Один корень
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\)
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}=k\)
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3} $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: \(x\ne\left\{0;1;3\right\}\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=-\infty-1-\frac13=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow +0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=+\infty-1-\frac13=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1-0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=1-\infty-\frac12=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 1+0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=1+\infty-\frac12=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow 3-0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=\frac13+\frac12-\infty=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow 3+0}\left(\frac1x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)=\frac13+\frac12+\infty=+\infty \end{gather*} 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt{x-1}+\sqrt{10-2x}=a $$ имеет по крайней мере одно решение.
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{10-2x}\)
ОДЗ: \( \begin{cases} x-1\geq 0\\ 10-2x\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq 1\\ x\leq 5 \end{cases} \Rightarrow 1\leq x\leq 5 \)
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt{8}=2\sqrt{2},\ f(5)=\sqrt{4}+0=2\)
Первая производная: \begin{gather*} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{-2}{2\sqrt{10-2x}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}\\ f'(x)=0\ \text{при}\ 2\sqrt{x-1}=\sqrt{10-2x}\Rightarrow 4(x-1)=10-2x\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=\frac73\\ f\left(\frac73\right)=\sqrt{\frac73-1}+\sqrt{10-2\cdot \frac73}=\sqrt{\frac43}+\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \end{gather*} Промежутки монотонности:
| \(x\) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
| \(f'(x)\) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
| \(f(x)\) | \(2\sqrt{2}\) | \(\nearrow \) | max \(2\sqrt{3}\) | \(\searrow \) | 2 |
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:
| $$ a\lt 2 $$ | нет решений |
| $$ 2\leq a\lt 2\sqrt{2} $$ | 1 решение |
| $$ 2\sqrt{2}\leq a\lt 2\sqrt{3} $$ | 2 решения |
| $$ a=2\sqrt{3} $$ | 1 решение |
| $$ a\gt 2\sqrt{3} $$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt{3}\).
Ответ: \(a\in\left[2;2\sqrt{3}\right]\)
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac{2+\log_3 x}{x-1}\gt \frac{6}{2x-1}\)
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\gt 1\\ 2+\log_3 x\gt\frac{6(x-1)}{2x-1} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 2+\log_3 x\lt\frac{6(x-1)}{2x-1} \end{cases} \end{array} \right. \\ 2+\log_3 x\gt \frac{6(x-1)}{2x-1}\Rightarrow \log_3 x\gt \frac{6(x-1)-2(2x-1)}{2x-1}\Rightarrow \log_3 x\gt \frac{2x-4}{2x-1}\\ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\gt 1\\ \log_3 x\gt\frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt\frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Исследуем функцию \(f(x)=\frac{2x-4}{2x-1}=\frac{2x-1-3}{2x-1}=1-\frac{3}{2x-1}\)
Односторонние пределы: \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow \frac12 -0}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{-0}=+\infty\\ \lim_{x\rightarrow \frac12 +0}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{+0}=-\infty \end{gather*} Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: \(y=1\) \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{-\infty}=1+0\\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\frac{3}{2x-1}\right)=1-\frac{3}{+\infty}=1-0 \end{gather*} На минус бесконечности кривая стремится к \(y=1\) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
3} $$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)| \(x\) | \(\left(0;\frac12\right)\) | \(\frac12\) | \(\left(\frac12;+\infty\right)\) |
| \(f»(x)\) | >0 | ∅ | <0 |
| \(f(x)\) | \(\cup\) | ∅ | \(\cap\) |
Пересечения с осью OY: \(f(0)=1-\frac{3}{0-1}=4\), точка (0;4)
Пересечение с осью OX: \(1-\frac{3}{2x-1}=0\Rightarrow 2x-1=3 \Rightarrow x=2\), точка (2;0)
Строим графики \(f(x)=\frac{2x-4}{2x-1}\) и \(g(x)=\log_3 x\)
Первая система из совокупности \( \begin{cases} x\gt 1\\ \log_3 x\gt \frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \)
Логарифм при \(x\gt 1\) все время выше, чем правая ветка гиперболы, т.е. система справедлива для всех \(x\gt 1\).
Вторая система из совокупности \( \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ \log_3 x\lt \frac{2x-4}{2x-1} \end{cases} \)
Логарифм попадает под левую ветку гиперболы на интервале \(0\lt x\lt\frac12\), т.
е. $$ \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ 0\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt\frac12 $$ Решение совокупности – это объединение полученных решений систем: $$ 0\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1 $$ Ответ: \(x\in\left(0;\frac12\right)\cup (1;+\infty)\)Производная от 3х в квадрате
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , то есть отображает процесс решения производной функции. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре?
Поиск данных по Вашему запросу:
Схемы, справочники, даташиты:
Прайс-листы, цены:
Обсуждения, статьи, мануалы:
Дождитесь окончания поиска во всех базах.
2 x Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация! Элементарная математика. Умножение и его свойства. Деление и его свойства. Умножение и деление в столбик. Дроби, задачи на нахождение частей от целого. Найти наименьшее общее кратное НОК. Привести дробь к наименьшему общему знаменателю. Нахождение целого по его части. Скорость поедания яблока. Сложение и вычитание простых дробей. Сложение и вычитание дробей.
Вычислить выражение с простыми и десятичными дробями. Нахождение процентов от суммы. Задачи на нахождение процентов. Задачи про втекающую в бассейн воду. Задачи на тему «Найти число», «Найти два числа». Задачи на нахождение двух чисел.
Задачи на нахождение двух чисел часть 2. Найти трехзначное число. Задачи о прохождении пути. Задача про велосипедистов. Задача про туриста.
Нахождение общей величины пройденного пути.
Задачи про лодку и течение реки. Задачи с решением элементарных уравнений. Задача про бросание гранаты. Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня. Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа. Операции с корнями на основе ствойств степени. Квадратный корень. Свойства квадратного корня. Таблица степеней натуральных чисел. Показательная функция.
Область определения функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Простейшие уравнения. Квадратные уравнения. Решаем неравенства. Трехмерное пространство. Равенство векторов. Рiвнiсть векторiв. Дифференциальное исчисление. Что такое производная. Практический смысл производной. Правила дифференцирования. Таблица производных простых функций.
Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций. Таблица производных тригонометрических функций. Производная числа. Производная дроби. Производная корня. Нахождение экстремума функции. Найти количество возможных комбинаций. Теория вероятности.
Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени — это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так. Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:.
Развернуть структуру обучения. Свернуть структуру обучения. Описание курса Элементарная математика Умножение и его свойства. Нахождение дробной степени числа Операции с корнями на основе ствойств степени Квадратный корень. Рiвнiсть векторiв Логарифм Дифференциальное исчисление Что такое производная.
Формулы для нахождения производной корня Общий случай формулы производной корня произвольной степени — дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе число, равное степени корня, для которого вычислялась производная, умноженная на корень такой же степени, подкоренное выражение которого — переменная в степени корня, для которого вычислялась производная, уменьшенной на единицу Производная квадратного корня — является частным случаем предыдущей формулы.
Производная квадратного корня из x — это дробь, числитель которого равен единице, а знаменатель — двойка, умноженная на квадратный корень х Производная кубического корня , также частный случай общей формулы. Производная кубического корня — это единица, деленная на три кубических корня из икс квадрат. Здесь: n — степень корня, для которой находится производная x — переменная, для которой находится производная
Таблица производных простых функций
Account Options Войти. Производная функции по-шагам Ivan Petuhov Образование.
Для всех. Добавить в список желаний. Калькулятор нахождения производной функции шаг за шагом из высшей математики — скачайте приложение и пользуйтесь как калькулятором онлайн. Отзывы Правила публикации отзывов. Перейти на веб-сайт.
Бесплатный сервис по решению математических задач даст ответы на ваше домашнее задание по алгебре, геометрии, тригонометрии.
Типичные ошибки при вычислении производной.
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:. Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства. Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение. Тогда ; ; ;. Сделаем подстановку. При ,. Используем свойство непрерывности 2 :. Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел 3 :.
Производная косинуса: (cos x)′
Математический Анализ. Определение производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Перейдем к более строгой формулировке: Определение производной.
Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее. Полный синтаксис смотрите ниже.
Производная функции
На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Производную от синуса я знаю как найти, но здесь 2х.
Производная сложной функции
Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация! Элементарная математика. Умножение и его свойства. Деление и его свойства. Умножение и деление в столбик. Дроби, задачи на нахождение частей от целого. Найти наименьшее общее кратное НОК.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт.
Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация! Таблица производных простых функций. Элементарная математика.
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра. Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы! Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Курс призван дать студенту уверенное владение основными методами теории функций комплексного переменного. Для его успешного освоения, студенту понадобятся знания теории дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных, а также базовые навыки решения простейших дифференциальных уравнений.
Разделы: Математика. Цель: систематизировать знания по теме, проверить свою компетентность в данной области знаний. Урок содержит 5 блоков заданий:. Блок 1. Проверка знания терминологии, проводится в виде математического диктанта 13 заданий. Блок 4. По графику производной смоделировать график функции, указать ее свойства на основании графика производной.
Производная арксинуса равна единице, деленной на корень квадратный из разности единицы и аргумента в квадрате. Если аргумент арксинуса отличен от , то производную ищем как производную сложной функции , то есть по формуле:. Найти производную функции.
Исчисление — Дифференцируемость — Открытый справочник по математике
Это устройство не может отображать анимацию Java. Вышеупомянутое статическое изображение
| Инструкции по эксплуатации см. в разделе Об апплетах исчисления. |
1. Разрыв скачка
Апплет изначально показывает линию с разрывом скачка. Какова производная этой функции для х = 1?
Медленно перетащите зеленую точку к красной. Что происходит с наклоном зеленой секущей? Почему? Теперь перетащите зеленую точку слева от красной точки, затем медленно перетащите ее обратно к красной точке. Что теперь происходит с наклоном секущей? Перетаскивание зеленой точки справа к красной точке похоже на начало h больше нуля и меньше. Если этот предел существует, он называется правой производной и определяется как Обратите внимание на + на нуле, который говорит вам, что это правый предел. Точно так же перетаскивание зеленой точки слева к красной точке похоже на запуск h из отрицательного значения, а затем приближение к нулю. Если этот предел существует, он называется левой производной и определяется как В этом примере функция имеет правую производную при x = 1, что равно 1 (т. е. наклон линии вправо), но левая производная не определена, поскольку она стремится к бесконечности, когда ч стремится к нулю. Таким образом, эта функция не дифференцируема при x = 1. Это справедливо для всех скачкообразных разрывов.
2. Смещенная точка
Выберите второй пример из выпадающего меню. Это показывает линию со смещенной точкой (она находится в том же месте, что и красная точка). Чему равна производная этой функции для х = 1? Медленно перетащите зеленую точку к красной. Что происходит с наклоном зеленой секущей? Теперь переместите зеленую точку слева от красной точки и медленно перетащите ее обратно. Что происходит со склоном? В этом случае не существует ни левой производной, ни правой производной (обе стремятся к бесконечности), поэтому функция не дифференцируема при x = 1.
3. Недостающая точка
Выберите третий пример, в котором показана линия с отсутствующей точкой. Чему равна производная этой функции для х = 1? В этом случае функция не определена при x = 1, поэтому в некотором смысле нечестно спрашивать, дифференцируема ли функция там. Функция не дифференцируема для входных значений, которые не находятся в ее области определения.
4. Гипербола
Выберите четвертый пример, показывающий гиперболу с вертикальной асимптотой. Какова производная этой функции для х = 1? Как и в предыдущем примере, функция не определена при x = 1, поэтому здесь функция не дифференцируема. Эти примеры показывают, что функция не дифференцируема там, где она не существует или где она разрывна.
5. Абсолютное значение
Выберите пятый пример, показывающий функцию абсолютного значения (смещено вверх и вправо для ясности). Какова производная при x = 1? На этот раз функция существует для x = 1 и там она непрерывна. Перетащите зеленую точку к красной точке справа, а затем слева. Что в каждом случае происходит с наклоном зеленой секущей? В этом примере существуют как левые, так и правые производные, но они разные. Когда это происходит, общая производная не существует (помните, что общий предел существует только в том случае, если левый и правый пределы существуют и совпадают), поэтому функция не дифференцируема в точке 9. 0015 x = 1. Углы, подобные этому, — это места, где наклон резко меняется, из-за чего левосторонние и правосторонние производные различаются.
6. Степенная функция с выступом
Выберите шестой пример. Здесь показана степенная функция с точкой возврата, очень заостренной частью графика. Он непрерывен при x = 0. Существует ли производная при x = 0? Перетащите зеленую точку слева и справа к красной точке и обратите внимание на наклон. Как и углы, каспы могут вызвать резкое изменение наклона, поэтому функция не дифференцируема в точке 9.0015 х = 0.
7. Кубический корень
Выберите седьмой пример, показывающий функцию кубического корня. Он тоже непрерывен при х = 0, но дифференцируем ли он там? Перетащите зеленую точку к красной. Похоже, что наклон становится довольно большим возле красной точки. Вы можете приблизиться, введя значение x в поле ввода, например 0,00001. На самом деле функция кубического корня имеет вертикальную касательную в точке x = 0, что означает, что предел производной в этой точке не определен. Следовательно, эта функция не дифференцируема в x = 0. В более общем смысле функции не дифференцируемы там, где они имеют вертикальные касательные.
Другие темы дифференциации
- Постоянные, линейные и степенные функции
- Экспоненциальные функции
- Тригонометрические функции
- Константа Множественная
- Комбинации: сумма и разница
- Комбинации: произведение и частное
- Состав функций (цепное правило)
- Преобразования функций
- Обратные функции
- Гиперболические функции
- Линейное приближение
- Теорема о среднем значении
(C) 2011 Copyright Math Open Reference.
Все права защищены
Колледж-Парк Репетиторы — Блог — Исчисление
Что такое натуральный логарифм?
Эта часть не является обязательной, так как студенты вряд ли будут тестироваться по этому материалу, но если вы хотите лучше понять концептуальное значение натурального логарифма, вы можете прочитать этот раздел. 9х\) и \(ln(x)\) обратны.
Что это значит? Подумайте о кубировании числа и извлечении кубического корня из числа.
Представьте, что мы начинаем с числа \(7\). Если мы возьмем его в куб, то получим \(343\). Если мы возьмем кубический корень из этого нового числа, \(343\), мы получим \(7\), то есть число, с которого мы начали. Точно так же представьте, что мы начинаем с числа \(125\). Если мы возьмем кубический корень, мы получим \(5\). Если мы возьмем в куб это новое число, \(5\), мы получим \(125\), то есть число, с которого мы начали. Кубирование и извлечение кубического корня обратны — они уничтожают друг друга. Если происходит одна из операций, чтобы ее отменить, мы просто применяем другую. Говоря более математически, 92)\) разные. Первое можно увидеть как \(ln(x) \times ln(x)\), тогда как второе можно увидеть как \(ln(x \times x)\), то есть по первому натуральному логарифму свойство \(ln(x)+ln(x)\), которое можно переписать как \(2ln(x)\). Понятно, что это два разных выражения.
Также важно отметить, что нельзя упростить выражения форм \(ln(a+b)\) или \(ln(a-b)\). Убедитесь, что вы обращаете внимание на такие детали, потому что может возникнуть соблазн посмотреть на выражение в одной из этих форм и применить первое или второе свойство, но это будет неправильно. 94} + 1 — \frac{1}{2} \times \frac{5}{5x-2} \\[2ex] = \frac{4}{x} + 1 — \frac{5}{10x-4}\]
Вот и ответ.
Как вы делаете логарифмическое дифференцирование?
Иногда вы можете обнаружить, что легче найти производную функции, используя натуральные логарифмы, вместо использования таких подходов, как произведение и частное, которые могут довольно быстро запутаться.
Вот процесс: Вы берете натуральное бревно с обеих сторон. Затем вы упрощаете настолько, насколько хотите, используя свойства естественного журнала. Затем вы используете неявное дифференцирование (отсюда \(\frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx}\) в приведенном ниже примере). Затем вы умножаете обе части на исходную функцию.