Производная от производной: Понятие и вычисление производной n-го порядка — урок. Алгебра, 10 класс.

Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным, а также большим или малым, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»

Поскольку производная \(y = f'(x)\text{,}\) сама по себе является функцией, мы можем взять ее производную — производную от производной — и спросить: «Что говорит производная от производной нам о том, как ведет себя исходная функция?» Начнем с исследования движущегося объекта.

Предварительный просмотр 1.6.1.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.2. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \((2,4)\) на графике указывает на то, что за 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.

1. Обыденным языком опишите поведение автомобиля на указанном интервале времени. В частности, следует тщательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \([0,1]\text{,}\) \([1,2]\text{,}\) \([2,3 ]\text{,}\) \([3,4]\text{,}\) и \([4,5]\text{,}\) плюс общий комментарий о том, что машина делает на интервале \([0,12]\текст{.}\)

2. На левых осях, представленных на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \(y = s'(t)\text{.

   }\)

3. Что означает функция \(y = s'(t)\) в контексте данной задачи? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \(s'(t)\) положительно? когда \(s'(t)\) равно нулю? когда \(s'(t)\) отрицательно?

4. Переименуйте функцию, которую вы нарисовали в (b), так, чтобы она называлась \(y = v(t)\text{.}\) Опишите поведение \(v\) словами, используя такие фразы, как «\(v\) возрастает на интервале \(\ldots\)» и «\(v\) постоянно на интервале \(\ldots\text{.}\)»

5. Нарисуйте график функции \(y = v'(t)\) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \(v'(t)\) связано с графиком \(y=v(t)\text{.}\)

Подраздел 1.6.1 Увеличение или уменьшение

До сих пор мы интуитивно использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие

Определение 1.6.4.

Для данной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((a,b)\text{,}\), мы говорим, что \(f\) возрастает на \((a,b)\ ) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) if \(x \lt y\text{,} \) тогда \(f(x) \lt f(y)\text{.}\) Аналогично, мы говорим, что \(f\) убывает на \((a,b)\) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) если \(x \lt y\text{,}\), то \(f (x) \gt f(y)\text{.}\)

Проще говоря, возрастающая функция — это функция, возрастающая по мере движения слева направо по графику, а убывающая функция — функция, уменьшающаяся по мере увеличения входного значения. Если у функции есть производная, то знак производной говорит нам, является ли функция возрастающей или убывающей.

Пусть \(f\) — функция, дифференцируемая на отрезке \((a,b)\text{.}\) Можно показать, что если \(f'(x) > 0\) для каждый \(x\) такой, что \(a \lt x \lt b\text{,}\), то \(f\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) аналогично, если \(f'(x) \lt 0\) на \((a,b)\text{,}\), то \(f\) убывает на \((a,b)\text{. }\)

Например, функция, изображенная на рис. 1.6.5, возрастает на всем интервале \(-2 \lt x \lt 0\text{,}\) и убывает на интервале \(0 \lt x \lt 2\ text{.}\) Обратите внимание, что значение \(x = 0\) не включено ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция меняется с возрастающей на убывающую.

Подраздел 1.6.2 Вторая производная

Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \(f\) — это новая функция, заданная правилом

\begin{уравнение*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}

Поскольку \(f’\) сама по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \(y = [f'(x)]’\text{.}\ ) Назовем полученную функцию вторую производную от \(y = f(x)\text{,}\) и обозначим вторую производную через \(y = f»(x)\text{. }\). Следовательно, иногда мы будем называть \(f’\) «первая производная» от \(f\text{,}\), а не просто «производная» от \(f\text{.}\)

Определение 1.6.6.

Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть

\begin{уравнение*} f»(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}

Смысл функции производной сохраняется, поэтому при вычислении \(y = f»(x)\text{,}\) эта новая функция измеряет наклоны касательных к кривой \(y = f'( x)\text{,}\), а также мгновенную скорость изменения \(y = f'(x)\text{.}\) Другими словами, точно так же, как первая производная измеряет скорость, с которой исходная функция изменяется, вторая производная измеряет скорость изменения первой производной. Вторая производная поможет нам понять, как меняется сама скорость изменения исходной функции.

Подраздел 1.6.3 Вогнутость

В дополнение к вопросу о том, возрастает или убывает функция, естественно также спросить о том, как функция возрастает или убывает. Есть три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может возрастать все быстрее, она может увеличиваться с той же скоростью или она может увеличиваться медленно. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, с естественным сравнением с линиями, которые вообще не изгибаются. Более того, мы хотим понять, как изгиб графика функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.

На самой левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. По мере того, как мы движемся слева направо, наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью . Для крайнего правого графика на рисунке 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \(x\) функция увеличивается, но наклоны касательных линий уменьшаются. Эта функция увеличивается с убывающей скоростью .

Аналогичные варианты относятся к уменьшению функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции предполагают отрицательный наклон. Отрицательные числа представляют интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\(-100\) больше, чем \(-2\текст{.}\)». Но мы должны помнить, что «больше чем» описывает, как числа лежат на числовой прямой: \(x \gt y\) при условии, что \(x\) лежит справа от \(y\text{.}\). Конечно, \(-100\) меньше, чем \(-2\text{ .}\) Неформально может быть полезно сказать, что «\(-100\) более отрицательно, чем \(-2\text{.}\)». Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся более отрицательными по мере вход увеличивается, функция должна быть убывающей.

1. На каких интервалах функция положения \(y = s(t)\) возрастает? уменьшается? Почему?

2. На каких интервалах функция скорости \(y = v(t) = s'(t)\) возрастает? уменьшается? ни один? Почему?

3. Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость изменения скорости объекта. Скажем, функция ускорения автомобиля называется \(a(t)\text{.}\) Как \(a(t)\) вычисляется из \(v(t)\text{?}\) Как \( a(t)\) вычисляется из \(s(t)\text{?}\) Объясните.

4. Что вы можете сказать о \(s»\) всякий раз, когда \(s’\) возрастает? Почему?

5. Используя только слова возрастающее , убывающее , постоянное , вогнутое вверх , вогнутое вниз и линейное , завершите следующие предложения. Для функции положения \(s\) со скоростью \(v\) и ускорением \(a\text{,}\)

   • на интервале, где \(v\) положительно, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(v\) отрицательно, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(v\) равно нулю, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(a\) положителен, \(v\) равен .

   • на интервале, где \(a\) отрицательно, \(v\) равно .

   • на интервале, где \(a\) равно нулю, \(v\) равно .

   • на интервале, где \(a\) положителен, \(s\) равен .

   • на интервале, где \(a\) отрицательно, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(a\) равно нулю, \(s\) равно .

Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая и вторая производные связаны друг с другом. В упражнении 1.6.2 мы можем заменить \(s\text{,}\) \(v\text{,}\) и \(a\) на произвольную функцию \(f\) и ее производные \(f ‘\) и \(f»\text{,}\) и, по существу, все те же самые наблюдения. В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \(f\) вогнут вверх, \(f’\) возрастает, а \(f»\) положителен. Точно так же на интервале, где график \(f\) вогнут вниз, \(f’\) убывает, а \(f»\) отрицательна.

Мероприятие 1.6.3.

Картофель помещают в печь, измеряют температуру картофеля \(F\) (в градусах по Фаренгейту) в различные моменты времени и записывают в следующую таблицу. Время \(t\) измеряется в минутах. В упражнении 1. 5.2 мы вычислили приближения к \(F'(30)\) и \(F'(60)\), используя центральные разности. Эти значения представлены во второй таблице ниже вместе с несколькими другими, рассчитанными таким же образом.

Таблица 1.6.12. Выберите значения \(F(t)\text{.}\)

Таблица 1.6.13. Выберите значения \(F'(t)\text{.}\)

\(т\)	\(Ф'(т)\)
\(0\)	нет данных
\(15\)	\(6.03\)
\(30\)	\(3,85\)
\(45\)	\(2,45\)
\(60\)	\(1,56\)
\(75\)	\(1. 00\)
\(90\)	нет данных

1. В каких единицах выражены значения \(F'(t)\text{?}\)

2. Используйте центральную разность для оценки значения \(F»(30)\text{.}\)

3. Что означает значение \(F»(30)\), которое вы вычислили в (b), в зависимости от температуры картофеля? Напишите несколько аккуратных предложений, в которых с соответствующими единицами обсуждаются значения \(F(30)\text{,}\) \(F'(30)\text{,}\) и \(F»(30) \text{,}\) и объясните общее поведение температуры картофеля в этот момент времени.

4. В целом температура картофеля увеличивается с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с убывающей скоростью? Почему?

Мероприятие 1.6.4.

Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как набросать график \(f’\) по графику \(f\text{.}\)

На рисунке 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух разных функций \(f\text{,}\), нарисуйте соответствующий график \(f’\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \(f» \) на втором наборе осей. Кроме того, для каждого напишите несколько аккуратных предложений в духе предложений из упражнения 1.6.2, которые связывают поведение \(f\text{,}\) \(f’\text{,}\) и \(f »\text{.}\) Например, напишите что-то вроде

\(f’\) находится на интервале , что связано с тем, что \(f\) находится на том же интервале , а \(f»\) находится на интервале.

, но, конечно, с заполненными пробелами. Всюду рассматривайте масштаб сетки для графика \(f\) как \(1 \times 1\text{,}\) и примите горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен графику для \(f\text{.}\) Если вам нужно настроить вертикальный масштаб по осям для графика \(f’\) или \(f »\text{,}\) вы должны пометить это соответствующим образом.

Подраздел 1.6.4 Резюме

• Дифференцируемая функция \(f\) возрастает на отрезке, если ее первая производная положительна, и убывает, когда ее первая производная отрицательна.

• Взяв производную от производной функции \(f\text{,}\), мы получим вторую производную, \(f»\text{.}\) Вторая производная измеряет мгновенную скорость изменения первой производной. Знак второй производной говорит нам, увеличивается или уменьшается наклон касательной к \(f\). 9х\текст{.}\)

• Единицы второй производной — это «единицы выпуска на единицу ввода на единицу ввода». Они говорят нам, как значение производной функции изменяется в ответ на изменения входных данных. Другими словами, вторая производная сообщает нам скорость изменения скорости изменения исходной функции.

Упражнения 1.6.5 Упражнения

1. Сравнение значений \(f, f’, f»\).

Рассмотрим функцию \(f(x)\), показанную ниже.

Для этой функции следующие ненулевые величины положительны или отрицательны?

\(f(3)\) равно

• положительный

• отрицательный

\(f'(3)\) равно

• положительный

• отрицательный

\(f»(3)\) равно

• положительный

• отрицательный

(Поскольку это задача с несколькими вариантами ответов, она не покажет, какие части задачи верны, а какие нет, когда вы отправляете ее. )

2. Знаки величин \(f, f’, f»\).

Ровно в двух отмеченных точках на рисунке ниже, который показывает функцию \(f\text{,}\), производная \(f’\) равна нулю; вторая производная \(f»\) не равна нулю ни в одной из отмеченных точек. Выберите правильные знаки для каждого из \(f\text{,}\) \(f’\) и \(f»\) в каждой отмеченной точке.

3.

Предположим, что разгоняющийся автомобиль разгоняется с 0 до 64,1 миль в час за пять секунд. Его скорость указана в следующей таблице в пересчете из миль в час в футы в секунду, так что все измерения времени даны в секундах. (Примечание: 1 миля в час равна 22/15 футам/сек.) Найдите среднее ускорение автомобиля в течение первых двух секунд.

среднее ускорение за первую секунду =

среднее ускорение за вторую секунду =

4. Скорость изменения стоимости акций.

Пусть \(P(t)\) представляет собой цену акции корпорации в момент времени \(t\text{.}\) Что каждое из следующих утверждений говорит нам о знаках первого и второго производные от \(P(t)\text{?}\)

(a) Цена акции падает все медленнее и медленнее.

Первая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

Вторая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

(b) Цена акции близка к минимуму.

Первая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

Вторая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

5. Интерпретация графика \(f’\).

График \(f’\) (, а не \(f\)) приведен ниже.

(Обратите внимание, что это график \(f’\text{,}\), а не график \(f\text{.}\))

При каком из отмеченных значений \(x\)

A. \(f(x)\) наибольшее? \(x =\)

B. \(f(x)\) наименьшее? \(x =\)

C. \(f'(x)\) наибольшее? \(x =\)

D. \(f'(x)\) наименьшее? \(x =\)

E. \(f»(x)\) наибольшее? \(x =\)

F. \(f»(x)\) наименьшее? \(х =\)

6.

Предположим, что \(y = f(x)\) — дважды дифференцируемая функция такая, что \(f»\) непрерывна, для которой известна следующая информация: \(f(2) = -3\text{ ,}\) \(f'(2) = 1,5\текст{,}\) \(f»(2) = -0,25\текст{.}\)

1. Является ли \(f\) возрастающим или убывающим вблизи \(x = 2\text{?}\) Является ли \(f\) вогнутым вверх или вогнутым вниз вблизи \(x = 2\text{?}\)

2. Ожидаете ли вы, что \(f(2.1)\) будет больше, чем \(-3\text{,}\), равно \(-3\text{,}\) или меньше, чем \(-3\text {?}\) Почему?

3. Ожидаете ли вы, что \(f'(2.1)\) будет больше, чем \(1.5\text{,}\), равно \(1.5\text{,}\) или меньше, чем \(1.5\text{? }\) Почему?

4. Нарисуйте график \(y = f(x)\) вблизи \((2,f(2))\) и включите график касательной.

7.

Для некоторой функции \(y = g(x)\text{,}\) ее производная задается функцией, изображенной на рисунке 1.6.15.

1. Каков приблизительный наклон касательной к \(y = g(x)\) в точке \((2, г(2))\текст{?}\)

2. Сколько вещественных решений может быть у уравнения \(g(x) = 0\text{?}\) Обоснуйте свой вывод полностью и тщательно, объяснив, что вы знаете о том, как график \(g\) должен вести себя на основе заданного графика \(g’\text{.}\)

3. Сколько раз на интервале \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) изменяется вогнутость \(g\)? Почему?

4. Используйте предоставленный график для оценки значения \(g»(2)\text{.}\)

8.

Высота банджи-джампера \(h\) (в футах) в момент времени \(t\) (в секундах) частично указана в таблице:

\(т\)	\(0.0\)	\(0,5\)	\(1.0\)	\(1,5\)	\(2. 0\)	\(2,5\)	\(3.0\)	\(3,5\)	\(4.0\)	\(4,5\)	\(5.0\)
\(ч(т)\)	\(200\)	\(184.2\)	\(159.9\)	\(131.9\)	\(104.7\)	\(81.8\)	\(65,5\)	\(56.8\)	\(55,5\)	\(60.4\)	\(69.8\)

1. Используйте полученные данные для оценки \(h'(4.5)\text{,}\) \(h'(5)\text{,}\) и \(h'(5. 5)\text{.} \) В какой момент времени банджи-джампер поднимается быстрее всего?

2. Используйте данные и вашу работу в (а) для оценки \(h»(5)\text{.}\)

3. Какое физическое свойство банджи-джампера измеряет значение \(h»(5)\)? Каковы его единицы?

4. Исходя из данных, на каких примерных интервалах времени функция \(y = h(t)\) вогнута вниз? Что происходит со скоростью банджи-джампера в эти промежутки времени?

9.

Для каждой последующей подсказки нарисуйте возможный график функции на интервале \(-3 \lt x \lt 3\), который удовлетворяет указанным свойствам.

1. \(y = f(x)\) такое, что \(f\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \lt 0\text{,}\) и вогнут вниз на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)

2. \(y = g(x)\) такое, что \(g\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вниз на \(-3 \lt x \ lt 0\text{,}\) и вогнут на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)

3. \(y = h(x)\) такое, что \(h\) убывает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \ lt -1\text{,}\) не вогнут вверх и не вогнут вниз на \(-1 \lt x \lt 1\text{,}\) и не вогнут вниз на \(1 \lt x \lt 3\text{ . }\)

4. \(y = p(x)\) такое, что \(p\) убывает и вогнуто вниз на \(-3 \lt x \lt 0\) и возрастает и вогнуто вниз на \(0 \lt x \lt 3\текст{.}\)

Производные / дифференциальное исчисление: определения, правила

Производная — это другое название наклона касательной в точке. Здесь производные в точках А и В равны нулю.

Содержание :

Основы

1. Что такое производная?
   • Формула: предельное определение производной
2. Примеры ТИ-89
3. Обозначение дифференциации

1. Таблицы производных (Краткое справочное руководство по общим производным
2. Постоянный коэффициент Правило
3. Правило продукта
4. Цепное правило
5. Функции с показателями степени (степенное правило ).
   • Частное правило
   • Правило взаимности: определение, примеры
   • Правило суммы

Специальные функции

1. Как найти производную простых функций:
   • Постоянные функции (например, y = 5, y = 99)
   • лн (натуральное бревно)
   • Грех 3x
   • Тан х
2. Производные обратной функции.
3. Производная тригонометрической функции.

Дополнительные определения и примеры

1. Автоматическое дифференцирование
2. Непрерывная производная
3. Конвективная производная
4. Критические числа
5. Производная не существует в точке: 7 примеров
6. Левая производная и правая производная
7. Отличие по частям
8. Направленные производные
9. Эпидериваты
10. Явное дифференцирование
11. Внешняя производная
12. Формула Фаа ди Бруно: определение, примеры шагов
13. Четвертые производные
14. Дробное исчисление
15. Пятая производная (треск)
16. Первый производный тест
17. Дифференциал Гато
18. Общее правило Лейбница
19. Обобщенный производный: обзор, примеры
20. Производные высшего порядка
21. Производная Хукухара: Определение
22. Неявное дифференцирование
23. Lanczos Производная
24. Производная Ли
25. Линейность дифференцировки
26. Локальный производный
27. Логарифмическая производная
28. Смешанная производная (частичная, повторяющаяся)
29. N-ая производная
30. Численное дифференцирование
31. Односторонняя производная
32. Параметрическая производная
33. Частная производная
34. Полярная производная
35. Второй производный тест
36. Симметричная производная
37. Третьи производные
38. Общий дифференциал/производная: формула, пример
39. Когда функция не дифференцируема?
40. Слабые производные

Проще говоря, это мгновенная скорость изменения. Он говорит вам, как быстро меняется соотношение между вашим входом (x) и выходом (y) в любой конкретный момент времени.

Следующая формула дает более точное (т.е. более математическое) определение.

Есть коротких путей, , но когда вы впервые начнете изучать математику, вы будете использовать формулу.

Нередко дойдя до конца семестра, вы все еще не знаете точно, что это такое! Это потому, что определение не сразу интуитивно понятно; вы действительно поймете, что это такое, после того, как вы практиковались — и практиковались. Это как знать, что такое амбушюр при игре на кларнете; вам могут сказать, что это размещение языка, но требуется много недель (иногда месяцев) практики, прежде чем вы действительно хорошо поймете, как сделать идеальный анбушер и почему это важно.

Производные можно найти несколькими способами. Нахождение производных с использованием предельного определения производной — это один из способов, но он требует некоторых сильных навыков алгебры. Посмотрите видео с парой быстрых пошаговых примеров:

Предельное определение производных примеров

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Пример задачи №1: Найдите производную f(x) = √(4x + 1)

Шаг 1: Вставить функцию в формулу. Функция равна √(4x + 1), поэтому:
f'(x) = lim _{Δx → 0} √( 4( x + Δx ) + 1 – √(4x + 1)) / Δx.
Если это выглядит запутанно, все, что мы сделали, это заменили «x» в формуле на x + Δx в первой части формулы.

Шаг 2: Используйте алгебру для работы с формулой. Здесь вам пригодятся сильные навыки алгебры, потому что все формулы разные.

1. Умножьте верхнее и нижнее число на √( 4( x + Δx) + 1 + √(4x + 1):
   f'(x) = lim _{Δx → 0} √( 4( x + Δx) + 1 – √(4x + 1) ) * √( 4( x + Δx) + 1 + √(4x + 1) / Δx* √( 4( x + Δx) + 1 + √(4x + 1)
   , что сводится к:
   = lim _{Δx → 0} 4(x + Δx) + 1 – (4x + 1) / Δx(√ (4x + Δx) + 1) + √ 4x + 1
2. Распределить 4:
   = lim _{Δx → 0} (4x + 4Δx + 1 – 4x – 1) / (Δx(√ (4x + Δx) + 1) + √ (4x + 1)
3. Удалить термины. В этом случае вы можете удалить 4x, Δx и 1.
   = lim _{Δx → 0} 4 / ((√ (4x + Δx) + 1) + √ 4x + 1))

Шаг 3: Возьмите предел. Δx выпадет (потому что это незначительное приращение). Опять же, здесь помогут сильные навыки алгебры:
= 4 / ((√ (4x + 1) + √ 4x + 1)
= 4 / 2 √(4x + 1)
= 2 / √(4x + 1)

Вот так

Вернуться к началу

Почему важна производная

По сути, они важны, потому что позволяют извлекать информацию, о которой вы не знали 9.1071 Например, если вы знаете, где находится объект (т. е. у вас есть функция положения), вы можете использовать производную, чтобы найти скорость, ускорение или рывок (скорость изменения ускорения). Как? Производная от…

• …позиция – это скорость.
• …скорость – это ускорение.
• …ускорение резкое.

Вы можете продолжать брать производные (например, четвертую, пятую), извлекая все больше и больше информации из этой простой функции положения. И это работает не только с позицией; Исчисление может работать с любой функцией.

Поиск производных на TI 89 или TI 89 Titanium включает те же шаги. Это потому, что два калькулятора по сути одинаковы, за исключением нескольких наворотов на Титаниуме, таких как дополнительная память. Эти обновления не влияют на то, как вы находите деривативы.

1. Производные TI 89/титановые ступени
2. Оценка производной по определенному значению,
3. Нахождение высших производных (2-я, 3-я…),

Пример задачи: Найдите производную f(x) = 3x.

Шаг 1: Нажмите F3.

Шаг 2: Выберите «1: d(дифференцировать». Используйте клавишу со стрелкой вниз или , введите «1», чтобы выбрать его.

Шаг 3: Нажмите ENTER.

Шаг 4: Введите

1. Нажмите кнопку F3 92,x)|x=2

   Шаг 3: Нажмите ENTER.

   Вот и все! Готово!

   Расчетные таблицы: Содержание

   • Производные:
     1. Общие правила
     2. Степени и многочлены
     3. Тригонометрические функции
     4. Экспоненциальные и логарифмические функции
     5. Обратные тригонометрические функции
     6. Гиперболические и обратные гиперболические функции
   
   
   
   
   
   
   
   

   См.: Что такое гиперболическая функция?
   

   Ссылки

   Викиучебник Таблицы производных

   Посмотрите это 10-минутное введение или прочитайте ниже:
   

   Дробное исчисление за 10 минут.

   Посмотрите это видео на YouTube.

   Дробное исчисление — это когда вы расширяете определение производной n-го порядка (например, первая производная, вторая производная,…), допуская n , чтобы иметь дробное значение.

   Еще в 1695 году Лейбниц (основатель современного исчисления) получил письмо от математика Лопиталя, в котором он спрашивал, что произойдет, если «n» в D ⁿ x/Dx ⁿ будет равно 1/2. Ответ Лейбница: «Это приведет к парадоксу, из которого будут извлечены однодневные полезные следствия».

   Не существует очевидного графического понимания дробного исчисления, и не все основные правила, которые мы вывели для классического исчисления, применимы или становятся очень сложными. Простые идеи, такие как основа цепного правила или правила произведения, больше не являются простыми идеями, когда дело доходит до этого нового вида исчисления, и иногда они просто не работают.

   Простой пример исчисления дробей: производная степенной функции

   Вычисление производной степенной функции — одна из самых простых задач в исчислении, поэтому, возможно, это хорошее место для начала изучения того, как может вести себя функция половинной производной.

   Давайте определим нашу функцию интереса, f(x), как:
   

   
   

   Наши знания в области исчисления говорят нам, что первая производная будет

   И мы можем повторить это a раз, чтобы получить обобщенный результат
   

   Теперь мы знаем, что факториал эквивалентен гамма-функции,

   . Мы можем подставить это в приведенную выше общую формулу, что оставит нас с
   

   . Теперь, чтобы найти полупроизводную, мы должны подставить k = 1 и а = ½.
   

   На приведенном ниже графике эта половинная производная показана фиолетовым цветом, наряду с исходной функцией (синим цветом) и первой производной (красным цветом).

   
   

   Производная по направлению показывает мгновенную скорость изменения функции в определенном направлении.

   Вы можете записать этот тип производной как:

   
   

   Это обозначение указывает, что вы смотрите на скорость изменения функции f(x,y,z) в определенной точке (x ₀ , y ₀ , г ₀ ). Символ ∇ называется «набла» или «дель».

   Эта идея на самом деле является обобщением идеи частной производной. Для частной производной вы берете скорость изменения вдоль одной из кривых координат, сохраняя все остальные координаты постоянными. Для производной по направлению вы должны учитывать все части вашего вектора направления.

   Производная по направлению скалярной функции

   Производная по направлению скалярной функции (т. е. одномерной функции) относительно легко определить. Вдоль вектора v она определяется как:

   Это скорость изменения функции f в направлении вектора v по отношению ко времени прямо в точке x.

   Свойства производной по направлению

   У производной по направлению есть одно особенно хорошее свойство; многие свойства обычных производных справедливы и для него.

   Например, если наши функции f и g дифференцируемы в точке p:

   • Правило сумм выполняется:
   • Для любой константы c выполняется правило постоянного множителя:
   • Правило произведения (также известное как правило Либница):
   • И, если g дифференцируема в точке p, а h дифференцируема в точке g(p), цепное правило также выполняется:

   Автоматическое дифференцирование ( autodiff ) использует компьютер для расчета производных по некоторому заданному значению, используя механическое применение цепного правила.

   Это не формула, а значение производной в интересующей точке.

   Приложения для автоматического дифференцирования

   Autodiff используется в:

   • Усвоение данных,
   • Оптимизация дизайна,
   • Обратные задачи,
   • Численные методы,
   • Анализ чувствительности.

   Может работать с очень сложными функциями; Одним из крупнейших приложений был код из 1,6 миллиона строк (написанный на Fortran 77) для исследований в области гидродинамики.

   Преимущества

   Преимущества:

   • Эффективность и стабильность,
   • Ответы достаточно точные,
   • Обычно это хороший выбор, если вам нужно вычислить производную в точке.
   • Обычно считается, что это лучший выбор, чем другие компьютерные методы дифференциации, такие как конечное дифференцирование, символическое дифференцирование или ручное кодирование (Gebremedhin, 2014).

   Типы автоматической дифференциации

   Существует два основных типа автодифференциации:

   • Автодифф в прямом режиме,
   • Автодиф. в обратном режиме.

   Прямой режим (также известный как линейный режим тангенса директора ) обычно используется для расчета производных по направлению. Он включает в себя нахождение производных промежуточных переменных по независимым переменным. Переход от одного оператора к другому осуществляется с помощью цепного правила.

   Обратный режим (также известный как назад , примыкающий или котангенсный линейный режим ) вычисляет производные зависимых переменных относительно промежуточных значений. Опять же, распространение от одного оператора к другому выполняется в соответствии с цепным правилом.

   Эти два режима математически эквивалентны и основаны на одних и тех же принципах, но могут требовать разного количества времени и компьютерной памяти.

   Автоматическое дифференцирование: ссылки

   Bischof, Bucker, Rasch, Slusanschi и Lang. Автоматическое дифференцирование универсального пакета вычислительной гидродинамики. Журнал Fluids Engineering, 2007, том 129.№ 5. стр. 652—658. Резюме получено с http://fluidsengineering.asmedigitalcollection.asme.org/article.aspx?articleid=1431286 31 марта 2019 г. Гебремедхин, А. (2014). Исследования, автоматическая дифференциация. Получено 1 июня 2019 г. с: https://www.cs.purdue.edu/homes/agebreme/research/coloring-derivatives.html
   Bücker, Schiller, Hovland et al. Автодиф. Получено с http://www.autodiff.org/?module=Introduction 31 марта 2019 г.
   Гроссе, Роджер. CSC32 Лекция 10: Автоматическое дифференцирование. Университет Торонто CS. Получено с https://www.cs.toronto.edu/~rgrosse/courses/csc321_2018/slides/lec10.pdf 30 марта 2019 г..
   Курунис, Д. и др. (2017). Символьное дифференцирование во время компиляции с использованием шаблонов выражений C++. Получено 1 июня 2019 г. с: http://arxiv-export-lb.library.cornell.edu/pdf/1705.01729
   Wang, Chi-Feng. Автоматическое дифференцирование, объяснение. Как компьютеры рассчитывают производные? Получено с https://towardsdatascience. com/automatic- Differentiation-Explained-b4ba8e60c2ad 31 марта 2019 года. проблемы с оптимизацией.

   Метод объединяет дельта- и набла-подходы к исчислению вариаций во временных масштабах (Гирейко и др., 2010).

   Эпидериватив Определение

   Эпидеривативы обычно делятся на категории:

   • Контингентные эпидеривативы (введены Jahn & Rauh в 1997 г.) или
   • Генерализованные контингентные эпидериваты .

   Многозначная контингентная производная многозначной функции H в некоторой точке представляет собой карту с графиком, равным условному конусу Булигана графа H в выбранной точке (Bigi & Castellani, 2002). Более формально это можно описать с помощью обозначений:

   A контингентная эпидеривация из F at ( x , y ) определяется как (Rodriguez-Marin et al., 1997):

   6 «… Однозначное отображение DF (x, y): X → Y, надграфик которого совпадает с контингентным конусом надграфа F в точке (x, y), т. е. epi (DF (x, y) = T (epi(F), (x, y)».

   Обобщенная контингентная эпипроизводная F at ( x , y ) is defined as the following set-valued map:
   D _g F ( x , y ): X → 2 ^Y if
   D _g F ( x , y ) (x) = Min ({y ∈ Y: (x, y) ∈ T (epi(F), ( x , y )) }).
   

   Производные высшего порядка – это любые производные, кроме первого (второго, третьего, четвертого, …). Производная функции также является функцией, поэтому вы можете продолжать брать производные до тех пор, пока ваша функция не станет f(x) = 0 (в этот момент уже нельзя брать производную).

   Повторение производной снова и снова может показаться педантичным упражнением, но производные более высокого порядка имеют множество применений , особенно в физике и технике.

   Пример нахождения производных более высокого порядка

   Производная — это наклон касательной в точке. Здесь производные в точках А и В равны нулю.

   Первая производная функции f(x) = x ⁴ – 5x ² + 12x – 13 равна:
   f′(x) = 4x ³ – 10x + 12 (найдена по степенному правилу).

   Но вы можете снова различать эту функцию. Поскольку вы дифференцируете два раза, это называется второй производной. Снова используя правило степени, вы получаете: f′′(x) = 12x ² – 10

   Вы можете пять раз брать производную этой конкретной функции, когда пятая производная равна нулю. Вы не можете взять производную от нуля, поэтому остановитесь на этом.

   Высшие производные функции положения

   Высшие производные имеют 9У 1070 много теоретических применений, у есть и несколько практических. Какой именно тип информации вы извлекаете, зависит от того, с какой функции вы начинаете. Например, допустим, вы начинаете с функции положения.

   Первая производная функции положения дает вам функцию скорости, которая дает вам скорость объекта.

   Вторая производная (функции положения) дает вам ускорение объекта.

   Третья производная дает вам рывок — скорость изменения ускорения. Это называется «рывком», потому что именно так ощущается быстрое изменение ускорения. Представьте, что вы едете на спускающемся лифте, который внезапно замедляется: ощущение рывков, которое вы чувствуете, связано с ускорением изменений.

   Четвертая производная функции положения дает скорость изменения «рывка». На этом этапе производные более высокого порядка становятся более теоретическими, но у них есть несколько важных применений, особенно для обеспечения безопасности высокоскоростных объектов (таких как американские горки!).

   Третья производная является производной второй производной. Другими словами, это скорость изменения или наклон кривой второй производной.

   Рывки и рывки

   Третья производная функции положения называется рывком и представляет собой скорость изменения ускорения. Предположим, что s(t) — функция положения объекта:

   • Первая производная s′(t) — функция скорости объекта,
   • Вторая производная, s′′(t), представляет собой его ускорение,
   • s′′′(t) – рывок объекта.

   Это называется рывком (или, реже, толчком, рывком или скачком), потому что изменения в ускорении имеют тенденцию ощущаться «рывками», особенно большие. Плавная поездка на лифте кажется именно такой — гладкой. Но прокатившись на Башне Ужаса, башне ускоренного падения в голливудских студиях Disney World, ваш желудок подскажет вам, почему изменения в ускорении также называют «кренами».

   Обозначение

   Для любой функции f(x), f »’ (x) может быть определен несколькими различными обозначениями, все из которых означают одно и то же (из Stewart, 2009):
   

   Пример

   Общие шаги:

   • Взять производную функции (используя установленные правила производных) . Это называется первой производной.
   • Возьмите производную новой функции (т.е. первую производную). Эта новая функция называется второй производной.
   • Возьмем производную в третий раз.

   Пример : Чему равна третья производная f (x) = x ⁿ ?
   Решение , многократно используя правило степени:

   1. f′(x) = nx ^{n − 1}
   2. f′′′(x) = n(x ^{n − 1} )′ = n(n − 1) x ^{n − 2}
   3. f′′′(x) = n(n − 1)(x ^{n − 2} )′ = n(n − 1)(n − 2) x ^{n − 3}

   Четвертые и более высокие производные

   Четвертые и более высокие производные менее распространены. Чтобы найти четвертая производная , взять производную еще раз (т.е. взять производную от 3-й производной). По сути, вы можете продолжать и продолжать до бесконечности, беря производные — можно найти сотую, тысячную или миллионную производную. Однако на самом деле (и с типами уравнений, с которыми вы, вероятно, столкнетесь) вы, скорее всего, сможете брать производные только до пятой производной. После этого вы, вероятно, получите константу — и хотя вторая, третья и четвертая производные могут дать вам полезную информацию о поведении функции, сотая производная — нет.

   Шестая производная (также называемая pop или pounce ) является результатом шестикратного взятия производной функции (обычно функции положения). Другими словами, это производная от пятой производной.

   Производные более высокого порядка, подобные этой, редко встречаются за пределами физики. А когда они случаются, они обычно не имеют большого значения. В физике вы обычно находите приближение, используя ряд Тейлора, а не занимаетесь трудоемким процессом поиска шестых производных. Для простых функций, таких как приведенная ниже, найти шестую производную относительно легко. Но большинство задач реального мира будут включать в себя функции большей сложности, а это значит, что вы все равно захотите аппроксимировать ответ с помощью ряда Тейлора.

   Шестая производная: пример задачи

   Пример вопроса: Чему равна шестая производная f(x) = x ⁶ – 3x ⁴ + 9 x – 11?

   Решение : Воспользуйтесь правилом степени и правилом констант, чтобы взять производные шесть раз:

   1. f′(x) = 6x ⁵ – 12x ³ + 9 (первая производная)
   2. f′′(x) = 30x ⁴ – 36x ² (Вторая производная)
   3. f′′′(x) = 120x ³ – 72x (Третья производная)
   4. f ⁽⁴⁾ = 360x ² – 72 (Четвертая производная)
   5. f ⁽⁵⁾ = 720x (Пятая производная)
   6. f ⁽⁶⁾ = 720 (Шестая производная)

   Snap, Crackle, and Pop

   Шестая производная называется pop после Snap, Crackle, and Pop of Rice Krispies. Дж. Коднер и др. придумали эти имена (см. сноску 17 в Скотте и др.) в ответ на вопрос, заданный в группе новостей USENET sci.physics.

   Связанные статьи

   • Пятая производная (треск)

   Ссылки

   Абрамовиц, М. и Стегун, И. А. (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, 9-е издание. Нью-Йорк: Довер, с. 11, 1972.
   Антон, Х. Исчисление: новый горизонт, 6-е изд. Нью-Йорк: Wiley, 1999
   Beyer, WH «Производные». Стандартные математические таблицы CRC, 28-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 229-232, 1987.
   Биги, Г. и Кастеллани, М. (2002). K-эпипроизводные для многозначных функций и оптимизация. Математические методы исследования операций. 401-412.
   Гирейко и др., Условная эпипроизводная и исчисление вариаций во временных масштабах. в области оптимизации — журнал математического программирования и исследования операций. 2010.
   Гриванк, А. Принципы и методы алгоритмического дифференцирования. Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, 2000.
   Ян, Дж. Раух, Р. Условные эпидеривативы и многозначная оптимизация
   Math. Методы Опер. Res., 46 (1997), pp. 193-211
   Khan, A. et al. (2015). Многозначная оптимизация: введение в приложения (векторная оптимизация). Спрингер.
   Кимеу, Джозеф М., «Дробное исчисление: определения и приложения» (2009). Магистерские диссертации и специализированные проекты. Документ 115. digitalcommons.wku.edu/theses/115 Получено с https://digitalcommons.wku.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1115&context=theses 12 апреля 2018 г.
   Kisak, P. (Ed.) ( 2017). Обзор физики рывков: «Значение третьей производной».
   ScienceDirect Дробные производные и исчисление. Получено с https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/fractional-calculus 8 апреля 2019 г.
   Родригес-Марин, Л. и Сама, М. О контингентных эпидеривативах. Дж. Матем. Анальный. заявл. 327 (2007). 745-762.
   Скотт, Дж. Некоторые простые хаотические рывковые функции в Am.

   No related posts.