Проверить линейную зависимость векторов онлайн: Онлайн калькулятор. Проверить образуют ли вектора базис

Содержание

04.07. Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов

А)

Б)

В)

Пусть даны три силы , , , лежащие в одной плоскости. Можно ли любую из них выразить через две другие? Эта задача очень часто встречается в физике. Если и не лежат на одной прямой (рис. 3.15, а), то сила может быть представлена через , и по правилу параллелограмма:

Рис. 3.15. Различные случаи расположения сил.

Если же и лежат на одной прямой, то эту задачу решить не удастся (рис.

3.15, б). Решение задачи окажется невозможным и в том случае, когда сила находится вне плоскости, которую образуют силы , , если они не лежат на одной прямой (рис. 3.15, в). Чтобы понять, почему это происходит, перейдем от геометрической иллюстрации этой задачи к ее строгому математическому анализу, основанному на понятии линейной зависимости векторов и исследовании свойств таких систем векторов.

Выражение вида:

Где – векторы, а – скаляры, называется ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВЕКТОРОВ. Его смысл состоит в том, что над системой векторов производятся линейные операции, введенные выше, в результате выполнения которых получается некоторый новый вектор, возможно даже нулевой, если, например, все множители . А если не все равны нулю, может ли их линейная комбинация обратиться в нуль? Оказывается, что условия, определяющие эту возможность, разделяют векторы на две принципиально различные группы.

Система векторов , среди которых есть ненулевые, называется ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация обращается в нулевой вектор при условии, что

Не все скалярные множители равны нулю, то есть

Система векторов называется ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация обращается в нулевой вектор только при условии, что Все скалярные множители равны нулю, т. е.

Очевидно, если в системе векторов есть нулевой вектор, то она линейно зависима. Для доказательства этого факта достаточно в равенстве

Взять все коэффициенты равными нулю, за исключением одного – стоящего перед нулевым вектором (он может принимать любое отличное от нуля значение). Это и будет означать линейную зависимость данной системы векторов.

Если система из n векторов включает в себя m линейно зависимых, то она линейно зависима. Действительно, пусть первые m векторов линейно зависимы. Тогда в равенстве

Хотя бы один из скалярных коэффициентов отличен от нуля. Записав формально равенство

Где не все равны нулю, получим, что система векторов линейно зависима.

Рис. 3.16. Коллинеарные
Векторы.

Как геометрически представить себе линейно зависимые и линейно независимые векторы? Введем для этого два определения.

Векторы называются КОЛЛИНЕАРНЫМИ (рис. 3.16), если они лежат на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Приведя эти векторы к общему началу, получим, что они располагаются на одной прямой.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях, называются КОМПЛАНАРНЫМИ (рис. 3.17). Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных векторов.

Рис. 3.17. Компланарные векторы.

Если привести их к общему началу, то они окажутся расположенными в одной плоскости.

Из этих определений следует, что коллинеарность векторов можно рассматривать для системы, состоящей из двух или более векторов, а компланарность – для трех и более векторов.

Действительно, когда число векторов более одного, их приведение к одной прямой осуществимо не всегда. Для коллинеарных векторов этого удается добиться.

Термин «коллинеарность» характеризует взаимное расположение векторов, поэтому коллинеарность одного вектора лишена смысла.

Будут ли коллинеарные векторы компланарны? Будут ли компланарные векторы коллинеарны?

Аналогично, два вектора путем свободного переноса всегда можно расположить в одной плоскости. Поэтому они всегда компланарны. Этого может не быть, если число векторов больше двух. Если же векторы компланарны, то их всегда можно привести в одну плоскость.

Оказывается, коллинеарность и компланарность векторов неразрывно связаны с их линейной зависимостью. Мы докажем сейчас теоремы, которые соединяют эти понятия и служат предпосылками для введения центрального понятия всей математики – СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

ТЕОРЕМА 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Слова «тогда и только тогда», как известно, означают, что имеет место прямая и обратная теоремы. Сформулируем их и докажем.

Необходимость. Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы и линейно зависимы. Тогда в равенстве

Хотя бы один из скалярных множителей или отличен от нуля. Пусть для определенности . Тогда

Где , что означает коллинеарность векторов и .

Достаточность. Если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы и коллинеарны. Тогда, очевидно, они связаны соотношением

Это означает, что линейная комбинация векторов и обращается в нулевой вектор, причем скалярный множитель при векторе не равен нулю, то есть система векторов и линейно зависима.

Наряду с доказанной теоремой, могут быть сформулированы еще две, являющиеся ее следствиями.

Сформулируйте эти утверждения с помощью предикатов.

Следствие 1.

Если два вектора не являются линейно зависимыми, то они не будут коллинеарны.

Следствие 2. Если два вектора не являются коллинеарными, то они не будут линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Необходимость. Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.

Рис. 3.18. Связь
между линейной
зависимостью
и компланарностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы , и линейно зависимы (рис. 3.18). Тогда в равенстве

Хотя бы один из скалярных множителей , или отличен от нуля. Пусть для определенности . Тогда

То есть вектор – диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (по правилу сложения векторов). Но векторы и , а также И попарно коллинеарны. Следовательно, и лежат в плоскости этого же параллелограмма, то есть , и – компланарны.

В случае коллинеарности векторов и компланарность , и очевидна.

Достаточность. Если три вектора компланарны, то они линейно зависимы.

Рис. 3.19. Связь между компланарностью и линейной зависимостью векторов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , и компланарны (рис. 3.19), то есть они лежат в одной плоскости и хотя бы два из них, например, и , неколлинеарны. После приведения системы векторов к общему началу вектор можно разложить по направлениям неколлинеарных векторов и , то есть представить его в виде суммы векторов, лежащих на прямых, задаваемых векторами и :

Но , , поэтому

или .

Поскольку имеется хотя бы один скалярный множитель, отличный от нуля, то , и линейно зависимы.

Могут ли быть среди трех некомпланарных векторов два коллинеарных?

Следствие 1. Если три вектора не являются линейно зависимыми, то они не будут компланарны.

Следствие 2. Если три вектора не являются компланарными, то они не будут линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 3. Всякий вектор может быть единственным образом разложен по трем некомпланарным векторам.

Теорема означает, что если векторы , и некомпланарны и вектор произволен, то существует единственное представление

Где где L1, L2 и L3 – скаляры.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приведем векторы , , и к общему началу (рис. 3.20). Пусть точка L – конец вектора , а точка М – определяет пересечение вспомогательной прямой LM, параллельной вектору , с плоскостью векторов и . Рассмотрим вспомогательные отрезки . Тогда, по правилу сложения векторов,

Рис. 3.20. Разложение вектора по трем
некомпланарным
направлениям.

Но векторы и , и , и коллинеарны, поэтому

А значит,

. (3.1)

Покажем, что это разложение единственно. Предположим противное, что существует другое представление через векторы , И :

(3.2)

И хотя бы один из коэффициентов не равен соответствующему коэффициенту . Пусть для определенности . Тогда, вычитая из (3.1) равенство (3.2), получим:

Полученное соотношение означает, что линейная комбинация векторов , и равна нулевому вектору, но скалярный коэффициент при векторе отличен от нуля, то есть векторы , и линейно зависимы, а потому компланарны, что противоречит условию теоремы. Следовательно, предположение о справедливости равенства (3.2) наряду с равенством (3.1), неверно, то есть разложение (3.1) единственно.

Следствие. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Действительно, если , и некомпланарны, то из равенства (3.1) следует:

Скалярный коэффициент при векторе не равен нулю. Следовательно, четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Если же какие-то три из векторов , , , компланарны, то они будут линейно зависимы, а значит приведут к линейной зависимости всю систему векторов.

Если какие-то два из четырех векторов коллинеарны, то это означает их линейную зависимость и, следовательно, линейную зависимость всех четырех векторов.

Таким образом, любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Вернемся теперь к задачам, поставленным в начале параграфа. Если силы и лежат на одной прямой и силу необходимо выразить через эти векторы, то ясно, что подобная задача неразрешима, так как всякая линейная комбинация сил и есть некоторый вектор

Лежащий на этой прямой и неколлинеарный вектору .

Если две из трех сил коллинеарны, то их можно параллельным переносом привести в одну плоскость, а значит они линейно зависимы. В их линейной комбинации, приравненной к нулю, есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля, что позволяет выразить одну силу через две другие. Если же силы , и представляют собой неколлинеарные друг другу векторы, то, располагаясь в одной плоскости, они образуют линейно зависимую систему векторов, что обеспечивает возможность выразить одну из них через две другие.

Если векторы линейно зависимы, то всякий ли вектор можно выразить через остальные?

Когда одна из сил, например , лежит вне плоскости, образуемой силами и , то система векторов , , становится некомпланарна, а значит, линейно независимой, поэтому между ними возможно лишь соотношение:

< Предыдущая		Следующая >

5.

2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

Чтобы проверить является ли система векторов линейно-зависимой, необходимо составить линейную комбинацию этих векторов , и проверить, может ли она быть рана нулю, если хот один коэффициент равен нулю.

Случай 1. Система векторов заданна векторами

Составляем линейную комбинацию

Мы получили однородную систему уравнений. Если она имеет ненулевое решение, то определитель должен быть равен нулю. Составим определитель и найдём его значение.

Определитель равен нулю, следовательно, вектора линейно зависимы.

Случай 2. Система векторов заданна аналитическими функциями:

a) , если тождество верно, значит система линейно зависима.

Составим линейную комбинацию.

Необходимо проверить, существуют ли такие a, b, c (хотя бы одна из которых не равна нулю) при которых данное выражение равно нулю.

Запишем гиперболические функции

, , тогда

тогда линейная комбинация векторов примет вид:

, откуда , возьмём, например,, тогда линейная комбинацияравна нулю, следовательно, система линейно зависима.

Ответ: система линейно зависима.

b) , составим линейную комбинацию

Линейная комбинация векторов, должна быть равна нулю для любых значений x.

Проверим для частных случаев.

Линейная комбинация векторов равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.

Следовательно, система линейно не зависима.

Ответ: система линейно не зависима.

5.3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.

Сформируем расширенную матрицу и приведём её к виду трапеции методом Гаусса.

Получим

Чтоб получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения:

Получим остальные координаты

Ответ:

5.4. Найти координаты вектора X в базисе , если он задан в базисе .

Нахождение координат вектора в новом базисе сводится к решению системы уравнений

Способ 1. Нахождение при помощи матрицы перехода

Составим матрицу перехода

Найдём вектор в новом базисе по формуле

Найдём обратную матрицу и выполним умножение

Способ 2. Нахождение путем составления системы уравнений.

Составим базисные вектора из коэффициентов базиса

, ,

Нахождение вектора в новом базисе имеет вид

, где d это заданный вектор x.

Полученное уравнение можно решить любым способом, ответ будет аналогичным.

Ответ: вектор в новом базисе .

5.5. Пусть x = ( x₁, x₂, x₃ ). Являются ли линейными следующие преобразования.

Составим матрицы линейных операторов из коэффициентов заданных векторов.

Проверим свойство линейных операций для каждой матрицы линейного оператора.

Левую часть найдём умножением матрицы А на вектор

Правую часть найдем, умножив заданный вектор на скаляр .

Мы видим, что значит, преобразование не является линейным.

Проверим другие вектора.

, преобразование не является линейным.

, преобразование является линейным.

Ответ: Ах – не линейное преобразование, Вх – не линейное, Сх – линейное.

Примечание. Можно выполнить данное задание гораздо проще, внимательно посмотрев на заданные вектора. В Ах мы видим, что есть слагаемые которые не содержат элементы х, что не могло быть получено в результате линейной операции. В Вх есть элемент х в третьей степени, что также не могло быть получено умножением на вектор х.

5.6. Дано x = { x₁, x₂, x₃ }, Ax = { x₂ – x₃, x₁, x₁ + x₃ }, Bx = { x₂, 2x₃, x₁ }. Выполнить заданную операцию: ( A( B – A ))x .

Выпишем матрицы линейных операторов.

Выполним операцию над матрицами

При умножении полученной матрицы на Х, получим

Ответ:

Модуль — Университет Сиднея

Модуль обучения_

Этот модуль начинается с изучения линейности: линейных функций, общих принципов, касающихся наборов решений однородных и неоднородных линейных уравнений (включая дифференциальные уравнения), линейной независимости и размерности линейного пространства. Изучение собственных значений и собственных векторов, начатое в линейной алгебре младшего уровня, расширяется и развивается. Затем модуль переходит к темам векторного исчисления, включая векторные функции (параметризованные кривые и поверхности, векторные поля, div, grad и curl, градиентные поля и потенциальные функции), линейные интегралы (длина дуги, работа, независимые от пути интегралы). и консервативные поля; поток через кривую), повторные интегралы (двойные и тройные интегралы; полярные, цилиндрические и сферические координаты; площади, объемы и масса; теорема Грина), интегралы потока (поток через поверхность; интегралы потока через поверхность, определяемую уравнением функция двух переменных, хотя цилиндры, сферы и параметризованные поверхности), теорема Гаусса о дивергенции и теорема Стокса.

Детали
Правила регистрации
Результаты обучения

Код	MATh3061
Академическая единица	Математика и статистика Академические операции
Кредитные баллы	6

Предпосылки: ?	(MATh2X21 или MATh2011 или MATh2931 или MATh2X01 или MATh2906) и (MATh2014 или MATh2X02) и (MATh2X23 или MATh2933 или MATh2X03 или MATh2907)
Сопутствующие товары: ?	Нет
Запреты: ?	MATh3961 или MATh3067 или MATh3021 или MATh3921 или MATh3022 или MATh3922

По завершении этого модуля вы сможете:

LO1 . решить систему линейных уравнений
ЛО2 . применить тест подпространства в нескольких различных векторных пространствах
ЛО3 . вычислить диапазон заданного набора векторов в различных векторных пространствах
LO4 . наборы тестов векторов на линейную независимость и зависимость
LO5 . найти базы векторных пространств и подпространств
ЛО6 . найти полином минимальной степени, который точно соответствует набору точек
LO7 . найти основания фундаментальных подпространств матрицы
LO8 . проверить, можно ли диагонализовать матрицу размера n × n, и если да, то найти ее диагональную форму
LO9 . применять диагонализацию для решения рекуррентных соотношений и систем ДУ
LO10 . расширили (с первого года) свои знания о векторах в двух и трех измерениях, а также о функциях многих переменных
LO11 . оценка некоторых линейных интегралов, двойных интегралов, поверхностных интегралов и тройных интегралов
LO12 . оценивать некоторые линейные интегралы, двойные интегралы, поверхностные интегралы и тройные интегралы
LO13 . понять физический и геометрический смысл этих интегралов
LO14 . знать, как использовать важные теоремы Грина, Гаусса и Стокса.

Схемы разделов

Схемы разделов будут доступны за 1 неделю до первого дня обучения соответствующей сессии.

Текущий год
Предыдущие годы

Поиск устройства

Название единицы поиска, код единицы или ключевые слова

Математика для машинного обучения | Coursera

Чему вы научитесь

Навыки, которые вы приобретете

Собственные значения и собственные векторы
Анализ главных компонентов (АГК)
Multivariable Calculus
Linear Algebra
Basis (Linear Algebra)
Transformation Matrix
Linear Regression
Vector Calculus
Gradient Descent
Dimensionality Reduction
Python Programming

About this Specialization

93,015 recent views

Для многих курсов более высокого уровня по машинному обучению и науке о данных вам нужно освежить в памяти основы математики — то, что вы, возможно, изучали раньше в школе или университете, но преподавали в другом контексте или не очень интуитивно, так что вы изо всех сил пытаетесь связать это с тем, как это используется в информатике. Эта специализация направлена на преодоление этого разрыва, позволяя вам быстрее освоить базовую математику, создать интуитивное понимание и связать его с машинным обучением и наукой о данных. В первом курсе линейной алгебры мы рассмотрим, что такое линейная алгебра и как она связана с данными. Затем мы рассмотрим, что такое векторы и матрицы и как с ними работать. Второй курс, Многомерное исчисление, основан на этом, чтобы посмотреть, как оптимизировать подходящие функции, чтобы получить хорошее соответствие данным. Он начинается с вводного исчисления, а затем использует матрицы и векторы из первого курса, чтобы посмотреть на подгонку данных. Третий курс, «Уменьшение размерности с помощью анализа главных компонентов», использует математику из первых двух курсов для сжатия многомерных данных. Этот курс имеет среднюю сложность и потребует знания Python и numpy. По окончании этой специализации вы получите необходимые математические знания, чтобы продолжить свое путешествие и пройти более продвинутые курсы по машинному обучению.

Выполняя задания по этой специализации, вы будете использовать приобретенные навыки для создания мини-проектов с помощью Python на интерактивных ноутбуках — легком в освоении инструменте, который поможет вам применить полученные знания для решения реальных проблем. Например, используя линейную алгебру для расчета рейтинга страниц в небольшом смоделированном Интернете, применяя многомерное исчисление для обучения собственной нейронной сети, выполняя нелинейную регрессию по методу наименьших квадратов, чтобы подогнать модель к набору данных, и используя анализ основных компонентов для определения характеристик набора данных MNIST.

Совместно используемый сертификат

Получите сертификат по завершении

100 % онлайн-курсы

Начните немедленно и учитесь по собственному графику.

Гибкий график

Устанавливайте и соблюдайте гибкие сроки.

Начальный уровень

Предварительный опыт не требуется.

Часов на выполнение

Приблизительно 4 месяца на выполнение

Предлагаемый темп 4 часа в неделю

Доступные языки

Английский

Субтитры: английский, арабский, французский, португальский (европейский), итальянский, вьетнамский, немецкий, русский, испанский, греческий 100% онлайн-курсы

Начните сразу и учитесь по собственному графику.

Гибкий график

Устанавливайте и соблюдайте гибкие сроки.

Новичок Уровень

Начальный уровень

Предварительный опыт не требуется.

Часов до завершения

Приблизительно 4 месяца до завершения

Рекомендуемый темп 4 часа в неделю

Доступные языки

Английский

Субтитры: английский, арабский, французский, португальский (европейский), итальянский, вьетнамский, немецкий, русский, испанский, греческий

Как работает специализация

Пройдите курсы

Специализация Coursera — это серия курсов, которые помогут вам овладеть навыком. Для начала зарегистрируйтесь на специализацию напрямую или просмотрите ее курсы и выберите тот, с которого вы хотите начать. Когда вы подписываетесь на курс, являющийся частью специализации, вы автоматически подписываетесь на полную специализацию. Можно пройти только один курс — вы можете приостановить обучение или отменить подписку в любое время. Посетите панель учащегося, чтобы отслеживать зачисление на курс и свой прогресс.

Практический проект

Каждая специализация включает практический проект. Вам нужно будет успешно завершить проект(ы), чтобы завершить специализацию и получить сертификат. Если специализация включает в себя отдельный курс для практического проекта, вам нужно будет пройти все остальные курсы, прежде чем вы сможете приступить к нему.

Получите сертификат

Когда вы закончите каждый курс и завершите практический проект, вы получите сертификат, которым сможете поделиться с потенциальными работодателями и своей профессиональной сетью.

Instructors

David Dye

Professor of Metallurgy

Department of Materials

340,028 Learners

2 Courses

Samuel J. Cooper

Associate Professor

Dyson School of Design Engineering

340,028 Учащиеся

2 Курсы

А. Фредди Пейдж

Научный сотрудник по стратегическому обучению