ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I.  ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ§ 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 22. Производные различных порядков § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  Формула Чебышева§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4
Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрической функции на заданном отрезке.
Рассмотрим несколько примеров. Но сначала советую повторить теорию, всё необходимое есть в статье «Исследование функций, это нужно знать!».
На блоге уже рассмотрены подобные задачи с логарифмической функцией, функции с числом е, а также функции в составе которых имеется квадратичная функция (решаются без нахождения производной). Можете ознакомиться со статьёй, в которой мы рассматривали нахождение точек максимума (минимума) тригонометрических функций.
Алгоритм процесса решения прост, кратко напомню:
1. Находим производную.
2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение (находим вероятные точки экстремумов).
3. Далее вычисляем значения данной функции на границах отрезка, также в найденных точках п.2.
4. Определяем наибольшее (наименьшее), в зависимости от поставленного вопроса.
Здесь стоит отметить, что если уравнение п.2 не имеет решения, то это означает, что функция на всём отрезке возрастает (рис.1) или убывает (рис.2):
Что это означает?
Это значит то, что точек минимума (максимума) нет и нам необходимо определить знак производной.
— Если производная имеет отрицательное значение, то функция убывает.
— Если производная имеет положительное значение, то функция возрастает.
Далее мы уже без труда сможем выявить в какой (пограничной) точке отрезка значение функции наибольшее, а в какой наименьшее.
Подробнее:
— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка;
— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;
— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;
— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка.
В представленных ниже задачах нахождение производной подробно не расписано, производные элементарных функций вы должны знать на отлично.
Что ещё следует помнить?
1.
Когда речь идёт о синусе и косинусе имеются ограничения:
– 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1
2. В ответе должно получится целое число, либо конечная десятичная дробь. Если получили числовое выражение с неизвлекаемым корнем, то оно ответом являться не будет.
25594. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4
на отрезке [–3П/2; 0].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что – 1 ≤ sin x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная будет отрицательна при всех значениях переменной. Почему?
Если учесть, что – 1≤sinx≤ 1, то получаем
– 1≤sinx≤1 => 5 ≥ –5sinx≥ –5 => –1 ≥ –5sinx–6 ≥ –11
то есть значение выражения (производной) «–5cosx – 6» лежит в пределах от – 11 до – 1 включительно.
Следовательно на указанном интервале функция убывает, и наименьшее значение будет в крайней правой точке, то есть при х = 0.
Таким образом,
Ответ: 9
26697. Найдите наименьшее значение функции y = 7sin x – 8x + 9
на отрезке [–3П/2; 0].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что – 1 ≤ cos x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная отрицательна при всех значениях переменной, значение производной лежит в пределах от – 15 до – 1 включительно.
Значит на указанном интервале функция убывает.
Следовательно наименьшее значение функции на заданном отрезке будет в правой крайней точке, то есть при х = 0.
Ответ: 9
77498. Найдите наибольшее значение функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Точка x = П/6, принадлежит заданному интервалу.
Вычислим значение функции в точках: 0, П/6, П/2.
Если учесть, что число Пи равно 3,14 а корень из трёх ≈ 1,73 то значения вычислить будет не трудно:
Значит наибольшим значением функции на отрезке будет 12. Данные приближённые значения можно и не вычислять. Достаточно помнить то, что ответом в задачах части В является целое число, а там где присутствует неизвлекаемый в целых числах корень, целое число мы никак не получим.
Ответ: 12
*Примечание. Корень уравнения мы записали сразу с учётом данного в условии отрезка, поэтому период косинуса в результате не записан.
26699. Найдите наибольшее значение функции
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Значит уравнение не имеет решения, так как – 1 ≤ cos x ≤ 1.
Учитывая данное ограничение, производная на данном отрезке имеет отрицательное значение:
Следовательно она убывает.
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке будет в левой крайней точке, то есть при х = – 5П/6.
Ответ: 32
26692. Найдите наибольшее значение функции
Посмотреть решение
26693. Найдите наименьшее значение функции
Посмотреть решение
26695. Найдите наибольшее значение функции
Посмотреть решение
26696. Найдите наименьшее значение функции
Посмотреть решение
77499. Найдите наименьшее значение функции
Посмотреть решение
*Примечание. Безусловно, можно после вычисления нулей функции, определить точки максимума (минимума) и далее исходя из этого вычислять наибольшее (наименьшее) значение. Но можно обойтись без этого, так как при подстановке нулей и границ отрезка мы однозначно, и наверняка, искомое значение найдём. В любом случае, используйте тот путь (способ), к которому вы привыкли.
В будущем рассмотрим ещё несколько заданий с тригонометрическими функциями, не пропустите!
На этом всё! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Обратите внимание, что в этом посте мы рассмотрим дифференцирование sin 3 (x), которое равно , а не , то же, что и дифференцирование sin(3x). Вот наш пост о том, как различать sin(3x).
Цепное правило полезно для нахождения производной функции, которую можно было бы дифференцировать, если бы она была по x, но она представлена в виде другого выражения, которое также можно было бы дифференцировать, если бы оно стояло само по себе.
В этом случае: 93(x)
Хотя выражение sin 3 x не содержит скобок, мы все равно можем рассматривать его как составную функцию (функцию функции).
Мы можем написать sin 3 x как (sin(x)) 3 .
Теперь функция имеет форму x 3 , за исключением того, что она не имеет x в качестве базы, вместо этого она имеет другую функцию x (sin(x)) в качестве базы.
Назовем функцию основания g(x), что означает:
g(x) = sin(x)
Отсюда следует, что:
sin(x) 3 = g(x) 3
Итак, если функция f(x) = x 3 и функция g(x) = sin(x ), то функция (sin(x)) 3 может быть записана как составная функция.
f(x) = x 3
f(g(x)) = g(x) 3 (но g(x) = sin(x))
f(g(x)) = (sin(x)) 3
Определим эту составную функцию как F(x):
F(x) = f(g(x)) = (sin(x)) 93(x) с использованием цепного правила:
| F'(x) | = f'(g(x)).g'(x) | Определение цепного правила | g(x) = sin(x) ⇒ g'(x) = cos(x) |
| = (3sin 2 ( х)).(cos(x)) | f(g(x)) = (sin(x)) 3 ⇒ f'(g(x)) = 3sin 2 (x ) | |
| = 3sin 2 93) $ рассматривается как составная функция, а $\sin(x)$ — нет? В дифференциальном исчислении очень здорово то, что вам не нужно использовать «правильное» правило, потому что все правила работают постоянно. Например, у нас есть правило, согласно которому если $c$ постоянна, то производная $cf$ равна $cf’$, где $f’$ означает производную функции $f$. Ваш вопрос заключался в том, можно ли вычислить производную от $\sin(x)$ с помощью цепного правила. Ответ положительный. Цепное правило гласит, что $(f(g(x)))’ = f'(g(x))\cdot g'(x)$. Здесь $f = \sin$ и $g$ — тождественная функция $g(x)=x$. Как вы указали, $f’ = \cos$. Вы знаете производную от $g$; это просто постоянная функция $1$. Итак, по правилу цепочки: $$\begin{align} (\ грех (г (х)))’ & = \sin'(g(x)) \cdot g'(x) \\\\ & = \cos(g(x)) \cdot 1 \\\\ & = \cos(x) \end{выравнивание} $$ Как и в предыдущем примере с $cf$, мы добрались до того же места немного более длинным путем. |
