Вывод производных arcsin(x) и arccos(x)
Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.
Вывод производной арксинуса
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.
Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.
Второй способ
Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3) .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .
Производную правой части находим из таблицы производных:
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.
Подставим в (4):
.
Отсюда
.
Вывод производной арккосинуса
Используя связь между арксинусом и арккосинусом
Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.
Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.
Применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.
Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.
Второй способ
Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6) .
2
Производная Arccos – Формула, Доказательство, Примеры
Производная arccos – это дифференцирование функции арккосинуса arccos x, которая равна -1/√(1-x 2 ), где -1 < x < 1. Он записывается как производная от arccos x или производная от cos, обратная x, обозначаемая как d(arccos x)/dx = d(cos -1 x)/dx = -1/√(1-x 2 ). Производная arccos — это процесс определения скорости изменения arccos x по отношению к переменной x. Следовательно, скорость изменения arccos x под определенным углом, то есть производная arccos x, определяется выражением -1/√(1-x 2 ).
В этой статье мы выведем производную от arccos, используя различные методы, включая неявное дифференцирование и первый принцип дифференцирования. Мы также обсудим антипроизводную arccos x вместе с некоторыми примерами, использующими производную arccos.
1. | Что такое производное Arccos? |
| 2. | Производная от Arccos x с использованием неявного дифференцирования |
| 3. | Производная от Arccos x с использованием первого принципа дифференцирования |
| 4. | Анти-производная Arccos |
| 5. | Производная Cos, обратная x w.r.t. Инверсия греха x |
| 6. | Часто задаваемые вопросы о производной Arccos |
Что такое производное от Arccos?
Производная arccos x определяется как -1/√(1-x 2 ), где -1 < x < 1. Ее также называют производной косинуса по обратной х, то есть производной функции арккосинуса. Производные всех обратных тригонометрических функций можно вычислить методом неявного дифференцирования. Поскольку производная от arccos x равна -1/√(1-x 2 ), поэтому график производной от cos, обратного x, будет графиком -1/√(1-x 2 ).
Производная формулы Arccos
Производная функции — это наклон касательной к функции в точке касания. Следовательно, -1/√(1-x 2 ) — функция наклона касательной к графику arccos x в точке касания. Простой способ запомнить производную arccos x состоит в том, чтобы знать тот факт, что производная arccos x является отрицательной производной sin, обратной x, а производная sin, обратной x, является отрицательной производной arccos x. Теперь мы напишем производную от arccos x математически. Математическое выражение для записи дифференцирования cos -1 x:
d(arccos x)/dx = d(cos
Производная от Arccos x с использованием неявного дифференцирования
Теперь мы докажем производную от arcos x, используя некоторые тригонометрические формулы и тождества. Предположим, что y = cos -1 x ⇒ cos y = x.
Дифференцируйте обе части уравнения, потому что y = x по x, используя цепное правило.
cos у = х
⇒ d(cos y)/dx = dx/dx
⇒ -sin y dy/dx = 1
⇒ dy/dx = -1/sin y —- (1)
Поскольку cos 2 y + sin 2 y = 1, мы имеем sin y = √(1 — cos 2 y) = √(1 — x 2 ) [Поскольку cos y = x]
Подставляя sin y = √( 1 — x 2 ) в (1) имеем
dy/dx = -1/√(1 — x 2 )
Поскольку x = -1, 1 составляет знаменатель √(1 — x 2 ) равно 0, и, следовательно, производная не определена при x = -1 и x = 1, поэтому x не может быть -1 и 1.
Следовательно, производная arccos x равна -1/√(1 — x 2 ), где -1 < x < 1
Производная Arccos x с использованием первого принципа дифференцирования
Теперь мы докажем производную от arccos, используя первый принцип дифференцирования. Для доказательства воспользуемся некоторыми формулами дифференцирования, обратными тригонометрическими формулами и тождествами типа:
- \(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f( х)}{ч}\)
- arccos x + arcsin x = π/2 ⇒ arccos x = π/2 — arcsin x
- \(\ frac {\ mathrm {d} \ arcsin x} {\ mathrm {d} x} = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ dfrac {\ arcsin (x + h) — \ arcsin x} {h} \)
Начнем доказательство производной от arccos x, используя первый принцип дифференцирования.
2}}\end{align}\)
Таким образом, мы доказали производную от arccos, используя определение пределов, то есть первый принцип дифференцирования.
Анти-производное Arccos
Теперь, когда мы получили производную arccos, найдем первообразную arccos, то есть ∫arccos x dx = ∫cos -1 x dx, используя интегрирование по частям (ILATE).
∫cos -1 x = ∫cos -1 x · 1 dx
Используя интегрирование по частям,
∫f(x) . g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx − ∫(f′(x) ∫g(x) dx) dx + C
Здесь f(x) = cos -1 x и g (x) = 1.
∫cos -1 x · 1 dx = cos -1 x ∫1 dx — ∫ [d(cos -1 x)/dx ∫1 dx]dx + C
∫cos -1 x dx = cos -1 x . (x) — ∫ [-1/√(1 — x²)] x dx + C
Мы вычислим этот интеграл ∫ [-1/√(1 — x²)] x dx методом подстановки. Предположим, что 1-х 2 = u. Тогда -2x dx = du (или) x dx = -1/2 du.
∫cos -1 x dx = x cos -1 x — ∫(-1/√u) (-1/2) du + C
= x cos -1 x — 1/2 ∫u -1/2
du + C= x cos -1 x — (1/2) (u 1/2 /(1/2)) + C
= x cos — 1 x — √u + C
= x cos -1 x — √(1 — x²) + C
Следовательно, ∫cos -1 x dx = x cos -1 x — √( 1 — x²) + С
Производная Cos, обратная x w.
r.t. Грех Инверсия xМы знаем, что производная arccos x, т. е. cos, обратная x, равна -1/√(1 — x²), а производная sin, обратная x, равна 1/√(1 — x²). Чтобы определить производную обратного косинуса по отношению к sin inverse, мы разделим производные обеих функций.
d(cos -1 x)/dx = -1/√(1 — x²) — (1)
d(sin -1 x)/dx = 1/√(1 — x²) ) — (2)
Разделим (1) и (2), получим
[d(cos -1 x)/dx]/[d(sin -1 x)/dx] = [-1/√(1 — x²)]/[1/√(1 — x²)]
⇒ d(cos -1 x)/d(sin -1 x) = -1
Следовательно, производная cos, обратная по отношению к инверсия греха равна -1.
Важные замечания по производной Arccos
- Производная arccos x определяется как -1/√(1-x 2 ), где -1 < x < 1
- Производная обратного косинуса относительно инверсия греха равна -1.
- ∫cos -1 x dx = x cos -1 x — √(1 — x²) + C
Темы, относящиеся к производной от Arccos
- Производная от Sin, обратная x
- Обратная формула Cos
- Обратные тригонометрические формулы
Часто задаваемые вопросы о производной Arccos
Что такое производная Arccos в тригонометрии?
Производная от arccos x в тригонометрии определяется выражением -1/√(1-x 2 ), где -1 < x < 1.