Производная функции в точке по направлению вектора: Как найти производную по направлению вектора, примеры

3.15. Производная функции по направлению

Пусть функция непрерывная и дифференцируемая, вектор задает направление. Пусть имеется точка и в направлении от нее точка (рис. 48).

Рис. 48

Вектор имеет координаты , , , т. е. .

Модуль вектора , , , .

Косинусы cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора . Если вектор единичный , то и его координатами являются направляющие косинусы, т. е. .

Производной функции по направлению вектора в точке называется предел отношения приращения функции в этом направлении к приращению длины (модуля) вектора , при стремящемся к нулю , т. е.

.

Находим

.

Таким образом, получена формула дифференцирования функции по направлению вектора

.

Пример 3.21. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора .

Находим , .

.

.

Градиентом функции называется вектор

,

где  единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат.

Кратко можно записать . Здесь   знак набла.

Пример 3.22. Найти градиент функции в точке .

.

.

Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е.

.

Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется

.

Здесь   угол между векторами

и ,  скалярное произведение векторов,  единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Найдем

.

Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции.

Действительно, производную данной функции по направлению вектора можно записать следующим образом , где   угол между градиентом и вектором . Если этот угол равен нулю  = 0 , то косинус этого угла и производная функции принимают наибольшие значения, cos0 = 1, .

Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции.

Действительно, .

Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется.

Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости

.

Пример 3.23. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду

в точке .

Находим ,, ; , , .

Записываем уравнение касательной плоскости

 .

4.1.3. Производная по направлению. Градиент

Пусть функция U = F (X, Y, Z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(X,Y,Z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosA, cosB, cosG. На векторе S на расстоянии DS от его начала найдем точку М1(Х+DХ, у+DУ, Z+DZ), где

Представим полное приращение функции F в виде:

После деления на ΔS получаем:

Поскольку

Предыдущее равенство можно переписать в виде:

Предел отношения Называется Производной от функции U = F (X, Y, Z) По направлению вектора S и обозначается

При этом

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при

Получаем:

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями

Х = х0 И У = у0. Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению L в точке М(х0 , у0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси OZ и прямой L.

Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции U = F (X, Y, Z) в этой точке, называется Градиентом функции U = F (X, Y, Z).

Обозначение:

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S Равняется проекции вектора grad U на вектор S.

Доказательство.

Единичный вектор направления S имеет вид ES ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad U и Es, то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad U |, если это направление совпадает с направлением градиента.

Доказательство.

Обозначим угол между векторами S И grad U Через J. Тогда из свойства 1 следует, что

Следовательно, ее наибольшее значение достигается при J=0 и равно |gradU|.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad U , равна нулю.

Доказательство.

В этом случае

4. Если Z = F (X,Y) – функция двух переменных, то

Направлен перпендикулярно к линии уровня F (X,Y) = C, проходящей через данную точку.

< Предыдущая		Следующая >

Многомерное исчисление

. Что значит взять производную вектора по направлению?

спросил 2 года, 6 месяцев назад

Изменено 1 год, 3 месяца назад

Просмотрено 505 раз

$\begingroup$

Предположим, что у меня есть векторное поле $ \vec{B} (x,y,z)$, тогда $ \frac{ \partial B}{ \partial n}$, где n — вектор направления линии, обозначающий направление производная вектора по направлению $n$?

Причина, по которой я спрашиваю, заключается в том, что я недавно столкнулся с этим в учебнике физики, но все градиенты и производные по направлениям, которые я видел до сих пор, были определены для скалярных полей.

Редактировать:

Реальное количество, с которого я начал, было из этого поста mse:

$$ (\nabla B_i) n_i $$

Я думал, что это будет производная по направлению, так как это выглядело как один, но затем Позже я понял, что на самом деле это векторное поле.

Картинка из книги:

Стр.-158, Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма

• Многомерное исчисление

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Предположим, у меня есть векторное поле $\vec{B}(x,y,z)$, тогда выполните $\frac{\partial\vec B}{\partial n}$, где $n$ — вектор направления линии обозначают производную вектора по направлению в направлении $n$?

Да. То же самое утверждается для Силы диполем в электрическом поле в той же книге. Страница № 20, И.Е. Иродов. Хотя автор прямо заявляет, что операция достаточно сложная и в книге рассматриваться не будет.

Формальные определения можно взять отсюда и $\downarrow$.

Производные векторнозначных функций векторов:

Пусть ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v})}$ — векторнозначная функция вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$ . Тогда производная от ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v})}$ по ${\displaystyle \mathbf {v}}$ (или по ${\displaystyle \mathbf {v}}$ ) в направлении $ {\ displaystyle \ mathbf {u}} $ (которое может быть $ \ hat i, \ hat j, \ hat k $) является тензором второго порядка, определяемым как:

$ $ {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {f} {\ парциальное \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = D \ mathbf {f} (\ mathbf {v}) [\ mathbf {u}] = \ left [{\ frac {d} {d \ alpha}} ~ \ mathbf {f} (\ mathbf {v} + \ alpha ~ \ mathbf {u}) \ right] _ { \альфа =0}}$$ для всех векторов $ {\ displaystyle \ mathbf {u}} $ .

Свойства:

1. Если $ {\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {v}) = \ mathbf {f} _ {1} (\ mathbf {v}) + \ mathbf {f} _ {2 } (\ mathbf {v})} $ затем $ {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {f}} {\ парциальное \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = \ влево ({\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {f} _ {1}} {\ парциальное \ mathbf {v}}} + {\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {f} _ {2}} {\ парциальное \ mathbf {v}} }\right)\cdot \mathbf {u} . }$
2. Если $\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v})$, то ${\displaystyle {\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {f}} {\ парциальное \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {и} = \ влево ({\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {f} _ {1}} { \partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v}}}\cdot \mathbf {u} \right).}$
3. Если $\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{f}_2(\mathbf{v}))$, то ${\displaystyle {\frac {\partial \ mathbf {f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = {\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {1}} {\ partial \ mathbf {f} _ {2 }}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v}}}\cdot \mathbf {u} \right).}$ 9н$.

   В декартовых координатах вы можете записать вектор направления $\vec{e_r}$ из начала координат в точку окружности радиусом $1$. Векторы направления являются единичными векторами.

   $$\vec{e_r} = \cos(\theta)\vec{e_x} + \sin(\theta)\vec{e_y}$$

   Напомним, что $\vec{e_x}$ и $\vec {e_y}$ фиксированы в наших координатах, поэтому на них производная не повлияет, а на $\theta$ повлияет. Как правило, в реальных задачах $\theta$ изменяется за неявное время $t$ так, что $\theta(t)$. Имея это в виду, теперь мы можем взять производную вектора $\vec{e_r}$:

   $$\frac{d}{d\theta}\vec{e_r} = \frac{d}{d\theta}\cos(\theta)\vec{e_x} + \frac{d}{d\ тета}\sin(\тета)\vec{e_y}$$ $$\frac{d}{d\theta}\vec{e_r} = (-\sin(\theta)\vec{e_x} + cos(\theta)\vec{e_y})\frac{d}{d \theta}\theta$$

   Видите ли вы, что они перпендикулярны друг другу? На самом деле мы можем доказать это с помощью скалярного произведения:

   $$\vec{e_r} \cdot \frac{d}{d\theta}\vec{e_r} = -\cos(\theta)\sin(\theta ) + \sin(\theta)\cos(\theta) = 0$$

   Геометрически, почему они перпендикулярны? Рассмотрим вектор $\vec{e_r}$ для некоторого $\theta$. Оно меняется с бесконечно малым $d\theta$ на новую позицию $\theta$, скажем, $\vec{e_r}(\theta + d\theta)$. Обратите внимание, что в пределе $\vec{e_r}(\theta + d\theta) -\vec{e_r}(\theta)$ — вектор, перпендикулярный $\vec{e_r}(\theta)$.

   $\endgroup$

   $\begingroup$

   Этот ответ является общим значением градиента векторного поля, здесь мы берем производную по направлению от этого градиента.

   Однако я дам отдельную интерпретацию:

   Когда мы делаем производную поля $B$ по нормали, мы берем рассматриваемую точку в пространстве и движемся в направлении нормали петли. Здесь это выглядит как вдоль оси z, мы видим разницу между вектором, который мы получаем после небольшого перемещения по оси z, и исходным вектором. Это дает нам разность векторов, деление этого вектора разности на расстояние, которое мы переместили в пространстве, дает требуемое значение.

   Итак, поскольку мы говорим о разности векторов, $\frac{dB}{dn}$ снова является вектором.

   $\endgroup$

   2

   [Решено] Производная по направлению от f(x, y, z) = xyz в точке (-1,

   Этот вопрос ранее задавался в

   PY 2: GATE ME 2020 Official Paper: Shift 2

   View all GATE ME Papers >

   1. 3î — 3ĵ — k̂
   2. \( — \frac{7}{3}\)
   3. 7/3
   4. 7

   Опция 3: 7/3

   Бесплатно

   CT 1: Соотношение и пропорция

   14,9 тыс. пользователей

   10 вопросов

   16 баллов

   30 минут

   Понятие:

   Производная по направлению = Градиент функции × Единица вектора направления

   Если F = f(x,y,z), то

   Град frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \hat j\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \hat k\frac{{\partial f}}{{ \partial z}}} \right)\) 92} \)

   Расчет:

   Дано, f(x,y,z) = xyz

   Град \(f = \left( {\hat i\frac{{\partial f}}{ {\partial x}} + \шляпа j\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \шляпа k\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) \)

   Град \(f = \left( {\hat i\frac{{\partial (xyz)}}{{\partial x}} + \hat j\frac{{\partial (xyz)}}{ {\partial y}} + \шляпа k\frac{{\partial (xyz)}}{{\partial z}}} \right)\)

   \(Град\;f = yz\;\шляпа i + xz\;\шляпа j + xy\;\шляпа k\) 92}} }} = \frac{{\шляпа i + 2\шляпа j + 2\шляпа k}}{3}\;\)

   ∴ Производная по направлению \( = \left( {3\шляпа i — 3 \шляпа j — \шляпа k} \right) \times \frac{{\шляпа i — 2\шляпа j + 2\шляпа k}}{3}\)

   \(D. D = \frac{{3 \times 1 + \left( { — 3 \times — 2} \right) + \left( { — 1 \times 2} \right)}}{3} = \frac{ 7}{3}\)

   Скачать решение PDF

   Поделиться в WhatsApp

   Последние обновления GATE ME

   Последнее обновление: 30 марта 2023 г.

   GATE ME 2023 Результат опубликован! Ранее было опубликовано официальное уведомление HPU, MRPL и NPCIL. Набор ученых ISRO будет осуществляться через GATE 2021 и GATE 2022. Расписание экзаменов GATE ME 2023 было опубликовано и будет проводиться 4 февраля 2023 года во второй половине дня с 14:30 до 17:30. Допуск к экзамену будет доступен с 3 января 2023 года. Индийский технологический институт (IIT) Канпур выпустил официальное уведомление о GATE ME 2023. Результаты GATE ME 2023 будут объявлены 16 марта 2023 года. Кандидаты, которые хотят успешный выбор может обратиться к советам по подготовке к GATE ME, чтобы ускорить подготовку к экзамену и увеличить шансы на выбор.

   No related posts.