Производные косинуса: Производная косинуса (cosx)’

Содержание

синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Производная синуса
Производная косинуса
Производная тангенса и котангенса
Примеры

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции $f(x)=sin⁡x$ по общему алгоритму.
Пусть $\triangle x$ — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin{gather*} \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=sin⁡(x+\triangle x)-sin⁡x=\\ =2sin⁡\frac{x+\triangle x-x}{2}cos\frac{x+\triangle x+x}{2}=2sin\frac{\triangle x}{2}cos\frac{2x+\triangle x}{2} \end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{2sin\frac{\triangle x}{2}cos\frac{2x+\triangle x}{2}}{\triangle x}=\underbrace{\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}\right)}_{=1}\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}cos\frac{2x+\triangle x}{2}=\\ =1\cdot cos\frac{2x+0}{2}=cos x \end{gather*} Или: $(sinx)’=cos x$

Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

Например:
$(x^2sinx)’=(x^2)’\cdot sinx+x^2\cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx$

п.

2. Производная косинуса

Найдем производную функции $f(x)=cos⁡x$ по общему алгоритму.
Пусть $\triangle x$ — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin{gather*} \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=cos⁡(x+\triangle x)-cos⁡x=\\ =-2sin⁡\frac{x+\triangle x-x}{2}sin{x+\triangle x+x}{2}=-2sin\frac{\triangle x}{2}sin\frac{2x+\triangle x}{2} \end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: \begin{gather*} f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{-2sin\frac{\triangle x}{2}sin\frac{2x+\triangle x}{2}}{\triangle x}=\underbrace{-\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}\right)}_{=1}\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}sin\frac{2x+\triangle x}{2}=\\ =-1\cdot sin\frac{2x+0}{2}=-sinx \end{gather*} Или: $(cosx)’=-sinx$

Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

Например:
$(\sqrt{x}cosx)’=(\sqrt{x})’\cdot cosx+\sqrt{x}\cdot (cosx)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}cosx-\sqrt{x}sinx $

п.

{\prime}(x)=-\operatorname{tg} x \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Производная синуса Производная логарифма по основанию a Производная экспоненциальной функции Производная натурального логарифма

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Производная от cos x – формула, доказательство, примеры

Дифференцирование cos x – это процесс вычисления производной от cos x или определения скорости изменения cos x по отношению к переменной x. Производная функции косинуса записывается как (cos x)’ = -sin x, то есть производная от cos x равна -sin x. Другими словами, скорость изменения cos x под определенным углом определяется выражением -sin x.

Теперь производную от cos x можно вычислить различными способами. Его можно получить с помощью определения пределов, цепного правила и частного правила. В этой статье мы вычислим производную от cos x, а также обсудим антипроизводную от cos x, которая представляет собой не что иное, как интеграл от cos x.

1.	Что такое производная Cos x?
2.	График производной Cos x
3.	Производная от Cos x с использованием первого принципа
4.	Производная от Cos x с использованием цепного правила
5.	Производная от Cos x с использованием правила отношения
6.	Антипроизводное Cos x
7.	Часто задаваемые вопросы о производной Cos x

Что такое производная от cos x?

Производная от cos x является отрицательной функцией синуса, то есть -sin x. Производные всех тригонометрических функций можно вычислить, используя производную от cos x и производную от sin x. Производная функции характеризует скорость изменения функции в некоторой точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Дифференцировать cos x можно по-разному, и его можно получить, используя определение предела и правило частных. Поскольку производная cos x равна -sin x, поэтому график производной cos x будет графиком отрицательного значения -sin x.

Производная от Cos x — Формула

Теперь мы математически запишем производную от cos x. Производная функции — это наклон касательной к функции в точке касания. Следовательно, -sin x представляет собой функцию наклона касательной к графику cos x в точке касания.

В основном мы запоминаем производную от cos x. Простой способ сделать это — знать тот факт, что производная от cos x отрицательна от sin x, а производная от sin x является положительным значением cos x. Выражение для записи дифференцирования cos x:

d(cos x )/ dx = -sin x

График производной cos x

Поскольку производная cos x от sin x отрицательна, то график производной cos x подобен графику тригонометрической функции sin x с отрицательными значениями, где sin x имеет положительные значения. Во-первых, давайте посмотрим, как выглядят графики cos x и производной cos x. Поскольку sin x является периодической функцией, график дифференцирования cos x также является периодическим и его период равен 2π.

Производная cos x с использованием первого принципа производных

Производная — это просто мера скорости изменения. Теперь выведем производную от cos x по первому принципу производных, то есть по определению пределов.

Чтобы найти производную от cos x, мы берем предельное значение, когда x приближается к x + h. Чтобы упростить это, мы устанавливаем x = x + h и хотим взять предельное значение, когда h приближается к 0. Мы собираемся использовать определенные формулы тригонометрии для определения производной cos x. Формулы:

cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B
$\lim_{x\стрелка вправо 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0$
$\lim_{x\стрелка вправо 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$

Таким образом, мы имеем

$\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\cos x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{ \cos (x + h)-\cos x}{(x+h)-x} \\&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos h -\sin x \sin h- \ cos x} {h} \\ & = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ dfrac {\ cos h -1 } {h} \ cos x — \ dfrac {\ sin h} {h} \ sin x \\ &=(0)\cos x — (1)\sin x\\&=-\sin x\end{align}$

Таким образом, производная от cos x была доказана с использованием первого принципа дифференцирования.

Производная от cos x с использованием цепного правила

Цепное правило дифференцирования: (f(g(x)))’ = f’(g(x)) . г’(х). Теперь, чтобы вычислить производную cos x с помощью цепного правила, мы будем использовать некоторые тригонометрические свойства и тождества, такие как:

$\cos (\dfrac{\pi}{2} — \theta) = \sin \ тета$
$\sin (\dfrac{\pi}{2} — \theta) = \cos \theta$
d(sin x)/dx = cos x

Используя три приведенных выше тригонометрических свойства, мы можем записать производную от cos x как производную от sin (π/2 — x), то есть d(cos x)/dx = d (sin (π/2 — x ))/дх. Используя цепное правило, мы имеем

$\begin{align} \frac{\mathrm{d} \cos x}{\mathrm{d} x} &=\frac{\mathrm{d} \sin(\ dfrac{\pi}{2}-x)}{\mathrm{d} x}\\&=\cos(\dfrac{\pi}{2}-x).(-1)\\&=-\ cos(\dfrac{\pi}{2}-x)\\&= -\sin x\end{align}$

Следовательно, мы получили производную cos x как -sin x, используя цепное правило.

Производная от cos x по правилу частных

Частное правило для дифференцирования: (f/g)’ = (f’g — fg’)/g ² . Для получения производной от cos x воспользуемся следующими формулами:

cos x = 1/сек x
сек х = 1/cos х
d(сек x)/dx = сек x тангенс x
тангенс x = sin x/cos x

Используя приведенные выше тригонометрические формулы, мы можем записать производную от cos x и производную от 1/sec x, то есть d(cos x)/dx = d(1/sec x)/dx, и применить факторное правило дифференцирования. 92x}\\&=\dfrac{-\tan x}{\sec x}\\&=\dfrac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x }}\\&=-\sin x\end{align}\)

Следовательно, мы получили производную от cos x, используя частное правило дифференцирования.

Анти-производная cos x

Первообразная от cos x есть не что иное, как интеграл от cos x. Как следует из названия, антипроизводная — это процесс, обратный дифференцировке. Производная от cos x равна -sin x, а производная от sin x равна cos x. Таким образом, первообразная cos x равна sin x + C, а первообразная sin x равна -cos x + C, где C — постоянная интегрирования. Таким образом, мы получили первообразную cos x как sin x + C.

$\int \cos x = \sin x + C$

Важные примечания о производной cos x

Производная cos x равна -sin x
Первообразная cos x равна sin x + C
Производная от cos x может быть получена с использованием определения предела, цепного правила и частного правила.

Связанные темы по производной от cos x

Применение производных

Цепное правило Формула
Ограничения
Формулы косинуса

Часто задаваемые вопросы о производной cos x

Что такое производная Cos x в исчислении?

Производная от cos x является отрицательной функцией синуса, то есть -sin x. Производная функции — это наклон касательной к функции в точке касания. Производную от cos x можно вычислить разными способами.

Что такое производная от cos x.sin x?

Производная от cos x. sin x можно вычислить, используя правило дифференцирования произведения. d(cos x. sin x)/dx = (cos x)’ sin x + cos x (sin x)’ = -sin x.sin x + cos x. cos x = cos ² x — sin ² x = cos 2x. Следовательно, производная от cos x.sin x = cos 2x

Что такое вторая производная от Cos x?

Первая производная от cos x равна -sin x. Вторая производная cos x получается дифференцированием первой производной cos x, то есть -sin x. Производная от -sin x равна -cos x. Следовательно, вторая производная от cos x равна -cos x.

Как найти производную от Cos x?

Производная от cos x может быть получена различными методами, такими как определение предела, цепное правило дифференцирования и частное правило дифференцирования. Чтобы определить производную от cos x, нам нужно знать некоторые формулы тригонометрии и тождества.

1. Производные синуса, косинуса и тангенса

М. Борна

Из первых принципов можно показать, что:

`(d(sin x))/(dx)=cos x` 92x`

Изучите анимации этих функций с их производными здесь:

Дифференциальный интерактивный апплет — тригонометрические функции.

На словах мы бы сказали:

Производная от sin x равна cos x ,
Производная от cos x равна −sin x (обратите внимание на отрицательный знак!) х .

2+3)`

ВАЖНО:

cos x ² + 3

не равно

потому что ( x ² + 3).

Кронштейны имеют большое значение. У многих студентов с этим проблемы.

Вот графики y = cos x ² + 3 (зеленым цветом) и y = cos( x ² + 3) (показаны синим цветом).

Первая, y = cos x ² + 3, или y = (cos x ² ) + 3, означает взять кривую y = cos 2

x 120 и переместите его вверх на 3 единицы.
Второй, y = cos( x ² + 3), означает сначала найти значение ( x ² + 3), а затем найти косинус результата.
No related posts.