Производная экспоненты в степени 2х: Производная экспоненты в степени: формулы, примеры

5.1.1.8. Примеры вычисления производных

	5.1.1.8. Примеры вычисления производных			Высшая математика > 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.1.1. Производная > 5.1.1.8. Примеры вычисления производных
	Пример 1 Вычислите производную функции .   Решение По правилу дифференцирования сложной функции следует сначала вычислить производную экспоненты по ее сложному аргументу . Это означает, что в табличной производной  переменную  нужно заменить переменной . Эту производную необходимо умножить на производную от сложного аргумента  по переменной . Правило дифференцирования заданной функции можно записать в следующем виде .   Пример 2 Вычислить производную функции .   Решение Заданная функция является суперпозицией трех функций . Будем дифференцировать эту функцию, используя правила дифференцирования, начиная с внешней, степенной функции: . При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим  . Упростим полученное для производной выражение .   Пример 3 Вычислите производную функции .   Решение По правилу дифференцирования произведения функций . По таблице производных . Функция  является сложной, ее производную следует вычислять по правилу дифференцирования суперпозиции функций. . Производная заданной функции равна . Замечание Производная степенной функции  очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить .   Пример 4 Вычислите производную функции .   Решение По правилу дифференцирования частного двух функций, производную от заданной функции можно записать в виде: . Функции  и  — сложные. Поэтому производные от этих функций по переменной  вычислим, используя правило дифференцирования суперпозиции функций . Производная от функции  по переменной  получится, если в табличную производную  подставить переменную  вместо переменной , то есть . Производная  может быть вычислена по таблице, если учесть, что  и использовать правило дифференцирования степенной функции, то есть . Тогда  . Аналогично, по правилу дифференцирования суперпозиции функций вычисляется производная от функции . . Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде: . Замечание Производная степенной функции  очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить .   Пример 5 Вычислить производную функции .   Решение Заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество . Получим . Вынося показатель степени за знак логарифма, и раскрывая логарифм частного, полученное выражение можно записать в виде: . Тогда, дифференцируя полученное выражение по правилу дифференцирования сложной функции, получим .
gif»>

Производная степенной функции с натуральным показателем. Производная суммы, произведения и частного двух функций

Бурковская Нина Дмитриевна.

Уральский технологический колледж «Сервис», г.Уральск, ЗКО,РК

Преподаватель математики.

Тема программы:Производная – 23 часа

Тема урока: Производная степенной функции с натуральным показателем. Производная суммы, произведения и частного двух функций.

Цель урока:Изучить правила нахождения производной функции, уметь вычислять производную

Тип урока: Изучение новой темы, формирование зун.

Методы ведения: лекция

Оборудование урока презентация

ХОД УРОКА:

Организационный момент – 1 – 2 мин.

Приветствие учащихся.

Отметить отсутствующих.

II. Опрос по домашнему заданию

III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.

1. Производная суммы функций равна сумме производных.

(u + v)¢ = u¢ + .

2. .Производная произведения равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и производной второй функции на первую функцию.

(uv)¢ = u¢v + v¢u

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(сu)¢ = cu¢ .

4.Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность между произведениями производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель есть квадрат знаменателя, если производные

числителя и знаменателя существуют.

5. Производная степенной функции у = хⁿ равна произведению показателя функции на аргумент в степени на единицу меньшей.

у = хⁿ , у¢ = nx^n-1

ПРИМЕР №1 Найти производную функции у = х² + 10.

Решение. у¢ = (х² + 10)¢ = (х

2)¢ + 10¢ = 2х + 0 = 2х.

ПРИМЕР№ 2. Найти производную функции у = (5х — 8) · х² .

Решение. Выше мы уже находили производные функций :

у₁ = 5х — 8, у₁¢ = 5 ; у₂ = х² , у₂¢ = 2х.

у¢ = ((5х — 8) ·х²)¢ = (5х — 8)¢ · х² + (х²)¢ · (5х — 8) =

= 5· х² + 2х· (5х — 8) = 5х² + 10х² — 16х = 15х² — 16х .

ПРИМЕР № 3. Найти производную функции у = 3х² .

Решение. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. у¢ = (3х²)¢ = 3 · (х²)¢ = 3 · 2х = 6х.

ПРИМЕР№ 4

Найти производную функции у =

Решение.

= .

ПРИМЕР №5.

Найти производные функций у = х²⁰ , z = 5x⁴ .

Решение. у¢ = 20х¹⁹, z’ = 5· 4х³= 20х³ .

Формула (xⁿ)¢ = nx^n-1 верна не только для целых положительных х, но для любого рационального показателя.

ПРИМЕР№6.

Найти производные функций у = , z = ,

Решение.y = = х^-1 . у¢ = -1 х^-1-1 = — х^-2 = ^.

z = = . z¢ = ==

Закрепление нового материала: № 175

Задание на дом §14 №176

Литература: А.Е. Абылкасымова и др. Алгебра и начала анализа 10, 11

классы.

Дидактический материал по алгебре и начала анализа для 10, 11 класов.

{2x}\)

Скачать публикацию в формате PDF

Читать Подробные посты

9666565665656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656565656. Примеры!

Форма перехвата наклона: уравнение с выводом и примерами
Decimal фракции: операции, типы с решаемыми примерами
Векторное пространство с определением, аксиомами, свойствами и примерами решения
Пифагорейские тройки: изучите понятие, типы, набор различных значений и примеры решения.

Силовое правило

Степень означает показатель степени, такой как 2 x ²

Степенное правило, одно из наиболее часто используемых производных правил, гласит:

Производная от x ⁿ равна nx ⁽ⁿ⁻¹⁾

Пример: Какова производная x

² ?

Для x ² мы используем правило степени с n = 2:

Производная от   x 2	=	2x (2−1)
	=	2x 1
	=	2x

Ответ: производная от x ² равна 2x

 

«Производная от» может быть показана этой маленькой «тире»: ’

Используя эту метку, мы можем написать Power Rule следующим образом:

f’(x ⁿ ) = nx ⁽ⁿ⁻¹⁾

Пример: Какова производная x

³ ?

f’(x ³ ) = 3x ³⁻¹ = 3x ²

«Производная от» также может быть показана д дх

Пример: что такое

д дх (1/х) ?

1/x равно x ⁻¹

Использование степенного правила с n = −1 :

д дх х ⁿ = nx ⁿ⁻¹

д дх х ^-1 = -1х ^-1-1 = -х ^-2

Как запомнить

«умножить на мощность
затем уменьшить мощность на 1″

Короткий стол

Вот Power Rule с примерами значений.