Производная 2sin x 2: Помогите плиз Найти производную у=2sin x/2

x+2x, 3)y=xlnx, 4) y… — Учеба и наука

Содержание

Лучший ответ по мнению автора

03. 05.17
Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров

Читать ответы

✔Олеся / Математика

Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.

Решено

С помощью циркуля и линейки постройте угол 150’

Решено

Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см,а само основание равно 24 см.Найдите градусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружность(и чертёж)

Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81%

Пользуйтесь нашим приложением

Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .   Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

 Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 

равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

3.Определение касательной к графику функции

Определение. Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f(x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f(x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: 

y/(x)=limΔx→0ΔyΔx

Δy=f(xx)−f(x). 

Уравнение касательной

 к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k Т.к. x0 и f(x0)∈  прямой, то уравнение касательной записывается в виде: yf(x0)=f/(x0)(xx0) , или

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0. 

 

 

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0

 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f(x0) — значение самой функции.

Пример

Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Решение. Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x – x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f(x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f(x0) = f(2) = 23 = 8; Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2; Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12; Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.

Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12x − 16

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.

Решение. В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем: f(x0) = f(π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7; f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x; f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0; Уравнение касательной: y = 0 · (x − π/2) + 7 = y = 7.

Ответ: y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Уравнение касательной.

  • Это прямая,значит ее уравнение

  • y=kx+b

  • k=tga= fi(x0)

  • Y=fi(x0) x+b *

  • точка касания А принадлежит графику. Значит ее координаты(x0.f(x0)) . обращают уравнение прямой в верное равенство

  • f(x0)= fi(x0)х0+b

  • отсюда b= f(x0)- fi(x0)х0

  • y= fi(x0)х0+ f (x0)- fi(x0)х0

  • y= f (x0)+ fi(x0) (х-х0)

Запомните! Y=f(x0)+f|(x 0)(x-x0)

Задачи на составление касательной к графику функции в точке ,принадлежащей графику

  • Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x2+3x+1в точке с абсциссой х0=1

  • Решение.

  • 1. х0 =1 -абсцисса точки касания.

  • 2. Найдем f(1).f(1)=12+3*1+1=5

  • 3. Найдем fi(x)и fi(x0), fi(x)=2х+3, fi(1)=5

  • 4. Подставим найденные числа в общее уравнение касательной. y =f(x0)+ fi(x0) (x-x0), y = 5+5 (x-1), y = 5x+4

  • Это и есть искомое уравнение касательной

Проведение касательной параллельной заданной прямой

  • Задача1. Напишите уравнение всех касательных к графику функции y =x2-2x-8 параллельных прямой y= -4x-4

  • Решение .1. Обозначим абсциссу точки касания х0

  • 2.Найдем f(x0).f(x0)= x02-2×0-8

  • 3.Найдем fi(x) и fi(x0). fi(x)=2x-2. fi(x0). =2×0-2

  • Из условия параллельности следует,что fi(x0)= — 4, решив уравнение 2×0 -2 = — 4,

  • получим х0 =-1.Подставим найденные значения в общее уравнение касательной y = f(x0)+ fi(x0) (x-x0), у= -5 — 4(х+1), у= — 4х-9 — уравнение касательной

  1. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция fнепрерывна на (a, b).

Урок — проверка знаний учащихся в 10 классе по теме:»Производная. Вычисление производных.» | План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему:

                             Урок — проверка знаний учащихся в 10 классе по теме:

Производная.

Вычисление производных.

Учитель математики Дрига Елена Викторовна

Цели и задачи:  Проверка знаний учащихся по теме: «Производная, правила                  дифференцирования». Систематизация и обобщение знаний учащихся. Формирование личной ответственности каждого учащегося за учебный труд.

Учащиеся должны знать: определение производной, дифференцируемость функции в точке, правила дифференцирования, таблицу производных, геометрический смысл производной, условия монотонности функции.

План урока

  1. Устные упражнения (найти производную)
  2. Математический диктант:1 учащийся работает на переносной доске.
  3. Опрос теории (использование жетонов).
  4. Конкурс «верно-неверно» (при утвердительном ответе поднимается левая рука, при отрицательном-правая).
  5. Конкурс «задачи-картинки».
  6. Программированный контроль по вариантам.
  7. Вопросы друг другу.
  8. Сведения из истории терминов и обозначений.
  9. Логический тест.
  10. Подведение итогов урока.
  11. Резерв.

Ход урока

Класс разбит на 4 группы по 5-6 человек. В каждой группе имеется командир (лучший уч-ся).

1.  Устные упражнения: а) найти производную (жетон за правильный ответ)

1) y =3×2-6x                          6) y =2sin x

2) y =7×3-2                                   7) y =cos 5x

3) y =x3+√3                                  8) y =sin (3-2x)

4) y =√10-x3                                     9) y =2×3-3sin3x

5) y =(3-2x)5                                                  10)y =tg3x-8

б) промежутки непрерывности функции:

 y=x2-2,  

      1

y= ─

        x-1

 

y=x/x2-4

в) найти ошибку: 1) (x6+3×4-√x3+2-π)׳=6×7+3×3+3x/√x3- π

                               2)  (3cos(5×2+  π/3)) ׳=3•5x•sin(10x+π/3)

2.   Математический диктант (под копирку)

  1. Записать определение производной с помощью математических символов.
  2. Когда функция дифференцируема в точке х0.
  3. Чему равна производная степенной функции y=xn.
  4. Найти производную функции y=3×4-⅓•x3+1/2•x2-7x+π.
  5. В каком случае функция возрастает на некотором промежутке.
  6. Найти производную функции: y=sinx-cosx.
  7. Чему равна производная частного?
  8. В чем заключается геометрический смысл производной функции f(x) в точке (x0;f(x0))?

Ответы диктанта

1) ∆f = f(x0+∆x)-f(x0)  , ∆x→ 0

    ∆x          ∆x          

 2) если  функция имеет производную в точке  x0.

3) y ׳=n •xn-1

4) y ׳=12×3-x2+x-7

5) f׳(x)>0

6) y ׳=cosx+sinx

7) u= u ׳v-uv ׳

    v       v2

8)  Угловой  коэффициент касательной  в точке (x0;f(x0)) равен  f ׳(x0), т.е. k=f ׳(x0).

Выставление оценок.

После диктанта проверка правильности ответов проверяется по доске, на которой работал один из учащихся.

Учащиеся сами выставляют себе баллы за диктант.

                  За 8-5 баллов

        7-4 балла

        6-3 балла

        5-2 балла

        4-1 балл

        1-3-0баллов

Подсчитывается сумма баллов в каждой команде и сообщается в жюри.

3  Опрос теории.

Команды задают вопросы друг другу. Каждая команда задает по одному вопросу командам соперникам. За правильный ответ участник получает жетон.

                                       Список вопросов.  

  1. Когда f ׳(x)>0, f ׳(x)
  2. Приращение аргумента, функции, обозначение.
  3. Понятие секущей.
  4. Касательная.
  5. Производная функции, обозначение, запись.
  6. Какая функция называется дифференцируемой?
  7. Непрерывная функция, пример. Функция не являющаяся непрерывной.
  8. Производная постоянной.
  9. Производная степенной функции.
  10. Производная суммы.
  11. Производная произведения.
  12. Производная √х, 1 /х, (с •u) ׳
  13. Производная sinx, cosx, tgx.
  14. Алгоритм нахождения производной сложной функции.
  1. Конкурс «верно-неверно».
  1. Задачи-картинки.

Каждой команде выдаются сигнальные карточки с цифрами 1, 2 и 3.

После обдумывания вопроса каждая команда поднимает сигнальные карточки с номером правильного ответа. Если ответ верный, команда получает жетон.

 

Задания конкурса.

1)                • А                                                 1. f׳(x)=0

                                                                          2. f׳(x)

          0                            х                                3. f׳(x)>0

           у     •В

2)

         0                          х                                   1. f׳(x)=0

                                                                          2. f׳(x)

                                                                          3. f׳(x)>0

                   у

3)                                                                       1. 0

                                2                                        2. 0

                      0                    4                 х         3. x>2

                                           

 

                    у                                                      

4)                                                                       1. x

                                                                          2. x>0

                                              х                          3. -∞

                          0

             у

                                                                   

5)                                                                      1. ⅓; 1

                                                                         2. 0; 1

                                                                         3. 0; ⅓; 1

             0        ⅓  ½           1          х

  1. Какое значение (рис. 1) принимает производная функции y=f(x)  в точке А.
  2. Какое значение (рис.2) принимает производная функции y=f(x)   в точке В.
  3. Назвать промежуток убывания функции (рис.3).
  4. Назвать промежуток возрастания функции (рис.4).
  5. Назвать точки, в которых производная функции равна 0 (рис.5).
  1. Программированный контроль  (по вариантам).

задание

ответ

Вариант 1

Вариант 2

1

2

3

4

1. f(x)=(3+4x)(4x-3)

f ׳(-1)=?

1. f(x)=(2-5x)(5x+2)

            f ׳(-1)=?

-32

32

50

-50

2. f(x)=5×8-8×5

           f ׳(-1)=?

2. f(x)=9×6-6×9

            f ׳(-1)=?

80

-80

108

-108

3. f(x)=0,5cos(2x-π/2)

            f ׳(π/3)=?

3. f(x)= 3sin(x/3-π/2)

             f ׳(2π)=?

-√3/2

√3/2

1/2

-1/2

Верные  ответы:  Вариант 1   1;2;4

                                 Вариант 2   3;4;2

Учащиеся находят верные ответы и записывают их на листочках и сдают от каждой группы по листочку в жюри. Каждое верно сделанное задание оценивается 1 баллом команде.

  1. Сведения из истории терминов и обозначений.

Готовятся  самими учащимися заранее.

  1. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

5х3-6х                15х2-6              30х

2sinx                  2cosx                -2sinx

 

cos2x                 -2sin2x              -4cos2x

б) Вставить пропущенное слово

математика        3« х «6               тема

дециметр           5« х «8                метр       

Резерв

Найти производную функции

  1. y=(2×3+4x)6
  2. y=x8-2×6+√x5+9-π
  3. y=√3×3+2×2-12 ,  y׳(2)-?

Итоги урока.

Домашнее задание: п.41, №41.12,  41.15, 41.17, 41.19.

Вычисление производных — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Производная
ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРОИЗВОДНЫХ
Производная степени и многочлена
9
(2 x 4) ‘ 2
(7 9 x) ‘
(6 x 3) ‘
6
(5 4 x) ‘ 4
(3 x 7) ‘
3
(6 3x) ‘
(5 x 8) ‘ 5
(7 x 9) ‘
3
7
(x ) ‘
3
(x ) ‘
5
(x ) ‘
6
3x
( x ) ‘ 8x
8
4
5x
6x
2
5
7
11
( x ) ‘ 12x
12
( x ) ‘ 15x
22
23
23x
(x ) ‘
15
14
3
(x ) ‘
5
(x ) ‘
3x
4
5x 6
7
( x ) ‘ 6x
9
8
( x ) ‘ 8x
6
) ‘ 12x
15
) ‘ 15x
(x
(x
13
12
(x
23
) ‘ 23x
16
24
1
2 3
x x
3
3
4
4 7
7
x x
7
2
3
x
85
x
7
3
7
x
3
5
x
8
4
3
3
8
5
2 3
x x
3
2
3
12
5 7
x x
7
5
7
7
4 3
x x
3
4
3
Производная степени и многочлена
( 2 x 4) ‘ 2 x 4
2
1
2x 4 3 2
3
2
2
2x 4 3
3
3
1
3
Производная степени и многочлена
(2 x ) ‘
5
7
2 5 x 10 x
4
(3x ) ‘
3 ( 7) x
(5 x ) ‘
8
9
2
45x
(4 x ) ‘ 8x
3
8
4
(7 x ) ‘ 28x
4
3
8
(6 x ) ‘ 48x
4
9
(10 x ) ‘ 40x
(8 x ) ‘ 24x 2
3
5
Производная степени и многочлена
3
2
( x 3x 4) ‘ 3 x 3
( x5 6 x 2 7) ‘ 5 x 4 12 x 3
( x 9 x 7 x 2 x 6) ‘ 6 x5 27 x 2 14 x 2
8
5
3
3
( x 2 x 3x 9 5x ) ‘ 8 x 7 10 x 4 9 x 2 15 x 4
6
3
2
( x12 3×6 4 x 2 8x 2 ) ‘ 12 x11 18 x5 8 x 16 x 3
8
7
15 x 21x 4
( x 23 5) ‘ 23x 22
( x8 4 x5 ) ‘ 8 x 7 20 x 4
( x 3x 4 x 9) ‘
15
14
Производная степени и многочлена
Вычислить значение производной в точке
х=5,
Другими словами требуется найти f ′(5).
f ( x) x 2 x 4
2
f ( x) ( x 2 x 4) ‘ 2x 2
2
f (5) 2 5 2 12
Производная тригонометрических
функций
1
1
1
(sin x) ‘ cos x
(sin x) ‘ cos x
2
2
2
(sin 2 x) ‘ 2cos 2x
(sin 5 x) ‘ 5cos5x
(sin 7 x) ‘ 7cos 7x
1
(sin x) ‘
3
2
(sin x) ‘
3
3
(sin x) ‘
5
1
1
cos x
3
3
2
2
cos x
3
3
3
3
cos x
5
5
Производная тригонометрических
функций
1
1
1
(cos x) ‘ sin x
2
2
2
1
1
(cos 2 x) ‘ 2sin 2x
1
(cos x) ‘ sin x
3
3
3
(cos 5 x) ‘ 5sin 5x
2
2
2
(cos x) ‘ sin x
3
3
3
(cos 7 x) ‘ 7 sin 7x
3
3
3
(cos x) ‘ sin x
5
5
5
(cos x) ‘ sin x
Производная тригонометрических
1 функций
(ctgx) ‘
(ctg 2 x) ‘
2
sin x
2
2
sin 2x
5
(ctg 5 x) ‘
2
sin 5x
7
(ctg 7 x) ‘
2
sin 7x
6
(ctg 6 x) ‘
2
sin 6x
1
2
1
(ctg x) ‘
2 1
2
sin x
2
1
3
1
(ctg x) ‘
2 1
3
sin x
3
(ctg 4 x) ‘
4
2
sin 4x
Производная тригонометрических
функций
(3sin 5 x) ‘ 3 5cos5x
(5cos 2 x) ‘ 5 2sin 2x
7 4
(7tg 4 x ) ‘
2
cos 4x
9 3
(9ctg 3x) ‘ 2
sin 3x
( 6 cos 7 x) ‘ 6 7sin 7x
2 6
(2tg 6 x) ‘
2
cos 6x
Производная тригонометрических
функций
(3sin x) ‘ 3cos x
(5cos x) ‘ 5sin x
( 6 cos x) ‘ 6sin x
7
(7tgx) ‘
2
cos x
9
(9ctgx ) ‘ 2
sin x
2
(2tgx) ‘
2
cos x
Производная тригонометрических функций
Вычислить значение производной в точке
х=π,
Другими словами требуется найти f ′(π).
f ( x) sin 2 x
f ( x) (sin 2 x) ‘ 2cos 2x
f ( ) 2 cos 2 2
Производная сложной функции
((2 x 4) )’ 5 (2 x 4) (2 x 4)’
4
5
5 (2 x 4) 2 10 (2 x 4)
4
4
((5 x 8) )’ 7 (5x 8) (5x 8)’
7
6
7 (5 x 8) 5 35 (5x 8)
6
6
Производная сложной функции
((7 x 9) )’ 8 (7 x 9) (7 x 9)’
8
7
8 (7 x 9) 7 56 (7 x 9)
7
7
((3x 7) )’ 9 (3x 7) (3x 7)’
9
8
9 (3x 7) 3 27 (3x 7)
8
8
Производная сложной функции
((5 4 x) )’ 3 (5 4 x)2 (5 4 x) ‘
2
2
3 (5 4 x) ( 4) 12 (5 4 x)
3
((7 9 x) ) ‘ 11 (7 9 x) (7 9 x) ‘
10
11
11 (7 9 x) ( 9) 99 (7 9 x)
10
10
((6 3x) ) ‘ 8 (6 3x) (6 3x) ‘
8
7
8 (6 3x) ( 3) 24 (6 3x)
7
7
Производная сложной функции
3
4
((5 7 x) )’ 3 (5 7 x) (5 7 x) ‘
4
3 (5 7 x) ( 7) 21 (5 7 x)
11
((7 x 9) ) ‘ 11 (7 x 9)
11 (7 x 9)
12
8
12
4
(7 x 9) ‘
7 77 (7 x 9)
12
9
((6 x 3) ) ‘ 8 (6 x 3) (6 x 3) ‘
9
8 (6 x 3) 6 48 (6 x 3)
9
Производная сложной функции
2
( 2 x 4) ‘
2 2x 4
( 6 x 3) ‘ 6 x 3
3
1
6 x 3
3
2
3
1
3
1
2x 4
6 2 6 x 3
2
3
Производная сложной функции
( 5 x 8) ‘ 5 x 8
6
6
1
5
5x 8 7 5 5 x 8 7
7
7
1
4
( 3 x 7) ‘ 3 x 7 4
3
3
1
3
3x 7 4 3 3x 7 4
4
4
7
1
7
Производная сложной функции
Вычислить значение производной в точке
х=0,
Другими словами требуется найти f ′(0).
((2 x 4) )’ 5 (2 x 4) (2 x 4)’
4
5
5 (2 x 4) 2 10 (2 x 4)
4
4
f (0) 10 (2 0 4)
4
10 ( 4) 10 256 2560
4
Правила дифференцирования
(4 x 7) (5 x 8)
(4 x 7) (5 x 8) (4 x 7) (5 x 8)
4 (5 x 8) (4 x 7) 5
(4 7 x) (5 8 x)
(4 7 x) (5 8 x) (4 7 x) (5 8 x)
7 (5 8 x) (4 7 x) ( 8)
Правила дифференцирования
Вычислить значение производной в точке
х=1,
Другими словами требуется найти f ′(1).
(4
x
7)
(5
x
8)
4 (5 x 8) (4 x 7) 5
f (1) 4(5 1 8) 5(4 1 7)
4( 3) 5 11 43
Производная показательной функции
x
(e ) ‘ e
3x
3x
(e ) ‘ 3e
x
8 x 5
(e ) ‘ 8e
2 x 7
2 x 7
(3e ) ‘ 3 2e
8 x 5
8 5 x
8 5 x
(5e ) ‘ 5 2e
(e ) ‘ 5e
5x
5x
4 x 5
4 x 5
(7e 9) ‘ 7 5e
(e ) ‘ 4e
4 x 1
4 x 1
2 9 x
2 9 x
(3e ) ‘ 3 4e
(e ) ‘ 9 e
2x
2x
(e
5 4 x
3 x 4
(e
) ‘ 4e
) ‘ 3e
5 4 x
3 x 4
3 6 x
) ‘ 6e
3 2 x
) ‘ 2e
(e
(e
3 6 x
3 2 x
Производная показательной функции
(4 ) ‘ 4 ln 4
(5x ) ‘ 5 x ln 5
3x
3x
(4 ) ‘ 3 4 ln 4
x
x
(52 x ) ‘ 2 52 x ln 5
x
(6 ) ‘ 6 ln 6
(2 ) ‘ 2 ln 2
(2 ) ‘ 2
(3
x 1
2 x 5
(3
(7
5 4 x
x 1
x 2
ln 2
) ‘ 4 7
5 4 x
ln 7
)’ 3
2 3 x
3
4
5
ln 5
)’
ln 3
) ‘ 5 65 x 2 ln 6
3 6 x
) ‘ 6 9
(9
5 3 x
(6 4
x 2
5 x 2
(6
2 x 5
2
3
ln 3
)’
2 3 x
(4 5
x
x
x
3 6 x
) ‘ 3 6 4
ln 9
5 3 x
ln 4
Производная логарифмической функции
1
(ln( x 5)) ‘
x 5
1
(ln( x 7)) ‘
x 7
1
1
(lg x 5) ‘
(3 lg x) ‘
x ln10
x ln10
7
4
(ln(7 x 3)) ‘
(ln(4 x 9)) ‘
7x 3
4x 9
1
1
(log8 x) ‘
(log 4 x) ‘
x ln 8
x ln 4
Производная логарифмической функции
2
7
(2 ln( x 1)) ‘
(7 ln( x 2)) ‘
x 1
x 2
1
1
(lg x 1) ‘
(6 lg x) ‘
x ln10
x ln10
4
5
(ln(5 x 3) ‘
(ln(4 x 5) ‘
4x 5
5x 3
2
1
(log5 (2 x 7)) ‘
(log3 ( x 2)) ‘
(2 x 7) ln 5
( x 2) ln 3
Производная логарифмической функции
5
8
(ln(1 5 x)) ‘
(2 ln(4 x 3)) ‘
1 5x
4x 3
2
1
(lg 2 x) ‘
(1 lg x) ‘
2 x ln10
x ln10
9
4
(ln(4 9 x) ‘
(ln(4 x 2) ‘
4 9x
4x 2
1
1
(log 4 x) ‘
(log 7 x) ‘
x ln 4
x ln 7
Производная показательной функции
Вычислить значение производной в точке
х=4
Другими словами требуется найти f ′(4). 2=18
x-y=3…

Упростите квадратный корень…

Решить неравенство.

(2-√5)(3х-4)⩽0…

Решите пожалуйста пример

Математика

Литература

Алгебра

Русский язык

Геометрия

Английский язык

Химия

Физика

Биология

Другие предметы

История

Обществознание

Окружающий мир

География

Українська мова

Українська література

Қазақ тiлi

Беларуская мова

Информатика

Экономика

Музыка

Право

Французский язык

Немецкий язык

МХК

ОБЖ

Психология

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

исчисление — Нахождение производной от $\cos 2 x — 2 \sin x$

Задавать вопрос

спросил

Изменено 5 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 169раз

$\begingroup$

Итак, я учился исчислению, и я очень новичок во всем этом, поэтому заранее извиняюсь за, возможно, довольно глупый вопрос.

Я пытаюсь найти производную функции $f(x) = \cos 2x — 2 \sin x$.

Я на 99% уверен, что производная от $\cos$ равна $-\sin$, а производная от $\sin$ равна $\cos$. Итак, я получил $-\sin 2 + \cos 1$. Я просто прошел слева направо — $2x$ становится $2$, а $+-2$ становится просто плюсом к следующему элементу, потому что константы исчезают и т. д.

Однако ответ в моей книге $-2 \cos x(1+2 \sin x)$. Я понятия не имею, как книга получила это. На всякий случай, если я неправильно понял проблему, там написано

.

В упражнениях с 1 по 14 определите производную $f'(x)$. В каждом случае подразумевается, что $x$ ограничивается теми значениями, для которых имеет смысл формула для $f(x)$.

И затем для каждой проблемы он дает функцию, подобную этой конкретной.

Будем признательны за любую помощь. Спасибо!

  • исчисление
  • функции
  • тригонометрия
  • производные

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Подсказка

Цепное правило

$$h(g(x))\to h'(g(x))\cdot g'(x)$$ Цепное правило используется для внутренней функции, которая в вашем случае будет $2x$, а внешняя будет $\cos(u)$, $u=2x$. Итак, сначала возьмите производную от внешнего, что даст вам результат ниже

$$\cos(2x)\to -\sin(2x) \cdot2$$

Тригонометрические тождества

$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$

Производные тригонометрические тождества

$\sin(u)\to u’\cos(u)\\\\\\\\\\\\\\\\\cos(u)\to -u’\sin(u)$

Окончательный ответ $$f(x)=\cos(2x)-2\sin(x)$$ $$f'(x)=(2)(-\sin(2x))-2(\cos(x))$$ $$f'(x)=-2\sin(2x)-2\cos(x)$$ $$f'(x)=-2(2\sin(x)\cos(x))-2\cos(x)$$ $$f'(x)=-2\cos(x)(1+2\sin(x))$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Итак, хитрость здесь заключается в тригонометрических тождествах:

$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$

По сути, мы получаем

$$-2 \ cos (x) (1 + 2 \ sin (x)) = — 2 \ cos (x) -2 \ underbrace {(2 \ sin (x) \ cos (x))} _ {\ большой \ грех (2x) )}$$

И обратите внимание на маленькое цепное правило в исходной задаче.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

$\frac d{dx} \cos x = -\sin x\\ \frac d{dx} \sin x = \cos x$

Эти x важны. Вы не можете сказать, что «производная греха есть cos». «sin» и «cos» не имеют смысла без аргумента $x.$

Далее у нас есть цепное правило. $\cos x$ — это функция. $\cos 2x$ — составная функция.

$\frac d{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g(x)$ или $\frac {df}{dg}\frac {dg}{dx}$, используя Удобная запись Лейбница. Теперь об отказе от ответственности: $\frac {df}{dg}$ не является настоящей дробью, но по обозначениям она ведет себя как единица. И когда Либниц придумал обозначение, он подумал, что это истинная дробь.

$\frac d{dx} \cos 2x = (-\sin 2x)(2) = -2 \sin 2x$

складываем все вместе

$\frac d{dx} \cos 2x — 2\ sin x= -2\sin 2x — 2 \cos x$

И я был бы склонен оставить это здесь. В книжном ответе применено триггерное тождество $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, но я не думаю, что это добавляет простоты или ясности.

$\endgroup$

Твой ответ

г.

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость 92x с использованием правила произведения

Правило произведения для дифференцирования утверждает, что производная от f(x). g(x) равна f'(x)g(x) + f(x).g'(x)


Правило произведения:
Для двух дифференцируемых функций f(x) и g(x)


Если F(x) = f(x).g(x)

1

1

1

1
Тогда производная F(x) равна F'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)


Во-первых, пусть F(x) = sin 2 (x)

Тогда помните, что sin 2 (x) равен sin(x).sin(x)

Итак, F(x) = sin(x)sin(x)

Установив f( x) и g(x), поскольку sin(x) означает, что F(x) = f(x).g(x), и мы можем применить правило произведения, чтобы найти F'(x)

92x с использованием цепного правила

Цепное правило полезно для нахождения производной функции, которую можно было бы дифференцировать, если бы она была по x, но она представлена ​​в виде другого выражения, которое также можно было бы дифференцировать, если бы оно стояло само по себе . 2x. 92x

Хотя выражение sin 2 x не содержит круглых скобок, мы все же можем рассматривать его как составную функцию (функцию функции).

Мы можем написать sin 2 x как (sin(x)) 2 .

Теперь функция имеет форму x 2 , за исключением того, что она не имеет x в качестве основания, вместо этого она имеет другую функцию x (sin(x)) в качестве основания.

Назовем функцию основания g(x), что означает:

g(x) = sin(x)

Отсюда следует, что:

sin(x) 2 = g(x) 2

Итак, если функция f(x) = x 2 и функция g(x) = sin(x ), то функция (sin(x)) 2 может быть записана как составная функция.

f(x) = x 2

f(g(x)) = g(x) 2 (но g(x) = sin(x))

f(g(x)) = (sin(x)) 2

Определим эту составную функцию как F(x):

F(x) = f(g(x)) = (sin(x)) 92x с использованием цепного правила:

F'( x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Определение правила продукта
= f'(x)sin(x) + sin(x) )g'(x) f(x) = g(x) = sin(x)
F'(x) = f'(g(x)). g'(x) Определение цепного правила

g(x))(cos(x))

92x, нам просто нужно дифференцировать 2sin(x)cos(x)

Мы можем использовать правило произведения, чтобы найти производную 2sin(x)cos(x).

Мы можем положить f(x) = 2sin(x) и g(x) = cos(x) и применить правило произведения, чтобы найти производную f(x).g(x) = 2sin(x)cos( x)

Правила произведения говорят, что производная от f(x).g(x) равна f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

2cos(x)cos(x) + 2sin(x)(-sin(x))
= 2cos 2 (x) – 2sin 2 (x)
= 2(cos 2 (x) — грех 92x равно 2cos(2x)

Интересно, что вторая производная sin 2 x равна первой производной sin(2x).

Математическая сцена — Производные, урок 5

Математическая сцена — Производные, урок 5 — Цепное правило
g(x) = sin(x) ⇒ g'(x) = cos(x)
= (2sin(x)).(cos (x)) f(g(x)) = (sin(x)) 2 f'(g(x)) = 2sin(x)
9sin4 = 2sin(x) (x)cos(x)

2009  Расмус Эф    и Джанн Сак

Урок 5

Цепное правило

 


Пример 1

Дифференцировать f(x) = (х 3 +1) 2 .

Единственный способ, который у нас есть делать это до сих пор, сначала умножая скобки, а затем дифференциация. Если мы сделаем это, мы получим

f(x) = x 6 + 2x 3 +1 и, следовательно, f(x) = 6x 5 +6x 2 .

Это не проблема с простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если у нас, например, f(x) = (x 3 +1) 6 ?
В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы умножить скобки перед дифференциация.

Чтобы различать составные функции, подобные этой, мы используем так называемое цепное правило. Делаем пример 1 еще раз, чтобы увидеть, как это работает.

г.

f(x) является примером составная функция, введенная в функциях 2.
Его можно записать как f(u) = u 2 , где u = x 3 +1, u равно функция от x, то есть u(x) = x 3 +1.

Цепное правило гласит, что мы сначала продифференцируем f(u) относительно u как переменной и получим f(u) = 2u (точно так же, как (x 2 ) = 2x)
Далее дифференцируем u и получаем u(x) = 3x 2 . Наконец, мы умножаем два результата вместе и получить
е (х) = 2u3x 2 . Возвращая значение u, получаем f(x) =2 ( x 3 +1)3x 2 = 6x 5 +6x 2

Это дает нам правило называемое Цепным правилом, которое гласит, что

 (f(u(x)) = f(u(x))u(x)

Мы указали только правило здесь, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.

г.

Пример 2

Дифференцировать композит функция f(x) = sin 2 x.

Обозначение грех 2 х это другой способ записи (sin x) 2 так что квадрат — это внешняя функция, а sin x — внутренняя функция. Начать с мы разделим это на две части, но с практикой этого не будет необходимый.

ф(х) = (синус х) 2 можно записать как f(u) = ты 2 где и = грех х.

 f(u) = 2u  и u= cos x , так что  вместе мы получаем

   f(x) = 2ucos x = 2 sin x cos x

Цепное правило гласит, что для дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножить на производную внутренней функции.

Пример 2 +

Дифференцируем f(x) = sin x 2 . Это можно записать как f(u) = sin u, где ты = х 2

Таким образом, в этом случае синус является внешней функцией и квадрат является внутренним функция

   f(x) = cos x 2 2x

Пример 3

Мы можем использовать правила cos x = sin (/ 2 x) и sin x = cos(/ 2 x), чтобы найти производную от cos x.

cos x = f(x) = sin (/ 2 x)

Производная синуса, внешняя функция есть cos и производная от (/ 2 x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем

   f(x) = cos(/ 2 х)(1)

= грех х (1)

= грех х

Пример 4

Найдите производную f(x) = sin 2 x 2 .

Это можно записать как f(x) = (sin x 2 ) 2 Итак, у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция является квадратичной, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.

г.

Мы можем написать f = u 2 , где u = sinv и v = х 2 . Различение каждой функции и умножение дает нам 2 u cos v 2x, и сложив значения u и v, мы получим результат:

   f(x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x  

Первый мы дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений. Затем мы дифференцируем функцию синуса, чтобы получить cos и оставить х 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получи 2х.

Пример 5

а)  f(x) = e 2x        
f(x) = e 2x 2   

Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной. производная от 2х равна 2.

 

Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной, т. производная x 2 + 1 равна 2x.

 

41 41953306

в) f(x) = e sin x

696669 41
. х соз х

Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной, т. производная от sin x равна cos x.

Теперь мы хотим найти правило для дифференциации f(x) = lnx.

Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает дифференциацию обеих сторон уравнение.

Если f(x) = ln x, то e f(x) = х. Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее;

   e f(x) = х

   e f(x) ф(х) = 1 Использование цепного правила.

Решая f(x), мы получаем

.

   f(x) = 1/e f(x)

          = 1/x Помните, что x = e f(x) .

Теперь мы можем найти производную от другого логарифмические функции.

Найдите производную f(x) = log x.

Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и соотношение между логарифмами с разным основанием. Этот нужное нам правило:

г.

Таким образом, мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм, ln x.

Логарифм ln 10 является константой, которая не влияет на производная, остальное просто.

Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем обобщить следующие три правила:

 

г.

Пример 6

Дифференцируем f(x) = ln(x 2 + 1).

Пример 7

Дифференцируем f(x) = xln х х + 5.

   f(x) = 1lnx + x1/x 1 = ln x

Суммируя производные


Производное:

       к = 0            к = константа   Икс = 1

г.

      (x n ) = nx n1 n может быть любым действительным числом.

      (e x ) = е х

      (a x ) = x в

      (sin x) = cos х

      (cos x) = sin x

  Правила:

(УФ) = УФ + УФ

(f(g(x)) = f(g(x))g(x)


Практикуйте эти методы, а затем пройти тест 5 по производным.

шт. Запомните свой контрольный список.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Производные синуса, косинуса и тангенса 92x`

Изучите анимации этих функций с их производными здесь:

Дифференциальный интерактивный апплет — тригонометрические функции.

На словах мы бы сказали:

Производная от sin x равна cos x ,
Производная от cos x равна −sin x (обратите внимание на отрицательный знак!) х .

92+3)`

ВАЖНО:

cos x 2 + 3

не равно

потому что ( x 2 + 3).

Кронштейны имеют большое значение. У многих студентов с этим проблемы.

Вот графики y = cos x 2 + 3 (показаны зеленым цветом) и y = cos( x 2 + 3) (показаны синим цветом).

Первая, y = cos x 2 + 3, or y = (cos x 2 ) + 3, means take the curve y = cos x 2 and move it up на 3 единицы.

Второе, y = cos( x 2 + 3), означает сначала найти значение ( x 2 + 3), а затем найти косинус результата.

Они совсем другие!

Пример 2 92sin x`

6. Найдите производную неявной функции

x cos 2 y + sin x cos y = 1.

Ответить

Неявная функция:

`x\ cos 2y+sin x\ cos y=1`

Продифференцируем каждый член слева направо: (dy)/(dx))` `+cos y\ cos x`

`=0`

Итак, 92`

Когда `x = 0,15` (конечно, в радианах), это выражение (которое дает нам наклон) равен «-2,65».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.