны, отмеченные таким же образом, равны.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Эта страница под названием 2.1: Заявление о соответствии распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Генри Африком (Нью-Йоркский технологический колледж в CUNY Academic Works) через исходный контент это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
1. Наверх
- Была ли эта статья полезной?
1. Тип изделия
  Раздел или страница
  Автор
  Генри Африк
  Лицензия
  CC BY-NC-SA
  Версия лицензии
  4,0
  Показать страницу TOC
  нет
2. Теги
  1. источник@https://academicworks. cuny.edu/ny_oers/44
Понимание конгруэнтных треугольников в геометрии

Понимание конгруэнтных треугольников

Мы обсудим ряд условий, которые можно использовать для доказательства конгруэнтности двух треугольников (то есть доказательства того, что они являются «одним и тем же» треугольником), и представим интуитивно понятные геометрические доказательства того, почему эти условия работают.
Ключевые термины
o Конгруэнтные
o Аналогичные
o Сторона-сторона-сторона (SSS) условие
o Сторона-угол-сторона (SAS) условие
o Угол-сторона-угол
o Состояние катета гипотенузы (HL)
Цели
o Знать разницу между равными и подобными треугольниками
o Знать различные условия, при которых два треугольника равны, и знать, как обосновать эти условия
o Научиться доказывать, что два треугольника равны

Конгруэнтность и подобие
При анализе групп фигур или фигур, состоящих из нескольких меньших частей, иногда полезно показать, что две отдельные фигуры или части фигуры одинаковы или подобны. В некоторых случаях это позволяет нам получить дополнительную информацию для нашего анализа. В случае треугольников мы можем применить различные методы, чтобы показать, что два треугольника одинаковы или подобны. Если у двух треугольников стороны одинаковой длины и углы одинаковой величины, то говорят, что их 9.0013 равных треугольников. Термин конгруэнтный также применяется к другим фигурам: например, если два отрезка имеют одинаковую длину, они конгруэнтны, а если два угла имеют одинаковую меру, они конгруэнтны. Пара конгруэнтных треугольников показана ниже.
Обратите внимание, что каждой стороне и углу треугольника слева соответствует соответствующая сторона или угол треугольника справа. Таким образом, это равные треугольники. Если два треугольника имеют только три равных угла (но не стороны), то треугольников аналогичный . Ниже показаны два подобных треугольника.
Обратите внимание, что, хотя стороны имеют разную длину, одни и те же три внутренних угла являются общими для обоих треугольников. Таким образом, эти два треугольника подобны.
Доказательство конгруэнтности
Как упоминалось выше, конгруэнтные треугольники должны иметь все стороны одинаковой длины и все углы одинаковой величины. Тем не менее нам не нужно демонстрировать все шесть этих соотношений, чтобы доказать конгруэнтность треугольников; доступно несколько ярлыков. Для каждого ярлыка мы продемонстрируем интуитивные причины, почему он работает.
Наш первый способ доказательства конгруэнтности двух треугольников (в целях обсуждения мы будем использовать треугольники ABC и XYZ) называется условием сторона-сторона-сторона (SSS) . Два треугольника равны, если все их стороны равны. Давайте немного посмотрим, почему это работает. Рассмотрим треугольник ABC ниже, и давайте построим отрезки, равные каждой стороне ABC.
Теперь рассмотрим отрезок, конгруэнтный стороне BC; давайте присоединим две другие стороны к обоим концам этого отрезка, но в противном случае мы оставим их свисающими.
Теперь мы хотим соединить эти две свисающие стороны нашего вновь построенного треугольника. Представьте, что эти стороны, соединенные в точках, изображенных на схеме, могут свободно качаться из этой точки. Пунктирные дуги, показанные на диаграмме ниже, показывают, куда могут идти конечные точки висячих сегментов. Обратите внимание, что они могут встретиться только в одной возможной точке (на самом деле есть две возможные точки, но другая точка, которая не показана, на самом деле приводит к тому же результату).
Что это значит? Из трех отрезков определенной длины можно построить только один треугольник. Как бы вы ни двигались по двум оборванным сторонам, они всегда будут образовывать только один конкретный треугольник. В результате, если два треугольника имеют стороны одинаковой длины, они должны быть одним и тем же треугольником (то есть должны быть конгруэнтны)! В результате треугольники ABC и XYZ ниже равны.
Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс по геометрии?
Наш второй ярлык — условие сторона-угол-сторона (SAS) . Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одинаковы у обоих треугольников. Мы можем продемонстрировать это условие конгруэнтности с большей легкостью. Рассмотрим снова некоторый треугольник ABC, скопируем две стороны (стороны AB и BC) и угол между ними (угол B) и построим соответствующую фигуру.
Обратите внимание, что фигура XYZ точно соответствует той части треугольника ABC, в которой отсутствует сторона AC: если бы мы поместили XYZ на вершину треугольника, они полностью перекрылись бы. Но если мы соединим точки X и Z, мы получим отрезок, длина которого точно такая же, как у отрезка AC. Таким образом (по SSS, если хотите!), образовавшийся треугольник XYZ и треугольник ABC конгруэнтны.
Третьим способом доказательства равенства треугольников является условие угол-сторона-угол (ASA) . Два треугольника равны, если два угла и сторона, прилежащая к ним, одинаковы у обоих треугольников. Давайте еще раз посмотрим на треугольник ABC и построим конгруэнтную сторону с двумя конгруэнтными углами.
Сторона XY имеет ту же длину, что и сторона AB, а углы A и B имеют те же размеры, что и углы X и Y. Отрезки пунктирной линии определяются углами. Две непараллельные и несовпадающие прямые пересекаются только в одной точке, поэтому два угла и прилежащая к ним сторона определяют один и только один треугольник.
В результате треугольник XYZ и треугольник ABC равны.
Наш последний общий способ доказательства конгруэнтности треугольников — это условие угол-угол-сторона (AAS) . Если два треугольника имеют два угла одной и той же меры, а также одну сторону (не включенную в углы) одной и той же меры, треугольники конгруэнтны. Давайте рассмотрим наш треугольник ABC и скопируем два угла и невключенную сторону.
Пунктирные линии на рисунке XYZ показывают линии, длины которых мы еще не знаем. Тем не менее, поскольку углы должны быть такими, как показано, мы знаем, что остальные стороны треугольника должны быть параллельны (в случае YZ) или совпадать (в случае XZ) с пунктирными линиями. Давайте продолжим отрезок линии от Z. Хотя он не пересекает Y, мы можем затем отрегулировать длину XZ до пересечения.
Тогда,
Здесь мы показали, что только одна длина отрезка XZ образует треугольник, учитывая сторону XY и углы X и Z. В результате два угла и не включенная сторона определяют ровно один треугольник, и, следовательно, треугольники ABC и XYZ должны быть конгруэнтны.
Эти иллюстрации должны помочь продемонстрировать, почему каждое из этих четырех общих условий доказывает конгруэнтность треугольников вообще. Частный случай доказательства конгруэнтности включает прямоугольные треугольники: условие катета гипотенузы (HL) . Напомним, что если мы знаем две стороны прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины третьей стороны. В результате, если два прямоугольных треугольника имеют гипотенузу и катет одинаковой длины, оставшийся катет также должен быть одинаковой длины для обоих треугольников. Тогда по нашему условию SSS два треугольника должны быть конгруэнтны.
Практическая задача: Используя четыре общих условия равенства треугольников (SSS, SAS, ASA, SSA), докажите условие HL.
Решение: Мы можем применить наши методы геометрического рассуждения для решения этой задачи. Давайте воспользуемся форматом корректуры в два столбца, чтобы четко изложить наши рассуждения, и начнем с рисования двух треугольников, ABC и XYZ. Обратите внимание, что мы помечаем гипотенузы XZ и AC как имеющие длину ·ч , а общие катеты AB и XY как имеющие длину ·1·.
Формат доказательства в два столбца будет следующим (обратите внимание, что мы используем символ для обозначения конгруэнтности).
1. AB XY. Данный
2. AC XZ, данный
3. BC = Pythagorean Теорема
4. BC = Pythagorean Theorem
5. BC. Pythagorean Theorem
5. BC. .
6. ABC XYZ Условие SSS (утверждения 1, 2 и 5)
Обратите внимание, что для утверждений 3 и 4 мы использовали теорему Пифагора для алгебраического вычисления длин BC и YZ; несмотря на то, что у нас нет фиксированных чисел, выражения все равно идентичны, учитывая ч и л . Таким образом, мы доказали, используя одно из наших четырех общих условий (SSS), что условие HL является допустимым способом доказательства конгруэнтности двух прямоугольных треугольников.
Практическая задача: Докажите, что треугольники MNO и MPO равны.

Решение : Еще раз воспользуемся доказательством в два столбца, чтобы проиллюстрировать наши рассуждения. Во-первых, мы знаем, что отрезок MO конгруэнтен сам себе (таким образом, треугольники MNO и MPO имеют конгруэнтную сторону — мы можем назвать это свойство тождество ). Мы также знаем, что треугольники имеют два конгруэнтных угла, которые делят отрезок MO: углы PMO (которые мы можем записать как ) и NMO (которые мы можем записать как ), а также углы NOM и POM ( и ).
No related posts.