Производные косинуса синуса тангенса котангенса: тангенса, синуса, косинуса и других

Содержание

синуса, косинуса, тангенса и котангенса

  1. Производная синуса
  2. Производная косинуса
  3. Производная тангенса и котангенса
  4. Примеры

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции \(f(x)=sin⁡x\) по общему алгоритму.
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin{gather*} \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=sin⁡(x+\triangle x)-sin⁡x=\\ =2sin⁡\frac{x+\triangle x-x}{2}cos\frac{x+\triangle x+x}{2}=2sin\frac{\triangle x}{2}cos\frac{2x+\triangle x}{2} \end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{2sin\frac{\triangle x}{2}cos\frac{2x+\triangle x}{2}}{\triangle x}=\underbrace{\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}\right)}_{=1}\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}cos\frac{2x+\triangle x}{2}=\\ =1\cdot cos\frac{2x+0}{2}=cos x \end{gather*} Или: \((sinx)’=cos x\)

Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

Например:
\((x^2sinx)’=(x^2)’\cdot sinx+x^2\cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx\)

п.

2. Производная косинуса

Найдем производную функции \(f(x)=cos⁡x\) по общему алгоритму.
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin{gather*} \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=cos⁡(x+\triangle x)-cos⁡x=\\ =-2sin⁡\frac{x+\triangle x-x}{2}sin{x+\triangle x+x}{2}=-2sin\frac{\triangle x}{2}sin\frac{2x+\triangle x}{2} \end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: \begin{gather*} f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{-2sin\frac{\triangle x}{2}sin\frac{2x+\triangle x}{2}}{\triangle x}=\underbrace{-\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}\right)}_{=1}\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}sin\frac{2x+\triangle x}{2}=\\ =-1\cdot sin\frac{2x+0}{2}=-sinx \end{gather*} Или: \((cosx)’=-sinx\)

Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

Например:
\((\sqrt{x}cosx)’=(\sqrt{x})’\cdot cosx+\sqrt{x}\cdot (cosx)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}cosx-\sqrt{x}sinx \)

п.

2x=1\\ 1-2cosx=0\\ cosx=\frac12\\ x=\pm\frac\pi 3+2\pi k \end{gather*} Ответ: \(\left\{\pm\frac\pi 3+2\pi k\right\}\)

Таблица производных и правила дифференцирования. Производная косинуса: (cos x)′

Производная синуса Производная косинуса
Производная тангенса
Производная котангенса
 

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos4x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos4x)′cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной

хcos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′x = (cos4x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos3x·(-sin x) = -4·cos3x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования

. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь

Но , откуда
, откуда
.

Пример 4. Найти производную функции y=xex
Решение.
.

Общие формулы дифференцирования функций

В этих формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

(c · u)′ = c · u ′

(u + v)′ = u ′ + v ′

(u · v)′ = u ′ · v + u · v ′

( u ) = u ′ · v – u · v ′
v v2

Производная от константы

c ′ = 0, где c = const

Производная степенной функции

(xn )′ = n · xn – 1

Производная показательной функции

(ax )′ = ax · ln a

Таблица производных

Производная степенной функции:

Производная показательной функции:

Производная экспонециальной функции:


Производная логарифмической функции:

Производные тригонометрических функций:
,
,
,

Производные обратных тригонометрических функций:
,
,
,

Производные гиперболических функций:



Таблица производных сложных функций

В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .

Функция Формула для производной

y = (kx + b) c ,

где c – любое число.

y’ = kc (kx + b) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

где c – любое число.

y = ekx + b y = kekx + b
y = e f (x)

y = akx + b

где a – любое положительное число, не равное 1

y = a f (x)

где a – любое положительное число, не равное 1

y = ln (kx + b) , kx + b > 0 ,

kx + b > 0

y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 ,

f (x) > 0

y = log a (

kx + b) , kx + b > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

, kx + b > 0

y = log a ( f (x)) , f (x) > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

, f (x) > 0
y = sin (kx + b) y’ = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b) y’ = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))

y = tg (kx + b),

где

, ,

y = tg ( f (x)),

где

, ,

y = ctg (kx + b),

где

,
,

y = ctg ( f (x)),

где

,
,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))

Функция:

y = (kx + b) c ,

где c – любое число.

Формула для производной:

y’ = kc (kx + b) c – 1 ,

Функция:

y = ( f (x)) c ,

где c – любое число.

Формула для производной:

Функция:

y = ekx + b

Формула для производной:

y = kekx + b

Функция:

y = e f (x)

Формула для производной:

Функция:

y = akx + b

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = a f (x)

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = ln (kx + b) , kx + b > 0

Формула для производной:

, kx + b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) , f (x) > 0

Формула для производной:

, f (x) > 0

Функция:

y = log a (kx + b) , kx + b > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, kx + b > 0

Функция:

y = log a ( f (x)) , f (x) > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx + b)

Формула для производной:

y’ = k cos (kx + b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = cos (kx + b)

Формула для производной:

y’ = – k sin (kx + b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = tg (kx + b),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = tg ( f (x)),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = ctg (kx + b),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = arcsin (kx + b),

Формула для производной:

Функция:

y = arcsin ( f (x)),

Формула для производной:

Функция:

y = arccos (kx + b),

Формула для производной:

Функция:

y = arccos ( f (x)),

Формула для производной:

 

Функция:

y = arctg (kx + b)

Формула для производной:

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg (kx + b)

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

Производная и тригонометрические функции

Тригонометрические функции неразрывно связаны с производной. Понять это можно из следующего чертежа. На рисунке координатной оси изображена функция Y = f (x) – синяя кривая.

K (x0; f (x0)) – произвольная точка, x0 + ∆x – приращение по оси OX, а f (x0 + ∆x) – приращение по оси OY в некой точке L.

Проведем прямую через точки K и L и построим прямоугольный треугольник KLN. Если мысленно перемещать отрезок LN по графику Y = f (x), то точки L и N будут стремиться к значениям K (x0; f (x0)). Назовем эту точку условным началом графика — лимитом, если же функция бесконечна, хотя бы на одном из промежутков – это стремление также будет бесконечным, а его предельное значение близким к 0.

Характер данного стремления можно описать касательной к выбранной точке y = kx + b или графиком производной первоначальной функции dy – зеленая прямая.

Но где же здесь тригонометрия?! Все очень просто рассмотрим прямоугольный треугольник KLN. Значение дифференциала для конкретной точки K есть тангенс угла α или ∠K:

Таким образом можно описать геометрический смымсл производной и ее взаимосвязь с тригонометрическими функциями. — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция Формула для производной Название формулы

y = c ,

где c – любое число

y’ = 0 Производная от постоянной функции

y = x c ,

где c – любое число

y’ = c xc – 1 Производная степенной функции
y = e x y’ = e x Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)

y = a x

где a – любое положительное число, не равное 1

y’ = a x ln a Производная от показательной функции с основанием a
y = ln x , x > 0 , x > 0 Производная от натурального логарифма

y = log a x , x > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

, x > 0 Производная от логарифма по основанию a
y = sin x y’ = cos x Производная синуса
y = cos x y’ = – sin x Производная косинуса

y = tg x ,

, , Производная тангенса

y = ctg x ,

, , Производная котангенса

y = arcsin x ,

Производная арксинуса

y = arccos x ,

Производная арккосинуса
y = arctg x Производная арктангенса
y = arcctg x Производная арккотангенса
Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y’ = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y’ = c xc – 1

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)

Функция:

y = e x

Формула для производной:

y’ = e x

Производная от показательной функции с основанием a

Функция:

y = a x

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y’ = a x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x , x > 0

Формула для производной:

, x > 0

Производная от логарифма по основанию a

Функция:

y = log a x , x > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, x > 0

Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y’ = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y’ = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

Формула для производной:

,

Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

Формула для производной:

,

Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x ,

Формула для производной:

Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x ,

Формула для производной:

Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x.

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

  1. Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
  2. Значение производной в точке x0 позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
  3. Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
  4. В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
  5. При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
  6. В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.

Вычисление производной

Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…

Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.

Формулы производных тригонометрических функций

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Производные тригонометрических функций: формулы

В таблицах ниже представлены формулы производных тригонометрических функций: прямых, производных и обратных.

Содержание

  • Прямые и производные функции: sin, cos, tg, ctg
  • Обратные функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg

Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).

ДействиеФормула
Производная синусаsin’ x = cos x
Производная косинусаcos’ x = -sin x
Производная тангенсаtg’ x = 1 / cos2 (x)
Производная котангенсаctg’ x = 1 / sin2 (x)

microexcel. ru

Обратные функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).

ДействиеФормула
Производная арксинусаПроизводная арккосинусаПроизводная арктангенсаПроизводная арккотангенсаЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Производные простых тригонометрических функций

Для нахождения производной тригонометрической функции нужно пользоваться таблицей производных, а именно производными 6-13.

При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

  • в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или другую тригонометрическую функцию не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому производная этого слагаемого равна нулю;
  • почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования, а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
  • для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества, например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса.
  • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие, начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) — ловушка, потому что аргумент — не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть, синус этого числа — тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим его производную, не забывая про знак:

.

Ответ:

.

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Второе слагаемое — тот же случай, что и первое слагаемое в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную второго слагаемого как производную частного:

Ответ:

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями, а именно — в ликвидации трёхэтажности дроби.

  • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Здесь буква «фи» играет ту же роль, что «икс» в предыдущих случаях (и в большинстве других, но не во всех) — независимой переменной. Поэтому, когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять равной нулю производную корня от «фи». Итак:

Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что существует такая тригонометрическая функция — секанс — и её формулы через косинус. Дифференцируем:

Пример 6. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:

Далее применяем следующие тригонометрические тождества:

,

(это и есть формула двойного угла)

и получаем:

.

  • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

Пример 7. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется всего-то лишь умение сокращать дроби. И внимание — не забыть, что дробь нужно сократить. Это сделано на последнем шаге решения:

В решении применено тригонометрическое тождество:

.

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

  • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений
НазадЛистатьВперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Дифференциал функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные

Тангенс квадрат икс равен

Тангенс представлен степенной функцией, поэтому берем производную по правилу $ (x^p)’ = px^ $, а затем умножаем на производную тангенса:

$$ y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ = $$

Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin – α + 2 π z = – sin α , cos – α + 2 π z = cos α t g – α + 2 π z = – t g α , c t g – α + 2 π z = – c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = – sin α t g π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = – t g α sin π 2 – α + 2 π z = cos α , cos π 2 – α + 2 π z = sin α t g π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 – α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = – sin α , cos π + α + 2 π z = – cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π – α + 2 π z = sin α , cos π – α + 2 π z = – cos α t g π – α + 2 π z = – t g α , c t g π – α + 2 π z = – c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = – t g α sin 3 π 2 – α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 – α + 2 π z = – sin α t g 3 π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 – α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = – 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α , cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α – 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 – t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α – 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α – sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α – 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α – 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = – 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α – t g 3 α 1 – 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α – 3 c t g α 3 c t g 2 α – 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α – sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 – 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 ( – 1 ) n 2 – k · C k n · cos ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 ( – 1 ) n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α – β 2 sin α – sin β = 2 sin α – β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α – β 2 cos α – cos β = – 2 sin α + β 2 · sin α – β 2 , cos α – cos β = 2 sin α + β 2 · sin β – α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α – β ) – cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α – β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α – β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс и котангенс, – могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 – t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 – t g 2 α 2 c t g α = 1 – t g 2 α 2 2 t g α 2

Таблица производных. Доказательство формул

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа y=C

(C)’=0

Степенная функция y=xp

(xp)’=p·xp-1

Показательная функция y=ax

(ax)’=ax·ln a

В частности, при a=e имеем  y=ex

(ex)’=ex

Логарифмическая функция

(logax)’=1x·ln a

В частности, при a=e имеем  y=ln x

(ln x)’=1x

Тригонометрические функции

(sin x)’=cos x(cos x)’=-sin x(tgx)’=1cos2x(ctgx)’=-1sin2x

Обратные тригонометрические функции

(arcsin x)’=11-x2(arccos x)’=-11-x2(arctg x)’=11+x2(arcctg x)’=-11+x2

Гиперболические функции

(shx)’=chx(chx)’=shx(thx)’=1ch3x(cthx)’=-1sh3x

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Доказательство 1

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x→0:

lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0∆x. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.

Пример 1

Даны постоянные функции:

f1(x)=3,f2(x)=a, a∈R,f3(x)=4.13722,f4(x)=0,f5(x)=-87

Необходимо найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3. В следующем примере необходимо брать производную от а, где а — любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4.13722, четвертый — производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби -87.

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

f1′(x)=(3)’=0,f2′(x)=(a)’=0, a∈R,f3′(x)=4.13722’=0,f4′(x)=0’=0,f5′(x)=-87’=0

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель степени p является любым действительным числом.

Доказательство 2

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p=1, 2, 3, …

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+. ..++Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p-xp==Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p

Таким образом:

(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·∆x+…+Cpp-1·x·(∆x)p-2+Cpp·(∆x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+…+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Доказательство 3

Чтобы привести доказательство для случая, когда p — любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

Итак, x>0. Тогда: xp>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и применим свойство логарифма:

y=xpln y=ln xpln y=p·ln x

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

(ln y)’=(p·ln x)1y·y’=p·1x⇒y’=p·yx=p·xpx=p·xp-1

Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.

Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x<0, причем является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1

Тогда xp<0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x<0, причем является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1

Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (-x)p-1=xp-1.

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p.

Пример 2

Даны функции:

f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y=xp, опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23·x-23-1=-23·x-53f2′(x)=x2-14=2-14·x2-14-1=2-14·x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712·x-log712-1=-log712·x-log712-log77=-log712·x-log784

Производная показательной функции

Доказательство 4

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

(ax)’=lim∆x→0ax+∆x-ax∆x=lim∆x→0ax(a∆x-1)∆x=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=00

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z=a∆x-1 (z→0 при ∆x→0). В таком случае a∆x=z+1⇒∆x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

(ax)’=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=ax·ln a·lim∆x→011z·ln(z+1)==ax·ln a·lim∆x→01ln(z+1)1z=ax·ln a·1lnlim∆x→0(z+1)1z

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

(ax)’=ax·ln a·1lnlimz→0(z+1)1z=ax·ln a·1ln e=ax·ln a

Пример 3

Даны показательные функции:

f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f1′(x)=23x’=23x·ln23=23x·(ln 2-ln 3)f2′(x)=53x’=53x·ln 513=13·53x·ln 5f3′(x)=1(e)x’=1ex’=1ex·ln1e=1ex·ln e-1=-1ex

Производная логарифмической функции

Доказательство 5

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

(logax)’=lim∆x→0loga(x+∆x)-logax∆x=lim∆x→0logax+∆xx∆x==lim∆x→01∆x·loga1+∆xx=lim∆x→0loga1+∆xx1∆x==lim∆x→0loga1+∆xx1∆x·xx=lim∆x→01x·loga1+∆xxx∆x==1x·logalim∆x→01+∆xxx∆x=1x·logae=1x·ln eln a=1x·ln a

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim∆x→01+∆xxx∆x=e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Пример 4

Заданы логарифмические функции:

f1(x)=logln3 x,f2(x)=ln x

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

f1′(x)=(logln3 x)’=1x·ln(ln 3);f2′(x)=(ln x)’=1x·ln e=1x

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x.

Производные тригонометрических функций

Доказательство 6

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x==lim∆x→02·sin x+∆x-x2·cosx+∆x+x2∆x==lim∆x→0sin ∆x2·cosx+∆x2∆x2==cosx+02·lim∆x→0sin ∆x2∆x2

Наконец, используем первый замечательный предел:

sin’ x=cos x+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=cos x

Итак, производной функции sin x будет cos x.

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

cos’ x=lim∆x→0cos (x+∆x)-cos x∆x==lim∆x→0-2·sin x+∆x-x2·sinx+∆x+x2∆x==-lim∆x→0sin∆x2·sinx+∆x2∆x2==-sinx+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=-sin x

Т. е. производной функции cos x будет –sin x.

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

tg’x=sin xcos x’=sin’ x·cos x-sin x·cos’ xcos2 x==cos x·cos x-sin x·(-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg’x=cos xsin x’=cos’x·sin x-cos x·sin’xsin2 x==-sin x·sin x-cos x·cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Доказательство 7

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

sh’x=ex-e-x2’=12ex’-e-x’==12ex—e-x=ex+e-x2=chxch’x=ex+e-x2’=12ex’+e-x’==12ex+-e-x=ex-e-x2=shxth’x=shxchx’=sh’x·chx-shx·ch’xch3x=ch3x-sh3xch3x=1ch3xcth’x=chxshx’=ch’x·shx-chx·sh’xsh3x=sh3x-ch3xsh3x=-1sh3x

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Дифференцирование тригонометрических функций — тригонометрические производные

Процесс нахождения производных тригонометрических функций известен как дифференцирование тригонометрических функций . Другими словами, дифференцирование тригонометрических функций — это нахождение скорости изменения функции по переменной. Шесть тригонометрических функций имеют формулы дифференцирования, которые можно использовать в различных прикладных задачах производной.

Шесть основных тригонометрических функций включают следующие: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tan x), котангенс (cot x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x). В этой статье мы найдем производные тригонометрических функций и их доказательства. Дифференциация тригонометрических функций имеет приложения в различных областях, таких как электроника, компьютерное программирование и моделирование различных циклических функций.

1. Что такое дифференциация тригонометрических функций?
2. Доказательства триггерных производных
3. Приложения дифференцирования тригонометрических функций
4. Дифференцирование обратных тригонометрических функций
5. Антидифференцирование тригонометрических функций
6. Часто задаваемые вопросы о дифференциации тригонометрических функций

Что такое дифференциация тригонометрических функций?

В тригонометрии дифференцирование тригонометрических функций представляет собой математический процесс определения скорости изменения тригонометрических функций по отношению к переменному углу. Дифференцирование тригонометрических функций может быть выполнено с использованием производных от sin x и cos x с применением правила отношения. формулы дифференцирования шести тригонометрических функций s приведены ниже:

  • Вывод sin x: (sin x)’ = cos x
  • Производная от cos x: (cos x)’ = -sin x
  • Производная от tan x: (tan x)’ = sec 2 x
  • Производная от cot x: (cot x)’ = -cosec 2 x
  • Производная от sec x: (sec x)’ = sec x.tan x
  • Производная cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x

Мы используем d/dx для записи производных. Вот тройные производные, использующие это обозначение.

Доказательства триггерных производных

Теперь, когда у нас есть дифференцирование тригонометрических функций (sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x), мы докажем и выведем тригонометрические производные, используя различные методы, такие как правило первый принцип дифференцирования и цепное правило, а также некоторые предельные формулы.

Производная sin x

Выведем производную от sin x, используя первый принцип дифференцирования, то есть используя определение пределов. Для вывода дифференцирования тригонометрической функции sin x будем использовать следующие предельные и тригонометрические формулы:

  • sin (A+B) = sin A cos B + sin B cos A
  • \(\lim_{x\стрелка вправо 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0\)
  • \(\lim_{x\стрелка вправо 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)

Теперь вычислим дифференцирование тригонометрической функции sin x:

\(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin (x + h) )-\sin x}{(x+h)-x} \\&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h }\\&=\lim_{h\стрелка вправо 0} \dfrac{\cos h -1}}{h}\sin x + \dfrac{\sin h}{h}\cos x\\&=(0)\ sin x + (1)\cos x\\&=\cos x\end{align}\)

Следовательно, d(sin x)/dx = cos x

Производная cos x

Выведем производную cos x, используя первый принцип дифференцирования, то есть используя определение пределов. Для вывода дифференцирования тригонометрической функции cos x воспользуемся следующими предельными и тригонометрическими формулами:

  • cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B
  • \(\lim_{x\стрелка вправо 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0\)
  • \(\lim_{x\стрелка вправо 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)

Таким образом, мы имеем

\(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\cos x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{ \cos (x + h)-\cos x}{(x+h)-x} \\&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos h -\sin x \sin h- \ cos x} {h} \\ & = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ dfrac {\ cos h -1 } {h} \ cos x — \ dfrac {\ sin h} {h} \ sin x \\ &=(0)\cos x — (1)\sin x\\&=-\sin x\end{align}\)

Следовательно, d(cos x)/dx = -sin x

Производная тангенса х

Определим производную тангенса х, используя правило частных. Для вычисления производной будем использовать следующие формулы и тождества:

  • (sin x)’ = cos x
  • (cos x)’ = -sin x
  • тангенс x = sin x/cos x
  • cos 2 х + sin 2 х = 1
  • сек х = 1/cos х

(tan x)’ = (sin x/cos x)’

= [(sin x)’ cos x — (cos x)’ sin x]/cos 2 x

= [cos x. cos х — (-sin х). SIN X]/COS 2 X

= (COS 2 x + SIN 2 x)/COS 2 x

= 1/COS 2 x

= сек 2 X

  • .

    Следовательно, d(tan x)/dx = sec 2 x

    Производная cot x

    Определим производную cot x, используя правило частных. Для вычисления производной будем использовать следующие формулы и тождества:

    • (sin x)’ = cos x
    • (cos x)’ = -sin x
    • раскладушка х = cos х/sin х
    • cos 2 х + sin 2 х = 1
    • косек х = 1/sin х

    (cot x)’ = (cos x/sin x)’

    = [(cos x)’ sin x — (sin x)’ cos x]/sin 2 x

    = [-sin x. грех х — cos х. cos x]/sin 2 x

    = (-sin 2 x — cos 2 x)/sin 2 x

    = -1/sin 2 x

    = -cosec 2 x

    Следовательно, d(cot x)/dx = -cosec 2 x

    Производная sec x

    Определим производную sec x, используя цепочку правило. Мы будем использовать следующие формулы и тождества для вычисления производной:

    • сек х = 1/cos х
    • тангенс x = sin x/cos x
    • (cos x)’ = -sin x

    (сек x)’ = (1/cos x)’ = (-1/cos 2 x).(cos x)’

    = (-1/cos 2 x).(-sin x)

    = sin x/cos 2 x

    = (sin x/cos x).(1/cos x)

    = tan x sec x

    Следовательно, d(sec x)/dx = tan x sec x

    Производная cosec x

    Определим производную cosec x с помощью цепного правила. Для вычисления производной будем использовать следующие формулы и тождества:

    • cosec x = 1/sin x
    • раскладушка x = cos x/sin x
    • (sin x)’ = cos x

    (cosec x)’ = (1/sin x)’ = (-1/sin 2 x).(sin x)’

    = (-1/sin 2 x).(cos x)

    = -cos x/sin 2 x

    = -(cos x/sin x).(1/sin x)

    = -cot x cosec x

    Следовательно, d(cosec x)/dx = -кроватка х косек х

    Приложения дифференцирования тригонометрических функций

    Дифференцирование тригонометрических функций имеет различные приложения в области математики и реальной жизни. Некоторые из них перечислены ниже:

    • Используется для определения наклона касательной к тригонометрической кривой y = f(x).
    • Используется для определения наклона нормали к тригонометрической кривой y = f(x).
    • Помогает определить уравнение касательной или нормали кривой.
    • Дифференциация тригонометрических функций имеет приложения в различных областях, таких как электроника, компьютерное программирование и моделирование различных циклических функций.
    • Мы используем производные тригонометрических функций для определения максимальных и минимальных значений конкретных функций.

    Дифференцирование обратных тригонометрических функций

    Дифференцирование обратных тригонометрических функций выполняется путем установки функции равной y и применения неявного дифференцирования. Перечислим производные обратных тригонометрических функций вместе с их областями определения (arcsin x, arccos x, arctan x, arccot ​​x, arcsec x, arccosec x):

    • (угловой синус x)’ = 1/√(1 — x 2 ), -1 < x < 1
    • (arccos x)’ = -1/√(1 — x 2 ), -1 < x < 1
    • (арктан х)’ = 1/(1 + х 2 ) , -∞ < х < ∞
    • (arccot ​​x)’ = -1/(1 + x 2 ) , -∞ < x < ∞
    • (угл. сек x)’ = 1/|x|√(x 2 — 1) , x (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
    • (arccosec x)’ = -1/|x|√(x 2 — 1) , x (-∞, -1) ∪ (1, ∞)

    Антидифференцирование тригонометрических функций

    Антидифференцирование тригонометрических функций – процесс, обратный дифференцированию тригонометрических функций. Этот процесс также называют интегрированием тригонометрических функций. Список первообразных тригонометрических функций приведен ниже:

    • ∫ sinx dx = -cos x + C
    • ∫ cosx dx = sin x + C
    • ∫ tanx dx = ln |sec x| + С
    • ∫ cotx dx = ln |sin x| + С
    • ∫ secx dx = ln |sec x + tan x| + С
    • ∫ cosecx dx = -ln |cosec x + cot x| + С

    Здесь C — постоянная интегрирования.

    Связанные темы:

    • Обратные тригонометрические формулы
    • грех кост загар
    • Тригонометрические тождества
    • Синусоидальная функция

    Важные замечания по дифференциации тригонометрических функций:

    • Вывод sin x: (sin x)’ = cos x
    • Производная от cos x: (cos x)’ = -sin x
    • Производная от tan x: (tan x)’ = sec 2 x
    • Производная от cot x: (cot x)’ = -cosec 2 x
    • Производная от sec x: (sec x)’ = sec x. tan x
    • Производная cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x

    Часто задаваемые вопросы о дифференциации тригонометрических функций

    Что такое дифференциация тригонометрических функций в тригонометрии?

    В тригонометрии дифференцирование тригонометрических функций представляет собой математический процесс определения скорости изменения тригонометрических функций по отношению к угловой переменной. Процесс нахождения производных круговых тригонометрических функций известен как дифференцирование тригонометрических функций.

    Каковы производные шести триггерных функций?

    Формулы дифференцирования шести тригонометрических функций приведены ниже:

    • Вывод sin x: (sin x)’ = cos x
    • Производная от cos x: (cos x)’ = -sin x
    • Производная от tan x: (tan x)’ = sec 2 x
    • Производная от cot x: (cot x)’ = -cosec 2 x
    • Производная от sec x: (sec x)’ = sec x. tan x
    • Производная cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x

    Каково применение

    Дифференциация тригонометрических функций ?

    Дифференцирование тригонометрических функций имеет различные приложения в области математики и реальной жизни.

    • Помогает определить уравнение касательной или нормали кривой.
    • Дифференциация тригонометрических функций имеет приложения в различных областях, таких как электроника, компьютерное программирование и моделирование различных циклических функций.
    • Мы используем дифференцирование тригонометрической функции, чтобы определить максимальное и минимальное значения определенных функций.

    Что такое антидифференцирование тригонометрических функций в тригонометрии?

    Антидифференцирование тригонометрических функций – процесс, обратный дифференцированию тригонометрических функций. Этот процесс также называют интегрированием тригонометрических функций.

    Что такое антипроизводные шести тригонометрических функций?

    Список первообразных тригонометрических функций приведен ниже как:

    • ∫ sin x dx = -cos x + C
    • ∫ cos x dx = sin x + C
    • ∫ тангенс x dx = ln |sec x| + С
    • ∫ раскладушка x dx = ln |sin x| + С
    • ∫ сек х dx = ln | сек х + тангенс х | + С
    • ∫ cosec x dx = -ln |cosec x + cot x| + С

    Что такое триггерные производные?

    Производная тригонометрических функций может быть рассчитана с использованием различных методов, таких как правило частных, первый принцип дифференцирования и цепное правило, а также некоторые предельные формулы. триггерные производные равны

    • (sin x)’ = cos x
    • (cos x)’ = -sin x
    • (тангенс х)’ = сек 2 х
    • (кроватка x)’ = -cosec 2 x
    • (сек х)’ = сек х.тангенс х
    • (косек х)’ = -косек х.кот х

    Как вывести производные тригонометрических функций?

    Производные тригонометрических функций можно найти с помощью различных методов дифференцирования, таких как первый принцип производных, правило произведения, правило отношения и правило цепочки.

    Производные тригонометрических функций

    К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tan x ), котангенс (cot x ), секанс (sec x ) и косеканс (csc x ).

    Все эти функции непрерывны и дифференцируемы в своих областях определения. Ниже мы составим список производных для этих функций.

    92}x}} = -\frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{1}{{\sin x}} = -\cot x\csc x.\]

    Таблица производных тригонометрических функций

    В таблице ниже приведены производные \(6\) основных тригонометрических функций:

    В приведенных ниже примерах найдите производную заданной функции.

    Решенные проблемы

    Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

    Пример 1

    \[y = \cos 2x — 2\sin x\] 9\prime } = — 2\cos \sin x \cdot \sin \sin x \cdot \cos x.\]

    Последнее выражение можно упростить формулой двойного угла:

    \[2\cos \sin x \cdot \sin \sin x = \sin \left( {2\sin x} \right).\]

    Следовательно, производная равна

    \[y’\left( x \right) = — \sin \left( {2\sin x} \right)\cos x.\]

    Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

    AC Производные других тригонометрических функций

    Мотивирующие вопросы

    • Каковы производные функций тангенса, котангенса, секанса и косеканса?

    • Как сделать производные от \(\tan(x)\text{,}\) \(\cot(x)\text{,}\) \(\sec(x)\text{,}\) и \(\csc(x)\) в сочетании с другими производными правилами, которые мы разработали, чтобы расширить библиотеку функций, которые мы можем быстро дифференцировать?

    Одна из важных тем в тригонометрии исходит из очень простой идеи: найти точку на единичной окружности.

    Рисунок 2.4.1. Единичный круг и определение функций синуса и косинуса.

    Поскольку каждый угол \(\theta\) в стандартном положении соответствует одной и только одной точке \((x,y)\) на единичной окружности, \(x\)- и \(y\)-координаты каждая из этих точек является функцией \(\theta\text{.}\). Фактически, это и есть само определение \(\cos(\theta)\) и \(\sin(\theta)\text{:} \) \(\cos(\theta)\) — это \(x\)-координата точки на единичной окружности, соответствующей углу \(\theta\text{,}\) и \(\sin(\ theta)\) — это \(y\)-координата. На этом простом определении основана вся тригонометрия. Например, фундаментальное тригонометрическое тождество, 92 (\ тета) = 1 \ текст {,} \end{уравнение*}

    — это переформулировка теоремы Пифагора, примененная к прямоугольному треугольнику, показанному на рисунке 2.4.1.

    Существуют еще четыре тригонометрические функции, каждая из которых определяется через функции синуса и/или косинуса.

    • Касательная функция определяется как \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\text{;}\)

    • функция котангенса является обратной: \(\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\text{. }\)

    • Функция секанса является обратной функцией косинуса, \(\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}\text{;}\)

    • , а функция косеканса является обратной функцией синуса, \(\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}\text{.}\)

    Вместе эти шесть тригонометрических функций дают нам широкий диапазон гибкости в задачах, связанных с прямоугольными треугольниками.

    Поскольку мы знаем производные функции синуса и косинуса, теперь мы можем разработать правила быстрого дифференцирования для функций тангенса, котангенса, секанса и косеканса. В предварительном упражнении этого раздела мы выполняем шаги, чтобы найти производную \(y = \tan(x)\text{.}\) 92(х)}\текст{.} \end{уравнение*}

  • Что такое фундаментальное тригонометрическое тождество? Как можно использовать это тождество, чтобы найти более простую форму для \(f'(x)\text{?}\)

  • Напомним, что \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\text{.}\) Как мы можем выразить \(f'(x)\) через функцию секущей ?

  • Для каких значений \(x\) определено \(f'(x)\)? Как этот набор соотносится с доменом \(f\text{?}\)

  • Подраздел 2.

    4.1 Производные функций котангенса, секанса и косеканса 92(х)\текст{.} \end{equation*}

    В следующих двух действиях мы разработаем правила дифференцирования функций секанса и косеканса.

    Мероприятие 2.4.2.

    Пусть \(h(x) = \sec(x)\) и вспомним, что \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\text{.}\)

    1. Каков домен \(h\text{?}\)

    2. Используйте правило частных для разработки формулы для \(h'(x)\), которая полностью выражается через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\text{.}\ )

    3. Как можно использовать другие отношения между тригонометрическими функциями, чтобы записать \(h'(x)\) только в терминах \(\tan(x)\) и \(\sec(x)\text{?}\)

    4. Что такое домен \(h’\text{?}\) Как это соотносится с доменом \(h\text{?}\)

    Мероприятие 2.4.3.

    Пусть \(p(x) = \csc(x)\) и вспомним, что \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\text{.}\)

    1. Каков домен \(p\text{?}\)

    2. Используйте правило частных для разработки формулы для \(p'(x)\), которая полностью выражается через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\text{. }\)

    3. Как можно использовать другие отношения между тригонометрическими функциями для записи \(p'(x)\) только в терминах \(\cot(x)\) и \(\csc(x)\text{?}\)

    4. Что такое домен \(p’\text{?}\) Как это соотносится с доменом \(p\text{?}\)

    Используя правило частных, мы определили производные функций тангенса, котангенса, секанса и косеканса, расширив нашу общую библиотеку функций, которые мы можем дифференцировать. Заметьте, что точно так же, как производная любой полиномиальной функции является полиномом, а производная любой экспоненциальной функции является другой экспоненциальной функцией, так и производная любой базовой тригонометрической функции является другой функцией, состоящей из основных тригонометрических функций. Это имеет смысл, поскольку все тригонометрические функции периодические, а значит, и их производные тоже будут периодическими.

    Производная сохраняет все свое основное значение как мгновенная скорость изменения и как наклон касательной к рассматриваемой функции.

    Мероприятие 2.4.4.

    Ответьте на каждый из следующих вопросов. Если запрашивается производная функция, не забудьте пометить производную функцию ее именем, используя соответствующие обозначения.

    1. Пусть \(f(x) = 5 \sec(x) — 2\csc(x)\text{.}\) Найдите наклон касательной к \(f\) в точке, где \( х = \ гидроразрыва {\ пи} {3} \ текст {.} \) 9т}\текст{.} \end{уравнение*}

      Предположим, что \(s\) измеряется в дюймах, а \(t\) — в секундах. Нарисуйте график этой функции для \(t \ge 0\), чтобы увидеть, как она представляет описанную ситуацию. Затем вычислите \(ds/dt\text{,}\) укажите единицы измерения этой функции и объясните, что она говорит вам о движении объекта. Наконец, вычислите и интерпретируйте \(s'(2)\text{.}\)

    Подраздел 2.4.2 Резюме

    • Производные остальных четырех тригонометрических функций равны 92(х)\текст{,} \end{уравнение*}

      \begin{уравнение*} \frac{d}{dx}[\sec(x)] = \sec(x)\tan(x), \\text{and} \ \frac{d}{dx}[\csc(x)] = -\csc(x)\cot(x)\text{. } \end{уравнение*}

      Каждая производная существует и определена в той же области, что и исходная функция. Например, и функция тангенса, и ее производная определены для всех действительных чисел \(x\), таких что \(x \ne \frac{k\pi}{2}\text{,}\), где \(k = \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)

    • Четыре правила для производных тангенса, котангенса, секанса и косеканса можно использовать вместе с правилами для степенных функций, экспоненциальных функций, синуса и косинуса, а также суммы, постоянного кратного, произведения и частные правила, чтобы быстро различать широкий спектр различных функций.

    Упражнения 2.4.3 Упражнения

    1. Сумма и произведение с участием \(\tan(x)\).

    Найдите производную \(h(t) = t \tan t + \cos t\)

    \(h'(t) =\)

    2. Частное с \(\tan(t)\).

    Пусть \(f(x) = \displaystyle \frac{5\tan\!\left(x\right)}{x}\text{.}\) Найдите следующее:

    1. \(f'(х)\) \(=\)
    2. {2}\tan\!\left(x\right)}{\sec\!\left(x\right)}\text{.}\ ) Найдите следующее:

    1. \(f'(х)\) \(=\)
    2. \(f'(4)\) \(=\)

    5. Нахождение уравнения касательной.

    Найдите уравнение касательной к кривой \(y = 3 \tan x\) в точке \(( \pi/4 , 3)\text{.}\) Уравнение этой касательной можно записать в виде \(y = mx+b\), где \(m\) равно:

    и где \(b\) равно:

    6,9т}\текст{.}\)

    1. Какова мгновенная скорость объекта, когда \(t =2\text{?}\)

    2. Каково ускорение объекта в момент \(t = 2\text{?}\)

    3. Обычным языком описать поведение объекта в момент времени \(t = 2\text{.}\)

    7.

    Пусть \(f(x) = \sin(x) \cot(x)\text{.}\)

    1. Используйте правило произведения, чтобы найти \(f'(x)\text{.}\)

    2. Верно или неверно: для всех вещественных чисел \(x\text{,}\) \(f(x) = \cos(x)\text{. z + 1 \ text {.} \end{уравнение*}

      1. Определить \(p'(z)\text{.}\)

      2. Найдите уравнение для касательной к \(p\) в точке, где \(z = 0\text{.}\)

      3. При \(z = 0\text{,}\) \(p\) увеличивается, уменьшается или ни то, ни другое? Почему?

      Производные от Sin, Cos и Tan: методы

      Электромагнитные волны используются для описания самых разных явлений, включая радиоволны. Эти волны перехватываются антеннами, и информация, содержащаяся в волне, обрабатывается, давая нам средства связи.

      Антенна, используемая для телекоммуникаций, pixabay.com

      Периодическое поведение волн часто описывается с помощью тригонометрических функций, таких как синус, косинус и тангенс. производных тригонометрических функций также потребуются, если мы будем изучать распространение волн.

      Производные от Sin, Cos и Tan

      Производные функции синуса, косинуса и тангенса включают больше тригонометрических функций.

      Производные синуса, косинуса и тангенса представлены следующим образом:

      Производные этих тригонометрических функций, наряду с основными правилами дифференцирования, можно использовать для нахождения производных других тригонометрических функций: секанс, косеканс и котангенс. Давайте сначала рассмотрим несколько примеров с тригонометрическими функциями синуса, косинуса и тангенса.

      Производные от Sin, Cos и Tan: Примеры

      Начнем с производной функции, включающей функцию синуса.

      Рассмотрим функцию. Мы найдем его производную, используя производную функции синуса, цепное правило и степенное правило.

      Позвольте и продифференцируйте, используя Цепное правило.

      Дифференцируйте функцию синуса.

      Найдите с помощью степенного правила.

      Замена зад и .

      Измените уравнение.

      Теперь найдем производную функции, включающей функцию косинуса.

      Рассмотрим функцию. Мы найдем его производную, используя производную функции косинуса, степенное правило и цепное правило. Не забывайте, что производная функции косинуса — это 90 815 минус 90 816 функции синуса!

      Позвольте и продифференцируйте, используя цепное правило.

      Дифференцируйте с помощью степенного правила.

      Найти дифференцированием функции косинуса.

      Замена задней и .

      Переставить.

      Производная функции, включающая функцию тангенса, проста. Давайте рассмотрим еще один пример.

      Рассмотрим функцию . Мы найдем его производную, используя производную функции тангенса, цепное правило и степенное правило.

      Позвольте и продифференцируйте, используя цепное правило.

      Дифференцируйте функцию касательной.

      Найдите с помощью степенного правила.

      Замена задней и .

      Переставить.

      Мы использовали правила дифференцирования для этих тригонометрических функций, не доказывая их. Давайте теперь посмотрим, как найти производную каждой функции.

      Дифференцирование функции синуса

      Производную функции синуса можно найти, используя определение производной функции.

      Теперь мы можем использовать тождество для синуса суммы двух углов, чтобы переписать приведенное выше выражение.

      Это можно переписать, используя алгебру и свойства пределов.

      Значение задействованных пределов можно найти с помощью Теоремы сжатия.

      и

      Найдем производную синуса, подставив вышеприведенные выражения.

      Для этого вывода мы использовали значения двух пределов, не доказывая их. Для полноты картины давайте углубимся в их доказательство!

      Сначала докажем предел. Рассмотрим единичный круг и треугольники на следующей диаграмме.

      Диаграмма, показывающая различные площади, связанные с углом h, Хейчи Янаджара — StudySmarter Originals

      Пусть — площадь равнобедренного треугольника, площадь кругового сектора и площадь прямоугольного треугольника. Площадь треугольников можно найти, заметив, что их основание равно 1, высота треугольника равна и высота треугольника равна.

      и

      Площадь можно найти по формуле площади кругового сектора.

      Обратите внимание, что содержит, что в свою очередь содержит. Это означает, что мы можем установить следующее неравенство:

      Подставляя выражения для каждой площади в приведенном выше неравенстве, мы можем написать следующее:

      Затем мы делим все неравенство на :

      Мы можем взять обратную величину каждого члена неравенства, поменяв местами знаки неравенства.

      Согласно теореме о сжатии, значения сжимаются между и 1 как .

      Так как мы можем заключить, что.

      Теперь давайте поработаем над вторым пределом, применив немного алгебры.

      Теперь мы можем использовать тождество Пифагора и свойство произведения пределов.

      Первый предел равен 1, как мы нашли ранее. Второй предел можно оценить, чтобы найти, что он равен 0.

      Дифференцирование функции косинуса

      Аналогичным образом можно найти производную функции косинуса.

      Теперь мы можем использовать тождество для косинуса суммы двух углов, чтобы переписать приведенное выше выражение.

      Еще раз перепишем это с помощью некоторой алгебры и свойств пределов.

      Далее подставляем значения вышеуказанных пределов и находим производную функции косинуса.

      Использование определения производной — не единственный способ доказать производную функции косинуса. Мы можем использовать производную функции синуса вместе с тригонометрическими тождествами в нашу пользу!

      Если мы уже знаем производную функции синуса, мы можем использовать тригонометрическое тождество Пифагора, чтобы найти производную функции косинуса. Рассмотрим следующее тригонометрическое тождество Пифагора:

      Мы можем дифференцировать по обеим частям уравнения. Поскольку правая часть уравнения равна константе, ее производная равна 0.

      В левой части уравнения можно использовать цепное правило.

      Ранее мы обнаружили, что производная функции синуса является функцией косинуса, поэтому мы подставим этот результат в приведенное выше уравнение.

      Наконец, мы делим уравнение на и выделяем производную от .

      Дифференцирование функции тангенса

      Мы также можем использовать определение производной, чтобы найти производную функции тангенса. Однако, поскольку мы уже знаем производные функций синуса и косинуса, мы можем вместо этого попробовать использовать правило отношения. Начнем с того, что запишем функцию тангенса как частное функции синуса и функции косинуса.

      Далее мы используем правило частных.

      Теперь подставим производные функций синуса и косинуса.

      Числитель можно упростить с помощью тригонометрического тождества Пифагора.

      Это можно упростить, если вспомнить, что функция секанса является обратной функцией косинуса.

      В этом случае использование правила отношения быстрее и проще, чем использование определения производной!

      Резюме

      Различение Sin, Cos и Tan – основные выводы

      • Производной функции синуса является функция косинуса. То есть,.
      • Производная функции косинуса является отрицательной функцией синуса. То есть,.
      • Производная функции тангенса равна квадрату функции секущей. То есть,.
      • Для доказательства производных функций синуса и косинуса используются два важных предела. Это и .
      • Производную функции тангенса можно найти либо с помощью правила отношения, либо с помощью определения производной.

      Как выучить триггерные производные – BetterExplained

      Быстрое признание? Я так и не выучил триггерные производные. Конечно, я запомнил $\sin’ = \cos$ и $\cos’ = -\sin $, как и все остальные, но производную от тангенса? Косеканс? Забудьте об этом, магические заклинания.

      После долгих лет поисков мы нашли золотую середину между утомительным выводом и механическим заучиванием. Ага момент: все триггерные функции изменяются с помощью одного и того же процесса: (знак)(шкала)(функция заменена) .

      Вот таблица триггерных производных, которую мы научимся заполнять:

      В качестве фона научитесь визуализировать триггерные функции и то, как они связаны с помощью теоремы Пифагора и подобия:

      Часть 1. Изучение table

      Во-первых, давайте научимся составлять таблицу, по одному столбцу за раз:

      Ваш браузер не поддерживает тег видео.

      1. Функция: Функция для получения (sin, cos, tan, cot, sec, csc)
      2. Знак: «Первичные» функции положительные, а «со» (дополнительные) функции отрицательные
      3. Масштаб: Гипотенуза (красная), используемая каждой функцией
      4. Перестановка: других функций в каждом треугольнике Пифагора (sin ⇄ cos, tan ⇄ sec, cot ⇄ csc)
      5. Производная: Умножьте, чтобы найти производную

      Тада! Эта процедура каким-то образом находит производные для триггерных функций. Советы по обучению:

      • Думайте «три S»: знак, масштаб, замена
      • Вероятно, вы запомнили $\sin’ = \cos$ и $\cos’ = -\sin$. Заполните эти строки, чтобы запустить процесс.

      Обычно я предпочитаю понимание запоминанию. Но на практике вы спрашиваете о триггерных производных, потому что у вас есть тест, и я хочу помочь вам сейчас.

      Как и в таблице умножения, после заполнения записей мы замечаем закономерности. Могут ли $\sin’ = \cos$ и $\csc’ = -\csc \cot$ иметь что-то общее?

      Ещё бы.

      Часть 2. Визуализация производных

      Что такое производная синуса?

      Формальный подход состоит в том, чтобы подставить $\sin(x)$ в определение производной, выполнить алгебраические вычисления и увидеть, что $\cos(x)$ выскочит. Точно, но неудовлетворительно. Если бы $\sec(x)$ была производной, заметили бы вы, что что-то не так? Возможно нет.

      Вот что происходит геометрически:

      Производная синуса означает «Насколько изменится наша высота, когда я изменю свой угол?»

      Я вижу это так: у нас есть начальный угол, $x$. Мы немного увеличиваем его ($dx$), что позволяет разместить вдоль нашей единичной окружности (поскольку радианы — это расстояние, пройденное по периметру).

      Затем мы рисуем мини-треугольник на основе $dx$, аналогичный большому треугольнику, который показывает изменение высоты и ширины при движении по периметру.

      Большой треугольник имеет пропорции $\text{красный} : \текст{синий} : \текст{зеленый} = 1 : \cos : \sin$. Мини-треугольник имеет аналогичные пропорции, с самой длинной стороной $dx$ вместо 1. Следовательно, мини-длины равны:

      $\text{мини-красный} : \text{мини-синий} : \text{мини-зеленый} = dx : \cos dx : \sin dx$

      Поскольку мини-синий — это изменение синуса, а мини-зеленый — изменение косинуса, мы имеем:

      $\sin'(x) = \text{изменение высоты} = \text{мини-синий} = \cos(x) dx$

      $\cos'(x) = \text{изменение ширины} = (-1) \cdot \text{mini green} = — \sin(x) dx$

      Обратите внимание на отрицательный знак перед $\cos’$ , так как мини-зеленый указывает влево (отрицательный).

      Краткое дополнение: как работают столбцы

      Стратегия «мини-треугольника» работает для всех триггерных функций. Есть 3 фактора:

      Q1: Какой знак?

      Кофункции триггера — это исходная функция, применяемая к дополнительному углу .

      Глядя на него, мы видим, что параметры $x$ и $(90 — x)$ болтаются. Цепное правило шепчет (кричит?), что производные должны быть противоположны, верно?

      Попробуем:

      $\cos'(x) = [\sin(90 — x)]’ = [\sin'(90 — x)][(90-x)’] = \cos(90 -х)(-1)$ $= \sin(x)(-1) = -\sin(x) $

      Да, мы получили отрицательный знак.

      Что случилось? Мы преобразовали $\cos$ в его форму $\sin$ (превратив угол в дополнение), взяли производную, получили член $-1$ и преобразовали обратно. Все кофункции имеют схожий паттерн, что дает нам отрицательный знак в таблице.

      (Примечание: отрицательный знак означает, что кофункция изменяет на исходной функции, а не на то, что производная меньше нуля . Косинус увеличивается, когда синус отрицательный.)

      Q2: Каков масштаб?

      Синус и косинус живут на единичной окружности (радиус 1). Другие функции используют радиус секанса (tan/sec) или косеканса (cot/csc).

      Q3: Что такое функция подкачки?

      Мы делаем мини-треугольник, сжимая первоначальный треугольник вниз и поворачивая его так, чтобы $dx$ совпадало со стороной длины $1$. Было бы странно, если бы после поворота исходные цвета (функции) указывали одинаково.

      Изменение должно основываться на другой функции в треугольнике (изменение синуса основано на косинусе, косинусе на синусе, тангенсе на секущей и т. д.)

      Кроме того, было бы странно, если бы функция росла на основе своей собственной текущее значение, верно? (Удерживайте эту мысль.)

      Производные тангенса и секанса

      Хорошо, давайте нарисуем мини-треугольники для тангенса и секанса:

      • Сначала мы нарисуем мини-треугольник $dx$ на единичной окружности (как sin /кос).
      • Затем мы сдвигаем/масштабируем мини-треугольник, чтобы он соответствовал «секущей» окружности: $dx$ становится $\sec(x) dx$ на секущей окружности.
      • Наконец, поверните мини-треугольник так, чтобы известная сторона $1$ (синяя) соответствовала нашему изменению $\sec(x)dx$.

      Хорошо. Итак, насколько велики стороны мини-треугольника?

      $\text{мини-синий}: \text{мини-зеленый} : \text{мини-красный} = 1 : \tan(x) : \sec(x)$

      Мы знаем, что $\text{мини-синий} = \sec(x) dx$, поэтому мы просто увеличиваем другие стороны на эту величину: 92$, думайте об этом как $\tan’ = (+)(\sec)(\sec)$, иначе $(\text{знак})(\text{масштаб})(\text{функция подкачки})$ . Черт возьми, вы даже можете увидеть $\cos’ = (-)(1)(\sin)$.

      Если вы сможете заполнить таблицу производных и нарисовать мини-треугольники, вы будете лучше понимать тригонометрию, чем я.

      Счастливая математика.

      Приложение: Комбинированная диаграмма

      Это немного занятно, но вот все мини-треугольники вместе:

      Опять же, интуиция: эти мини-треугольники красный/зеленый/синий (которые все похожи!) показывают изменения. 2$

      Масштаб $\sec$ такой же, но неизвестная сторона имеет длину $\frac{1}{\cos} dx$. Другой подход, тот же результат.

      Ссылки

      • Обсуждение MathExchange для просмотра исходной геометрической интерпретации

      Другие сообщения из этой серии

      1. Как интуитивно выучить тригонометрию
      2. Легкие триггерные тождества с формулой Эйлера
      3. Интуиция по закону косинусов
      4. Интуиция по закону синусов 92 x$$

        Но как получить эту производную? Это случайное предположение? В этом посте я докажу шесть производных тригонометрической функции.

        Начнем с sin x.

        Докажите, что производная Sin X равна Cos X

        Пусть $f(x)=\sin x$

        Напомним из определения производной функции, что

        $$f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

        Если $f(x)=\sin x$, то $f(x+h )=\sin(x+h)$ и

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$ $

        Помните тождество триггера, которое гласит: $\sin ( a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b$, следовательно, $\sin(x+h)=\sin x \cos h+\ cos x \sin h$ и 

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h}$$

        Давайте немного перестроим

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h-\sin x+\cos x \sin h}{h }$$

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x \sin h}{h}$$

        Разделение дробь

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\frac{\cos x \sin h}{h }$$

        Теперь обратимся к предельному выражению, так как мы использовали правило суммы пределов.

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x (\ cos h-1)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{\cos x \sin h}{h}$$

        Мы можем вывести sin x и cos x за пределы, потому что они являются функциями x, а не h.

        $$f'(x)=\sin x\left(\lim_{h \to 0}\frac{\cos h-1}{h}\right)+\cos x\left(\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}\right)$$

        Теперь воспользуемся правилом Лопиталя, которое гласит, что мы должны дифференцировать числитель и знаменатель

        $$f'(x)=\sin x\left(\lim_{h \to 0}\frac{-\sin h}{1}\right)+\cos x\left(\lim_{h \ на 0}\frac{\cos h}{1}\right)$$

        Прямой подстановкой

        $$f'(x)=(\sin x)(-\sin 0)+(\cos x) (\cos 0)$$

        $$f'(x)=(\sin x)(0)+(\cos x)(1)$$

        $$f'(x)=0+\cos x$$

        $$f'(x)=\cos x$$

        Следовательно, производная синуса есть косинус.

        Докажите, что производная Cos X равна -sin X

        Пусть $f(x)=\cos x$

        Определение производной функции гласит, что

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

        Если $f(x)=\cos x $, то $f(x+h)=\cos(x+h)$ и

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x+h)- \cos x}{h}$$

        Вспомните тождество триггера, которое говорит $\cos (x+h)=\cos x \cos h-\sin x \sin h$. Соответственно 

        $f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h}$

        $f'( x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x \cos h-\cos x-\sin x \sin h}{h}$

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x \sin h}{h}$$

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x(\cos h-1)}{h}-\frac{\sin x \sin h}{h}$ $

        Теперь воспользуемся разностным правилом пределов

        $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x(\cos h-1)}{h}-\lim_ {h \to 0}\frac{\sin x \sin h}{h}$$

        Мы можем вывести cos x и sin x за пределы, потому что они являются функциями x, а не h.

        $$f'(x)=\cos x \left(\lim_{h \to 0}\frac{\cos h-1}{h}\right)-\sin x \left(\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}\right)$$

        Применение правила Лопиталя

        $$f'(x)=\cos x \lim_{h \to 0}\frac{-\sin h}{1}-\sin x \lim_{h \to 0}\frac{\cos h }{1}$$

        $$f'(x)=(\cos x)(-\sin 0)-(\sin x) (\cos 0)$$

        $$f'(x)= (\cos x)(0)-(\sin x) (1)$$

        $$f'(x)=-\sin x$$

        Следовательно, производная косинуса равна отрицательному синусу

        Прежде чем мы перейти к касательной, есть несколько вещей, которые нужно иметь в виду.

        $$\tan=\frac{\sin x}{\cos x}$$

        $$\sec=\frac{1}{\cos x}$$

        $$\csc=\frac{ 1}{\sin x}$$ 92}$$

        $$\frac{d}{dx}(\sec x)=\frac{\sin x}{\cos x}\times\frac{1}{\cos x}$$

        Поскольку $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ и $\sec x=\frac{1}{\cos x}$

        $$\frac{d}{dx}\ sec x=\tan x \sec x$$

        Следовательно производная секанса просто кратна тангенсу и ковенанту

        Докажите, что производная Cscx равна -Cscxcotx

        Как я уже говорил вам ранее, $\csc х=\фракция{1}{\sin х}$. По тем же рассуждениям

        $$\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right)$$ 92}$$

        $$\frac{d}{dx}\csc x=\frac{-\cos x}{\sin x}\times\frac{1}{\sin x}$$

        Поскольку $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ и  $\csc x=\frac{1}{\sin x}$, поэтому

        $$\frac{d}{dx}\ csc x=-\cot x \csc x$$

        Таким образом, производная косеканса есть отрицательное условное выражение, умноженное на косеканс.

        Докажите, что производная от Cot X равна -csc² X

        $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$.

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован.

        © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

        Карта сайта