Производная функции дифференциал функции: определения, формулы и примеры решений

§ 5 Производная и дифференциал функции.

Функция называется дифференцируемой в точке, если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю,

.

Предел называется производной и обозначаетсяили.

Пусть ,– дифференцируемые в точкефункции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. Если , где, т.е.– сложная функция, то ее производная.

6. Если функция задана параметрически , то ее производная.

Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента и обозначается.

Если ,при, то.

Дифференциал независимого аргумента равен приращению аргумента, т.е. .

Таким образом, .

Формула приближенного вычисления .

Производная функции в точкеравна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке (геометрический смысл производной).

Производная функции в точкеравна скорости изменения функции в этой точке (физический смысл производной).

Таблица производных основных элементарных функций

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Найти производные функций, используя определение.

Пример 5.1. .

Решение.

Дадим аргументу приращение, тогда значение функции.

Найдем приращение функции

Теперь найдем предел отношения при:

.

Итак, .

Пример 5.2. .

Решение.

Дадим аргументу приращение, значение функции. Найдем приращение функции

Используем формулу

.

Перейдем к пределу отношения при:

.

Таким образом, .

Найти производные функций используя правила и таблицу производных.

Пример 5.3

. .

Решение.

Перейдем к дробным показателям: .

.

Пример 4. .

Решение:

Пример 5.5. .

Решение.

.

Пример 5.6. .

Решение.

Пример 5.7. .

Решение.

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть:

.

Найдем производную

Пример 5.8. .

Решение.

Пример 5.9. .

Решение.

Сначала логарифмируем данную функцию по основанию, т.е.

,

,

.

Теперь дифференцируем обе части равенства по правилу дифференцирования сложной функции.

,

,

,

.

Пример 5.10. .

Решение.

Логарифмируем данную функцию

,

.

Дифференцируем обе части равенства

,

,

,

,

.

Пример 5.11. .

Решение.

Производная параметрической функции находится по формуле .

.

.

.

Пример 5. 12. .

Решение.

Данная функция неявно заданная. Найдем ее производную, рассматривая при этом как функцию от.

,

,

,

,

,

.

Пример 5.13. Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить .

Решение. Используем формулу приближенного вычисления: ., тогда. Положим(соответствует углу в 1⁰), . Подставляем в формулу имеем:

Решение задач на геометрический смысл производной основано на использовании уравнения касательной:

Угловой коэффициент касательной равен, с одной стороны тангенсу угламежду касательной и осью абсцисс, а с другой – значению производной функциив точке,

Пример 5.14. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке.

Решение. Для составления уравнения касательной используем формулу , где,.

Таким образом, или– уравнение касательной.

Для составления уравнения нормали используем формулу . Получим,,- уравнение нормали.

Пример 5.15. В какой точке касательная к графику функции а) параллельна прямой? б) перпендикулярна прямой?

Решение. а) Прямая параллельна касательной, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой равен, угловой коэффициент касательной равен, где– точка касания.

Из уравнения находим.

Значит касательная должна быть проведена в точке .

б) Прямая перпендикулярна касательной если их угловые коэффициенты . Так как, то. Из уравнениянаходим.

Таким образом, касательная должна быть проведена в точке .

Пример 5.16. В какой точке параболы ордината возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса?

Решение. Найдем производную функции .

Так как производная функции характеризует скорость возрастания ординаты (функции) по сравнению с возрастанием аргумента, то по условию задачи , откуда– абсцисса искомой точки.

Ордината .

Таким образом – искомая точка.

Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной, т.е.и обозначается

.

Если – закон прямолинейного движения точки, то– ускорение этого движения.

Производная -го порядка от функции называется производная производной-го порядка:и обозначается.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 5.17. . Найти.

Решение. Найдем производную данной функции: .

Вторая производная – производная от первой производной:

.

Пример 5.18. . Найти.

Решение. ,,,.

Очевидно, что каждая из найденных производных равна произведению нав степени, равной порядку производной. Эта закономерность сохраняется для производной любого порядка. Поэтому.

Дифференциал онлайн

dy=f′(x)dx

Как видим, для нахождения дифференциала нужно умножить производную на dx. (2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Решение пределов:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x₀).

Пусть f(x) дифференцируема в точке x₀ и f ‘(x₀)≠0, тогда ∆y=f’(x₀)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x

0)∆x.

то есть ∆y~f’(x₀)∆x. Следовательно, f’(x₀)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ и обозначают dy(x₀) или df(x₀). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)

Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4tg2x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin2(lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Пример. Для функции y=x³ найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x)³ – x³ = x³ + 3x²∆x +3x∆x² + ∆x³ – x³ = 3x²∆x+3x∆x²+∆x³; dy=3x²∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x² + ∆x³.

World Web Math: обозначения

World Web Math: обозначения Предлагаемые предпосылки: Определение производной

---

Часто самая запутанная вещь для студента, знакомящегося с дифференцирование — это обозначение, связанное с ним. Вот попытка будет сделано, чтобы ввести как можно больше типов обозначений.

Производная всегда является производной функции по отношению к переменной

. Когда мы записываем определение производной как

мы имеем в виду производную функции f ( x ) с относительно переменной x .

Один тип обозначение производных иногда называют простым числом. обозначение . Функция f ´( x ), который будет читаться как « f -простое из x «, означает производная от f ( x ) по отношению к х . Если мы скажем y = f ( x ), то y ´ (читается « y -простой») = ф ´( х ). Это даже иногда воспринимается как вплоть до написания таких вещей, как, для y  =  x ⁴ + 3x (например), y ´ = ( x ⁴  + 3 x )´.
Производные более высокого порядка

в простой нотации представлено увеличением числа простых чисел. Например, второй производная от y по отношению к x будет записана в качестве

За пределами второй или третьей производной все эти простые числа становятся беспорядочными, поэтому часто порядок производной вместо этого пишется как римская верхний индекс в скобках, так что девятая производная от f ( x ) по отношению к x записывается как f ⁽⁹⁾ ( x ) или f ^(ix) ( x ).

---

Секунда тип обозначения производных иногда называют оператором . обозначение . Оператор D _x есть применяется к функции для выполнения дифференцирования. Затем производная от f ( x ) = y с относительно x можно записать как D _x y (читайте « D — sub — x из y ») или как D _x f ( x (читать « D — sub x — из — f ( x )»).
Производные более высокого порядка записываются добавлением надстрочного индекса к D _x , так что, например, третья производная г  = ( х ² + грех( х )) по отношению к x будет записано как

---

Другой общеупотребительные обозначения были разработаны Лейбниц и соответственно называется Лейбниц. обозначение . С этим обозначением, если y  =  f ( x ), тогда производная от y по отношению к x можно записать в качестве

(его читается как «dy — dx», но не «dy минус dx» или иногда «dy over dx»). С y  =  f ( x ), мы также можем написать

Это обозначение предполагает, что, возможно, производные можно рассматривать как дроби, что верно в ограниченных случаях в некоторых обстоятельствах. (За пример с цепным правилом.) Это также называется дифференциальной записью , где dy и dx это дифференциалы . Это обозначение становится очень полезным при работе с дифференциальными уравнениями.

Вместо этого вариант дифференциальной записи Лейбница записывается как

который напоминает приведенный выше оператор обозначение с ( d / dx в качестве оператора).

Производные более высокого порядка с использованием обозначений Лейбница можно записать как

Показатели могут показаться странными во второй форме, но это имеет смысл, если вы посмотрите на первую форму.

---

Таким образом, это наиболее часто используемые обозначения для дифференциация. Возможно, существуют и другие, малоизвестные обозначения, используемые некоторыми, но эти неясные формы не будут включены здесь. Полезно ознакомиться с различными обозначениями.

---

Когда функция дифференцируема?

Вернуться на страницу исчисления | Вернуться на главную страницу World Web Math

---

[email protected]

Последнее обновление: 24 августа 1998 г.

Разница между производной и дифференциалом

28 октября 2011 г. Опубликовано ABK

Производная и дифференциал
 

В дифференциальном исчислении производная и дифференциал функции тесно связаны, но имеют совершенно разные значения и используются для представления двух важных математических объектов, связанных с дифференцируемыми функции.

Что такое производная?

Производная функции измеряет скорость изменения значения функции при изменении ее входных данных. В многопеременных функциях изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается определенное направление и функция дифференцируется именно в этом направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные — это особый вид производных по направлению.

Производная вектор-функции f может быть определена как предел [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac{ f(\\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\\boldsymbol{x})}{h}[/latex] везде, где он существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость возрастания функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к хорошо известному определению производной:  [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{ f(x+h)-f(x)}{h}[/латекс] 9{1}(x)dx[/латекс]. Это означает, что при бесконечно малом изменении x (то есть d x ) произойдет f ⁽¹⁾ ( x )d x изменений в f.

Используя пределы, можно получить это определение следующим образом. Предположим, что ∆ x — это изменение x в произвольной точке x , а ∆ f — соответствующее изменение функции f . Можно показать, что ∆ f = f ⁽¹⁾ ( x )∆ x + ϵ, , где ϵ — ошибка. Теперь предел ∆ x → 0 ^{∆ F} / _{∆ x} = F ⁽¹⁾ ( x ) (с использованием ранее указанного определения деривативного) и, следовательно , ∆ x→ 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Отсюда можно заключить, что ∆ x→ 0 ϵ , обозначая теперь ∆{n} \\frac{\\partial f}{\\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].

В чем разница между производной и дифференциалом? • Производная относится к скорости изменения функции, тогда как дифференциал относится к фактическому изменению функции, когда независимая переменная подвергается изменению. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт