Производная от sin: Производная синуса (sinx)’

sin(x) : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

cotopaxi	Как взять производную от y=x^sin(x) 13. 09.2010, 00:12
13/09/10 2	Чем больше изучаешь, тем более простые вещи куда-то деваются из головы… ) Объясните, плиз, принцип, как брать производные вида . Лучше будет, если сразу на целый класс подобных задач. Надо сначала брать как слошную степенную? Благодарю за комментарии.

Joker_vD	Re: Как взять производную от y=x^sin(x) 13. sin(x) 13.09.2010, 00:53
Заслуженный участник 04/04/09 1351	Joker_vD прав. Но технически проще сделать иначе. Прологарифмируйте . Получите . И теперь возьмите производные от обеих частей равенства. Причём, от левой части неявно.

cotopaxi	Re: Как взять производную от y=x^sin(x) 13. 09.2010, 09:25
13/09/10 2	Спасибо! Виктор Викторов, точно, теперь вспомнил — прологарифмировать обе части. Дальше ход ясен. Joker_vD, с идеей понятно, делаем экспоненту, а дальше, как производную от степенной.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 4 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

исчисление — Интуитивное понимание производных от $\sin x$ и $\cos x$

Как специалист по физике, я хотел бы предложить ответ, основанный на моем понимании синуса и косинуса в реальном мире.

При этом я буду исследовать равномерное круговое движение.

Из-за определения синуса и косинуса точки на единичной окружности мы можем сказать, что:

 r(t) = < cos(t), sin(t) >
 

Параметрическая функция, описывающая движение точки по единичной окружности.

Рассмотрим, какой должна быть первая производная в физическом контексте. Первая производная положения должна представлять, в идеале, скорость точки.

В физическом контексте мы ожидаем, что скорость будет линией, касательной к направлению движения в данный момент времени t . Следовательно, она будет касаться окружности под углом t . Кроме того, поскольку угловая скорость постоянна, величина скорости также должна быть постоянной. 92 = 1 |r'(t)| = 1

Как и ожидалось, скорость постоянна, поэтому производные синуса и косинуса ведут себя должным образом.

Мы также можем подумать о том, каким будет направление скорости по сравнению с вектором положения.

Я не уверен, что это «обман» в границах вопроса, но, визуализируя график, мы можем видеть, что скорость, по своей природе касающаяся окружности, должна быть перпендикулярна вектору положения.

Если это так, то позиция * скорость = 0 (скалярное произведение).

 г(т) * г'(т) = 0
  < cos(t), sin(t) > * < -sin(t), cos(t) > = 0
(cos(t) * -sin(t)) + (sin(t) * cos(t)) = 0
              -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) = 0
                                         0 = 0
 

Жизнь удалась. Если мы предположим, что определение cos(t) есть -sin(t), а определение sin(t) есть cos(t), мы найдем физическое поведение ровно , как и ожидалось: постоянная скорость, которая всегда перпендикулярна вектору положения.

Мы можем пойти дальше и посмотреть на ускорение. В физике мы бы назвали это возвращающей силой. Какое ускорение должно быть при движении по кругу, чтобы точка продолжала двигаться по кругу?

Точнее, в каком направлении должно быть это ускорение?

Не нужно много размышлений, чтобы прийти к мысли, что ускорение должно быть направлено к центру и направлено к центру. Итак, если мы можем найти, что ускорение равно 92) = -1 -1 * 1 = -1 -1 = -1

Какова производная от \\[\\sin (ax)\\], где \\[a\\] — константа?

Ответить

Проверено

168.3k+ просмотров

Подсказка: Здесь нам дана тригонометрическая функция\[\sin(ax)\]. Нам нужно найти производную этой функции. Так как мы должны вывести его относительно \[x\], но функция \[ax\]. Итак, чтобы вывести эту тригонометрическую функцию, мы применяем цепное правило. Здесь две функции, к которым будет применено цепное правило, будут \[\sin (x)\] и \[ax\].

Используемая формула:

Производная \[\sin (x)\] по \[x\] определяется как \[\dfrac{d}{{dx}}\sin (x) = \cos x \].
Производная \[x\] по \[x\] определяется выражением \[\dfrac{d}{{dx}}x = 1\].
Чтобы вывести тригонометрическую функцию, имеющую, если нам даны две функции \[f\] и \[g\] относительно \[x\], мы применяем цепное правило как
\[\dfrac{d}{{dx}} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\].

Полный пошаговый ответ:
Чтобы решить данную тригонометрическую функцию, мы должны применить цепное правило. Согласно цепному правилу, если нам даны две функции \[f\] и \[g\], то мы находим \[\dfrac{d}{{dx}}f(g(x))\] как, \[ \dfrac{d}{{dx}}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]. Пусть \[f(x) = \sin x\] и \[g(x) = ax\], тогда
\[\dfrac{d}{{dx}}\sin (ax) = \dfrac{{d\sin (ax)}}{{d(ax)}} \times \dfrac{{d(ax)} }{{dx}}\]
Поскольку мы знаем, что производная от \[\sin (x)\] по \[x\] задается выражением \[\dfrac{d}{{dx}}\sin (x) = \cos x\] и производная \[x\] по \[x\] равна \[1\], переходим к дальнейшим шагам, используя приведенные выше формулы, как,

\[
   \ Стрелка вправо \dfrac{d}{{dx}}\sin (ax) = \dfrac{{d\sin (ax)}}{{d(ax)}} \times \dfrac{{adx}}{{dx} } \\
   \Стрелка вправо \dfrac{d}{{dx}}\sin (ax) = \cos (ax) \times a \\
   \Rightarrow \dfrac{d}{{dx}}\sin (ax) = a\cos (ax) \\
 \]
Следовательно, производная данной тригонометрической функции оказывается равной \[a\cos ( топор)\].