Простейшие неравенства | Алгебра
Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x<a; x≤a.
Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.
Неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).
Нестрогие неравенства — это неравенства со знаками больше либо равно(≥) или меньше либо равно(≤).
При изображении на числовой прямой решения строгого неравенства точку выкалываем (она рисуется пустой внутри), точку из нестрогого неравенства закрашиваем (для запоминания можно использовать ассоциацию).
Числовой промежуток, соответствующий решению неравенства x<a или x≤a находится слева от точки a (штриховка идет от точки a влево, к минус бесконечности).
Числовой промежуток — решение неравенства x>a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).
Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x<a — круглая.
В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.
Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.
Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.
Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.
Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.
Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:
Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.
Читают: «икс больше двенадцати».
Решение:
Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.
К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:
Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».
Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»
Решение:
Неравенство нестрогое, поэтому -3,7 на числовой прямой изображаем закрашенной точкой. Мысленно пририсовываем к знаку неравенства стрелочку: —≥. Стрелочка направлена вправо, поэтому штриховка от -3,7 идёт вправо, на бесконечность:
Так как неравенство нестрогое и точка x= -3,7 закрашенная, -3,7 в ответ записываем с квадратной скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».
Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).
Решение:
Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: <—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:
Неравенство строгое, точка выколотая, 0,2 — с круглой скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».
Читают: «икс меньше либо равен пяти».
Решение:
Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:
Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.
Ответ:
Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».
Неравенство алгебра 8, 9, 10. Методы решения неравенств 9 класс, 8 класс, 10 класс
Неравенство — математическое действие, сравнивающее два выражения с помощью знаков больше или меньше. Многие простые неравенства решают путем сложений, вычитаний, умножений и делений сторон, а более сложные — методом интервалов.
Содержание статьи
- Примеры уравнений неравенств
- как читать неравенство
- символ неравенства
- верное и неверное неравенство
- строгое и нестрогое неравенство
- линейные неравенства с одной переменной
- квадратные неравенства примеры
- логарифмические неравенства 1
- показательные неравенства с переменной
- Методы решения неравенств примеры
- правила решения неравенств
- 8 класс
- решение неравенств графическим способом
- простые неравенства примеры решения
- 9 класс
- дробные неравенства примеры решения
- 10 класс
- неравенства 10 класс примеры с решением
- Квадратные неравенства примеры
- Линейные неравенства примеры
- Логарифмические неравенства примеры решения
- Решения неравенств методом интервалов примеры
Примеры уравнений неравенств
В алгебре такими неравенствами заменяют наборы решений, чтобы не перечислять большое количество чисел.
как читать неравенство
В неравенствах легко запутаться, поэтому их читают слева направо.
символ неравенства
Неравенство х>у также можно записать как у<х . Стороны любого неравенства можно поменять местами при условии смены символов между ними.
верное и неверное неравенство
Числовое неравенство может быть:
верным: 18>7 и неверным: -5 >2,
строгое и нестрогое неравенство
строгими: х<21 и нестрогими: х≤47.
Неравенство с переменной (х,у) подразделяют на :
линейные неравенства с одной переменной
Линейные (1 степень переменной): 3х-5> 2(4-х)
квадратные неравенства примеры
Квадратное (квадрат переменной):
логарифмические неравенства 1
Логарифмическое (переменная под логарифмом):
показательные неравенства с переменной
Показательное (переменная в N-ой):
Методы решения неравенств примеры
Правила решения простых неравенств аналогичны правилам решения линейных уравнений.
правила решения неравенств
- Добавить с обеих сторон одинаковое число.
- С обеих сторон вычесть одинаковое число .
- Умножить стороны на одинаковое положительное число.
- Разделить обе части на одинаковое положительное число.
- Умножить или разделить обе стороны на одинаковое отрицательное число и сменить знак в обратную сторону.
8 класс
решение неравенств графическим способом
Графическое изображение неравенства
Неравенства нередко изображают на числовой прямой. Графики — очень полезный способ визуализации, особенно при бесконечном списке чисел.
1)х ≤ -4
Решением неравенства будут все действительные числа в числовой строке, которые меньше или равны 4.
Ответ: х ∈ [-∞;-4]
простые неравенства примеры решения
Решение неравенства с помощью сложения и вычитания
Когда добавляется или вычитается одно и то же значение с обеих сторон неравенства, неравенство сохраняется.
Если а > ба > б, то а+c > б+cа+c > б+c.
Если а > ба > б, то а-c > б-cа-c > б-c.
2) х + 3 < 5
Нужно найти такое значение х, которое при сложении с 3 будут меньше 5.
х+3<5
х+3-3<5-3
х<2
Ответ: х ∈ (-∞;2)
3) x-3+2 <10
Решение:
x-3+2 <10
x-1<10
x-1+1<10+1
x <11
Ответ: х ∈ (-∞;11)
4) р/5> 3
Решение:
р/5> 3
р/5•5>3•5
р>15
Ответ: р ∈ (15; +∞)
5) 12> 18-y
Решение:
18-y <12
-y <-6
y> 6 (не забудьте перевернуть символ при умножении на -1)
Ответ: у ∈ (6; +∞)
9 класс
дробные неравенства примеры решения
1) 2/3 р+4>10
Решение:
2/3 р+4-4>10-4
2/3р>6
2/3р • 3/2>6 • 3/2
р>9
Ответ: р ∈ (9; +∞)
2) (у-3)/2<−5
Решение:
(у-3)/2•2<−5•2 (каждую часть умножим на 2)
у-3 <-10
у-3 + 3 <-10 + 3 (с обеих сторон прибавим 3)
у <−7
Ответ: у ∈ (-∞; -7)
3) -2<( 6-2р)/3<4
Решение:
-2•3 < (6-2р)/3•3<4•3 (чтобы убрать дробь, умножим на 3)
-6<6-2р<12 (теперь вычтем 6)
-12<-2р<6 (разделим каждую часть на 2)
-6<-р<3 (умножим каждую часть на -1 и сменим направление знака)
6>р>- 3
Меньшее число переместим влево, большее — вправо.
Ответ: x ∈ R или x — любое число.
Линейные неравенства примеры
1) 4x−7 ≤−9−4x
4x−7 ≤−4x−9
8x ≤−2
x ≤−1/4
Ответ: x ≤−1/4 или x ∈ (−∞;−1/4]
2) 2(7−3y)+4(8−y)≤60
В левой части раскроем скобки:
−6y+14−4y+32≤60
−10y+46≤60
−10y≤14
y≤−1,25
Ответ: y ∈ [−1,25;+∞)
3) 2(x+3)+2(−1)x≤3x+15
Упрощаем многочлен
−2x+2x+6≤3x+15
6≤3x+15
−3x≤9
x≤-3
Ответ: x ∈ [−3;+∞)
4)6<4x−16≤26
6+16<4x−16+16≤26+16 (прибавим 16)
22<4x≤42 (разделим на 4)
5,5<x≤10,5
Ответ : 5,5<x≤10,5 или x ∈ (5,5;10,5]
5)
Ответ: x ∈ (−∞;0,25)
Логарифмические неравенства примеры решения
Решения неравенств методом интервалов примеры
Неравенства с дробью и степенью больше квадрата решают методом интервалов.
Методов решения неравенств несколько, поэтому важно применить наиболее подходящий способ для конкретного неравенства.
Реальные ситуации Образовательные ресурсы Обучение K12, выражения и уравнения, предварительная алгебра, планы уроков по математике, упражнения, эксперименты, помощь на дому
Аудио:
Обручальное кольцо Бейонсе от Jay Z оценивается более чем в 5 миллионов долларов. Каковы два возможных значения цены кольца? Как вы можете использовать числовое предложение для представления этой суммы?
Неравенства и уравнения постоянно используются в окружающем вас мире.
Прежде чем продолжить, если вы пропустили или хотели бы просмотреть предыдущий урок в этом 9Серия 0011 Уравнения и неравенства находится в разделе Связанные уроки на правой боковой панели.
Ситуации могут показаться вам не математическими, потому что вы так хорошо с ними знакомы.
Если у вас есть мобильный телефон, у вас может быть определенное количество текстовых сообщений или телефонных звонков, которые вы можете использовать каждый месяц. На дорогах есть ограничения скорости, у некоторых фильмов есть ограничения по возрасту, а время, необходимое вам, чтобы дойти до парка, — все это примеры неравенства. Неравенство не представляет точную сумму, а вместо этого представляет собой предел того, что разрешено или что возможно. Уравнения представляют значения, которые равны .
Для начала посмотрите видеоклип MooMoo Math and Science, чтобы узнать о задачах на неравенство. Во время просмотра фильма «Решение неравенств — словесные задачи — математика 6-го класса » запишите фразы, представляющие данный символ сравнения, в свой математический журнал (фрагмент заканчивается на 0:57):
| > | ≥ | < | ≤ |
После просмотра видео просмотрите таблицу в этом интерактивном приложении, чтобы убедиться, что у вас есть все фразы из видео.
Нажмите на каждый символ, чтобы прочитать фразы, которые представляют его в неравенстве:
Затем посмотрите фильм Неравенства в текстовых задачах от Shmoop , чтобы узнать, как создать неравенство из текстовой задачи. Ответьте на следующие вопросы в своем математическом журнале:
- Какое значение стоит перед открытой частью символа сравнения?
- В чем разница между символом «больше чем» и символом «больше или равно»?
- Как вы думаете, в чем разница между неравенством и уравнением?
Обсудите приведенные выше вопросы с родителем или учителем после просмотра видеоклипа (окончание в 2:21):
Как вы видели в видеороликах выше, неравенства включают специальные знаки, указывающие, какая сторона больше или меньше. , или показать, что две стороны не равны. В уравнениях используется знак равенства (=), чтобы показать, что обе части уравнения равны друг другу. Открытая часть символа сравнения всегда обращена к большему значению.
Числовые предложения используются для представления уравнений и неравенств. А числовое предложение — это математическое предложение, написанное с использованием цифр и математических символов, таких как символы сравнения, знак равенства и символы операций. Символы операций указывают, какую операцию следует использовать для решения задачи: сложение, вычитание, умножение или деление. Если сумма неизвестна, для представления суммы используется переменная . Переменная — это любая буква. Вы можете выбрать букву, которая относится к проблеме слова, или выбрать любую букву, которую вы хотите.
Если символ содержит «равно», например «больше или равно» или «меньше или равно», выражения с обеих сторон символа должны быть равны друг другу. Если используется символ «меньше» или «больше», выражения не могут быть равны друг другу.
| равно | = |
| не равно | ≠ |
| менее | < |
| меньше или равно | ≤ |
| больше | > |
| больше или равно | ≥ |
Пример Переведите выражение в числовое предложение:
- Таннер потратил более 24 долларов.
- Фраза «больше чем» 24 доллара США означает, что он не потратил ровно 24 доллара, поэтому выражение «равно» нельзя использовать. Числовое предложение будет таким: t > $24.
- Помните, что переменная может быть любой буквой, и это не обязательно должна быть буква «t». Если используемые символы и числа верны, вы можете использовать любую букву для переменной.
- Фрэнки прошел 15 миль до школы.
- Выражение не означает, что Фрэнки прошел больше или меньше 15 миль, поэтому вы можете предположить, что он прошел ровно 15 миль. Числовое предложение, представляющее это, будет следующим: w = 15, .
- Дети до 10 лет проходят на концерт бесплатно.
- Фраза «10 лет и младше» указывает на то, что ребенку может быть 10 лет или меньше 10 лет. Возраст должен быть «меньше или равен 10», что записывается: a ≤ 10.
Пример В начале урока вам была предложена следующая задача:
Помолвочное кольцо Бейонсе от Jay Z оценивается более чем в 5 миллионов долларов.
Каковы два возможных значения цены кольца? Как вы можете использовать числовое предложение для представления этой суммы?
Поскольку стоимость кольца «более» 5 миллионов долларов, возможные значения должны быть больше 5 миллионов долларов. Есть много возможностей, но два примера могут быть 6 миллионов долларов или 5,5 миллионов долларов.
Ключевая фраза «больше чем», что означает, что вы будете использовать символ «больше чем». Числовое предложение, представляющее эту ситуацию, будет следующим: r > 5 миллионов долларов.
В своем математическом журнале напишите ответы на следующие вопросы:
- Как вы можете определить, используете ли вы «равно» в своем сравнении неравенства?
- Может ли уравнение со знаком равенства иметь более одного решения? Объяснять.
Теперь вы перейдете к Понял? Раздел , чтобы завершить интерактивную практику написания числовых предложений для реальных утверждений.
Составные неравенства: определение и примеры
Составные неравенства являются фундаментальной темой в математике, где их можно изучать и использовать в соответствующих областях. Чтобы ответить на вопрос «что такое сложное неравенство?» нужно уметь понимать, что такое неравенства. Неравенство — это не что иное, как отношение между двумя или более неравными выражениями в математике. Это в основном используется для сравнения чисел на числовой прямой.
Таким образом, составное неравенство можно объяснить как объединение 2 или более простых неравенств в математическом выражении с использованием операций, а именно ИЛИ и И. Чтобы получить решение с использованием неравенства ИЛИ, хотя бы одно из значений должно быть истинным, тогда как оба значения должны быть истинными, чтобы получить результат операции И.
Что такое сложное неравенство?
В большинстве случаев решения могут лежать между двумя величинами. Оно не обязательно бесконечно продолжается в одном направлении.
Например, диапазон систолического артериального давления составляет от 120 до 139.мм ртутного столба (рт. ст.), что можно назвать пограничным повышенным артериальным давлением. Это легко проиллюстрировать с помощью составных неравенств, b > 120 и b < 139. Однако другое можно объединить термином «ИЛИ».
Было описано, что слово «и» используется для соединения двух неравенств. Когда эти два будут признаны верными, тогда можно будет определить возникновение решения составного неравенства. Это можно рассматривать как метод решения сложных неравенств. При этом каждое равенство пытается пересечься или наложиться друг на друга.
При соединении двух неравенств и функции ИЛИ, и хотя бы одно из них истинно, будет сложное неравенство. Таким образом, можно ясно понять, как решать составные неравенства, зная, что решение может быть комбинацией или объединением предоставленных двух отдельных неравенств.
Интервальное обозначение
Числами, которые их ограничивают, непрерывные наборы действительных чисел могут быть описаны с использованием интервального представления.
Однако они не намерены указывать конкретный момент. Вместо этого они служат простым подходом к выражению неравенства или набора неравенств.
Решение сложных неравенств в форме «ИЛИ»
Давайте посмотрим, как решить составное неравенство, в котором используется ИЛИ для объединения двух отдельных неравенств. Например, y > 6 ИЛИ y < 2, в этом решении было дано, что значение y либо меньше 2, либо больше 6. график обоих неравенств на одной прямой. Цифра упоминалась ниже:
Из графика видно, что она состоит из незакрашенного кружка в точке 6 и узкой синей линии со стрелкой, указывающей вправо, и еще одного незакрашенного кружка в точке 2 с красной стрелкой. указывая налево.
Точки 6 и 2 и все те, что находятся между точками на графике, считаются единственными частями, которые не могут дать результатов при решении составных неравенств. Кроме того, все остальное может быть решением при построении сложных неравенств.
Рассмотрим еще несколько примеров сложных неравенств: Рассмотрим пример сложного неравенства ИЛИ, y > 3 ИЛИ y < = 4.
При построении сложных равенств можно увидеть незакрашенный кружок на 3 при построении y > 3. Здесь стрела удара рисуется, указывая правильное направление. Он показывает, что все числа больше 3,
Между тем, на графике y < = 4 есть замкнутый круг в точке 4. Здесь красная стрелка влево используется для обозначения чисел меньше 4.
Итак, ниже приведено графическое представление то же самое, объединив оба графика:
Составные неравенства в операторе ИЛИ могут включать все числа в каждом решении. В этом случае он включает в себя все числа, содержащиеся в числовой строке. На графике обозначения линии, которая больше 3 и меньше или равна 4, показаны фиолетовым цветом. Это потому, что он лежит на обоих графиках.
Таким образом, можно знать, что результат сложных неравенств y > 3 ИЛИ y < = 4 есть не что иное, как множество всех действительных чисел.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров задач, чтобы понять, что такое составное неравенство.
Пример:
Задача : Решите для y.
3 y-1<8 или y-5>0
Решение :
Ответ er:
y > 5 ИЛИ 9 y < 3 0005
Это уравнение можно либо решить, решив каждое неравенство, изолируя переменную, либо можно использовать составную форму с использованием ИЛИ и записать оба решения неравенства.
Ниже приведено графическое представление того же самого:
Следует помнить о применении свойств неравенства при решении сложных неравенств. В следующем примере для выделения используется отрицательная переменная:
Пример:
Задача : Решите для x.
2 x + 7 < 13 ИЛИ – 3 x – 2 < = 10
Решение :
Ответ: Все действительные числа. Причина в том, что x может быть любым, меньше 3 или больше или равно – 4.
В приведенном выше примере неравенства решались отдельно на первом шаге. Кроме того, на втором шаге знак неравенства был изменен на отрицательное число при делении.
Таким образом, набор решений x < 3 ИЛИ y > = 4 может быть представлен с помощью следующего графика:
Решение и графическое построение составных неравенств в форме И
Это не что иное, как объединение двух отдельных неравенств с помощью слова И составить одно составное неравенство. Его также можно рассматривать как пересечение решений всех неравенств. Проще говоря, оба утверждения должны быть истинными, чтобы получить составные неравенства, объединяющие эти утверждения.
Результат оператора AND можно определить по тому, насколько распространены оба неравенства. Если представить это графически, то получится, что два графа пересекаются в общих местах.
Взглянув на следующий пример составного неравенства, y < 5 AND y > = – 1, график графика и каждое его отдельное равенство показаны следующим образом: :
Поскольку ясно, что операция AND соединяет два разных неравенства, решение можно найти, перекрывая одно другое. Его также записывают как двойное неравенство.
Здесь оба утверждения верны одновременно.
Ниже приведен окончательный результат вышеупомянутого примера:
Заметив на графике, можно ясно переписать y > = – 1 & y < 5 как – 1 <= y < 5. Это потому, что решение находится между – 1 и 5. Его можно прочитать как «y больше или равно – 1 и меньше 5». Такая техника перезаписи возможна только в том случае, если ответ можно найти между двумя числами.
Давайте посмотрим, как решать составные неравенства на следующих примерах, используя операцию И,
Пример:
Задача: Решите для y.
1 – 4 y < = 21 AND 5 y + 2 > = 22
Решение:
Графики этих двух неравенств показаны ниже в виде числовой прямой. Здесь результатом сложного неравенства является y > = 4, потому что это место, где пересекаются оба графика.
Решение этих двух графиков было представлено как:
Ответ:
y > = 4
Вместо того, чтобы разбивать составные неравенства на два неравенства и решать их, есть другой эффективный способ сделать это, также получая те же результаты.
Это достигается путем применения свойств неравенства ко всем трем сегментам. Например:
Задача: Решите для y
3 < 2 y + 3 < = 7
Решение:
4 Ответ: 9 00005 0 < y < = 2 В этом уравнении переменная была выделена путем вычитания 3 из всех 3 частей неравенства с последующим делением каждой части на 2. Чтобы учащийся мог решить неравенства, такие как a < y < b, свойства умножения и сложения должны быть выполнены, чтобы получить значение для y. Результат составного неравенства с использованием операции И всегда рассматривается как наложение двух отдельных неравенств. Было показано, что для этого есть три возможных пути. Их: Из вышеприведенной статьи учащиеся могли узнать, что такое сложное неравенство, как решать сложные неравенства и какие есть примеры сложных неравенств. Кроме того, ими легко манипулировать и решать так же, как любую задачу о неравенстве, потому что они представляют то же самое, что и другие простые неравенства: операция объединения или пересечения. Ответ. Составные неравенства – это тип неравенства, состоящий из двух или более частей. Эти части могут быть либо «или», либо «и». Например, если у вас есть неравенство, в котором говорится, что «х больше 5 и меньше 10», то х может быть любым числом от 5 до 10. Ответ. Составное неравенство – это тип неравенства, который включает два неравенства, соединенных словом «или». Его можно записать в виде одного утверждения, например: x < 5 или x > 10. Ответ. Чтобы решить составное неравенство, сначала найдите, какая переменная умножается на -1. Затем подставьте эту переменную в исходное неравенство и решите ее. Как только вы узнаете, какое числовое значение нужно подставить для этой переменной, используйте это решение с другой переменной (которая не умножается на -1) и соответствующее ей неравенство, чтобы решить и для этой переменной. Ответ. Чтобы определить, является ли составное неравенство И или ИЛИ, посмотрите на каждое из неравенств по отдельности. Если есть два неравенства, и они оба имеют положительный наклон, то это неравенство И. Если один имеет положительный наклон, а другой отрицательный, то это неравенство ИЛИ. Ответ. График составного неравенства — это график, показывающий взаимосвязь между двумя неравенствами. Составные неравенства – особые случаи
Заключение
Часто задаваемые вопросы
1. Что такое сложные неравенства?
2. Что такое пример сложного неравенства?
«Или» означает, что одно из неравенств верно. 3. Как решать сложные неравенства?
4. Как определить, является ли составное неравенство И или ИЛИ?
5. Что такое график сложного неравенства?
