Производная арксинуса: Вывод производных arcsin(x) и arccos(x)

2

Помогите решить / разобраться (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

Посмотреть правила форума

Joe Black	Производная arcsin 01.12.2016, 23:21
26/03/13 326 Russia	Вывожу производную арксинуса из определения. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в точке (0;0). Проведём радиус OM так, что OM образует угол с осью Ох. Проведём перпендикуляр МА к оси Ох. Получили прямоугольный треугольник ОМА. Пусть . Тогда: Верно?

Brukvalub	Re: Производная arcsin 02.12.2016, 00:26
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	Joe Black в сообщении #1173489 писал(а): Тогда: Из какой геометрии это следует?

Joe Black	Re: Производная arcsin 02. 12.2016, 00:49
26/03/13 326 Russia	Наверное здесь нужно было вместо дельта использовать дифференциал

Joe Black	Re: Производная arcsin 02. 12.2016, 09:32
26/03/13 326 Russia	Если делать по-честном, то:

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 4 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Производная обратной функции

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет производная обратной функции и как ее вычислить. Перед изучением данной темы советуем повторить, что такое обратная функция и какими свойствами она обладает.

Чтобы избежать разночтений, мы будем обозначать аргумент функции, по которому она дифференцируется, в нижнем регистре, т.е. запись fx'(x) будет означать производную функции f(x) по x. 

Для начала определим правило, по которому производится вычисление производной обратной функции.

Определение 1

Допустим, у нас есть две взаимно обратные функции x=g(y) и y=f(x), которые определены на соответствующих интервалах y∈c; d и x∈[a; b]. Если у нас есть некая точка x0∈[a; b], в которой расположена конечная производная f(x), отличная от 0, то должна быть и конечная производная g(y), такая, что gy'(y0)=1fx'(x0). Иначе это можно записать как fx'(x0)=1gy'(y0).

Данное правило может быть сформулировано для любого x, принадлежащего интервалу [a; b]. Тогда мы получим следующее: gy'(y0)=1fx'(x0),  fx'(x0)=1gy'(y0). Истинность этих формул можно проверить с помощью следующих рассуждений.

Доказательство 1

У нас есть натуральный логарифм вида y=f(x)=ln x, где y является функцией, а x – аргументом. Найдем его обратную функцию. Для этого нам потребуется разрешить уравнение относительно x. Получим x=g(y)=ey (здесь x будет функцией, а y – ее аргументом). Значит, функции x=g(y)=ey и y=f(x)=ln x по отношению друг к другу являются взаимно обратными.

Проверим значения в таблице производных: yx’=fx'(x)=ln xx’=1x, а xy’=gy'(y)=eyy’=ey.

Тот же результат мы получим при использовании формулы обратных производных:

gy'(y)=1fx'(x)=1(ln x)x’=11x=x=eyfx'(x)=1gy'(y)=1eyy’=1ey=1eln x=1x

Поскольку полученный результат соответствует значению, указанному в таблице производных, то данная формула будет верна.

Используя эти знания, мы можем перейти к доказательству формул производных обратных тригонометрических функций.

Производные функции арксинус и арккосинус

Первое, что мы сделаем, – научимся определять производную функции арксинус.

Пример 1

Поскольку y=arcsin x, x∈-1; 1, то обратная функция будет выглядеть как x=sin y, y∈-π2; π2.

Берем нужную формулу и вычисляем:

yx’=(arcsin x)x’=1(sin y)y’=1cos y=1cos(arcsin x)

Теперь нам надо преобразовать полученное выражение.

Поскольку область значения арксинуса представляет собой промежуток arcsin x∈-π2; π2, значит, cos(arcsin x)≥0 (при необходимости повторите материал об основных элементарных функциях, их свойствах и графиках).

Следовательно, cos(arcsin x)=1-sin2(arcsin x)-1-x2. Выражение cos(arcsin x)=1-sin2(arcsin x)-1-x2 мы рассматривать не будем.

Мы получили, что arcsin xx’=1cos (arcsin x)=11-x2.

Производная арксинуса определена на промежутке (-1; 1).

Для функции арккосинус все вычисления будут точно такими же.

Пример 2

yx’=(arccos)x’=1(cos y)y’=1-sin y=-1sin (arccos x)==-11-cos2(arccos x)=-11-x2

Производные функции арктангенс и арккотангенс

Теперь вычислим производную арктангенса.

Пример 3

Поскольку для y=arctg x, x∈(-∞; +∞) обратной функцией будет x=tg y, y∈-π2; π2, то y’x=arctg xx’=1(tg y)y’=11cos2y=cos2(arctg x).

Для упрощения результата нужно выразить арктангенс через арккосинус.

Допустим, что arctg x = z, значит:

tg(arctg x)=tg z⇒x= tg z=sin zcos z=1-cos2zcos z⇒x·cos z=1-cos2 z⇒x2·cos2z=1-cos2z⇒(x2+1)·cos2z=1⇒cos2z=1×2+1⇒cos z=1×2+1⇒z=arccos1x2+1⇒arctg x=arccos1x2+1

Следовательно, можно записать так:

arctg xx’=cos2(arctg x)==cos2arccos1x2+1=1×2+12=1×2+1

Для вычисления производной арккотангенса действуем по аналогии:

Пример 4

yx’=(arcctg x)x’=1(ctg y)y’=1-1sin2y=-sin2(arcctg x)==-sin2arcsin 1×2+1=-1×2+1

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Производные обратных тригонометрических функций

Введение в обратные тригонометрические функции

В предыдущей теме мы изучили производные шести основных тригонометрических функций:

\[\color{blue}{\sin x,\;} \color{red}{\cos x,\;} \color{darkgreen}{\tan x,\;} \color{magenta}{\cot x,\;} \color{chocolate}{\sec x,\;} \color{maroon}{\csc x. \;}\]

В этом разделе мы рассмотрим производные обратных тригонометрических функций, которые соответственно обозначаются как

\[\color{blue}{\arcsin x,\;} \color{red}{\arccos x,\;} \color{darkgreen}{\arctan x,\;} \color{magenta}{\text {arccot}x,\;} \color{chocolate}{\text{arcsec}x,\;} \color{maroon}{\text{arccsc}x.\;}\]

Обратные функции существуют, если на область определения исходных функций наложены соответствующие ограничения.

Например, домен для \(\arcsin x\) находится в диапазоне от \(-1\) до \(1.\). Диапазон или вывод для \(\arcsin x\) — это все углы от \(-\ frac{\pi }{2}\) в \(\frac{\pi }{2}\) радиан.

Области определения других тригонометрических функций ограничены соответствующим образом, так что они становятся взаимно однозначными функциями и могут быть определены их обратные функции.

Производные обратных тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций можно получить с помощью теоремы об обратных функциях. Например, функция синуса \(x = \varphi \left( y \right) \) \(= \sin y\) является обратной функцией для \(y = f\left( x \right) \) \( = \arcsin x.\) Тогда производная от \(y = \arcsin x\) определяется выражением 92} — 1} }}.\]

В последней формуле абсолютное значение \(\left| x \right|\) в знаменателе появляется из-за того, что произведение \({\tan y\sec y}\) всегда должно быть положительным в диапазоне допустимых значений \(y\), где \(y \in \left( {0,{\frac{\pi }{2}}} \right) \cup \left({{\frac{\pi } {2}},\pi } \right),\), то есть производная арксеканса всегда положительна.

Аналогично можно получить выражение для производной функции арккосеканса: 92} — 1} }}.\]

Таблица производных обратных тригонометрических функций

Рассмотренные выше производные \(6\) обратных тригонометрических функций сведены в следующую таблицу:

В приведенных ниже примерах найдите производную заданной функции.

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

\[y = \arctan {\frac{1}{x}}\] 94}}}.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Обратные функции, часть 3

Обратные функции, часть 3

Обратные функции

Часть 3: Производные обратных триггерных функций

Функция обратного синуса также называется функцией арксинуса . В дополнение к обратному обозначению sin ^-1 x используются обозначения arcsin x и asin x . Мы будем использовать обозначение arcsin x , которое вы можете представить как «угол, синус которого равен x », при том понимании, что значение arcsin x (угол) должно быть выражено в радианах и должно быть между  – пи/2 и пи/2 (включительно).

Во второй части мы построили обратную функцию (ограниченного) синуса как «функцию, определяемую интегралом»:

То есть arcsin x  – это конкретная первообразная подынтегральной функции. В частности, мы уже знаем формулу производной функции арксинуса:

В этой части мы увидим, как напрямую найти такую ​​производную формулу. Если бы мы сначала знали производную, мы могли бы построить F(x) из этой информации — вместо того, чтобы выпадать «на ровном месте». Как только техника будет понятна, мы воспользуемся ею, чтобы найти формулу для функции арктангенса. Действительно, это метод, который можно попробовать при поиске формулы для обратной любой дифференцируемой функции.

Нашей отправной точкой является уравнение y = sin x . Функция обратного синуса по определению является обратной функцией, определяемой этим уравнением (с уже отмеченным ограничением домена). Таким образом, если мы поменяем местами x и y , мы находим, что арксинус определяется уравнением x = sin y , с x в качестве независимой переменной и y в качестве зависимой переменной.

1. Неявно продифференцируйте уравнение sin y = x и найдите dy/dx . [Это очень простое вычисление — с помощью карандаша и бумаги вы, вероятно, сделаете это быстрее, чем с помощью системы компьютерной алгебры.]
2. Результат шага 1 включает cos y , что нам нужно выразить через x . Мы знаем, что sin y = x , и мы знаем соотношение между sin y и cos y . Что это за отношения? Решите его для cos y через sin y , а затем замените sin y на x .
3. Не торопитесь с этой формулой для потому что . Решение для co y  включает в себя квадратный корень, и нам нужно знать, брать ли положительный или отрицательный квадратный корень. На следующих рисунках показан график cos y (с y в качестве независимой переменной) красным цветом и график положительного квадратного корня из 1 — sin ² y синим цветом. Где их значения совпадают? Где они разные? Как это связано с функцией арксинуса? Вы сделали правильный выбор знака на предыдущем шаге?
4. Подставьте результат шагов 2 и 3 в результат шага 1, чтобы найти явную формулу для dy/dx как функции х . Напомним, что в этом вычислении y было сокращением от arcsin x . Таким образом, теперь у вас должна быть формула для производной функции арксинуса. Согласуется ли он с тем, что мы дали выше?
5. Объясните своими словами, откуда взялась интегральная формула для arcsin x .

Обратимся теперь к функции тангенса и ее обратной функции, а именно к задаче нахождения производной от ее обратной функции.

6. На следующем рисунке показаны три периода функции тангенса. Как мы должны ограничить домен, чтобы иметь обратимую функцию?
7. Какая связь между тангенс x и сек x ? Это понадобится вам на следующем шаге. [Если вы не помните, вы можете получить его из отношения между sin x и cos x .]
8. Функция, обратная функции тангенса (арктангенс, обозначается как arctan x ) удовлетворяет уравнению tan y = x , где x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

   No related posts.