Производная x 2: Производная x^2

Но прежде чем мы углубимся в эту идею, давайте подытожим другое содержание лекций.

Я начинаю лекцию 4A с решения задач с экспоненциальными уравнениями.

Общий смысл решения таких задач таков. Учитывая две точки данных и , мы стремимся найти числа и такие, что график экспоненциальной функции проходит через эти точки.

Это означает, что мы хотим, чтобы и то, и другое было правдой. Деление первого уравнения на второе дает , предполагая . Затем это уравнение решается путем извлечения корня из обеих частей. Затем вы можете использовать одно из исходных уравнений для решения .

Другим важным моментом в лекции 4А является идея моделирования данных. Рассматриваются реальные данные о валовом внутреннем продукте (ВВП) США. Затем я графически сравниваю, какая модель лучше «подходит» для данных — линейная или экспоненциальная. Считается, что экспоненциальная модель лучше, потому что ее остатки (ошибки) более случайны. Это очень важная перспектива, если вы хотите использовать математические модели в реальной жизни.

Последний пункт лекции 4А — композиция функций. Композиция функций означает, что мы применяем две функции в последовательности . Имея две функции и соответствующие домены и кодомены, мы можем сформировать новую функцию. Эта функция определяется формулой . Другими словами, вывод подключается к . Это важная концепция как для более глубокого понимания функций, так и для идеи обратной функции.

Это подводит нас к лекции 4B, где я начинаю описывать обратные функции и их свойства.

Сначала более подробно дается идея композиции функций на примере.

Отсюда определяются обратные функции для взаимно однозначных функций. Учитывая взаимно-однозначную (инъективную) функцию, ее обратная функция определяется так, чтобы удовлетворять двум свойствам относительно композиции. Оно должно удовлетворять всем в области . И оно должно удовлетворять всем в области (которая находится в диапазоне 0,

Еще один факт, который я подчеркиваю в этой лекции, заключается в том, что функции, которые не являются взаимно однозначными, иногда можно сделать таковыми путем соответствующего ограничения их доменов. 2 в этом посте.

Я также использую функцию под названием «Управление» в Mathematica , чтобы сделать анимацию графика увеличения. Это соответствует горизонтальному переносу (сдвигу) «родительской» функции.

Отсюда я решаю физическую задачу о высоте объекта под действием силы тяжести, используя функцию, обратную квадратичному. Как уже упоминалось, метод завершения квадрата используется для преобразования квадратного числа в вершинную форму. Затем область определения сужается и по квадратичной формуле находится соответствующая обратная функция. 92 при произвольном значении x для измерения (мгновенной) скорости изменения функции в этой точке. Это также описывается как наклон касательной к графику в этой точке.

Начните с выбора произвольного значения . Тогда пусть будет ненулевым числом.

Это стандартное обозначение для изменения x . Мы действительно воображаем, что независимая переменная (вход) для функции меняется с на . Если , то вход увеличивается и . Если , то вход убывает.

Для простоты предположим, что . График не является линией, поэтому он не имеет постоянного наклона. Однако среднюю скорость изменения на закрытом интервале все же можно определить. Он определяется как наклон линии, соединяющей точки и .

Эта линия называется секущей к графику . Его наклон равен . Для можно сделать следующее упрощение этого выражения.

.

Наглядное изображение секущей линии, приближающейся к касательной

Последнее равенство верно до тех пор, пока , что мы и предполагаем. То, что мы только что сделали, можно визуализировать, как показано ниже.

Так что же тогда является производной ? Это предел наклонов этих секущих линий, когда они «стремятся» к нулю. Этот предел, , если он существует , тогда равен определяется как наклон касательной к графику при заданном значении . Другими словами, в данной точке на графике касательной является линия, проходящая через эту точку с наклоном, равным только что описанному пределу .

Производная — это предел

Но что такое предел?

Мы уточним ограничения в следующем посте. На данный момент в данной ситуации просто представьте, что значения as становятся все ближе и ближе к нулю, фактически не равняясь нулю (потому что тогда мы будем делить на ноль).

С тех пор, как этот предел можно найти, подумав о значениях, когда он близок к нулю.

Как происходит это мышление? Проще говоря, поскольку это «хорошая» (непрерывная) функция (предполагая «фиксированную»), мы можем просто подключиться, чтобы получить ответ.