2.3.6. Примеры решения задач по теме «Производные высших порядков»
Задача 1.
Найти вторую производную от функции
Указание
Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что
Решение
Ответ:
Задача 2.
Найти вторую производную от функции
При Х = 1.
Указание
Найдите вторую производную по формуле
А затем вычислите ее значение при Х = 1.
Решение
Ответ:
Задача 3.
Найти производную 4-го порядка от функции
Указание
Воспользуйтесь тем, что
Решение
Ответ:
Задача 4.
Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
Указание
Воспользуйтесь тем, что
Решение
Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для
Ответ:
Задача 5.
Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
Указание
Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:
Решение
Ответ:
Задача 6.
Найти вторую производную для функции, заданной параметрически:
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ:
Задача 7.
Найти D3Y для функции У = Х5.
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ:
Задача 8.
Вычислите производную:
Указание
Воспользуйтесь формулой Лейбница:
Решение
Пусть
Тогда
Применяя формулу Лейбница, получим:
Ответ:
Задача 9.
Рассматриваются функции
Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?
Указание
По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)
4) непрерывна на отрезке [Ab];
5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:
Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;
Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;
3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;
Функция Y = ln cos
Существует на всем отрезке;
Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.
Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.
Ответ: 4.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Примеры производных | Математика
Изучить конкретные примеры нахождения производных с подробными пояснениями — лучший способ научиться находить производную самостоятельно.
После разбора производной степени, производной суммы и разности, производной произведения, производной частного и производной сложной функции настал черед рассмотреть примеры производных, в которых используются сразу несколько правил дифференцирования.
1) y=4x²cos(11-x²).
Данная функция представляет собой произведение функций, где u=4x², v=cos(11-x²). По правилу дифференцирования произведения:
y’=(4x²)’· cos(11-x²)+(cos(11-x²))’·4x²=
первая из функций — степенная, вторая — сложная функция, где внешняя функция f=cos u, внутренняя u=11-x². Применяя соответствующие правила, имеем:
=4·2x·cos(11-x²)+(-sin(11-x²))·(11-x²)’·4x²=8x·cos(11-x²)-sin(11-x²)·(-2x)·4x²=8x·cos(11-x²)+8x³sin(11-x²).
Эта функция — частное. u=2sin3x-1, v=√x. По правилу дифференцирования частного:
В свою очередь, числитель представляет собой разность двух функций, первая из которых, sin3x — сложная (f=sin u, u=3x, а число выносим за знак производной).
Применяем правила для дифференцирования разности и сложной функции, имеем:
Теперь выражениz в числителе приводим к общему знаменателю 2√x:
3) y=(lnx-tg7x)³
Это — сложная функция, внешняя функция f=u³, внутренняя u=lnx-tg7x. По правилу дифференцирования сложной функции: y’=3(lnx-tg7x)²·(lnx-tg7x)’=
в свою очередь, внутренняя функция представляет собой разность двух функций, где вторая — сложная функция (f=tgu, u=7x). Применяя правила для нахождения производной разности и сложной функции, получаем:
Это — сложная функция. Внешняя функция f — корень четвертой степени из u, внутренняя u=arctg10x. Преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем, затем дифференцируем:
В свою очередь, arctg10x — также сложная функция. Здесь внешняя функция f=arctgu, внутренняя u=10x:
Степень с дробным отрицательным показателем нужно преобразовать:
Это — пример производной частного:
свою очередь, числитель представляет собой производную произведения:
Первый множитель, в свою очередь — сложная функция.
Внешняя функция — показательная, 4 в степени u, внутренняя — u=cos8x:
Внешняя функция f=cos u, внутренняя u=8x:
Это — пример производной, где сначала нужно применить правило дифференцирования суммы:
Первое слагаемое — произведение функций, второе — сложная функция (f=lnu, u=cosx), третье слагаемое — также сложная функция (f- е в степени u, u=5x):
Эта функция — сложная. Однако здесь можно применить свойства логарифмов, после чего дифференцировать функцию станет гораздо проще:
Примеры производных для самопроверки:
Показать решение
Получение уравнений: значение и примеры
При изучении математики GCSE нам часто дают уравнение и просят решить его. Однако иногда вы можете задаться вопросом, а какой в этом смысл? Кого волнует, что это…
Вся причина решения уравнения в том, чтобы попытаться что-то придумать.
В вопросах эта «вещь», которую вы пытаетесь решить, часто представляется переменной , такой как или . Однако это всего лишь сокращение для неизвестной величины. может представлять стоимость яблок в супермаркете, возраст сестры Джека или даже неизвестный угол формы. В этой статье мы будем не только решать уравнения, но и формировать уравнения, чтобы показать нам, насколько полезными могут быть решения уравнений. Процесс составления уравнения называется получение уравнения .
Получение уравнений Значение
Мы много решаем уравнения, но что же такое уравнение? Если мы разберем слово, то получим уравнение… «Равно» выглядит как равно. Таким образом, уравнение — это, по сути, что угодно со знаком , равным ; это заявление о равенстве между двумя переменными. Итак, если нам задан многословный вопрос о равенстве некоторых переменных, мы можем составить и решить уравнение.
В математике процесс формирования математического уравнения или формулы называется выводом . Мы говорим, что выводим уравнение, чтобы помочь нам что-то решить. В следующем разделе мы будем выводить уравнения и решать их, чтобы вычислить неизвестную величину.
Переменная — это своего рода буква или символ , обозначающий неизвестное значение . Мы часто определяем и для переменных, однако это может быть любая буква или символ, обозначающий неизвестную величину.
Методы вывода уравнения
1. Определите переменные
Чтобы вывести уравнение, сначала определите любые неизвестные переменные чтобы установить, что вы на самом деле пытаетесь вычислить. Например, если в вопросе вас просят определить возраст кого-либо, определите возраст человека в виде буквы, такой как .
Если в вопросе вас просят рассчитать стоимость чего-либо, определите стоимость как некоторую переменную, например .
2. Определите равные количества
Следующим шагом будет выяснить, куда равняется знаку . Это может быть прямо указано в вопросе, например, «сумма возрастов мальчика равна 30». или «Стоимость трех яблок равна ». Однако иногда это менее очевидно, и вам придется немного использовать свое воображение. Например, если у нас есть три неизвестных угла на прямой, что мы знаем? Сумма углов на прямой равна 180 градусам, поэтому мы могли бы использовать это. Если у нас есть квадрат или прямоугольник, мы знаем, что параллельные стороны равны 9.0003 равно , поэтому мы могли бы использовать и это. В приведенных ниже примерах вопросов мы рассмотрим множество распространенных типов вопросов, связанных с выводом уравнений.
Примеры вывода уравнений
В этом разделе мы рассмотрим ряд различных типов вопросов, связанных с выводом уравнений.
Если вы будете следовать дальше, это должно дать вам много практики в выводе уравнений.
Нахождение недостающих длин и углов
На приведенной ниже прямой определите значение угла DBC.
Примеры вывода уравнений — углы на прямой, Джордан Мэдж — StudySmarter Originals
Решение:
Здесь у нас есть прямая линия с отсутствующими углами. Теперь мы знаем, что сумма углов на прямой равна 180 градусам. Поэтому мы можем сказать. Собирая подобные термины, мы можем упростить это до . Таким образом, мы только что вывели уравнение! Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы выяснить, что такое a, и подставить его к недостающим углам, чтобы определить размер каждого из углов.
Вычитая 92 с обеих сторон, получаем . Наконец, разделив обе стороны на 8, мы получим
Таким образом, угол ABE=, угол EBD, который мы уже знаем, равен 90 градусам, а угол DBC=. Отвечая на исходный вопрос, угол DBC равен 65 градусам.
Ниже прямоугольник. Найдите площадь и периметр этого прямоугольника.
Примеры вывода уравнений — недостающие стороны прямоугольника, Джордан Мэдж — StudySmarter Originals
Решение:
Поскольку у нас есть прямоугольник, мы знаем, что две параллельные стороны одинаковы. Таким образом, мы могли бы сказать, что AB равно DC и, следовательно, . Таким образом, мы снова вывели другое уравнение. Чтобы решить это уравнение, сначала вычтите из обеих частей, чтобы получить . Затем вычтите пять с обеих сторон, чтобы получить . Наконец, разделите обе части на 5, чтобы получить .
Теперь, когда мы знаем значение , мы можем вычислить длину каждой из сторон прямоугольника, подставив в каждую из сторон. Мы получаем, что размеры AB и DC равны, а длины AD и BC равны Поскольку периметр равен сумме всех измерений, периметр равен Так как площадь равна , мы получаем, что площадь равна .
Высота треугольника ABC равна , а основание равно .
Площадь . Вычислите значение .
Примеры вывода уравнений – стороны треугольника, Джордан Мэдж – StudySmarter Originals
Решение:
Поскольку высота равна , а основание равно , площадь равна . Теперь мы знаем, что площадь . Итак, и так, и так
Определите размер наибольшего угла в треугольнике ниже.
Примеры получения уравнений — углы в треугольнике, Джордан Мэдж — StudySmarter Originals
Решение:
Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы имеем . Упрощая, можно сказать. Таким образом, мы вывели еще одно уравнение, и теперь нам нужно просто решить его, чтобы найти x.
Вычитая по десять с обеих сторон, получаем Наконец, разделив обе части на 17, получаем .
Поскольку мы нашли x, мы можем подставить его в каждый угол, чтобы найти наибольший угол.
Угол BAC=
Угол ACB=
Угол CBA=
Таким образом, угол ACB самый большой и равен 78 градусам.
Определите размер угла ABD ниже.
Вывод уравнений Примеры- углы вокруг точки, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Решение:
Так как противоположные углы равны , мы знаем, что
Чтобы решить это, сначала вычтите из обеих сторон. Затем добавьте 2 к обеим сторонам, чтобы получить . Наконец, разделите обе части на 2, чтобы получить .
Подставляя обратно в углы, мы получаем, что угол ABD= . Так как сумма углов на прямой равна 180, мы также получаем, что угол ABC =
На приведенной ниже диаграмме периметр квадрата в два раза больше периметра треугольника. Вычислите площадь квадрата.
Вывод уравнений Примеры — периметр треугольника и квадрата, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Решение:
Периметр треугольника можно упростить до . Все стороны квадрата равны, поэтому периметр равен Периметр квадрата в 2 раза больше периметра треугольника.
Если мы раскроем скобки, то получим . Вычитая из обеих частей, мы получаем и делим обе части на шесть, мы окончательно получаем . Таким образом, длина квадрата равна пяти единицам, а площадь квадрата равна 9.0007
Словесные уравнения
Кэтрин 27 лет. Ее подруга Кэти на три года старше своей подруги Софи. Ее друг Джейк вдвое старше Софи. Сумма их возрастов равна 90. Вычислите возраст Кэти.
Решение:
Первое, что нужно признать, это то, что этот вопрос не имеет много приложений в реальной жизни, и это скорее загадка, чем что-либо еще. Вы могли бы просто спросить каждого из друзей Кэтрин, сколько им лет в реальной жизни, но это было бы гораздо менее весело. Это дает нам некоторую практику составления и решения уравнений, поэтому давайте начнем с определения возраста Софи как .
Если Софи лет, то Кэти должно быть лет, так как она на три года старше Софи. Джейку должно быть лет, так как он вдвое старше Софи.
Теперь, поскольку вся сумма их возрастов равна , у нас есть . Упрощая это, мы получаем . Отняв по 30 с обеих сторон, мы получим и разделив обе стороны на четыре, получим .
Итак, Софи 15 лет, значит, Кэти должно быть лет.
Стоимость планшета . Компьютер стоит дороже планшета. Цена планшета и компьютера. Узнайте стоимость планшета и компьютера.
Решение:
Во-первых, таблетка уже была определена как фунты. Стоимость компьютера составляет . Так как планшет и компьютер стоят, можно сказать, что. Упрощая, получаем. Таким образом, мы можем решить это, чтобы найти цену планшета.
Вычитая с обеих сторон, получаем и затем делим обе стороны на два Таким образом, планшет стоит и компьютер стоит.
Аннабель, Белла и Карман играют в домино. Аннабель выиграла на 2 игры больше, чем Карман. Белла выиграла на 2 игры больше, чем Аннабель. Всего было сыграно 12 игр, и в каждой был победитель. Сколько партий выиграл каждый из них?
Решение:
Опять же, мы могли бы просто посмотреть на протокол в реальной жизни.
Однако в этом упражнении мы составим и решим уравнение…
Определим количество игр, выигранных Карман, равным . Таким образом Аннабель выигрывала игры, а Белла выигрывала игры. Итак, Белла выигрывала игры. В общем, они играли в игры, и в каждой игре был победитель, таким образом. Упрощая это, мы получаем . Вычтя шесть из обеих сторон и разделив обе стороны на 3, мы получим . Таким образом, Аннабель выиграла 4 игры, Белла выиграла 6 игр, а Карман выиграла 2 игры.
Получение уравнений – основные выводы
- Уравнение представляет собой утверждение с равным знаком .
- В математике составление математического уравнения или формулы называется выводом .
- Мы можем вывести уравнения, если знаем, что две величины равны.
- После того, как мы вывели уравнение, мы можем решить это уравнение, чтобы найти неизвестную переменную.
Решить Определение и значение | Словарь.
com- Основные определения
- Синонимы
- Викторина
- Сопутствующее содержимое
- Примеры
- Британский
Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.
[ solv ]
/ sɒlv /
Сохрани это слово!
См. синонимы для: решить / решить / решить на Thesaurus.com
Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.
глагол (используется с объектом), решать, решать.
, чтобы найти ответ или объяснение; проясняться; объяснить: разгадать тайну пропавших книг.
для выработки ответа или решения (математической задачи).
ДРУГИЕ СЛОВА ДЛЯ решения
1 решить, распутать, распутать, взломать.
См.
синонимы слова «решить» на Thesaurus.com
ВИКТОРИНА
ВЫ СПОКОЙТЕСЬ ИЛИ НА ЭТИ ГРАММАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ?
Плавно переходите к этим распространенным грамматическим ошибкам, которые ставят многих людей в тупик. Удачи!
Вопрос 1 из 7
Заполните пропуск: Я не могу понять, что _____ подарил мне этот подарок.
Происхождение раствора
1400–50; позднесреднеанглийскоеsolven<латинскоеsolve ослабить, освободить, освободить, растворить
ДРУГИЕ СЛОВА ОТsolve
solver, существительноеpre·solve, глагол (используется с дополнением), pre·solved, pre·solv·ing.un·solved, прилагательноеwell-solved, прилагательноеСлова рядом решают
разрешимый, сольватировать, сольватация, Solvay, процесс Solvay, решить, растворимость, растворитель, злоупотребление растворителем, сольволиз, Solway Firth
Dictionary.com Полный текст На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. 2022
Слова, относящиеся к решению
уточнить, прояснить, разобраться, решить, определить, сделать, объяснить, выяснить, исправить, иметь, сгладить, уладить , выработать, сломать, истолковать, взломать, расшифровать, расшифровать, распутать, божественный
Как использовать слово «решать» в предложении
Мы знаем больше, чем когда-либо, о том, как учащиеся рассуждают, обрабатывают информацию и решают проблемы.
Почему цифровое обучение не оправдало своих обещаний?|Уолтер Томпсон|17 сентября 2020 г.|TechCrunch
Я всегда думаю о том, что мои любимые авторы строят у себя дома и какие проблемы пытаются решить.
Керби Джин-Раймонд запускает программу «Ваши друзья в Нью-Йорке»|Нэнди Ховард|11 сентября 2020 г.|Essence.com
Кто бы ни был виноват, мы либо все вмешиваемся, чтобы решить эту проблему, либо мы все страдаем.
Что вызывает изменение климата, в 10 диаграммах|Дэвид Робертс|11 сентября 2020 г.|Vox
Я искал только общий термин, который помог бы мне решить мою самую насущную проблему — создать логотип.
Входящий маркетинг для повышения узнаваемости бренда: четыре современных способа сделать это|Али Фаагба|11 сентября 2020 г.|Search Engine Watch
Она хочет, чтобы они думали о разных способах решения проблемы.
Секрет науки: ошибки способствуют пониманию|Рэйчел Кехо|10 сентября 2020 г.
|Новости науки для студентовНо одна дополнительная хитрость мгновенно решит проблему аварий, происходящих над водой.
Бюрократия и черные ящики: почему мы продолжаем «терять» авиалайнеры в 2014 г.|Клайв Ирвинг|29 декабря 2014 г.|DAILY BEAST
может решить общественную проблему.
Чтобы решить проблему, нам нужно изучить гораздо больше комет и метеоритов.
Являются ли кометы источником земных океанов?|Мэттью Р. Фрэнсис|14 декабря 2014 г.|DAILY BEAST
Есть ли кто-нибудь, кто думает, что неотложная проблема, которую нам нужно решить в Вашингтоне, округ Колумбия, заключается в том, как разрешить больше расходов на кампании?
Как раз то, что нам было нужно: больше расходов на кампанию|Марк Маккиннон|8 декабря 2014 г.|DAILY BEAST
«Сомневаюсь, что с помощью одной и той же ракеты вы сможете решить проблему дальности и потребности в большом магазине», — сказал он.
Пентагон обеспокоен тем, что Россия теперь может превзойти американские самолеты-невидимки|Дэйв Маджумдар|4 декабря 2014|DAILY BEAST
Чтобы решить эту проблему, я остановился на ступеньках таверны, прислонился к колонне и посмотрел на дремлющую деревню.
Солдат Долины|Нельсон Ллойд
Но, хотя он и был превосходным саблильщиком, он явно не был создан для решения вопросов дипломатии.
Эдинбургский журнал Blackwood, № CCCXXXIX. Январь 1844 г. Том. LV.|Разные
В предыдущей главе мы попытались решить вопрос о том, какие качества составляют хороший тон.
Скрипки и скрипичные мастера|Джозеф Пирс
Встречи проводились тайно за закрытыми дверями из-за серьезных проблем, которые должен был решить съезд.
Священное наследие: жизнь Вирджинии|Дороти М. Торпи
Чтобы решить эту проблему, нужно знать лекарство; и знать его необходимо, чтобы успешно применять его.
Состояние, возвышение, эмиграция и судьба цветного населения США | Мартин Р.
|Новости науки для студентов
