Пропорции и отношение: Отношения и пропорции в математике

Содержание

Отношения и пропорции в математике

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Таким образом, сам смысл термина «отношение» был несколько иной, чем термина «деление»: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление» и «отношение» по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т. п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах.

Пример

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

400 – общее число товара

200 – РФ

Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.

200 : 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения, а делителем – последующий член отношения. В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

Два равных отношения образуют пропорцию

В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения. К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:

1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

200 : 400 = 0,5 или 50%

2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

300 : 600 = 0,5 или 50%

В данном случае имеется пропорция, которую можно записать следующим образом:

200

400

300

600

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции, а четыреста и триста – средними членами пропорции.

Произведение средних членов пропорции

Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:

Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;

200 × 600 = 120 000

Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.

300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции, то:

Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.

200 =

400 × 300

600

Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.

конспект урока «Отношения и пропорции» 6 класс

Воронцова Галина Николаевна

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Старокармыжская средняя общеобразовательная школа»

Конспект урока по математике 6 класс

«Отношения и пропорции»

Цель:

— сформировать понятие пропорции, отношения.

— закрепить новые понятия.

— совершенствовать навык счета.

— развивать чувство гармонии, прекрасного.

Оборудование:

— плакат с опорным конспектом.

— наглядность (рисунки)

— бумага, ножницы, линейка

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока.

1.Изучение нового материала. (можно использовать слайды по определениям и задачам, записи отношений и пропорций)

Примеры на доске: 7:2 1:8

Учитель: Прочесть записи на доске.

Ученики: частное чисел 7 и 2; 1 и 8; четыре седьмых; пять третьих; отношение чисел 4 и 7; отношение чисел 5 и 3

Учитель: вы употребили новое понятие «отношение», некоторым из вас оно может уже знакомо, некоторые его встретили при чтении энциклопедии и других источников по математике. Давайте мы поподробнее ознакомимся с этим понятием.

Определение: Отношением чисел называют частное двух чисел не равных

0, — отношение, а≠0, в≠0,где а и в – члены отношения.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

По словарю Ожегова — Отношение 1. Взаимная связь разных величин, предметов, действий. 2.Частное, получаемое от деления одного числа на другое, а также запись соответствующего действия (запись понятия на отдельном листочке и вывешивается на доске).

Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс и т.д.) Частное двух величин называют отношением величин.Отношение величин одного наименования есть число. Такие величины называются однородными. Отношение величин разных наименований есть новая величина. Примеры :S/t=v, m/v=ρ .

Учитель: Запишем дату, тему урока «Отношения и пропорции» и определение отношения в тетради.

2.Закрепление понятия «отношение.

1). «Г» (говори правильно) – стр. 121, №706 – отношения читает каждый ученик про себя, затем один вслух.

2).№ 706 (стр. 121), используя слово «отношение» прочитайте записи и назовите члены отношений.

3) творческое задание учащимся: составить всем по одному отношению и назвать их по очереди.

Учитель: Как же обстояло дело с понятием « отношение» раньше?

3. Историческая справка. При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой, вычислять их отношения.

Долгое время под числом понималось только натуральное число (собрание единиц), полученное в результате счета. Отношение как результат деления одного числа на другое не считалось числом. Новое определение числа было дано впервые английским ученым Исааком Ньютоном(1643-1727). В своей «Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Вот с тех пор и считается что отношение величин одного наименования есть число.

4. Продолжение изучения нового материала.

Учитель: Рассмотрим следующие пары отношений

20:4 и 1/3:1/15 6:3и18:9 1,2:4 и 3:10 (запись на доске)

-Что можно сказать про эти отношения? (проблемный вопрос для класса).

Ученики: если найти отношения, то получатся одинаковые ответы в правой и левой частях и можно между ними поставить знак равно.

Учитель: пары отношений равны между собой.

Определение. Равенство двух отношений называется пропорцией.

В буквенном виде пропорция записывается следующим образом

а : в = с : д или где а, в, с, д — члены пропорции, не равные 0.

а, д – крайние члены; с, д – средние члены.

Правильное чтение пропорций (отношений, записанных выше).

По словарю Ожегова: Пропорция — 1)Равенство двух отношений 2)Определенное соотношение частей между собой, соразмерность(в частях здания).

Для запоминания определения пропорции можно выучить следующее четверостишие:

Кто с задачами постарается

Тот не упустит решений.

А пропорцией называется

Равенство двух отношений.

5.Историческая справка про «пропорции».

В древности учение о пропорциях было в большом почете у пифагорийцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. В 7 книге «Начал» Евклида (3 в. до н.э.) изложена теория отношений и пропорций. Современная запись пропорции выглядит так: а : в = с :д или . В то время Евклид вывел производные пропорции (а≠в, с≠д):

в : а = д : с (а + в) : в = (с + д) :д а : (а – в) = с : (с – д )

а : с = в : д (а – в) : в = (с – д) :д

Известный нам способ записи пропорций появился не сразу. Ещё в 17в. французский ученый Р.Декарт (1596-1650) записывал пропорцию

7 : 12 = 84 : 144 так /7/12/84/144/

Современная запись пропорции с помощью знаков деления и равенства была введена немецким ученым Г. Лейбницем (1646 – 1716) в 1693г.

Вначале рассматривали только пропорции, составленные из натуральных чисел. В 4 в. до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Древнегреческие математики с помощью пропорций 1) решали задачи, которые в настоящее время решают с помощью уравнений, 2) выполняли алгебраические преобразования, переходя от одной пропорции к другой. Часть математики, в которой говорится об отношениях и пропорциях греки называли музыкой. Почему такое странное название? Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже «толще» получается звук, который она издает. Они знали, что короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях, о дробях и стало называться музыкой.

Пропорциональность является непременным условием правильного и красивого изображения предмета. Это мы видим в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

Рисунки о пропорциональности в природе и искусстве, архитектуре. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Творческое задание учащимся. Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10см. Что произойдет с прямоугольником, т.е. с отношением сторон? Затем снова от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6см. Что произойдет в этом случае со сторонами прямоугольника?

Ученики: в первом и во втором случаях остается прямоугольник, одна сторона которого примерно в 1,6 раза больше другого.

Учитель: этот процесс можно продолжать и дальше. На прямоугольники, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6:1, обратили внимание очень давно. Посмотрите на изображение храма Парфенон в Афинах (Приложение 1).

Даже сейчас это одно из самых красивых сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник (Приложение 2), то окажется, что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали золотым прямоугольником. Говорят, что его стороны образуют золотое сечение.

Понятие «золотого сечения»

Золотое сечение или божественное деление – это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Число 1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1) представляет величину золотого сечения.

Пример 1.Если отрезок разделен на две части так, что меньшая имеет длину Х, а большая – длину У, то в случае золотого сечения У: (Х+У)=Х:У.

Пример2. В правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения.

АС : (АС+СВ) = СВ : АС

Пример 3. На изображении раковины точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом сечении. АС : СВ = СВ : АВ

Пример 4. Знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского. Если высоту великолепно сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура.

Пример 5. Каждую отдельно взятую часть тела( голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.

Пример 6. Расположение листьев на общем стебле растений. Между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

Вывод: Можно привести множество подобных примеров. Нам кажутся одинаково некрасивыми и квадратная, и слишком удлиненная прямоугольная форма: и та, и другая грубо нарушают пропорцию золотого сечения. То же можно наблюдать и во многих других случаях, когда прямоугольная форма предмета не зависит от практических целей и может свободно подчиняться требованиям вкуса. Прямоугольная форма книг, бумажников, тетрадей, фотографических карточек, рамок для картин – более или менее точно удовлетворяет пропорции золотого деления. Даже столы, шкафы, ящики, окна, двери не составляют исключения: в этом легко убедиться, взяв среднее из многих измерений.

6.Закрепление понятия « пропорция»

Разминка: У меня в руках 3 прямоугольника. Прямоугольники неравные, но один из них имеет размеры 5х8. На какой из них приятно смотреть?(Ответ: Древние греки считали, что прямоугольники у которых стороны относятся как 5х8 (стороны образуют «золотое сечение») имеют наиболее приятную форму.

Снова вспомнить определение пропорции.

Творческая работа для учащихся: 1). Составить всем простые пропорции и озвучить по очереди. 2). № 744по учебнику

3). Решение задач:

А) Клоун составил следующие пропорции:

1)3 : 6 = 2 : 4

2) 4 : 6 = 2 : 3 Все ли пропорции составлены правильно? Почему?

3) 3 : 6 = 4 : 2

4) 6 : 2 = 4 : 6

5) 6 : 2 = 4 : 6

6) 6 : 4 = 3 : 2

7) 6 : 3 = 4 : 2

8) 8 : 4 = 2 : 3

Б) Почему равенства 1) 1 : 2 = 3 : 6 и 1,2 : 0,3 = 32 : 8 являются пропорциями?

2) 4,2 : 2 = 22 : 10 не является пропорцией?

7. Домашнее задание: №735, 752 выучить определения, придумать примеры предметов, имеющие форму золотого прямоугольника

8. Решение примеров

№744,745, 752, 760

9.Творческое задание. Золотое сечение встречается и в растительном мире. На каждом столе лежит рисунок стебля растения. Составьте золотую пропорцию, сделайте необходимые измерения и вычислите коэффициент пропорциональности.

10. Итог урока

А). итог по выполненному заданию.

Б).ответы на вопросы.

1. Что такое отношение, пропорция?

2. Как называются числа в отношении, пропорции?

3. Что показывает отношение 2-х чисел?

В) Составить по изученной теме стихотворение, используя метод развития критического мышления — прием Синквейн – «белый стих, стих не в рифму», все что изучили на уроке представить в 6-7 строках ( 1 строчка- тема, 1 существительное; 2 строчка – определение, 2 прилагательных; 3 строчка – действие, 3 глагола; 4 строчка – ассоциации, 4 существительных; 5 строчка – действие, 3 глагола; 6 строчка – определение, 2 прилагательных; 7 строчка – 1 существительное). У кого что получилось, опрос каждого ученика.

Можно предложить такой вариант:

отношения

равные, однородные

делить, преобразовать, сравнить

равенство, гармония, соразмерность, соотношение

пропорция, члены.

Оценка работы каждого учащегося, отметки за урок.

Вывод по уроку: Знания, полученные на сегодняшнем уроке, помогут решать все типы задач на проценты с помощью пропорции. Позже с помощью пропорции вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.

Литература:

1. Учебник под редакцией Н. Я. Виленкина – математика 6 класс

2. Учебник под редакцией С. М. Никольского -– математика 6 класс

3. Большой энциклопедический словарь.

4. И. Ф. Шарыгин «Наглядная геометрия» 5-6класс, стр.99-101

Приложение 1

Приложение 2

Отношение и пропорция – основы, определения, примеры

Отношение используется для сравнения двух величин одного и того же вида. Формула соотношения для двух чисел, a и b, выражается как a : b или a/b. Когда два или более отношения равны, говорят, что они пропорциональны. Понятие соотношения и пропорции основано на дробях. Соотношение и пропорция являются ключевыми основами для различных других понятий в математике. Соотношение и пропорция находят свое применение в решении многих повседневных задач, например, когда мы сравниваем рост, вес, расстояние или время, или при добавлении ингредиентов при приготовлении пищи и так далее.

1.	Что такое отношение и пропорция?
2.	Определение коэффициента
3.	Определение доли
4.	Формула соотношения и пропорции
5.	Разница между отношением и долей
6.	Часто задаваемые вопросы о соотношении и пропорции

Что такое соотношение и пропорция?

Сравнение двух величин путем деления называется отношением, а равенство двух отношений называется пропорцией. Соотношение может быть записано в различных формах, таких как x : y или x/y, и обычно читается как x к y.

С другой стороны, пропорция — это уравнение, в котором говорится, что два отношения эквивалентны. Пропорция записывается как x : y : : z : w и читается как x к y, как z к w. Здесь x/y = z/w, где w и y не равны 0,

Определение коэффициента

Отношение – это сравнение двух величин, которое получается путем деления первой величины на другую. Если a и b — две величины одного и того же вида и с одинаковыми единицами измерения, такие, что b не равно 0, то частное a/b называется отношением между a и b. Соотношения выражаются с помощью символа двоеточия (:). Это означает, что отношение a/b не имеет единиц измерения и может быть записано как a : b

Определение пропорции

Пропорция означает равенство двух соотношений. Два эквивалентных отношения всегда пропорциональны. Пропорции обозначаются символом (::) и помогают нам решать неизвестные величины. Другими словами, пропорция — это уравнение или утверждение, которое используется для изображения того, что два соотношения или дроби эквивалентны. Четыре ненулевых величины a, b, c, d называются пропорциональными, если a : b = c : d. Теперь рассмотрим два соотношения — 3 : 5 и 15 : 25. Здесь 3 : 5 можно выразить как 3:5 = 3/5 = 0,6, а 15:25 можно выразить как 15:25 = 15/25. = 3/5 = 0,6. Поскольку оба отношения равны, мы можем сказать, что они пропорциональны.

Есть два типа пропорций.

Прямая пропорция
Обратная пропорция

Прямая пропорция

Прямая пропорция описывает прямую зависимость между двумя величинами. Если увеличивается одна величина, то увеличивается и другая величина, и наоборот. Таким образом, прямая пропорция записывается как y ∝ x. Например, если скорость автомобиля увеличивается, то он преодолевает большее расстояние за фиксированный период времени.

Обратная пропорция

Обратная пропорция описывает соотношение между двумя величинами, при котором увеличение одной величины приводит к уменьшению другой величины, и наоборот. Таким образом, обратная пропорция записывается как y ∝ 1/x. Например, если скорость автомобиля увеличивается, он будет преодолевать фиксированное расстояние за меньшее время.

Формула соотношения и пропорции

Формула отношения выражается как a : b ⇒ a/b, где

a = первый член или предшественник.
b = второй член или следствие.

Например, соотношение 2 : 7 также представляется как 2/7, где 2 — антецедент, а 7 — консеквент.

Теперь, чтобы выразить пропорцию двух отношений, a : b и c : d, запишем ее как $a: b:: c: d \longrightarrow \frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

Два термина b и c называются средними терминами.
Два термина a и d известны как крайние термины.
В a: b = c : d величины a и b должны быть одного вида в одних и тех же единицах, тогда как c и d могут быть одного вида и в одних и тех же единицах по отдельности. Например, 5 кг : 15 кг = рупий. 75 : рупий. 225
Формула пропорции может быть выражена как a/b = c/d или a : b : : c : d.
В пропорции произведение средних = произведение крайностей. Следовательно, в формуле пропорции a:b::c:d получаем b×c=a×d. Например, в 5 : 15 :: 75 : 225 мы получим 15 × 75 = 5 × 225

Разница между соотношением и пропорцией

Разницу между соотношением и пропорцией можно увидеть в следующей таблице.

Соотношение	Пропорция
Используется для сравнения размера двух величин с одной и той же единицей измерения.	Используется для выражения отношения двух соотношений.
Символы, используемые для выражения отношения — двоеточие (:), косая черта (/)	Символ, используемый для выражения пропорции — двойное двоеточие (::)
Называется выражением.	Это называется уравнением.

Важные примечания по соотношению и пропорции

Можно сравнивать любые две величины с одинаковыми единицами измерения.
Два отношения называются пропорциональными, только если они равны.
Чтобы проверить, равны ли два отношения и пропорциональны ли они, мы также можем использовать метод перекрестного произведения.
Если мы умножим и разделим каждый член соотношения на одно и то же число, отношение останется прежним.
Для любых трех величин, если отношение между первой и второй равно отношению между второй и третьей, то говорят, что они находятся в непрерывной пропорции.
Аналогично, в случае любых четырех величин в непрерывной пропорции отношение между первой и второй равно отношению между третьей и четвертой.

☛ Связанные статьи

Формула анализа соотношения
Калькулятор пропорций
Калькулятор процентных пропорций
Что означает эквивалентность двух отношений?

Примеры соотношения и пропорции

Пример 1: Выясните, пропорциональны ли соотношения 6:8 и 24:32.
Решение:
Указанные соотношения: 6:8 и 24:32. 6:8 = 3/4 = 0,75 и 24:32 = 3/4 = 0,75. Здесь оба соотношения равны. Следовательно, 6:8 и 24:32 пропорциональны.
Пример 2: В классе 30 учеников. Количество студентов, которым нравится математика, и тех, кто любит естествознание, выражается в соотношении 2:3. Найдите количество учеников, которым нравится математика, и тех, кто любит естественные науки.
Решение:
Общее количество учеников = 30. Пусть количество учеников, которым нравится математика, умножается на 2, а количество учеников, которым нравятся естествознание, умножается на 3. Мы можем сказать, что 2x + 3x = 30 ⇒ 5x = 30 ⇒ x = 6. Подставив значение x = 6, мы получим количество учеников, которым нравится математика = 2x = 2 × 6 = 12, а количество учеников, которым нравятся естественные науки = 3x = 3 × 6 = 18.
Следовательно, 12 учащихся любят математику, а 18 — естественные науки.
Пример 3: Укажите, верно или неверно:
а.) Говорят, что два отношения пропорциональны, только если они эквивалентны.
b.) В отношении 6 : 8 6 является консеквентом, а 8 — антецедентом.
Решение:
а.) Верно, что два отношения называются пропорциональными, только если они эквивалентны.
б.) Неверно, в отношении 6 : 8 6 — антецедент, 8 — консеквент.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с сертифицированными экспертами ourCuemath.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по соотношению и пропорции

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду