Что такое рациональное число? Ответ на webmath.ru
Содержание:
- Определение рационального числа
- Операции над рациональными числами
Рациональные числа появились как форма записи чисел, более «мелких», нежели натуральных.
Определение рационального числа
Определение
Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — это число которое может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где числитель$m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное. Множество рациональных чисел $Q$ обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в виде: $Q=\left\{\frac{m}{n} : m \in Z, n \in N\right\}$ . Числа вида $\frac{m}{n}$ — называют еще обыкновенными дробями. Если $m \lt n$, то дробь $\frac{m}{n}$ называется правильной, если $m \geq n$, то — неправильной.
Пример
Задание. Указать какие из записанных чисел являются рациональными:
$$-49 ; 17 ; \frac{14}{3} ; \frac{3}{4} ; 3,2 ; \sqrt[3]{11} ; \sqrt{7}$$
Решение.
Рациональными будут числа:
$\frac{14}{3} ; \frac{3}{4}$ а так же
$-49 ; 17 ; 3,2$ так как их можно представить в виде рациональных дробей —
$\frac{-49}{1} ; \frac{17}{1} ; \frac{32}{10}$ соответственно.
Ответ. $-49 ; 17 ; \frac{14}{3} ; \frac{3}{4} ; 3,2$
Если $m$ — нацело делится на $n$ или $n=1$, то рациональное число $\frac{m}{n}$ также будет целым числом; если при этом $m$ будет натуральным, то в таком случае дробь $\frac{m}{n}$ будет еще и натуральным числом. Поэтому для этих чисел имеет место такая цепочка вложений: $N \subset Z \subset Q$ .
Операции над рациональными числами
На множестве рациональных можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; которые вычисляются по следующим правилам.
Правило вычисления суммы двух рациональных чисел:
$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{m \cdot q+n \cdot p}{n \cdot q}$$
Правило вычисления разности двух рациональных чисел:
$$\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{m \cdot q-n \cdot p}{n \cdot q}$$
Правило вычисления произведения двух рациональных чисел:
$$\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}=\frac{m \cdot p}{n \cdot q}$$
Правило вычисления частного двух рациональных чисел:
$$\frac{m}{n} : \frac{p}{q}=\frac{m \cdot q}{n \cdot p}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.
Найти сумму, разность, произведение и частное чисел
$\frac{5}{7}$ и $\frac{2}{3}$
Решение. По правилу вычисления суммы двух рациональных чисел:
$$\frac{5}{7}+\frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 3+7 \cdot 2}{7 \cdot 3}=\frac{15+14}{21}=\frac{29}{21}$$
По правилу вычисления разности двух рациональных чисел:
$$\frac{5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 3-7 \cdot 2}{7 \cdot 3}=\frac{15-14}{21}=\frac{1}{21}$$
По правилу вычисления произведения двух рациональных чисел:
$$\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 3}=\frac{10}{21}$$
По правилу вычисления частного двух рациональных чисел:
$$\frac{5}{7} : \frac{2}{3}=\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 2}=\frac{15}{14}$$
Ответ.
$$\frac{5}{7}+\frac{2}{3}=\frac{29}{21} ; \frac{5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{1}{21}$$
$$\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{21} ; \frac{5}{7} : \frac{2}{3}=\frac{15}{14}$$
Больше примеров решений Операции с дробями онлайн
Читать дальше: что такое сумма чисел.
Конспект урока по математике по теме «Рациональные числа» 6 класс
- Подробности
- Просмотров: 2542
Конспект урока по математике по теме «Рациональные числа» 6 класс
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Рациональные числа
(Тема урока)
|
ФИО |
Айвазян Марина Михайловна |
|
|
Место работы |
школа |
|
|
Должность |
Учитель |
|
|
Предмет |
математика |
|
|
Класс |
6 |
|
|
Тема урока |
«Рациональные числа» |
|
|
Базовый учебник |
- Цель урока: изучение понятия «Рациональные числа»
- Задачи:
— обучающие: сформировать умения нахождения числа, умения решать задачи, навык умножения дробей и вычислительные навыки.
развивающие: содействовать развитию умственных операций (прием создания образа, перенос знаний, обобщение, сравнение, анализ, синтез), познавательной деятельности.
— воспитательные: сформировать ответственное отношение к учёбе, умения организации учебного труда, воспитать аккуратность, дисциплину.
3.Тип урока изучение нового материала.
4.Формы работы учащихся индивидуальная самостоятельная работа индивидуальная самостоятельная работа + фронтальная работа с учителем, индивидуальная самостоятельная работа + фронтальная работа в тетради, устная фронтальная работа
5.Необходимое техническое оборудование учебный класс
6.Структура и ход урока
СТРУКТУРА И ХОД УРОКА
|
№ |
Этап урока |
|
Деятельность ученика |
Время (в мин. |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1. |
Организация начала занятия |
Приветствие. Подготовка учащихся к работе на занятии. |
Полная готовность класса, включение учащихся в деловой ритм. |
1 мин. |
|
2. |
Анализ результатов контрольной работы №4 «Умножение и деление обыкновенных дробей» |
Раздает контрольные тетради для работы над ошибками. Знакомит учащихся с результатами контрольной работы. Указывает наиболее типичные ошибки. Вызывает к доске учащихся для решения заданий по устранению типичных ошибок |
Просмотр тетрадей с контрольной работой, разбор ошибок в контрольной тетради 2 -3 учащихся решают на доске. |
4 мин. |
|
4. |
Усвоение новых знаний и способов действий |
1) Оглашение целей и темы урока. 2) Подготовительная работа. Объяснение новой темы с помощью доски, учебника, основываясь на пройденный материал. Число которое можно записать в виде 14pq»> , где p и q – целые числа и q≠0, называют рациональным числом или дробью. Например: 1423″> , 14-65″> , 148-11″> , и — 14-7-7. «> Число p называют числителем, число q– знаменателем дроби 14pq»> Некоторые дроби считают равными. Равенство дробей устанавливают при помощи основного свойства дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое ,не равное нулю число , то получится равная ей дробь: 14pq»> 14=»> 14p nq n»> (1) где p, q ,n –целые числа, q≠0 ,n≠0. Переход от дроби 14pq»> к дроби 14p nq n»> называют приведением дроби к новому знаменателю, а обратный переход называют сокращением дроби: (2) 14 p nq n»> 14=»> 14pq»> Равенство (2) означает, что если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель n–целое ,не равное нулю число ,то дробь можно сократить на n. При этом получается дробь ,равная данной . Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них может быть получена из другой сокращением на общий множитель её числителя и знаменателя. Рациональное число 14pq»> есть: — Положительная дробь ,если pи q одного знака; — Отрицательная дробь , если p и q разных знаков; — Число нуль ,если p=0, а q≠0
Для любого целого числа p верно равенство 14p1″> = 14p»> Таким образом, любое целое число является рациональным числом. |
Фронтальная работа: устно выполняют задание, анализируют, участвуют в обсуждении. |
7 мин. |
|
3) Работа над новой темой. Демонстрирует наглядный материал в виде плаката к уроку для выполнения устного задания. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, Например 4 = 2 • 2 ; 6 = 2 • 3 ; НОК ( 4 , 6 ) = 2 • 2 • 3 = 12 ; НОЗ (наименьший общий знаменатель) = 12 ; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных
Устное задание. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю: 1412″> , 1423″> , 1434″> , 1456″> , 1478″> , 141112″> , 141516″> , 142324″> . |
||||
|
4) Организует навигацию самостоятельного рассмотрения учащимися нового понятия «Рациональные числа» и способа их нахождения. |
Индивидуальная самостоятельная работа: разбирают и усваивают понятие «Рациональные числа» и способ их нахождения. |
|||
|
5. |
Первичная проверка понимания |
Демонстрирует опорный конспект по новой теме. Рациональные числа. Вид: 14pq»> , p-Z, q-N q≠0. 14pq»> 14=»> 14p nq n»> 14.p nq n»> 14=»> 14pq»> Устанавливает правильность и осознанность усвоения нового учебного материала, выявляет пробелы и неверные представления и их коррекция. Далее конспект демонстрируется по мере необходимости. |
Фронтальная работа: участвуют в обсуждении новой темы, демонстрируя новые знания и умения. |
2 мин |
|
6. |
Закрепление знаний и способов действий |
Организует выполнение заданий, проверяющих понимание нового материала, корректирует действия учащихся. Задания: Сократите дробь, запишите результат в виде дроби с положительным знаменателем: 14-6-12″> , 14-721″> , 1436-42″> , 1445-85″> , 14-3377″> . |
Индивидуальная самостоятельная работа: выполняют пошаговый тест из 5 уровней (заданий). |
9 мин. |
|
7. |
Физкультминутка |
Проводит гимнастику для глаз. |
Прекращают работу, выполняют гимнастику для глаз. |
1 ми. |
|
8. |
Обобщение и систематизация знаний |
Демонстрирует опорный конспект по новой теме с комментариями, вопросами. Далее конспект демонстрируется по мере необходимости. |
Выполняют запись опорного конспекта в тетради, отвечают на вопросы |
2 мин. |
|
9. |
Повторение изученного материала |
Решить № 1178 на доске и в тетрадях. Решить № 1179 (а) на доске и в тетрадях. Решить № 1182 (а; в; д) на доске и в тетрадях.
Решить № 1195 (1; 2) самостоятельно с проверкой решения. |
Индивидуальная самостоятельная работа + фронтальная работа: выполняют задания из учебника в тетради и на доске, участвуют в обсуждении заданий |
15 мин. |
|
10. |
Подведение итогов занятия |
Демонстрирует на карточках и проговаривает вслух вопросы, выставляет оценки. Вопросы: 1) Какое число называют рациональным? 2) Является ли натуральное число рациональным? 3) Является ли целое число рациональным? 4) Является ли положительная дробь рациональным числом? 5) В каком случае дробь можно сократить? 6) В каком случае дробь положительна? 7) В каком случае дробь отрицательна? 8) Любую ли дробь можно привести к положительному знаменателю |
Отвечают на вопросы, выставляют оценки в дневник. |
3 мин. |
|
11. |
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению |
Демонстрирует на доске и проговаривает вслух домашнее задание: домашнее задание: изучить п. 37; решить № 1196 (а), № 1197 (а), №1199, выполняет инструктаж по выполнению, проверяет записи. |
Выполняют запись в дневнике. Сообщают об отсутствии вопросов по выполнению домашнего задания. |
1 мин. |
)
Формула для рациональных чисел — Список всех формул для рациональных чисел с примерами решения
Прежде чем изучать формулы для рациональных чисел, давайте вспомним, что такое рациональные числа. Рациональное число — это дробь, числитель которой — целое число, а знаменатель — целое число, отличное от нуля. Но все дроби не являются рациональными числами, поскольку числитель и/или знаменатель дроби также могут быть иррациональными числами.
Давайте подробно изучим формулы рациональных чисел в следующем разделе. Множество рациональных чисел обозначается Q и включает в себя:
- Набор натуральных чисел, N
- Набор целых чисел, Вт
- Набор целых чисел, Вт
- дробей целых чисел, знаменатель которых не равен нулю.
Что такое формула рациональных чисел?
Используя определение рационального числа, которое мы обсуждали в предыдущем разделе, рациональное число имеет вид \(\dfrac p q\), где ‘p’ и ‘q’ — целые числа, а q≠0. Таким образом, примерами рациональных чисел могут быть 2, -1, -3/2, 1/3, 0 и т. д. Мы оперируем рациональными числами точно так же, как оперируем дробями. Таким образом, формулы рациональных чисел:
\(\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} \,\,:\,\, p,q \in \mathbb{Z}; \,\, q\neq 0\ справа\}\)
\(\dfrac{x}{y} \pm \dfrac{m}{n}=\dfrac{x n \pm y m}{y n}\)
\(\dfrac{x}{y} \times \dfrac{m}{n}=\dfrac{x m}{y n}\)
\(\dfrac{x}{y} \div \dfrac{m}{n}=\dfrac{x n}{y m}\)
Примечание: Множество рациональных чисел замкнуто, ассоциативно и коммутативно относительно сложения и умножения.
Аддитивная идентичность 0 и мультипликативная идентичность 1 присутствуют в множестве рациональных чисел. Все рациональные числа имеют свои аддитивные инверсии в множестве рациональных чисел. Все рациональные числа, отличные от 0, имеют свои мультипликативные инверсии в множестве рациональных чисел.
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Закажите бесплатный пробный урок
Давайте посмотрим на использование формул рациональных чисел в следующих решенных примерах.
Пример 1. Определите, какие из следующих чисел являются рациональными, используя формулу рациональных чисел: -2, \(\sqrt{2}\), \(\dfrac 1 2\), -\(\dfrac 1 3\) и \(\dfrac {-1}{\sqrt 2}\).
Решение:
Данные числа могут быть записаны как:
-2 = \(\dfrac {-2} 1\), здесь оба -2 и 1 являются целыми числами, где 1 \(\neq \) 0.
\(\sqrt 2 \) = \(\dfrac {\sqrt 2} 1\), но здесь \(\sqrt 2\) НЕ является целым числом.
\(\dfrac 1 2\), здесь и 1, и 2 — целые числа, где 2 \(\neq \) 0.
-\(\dfrac 1 3\) = \(\dfrac {-1} 3\ ), здесь и -1, и 3 являются целыми числами, где 3 \(\neq 0\).
\(\dfrac {-1}{\sqrt 2}\), хотя это дробь, \(\sqrt 2\) НЕ является целым числом.
Таким образом, только -2, \(\dfrac 1 2\) и -\(\dfrac 1 3\) являются рациональными числами среди заданных чисел.
Ответ: -2, \(\dfrac 1 2\) и -\(\dfrac 1 3\) — рациональные числа.
Пример 2. Найдите сумму, разность (в заданном порядке), произведение и частное (в заданном порядке) следующих рациональных чисел: \(\dfrac 1 3\) и \(\dfrac 2 5\).
Решение: Мы найдем сумму, разность, произведение и частное, используя формулы рациональных чисел.
\( \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{5}= \dfrac{5}{15}+ \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}\)
\( \dfrac{1}{3}- \dfrac{2}{5}= \dfrac{5}{15}- \dfrac{6}{15} = -\dfrac{1}{15}\ )
\(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}= \dfrac{1 \times 2}{3 \times 5} = \dfrac{2}{15}\)
\(\dfrac{1}{3}\div \dfrac{2}{5}= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{6}\ )
Ответ: Сумма = \( \dfrac{11}{15}\), Разность = \( -\dfrac{1}{15}\), Произведение = \( \dfrac{2}{15}\ ) и Частное = \( \dfrac{5}{6}\).
Пример 3: Найдите пять рациональных чисел между 1 и 2?
Решение: Когда любые два целых числа выражаются в виде p/q, где q ≠ 0, это называется рациональным числом.
Давайте найдем решение шаг за шагом.
Представим 1 и 2 как рациональные числа:
1 можно записать как 10/10, а 2 можно записать как 20/10
Итак,
Рациональные числа между 10/10 и 20/10 или 1 и 2 {11/10, 12/10, 13/10, 14/10, 15/10, 16/10, 17/10, 18/10, 19/10}
Ответ: Следовательно, любые пять рациональных чисел от 1 до 2 равны 11/10, 12/10, 13/10, 14/10 и 15/10.
Часто задаваемые вопросы о формуле рациональных чисел
Что такое рациональные числа и формулы рациональных чисел?
Рациональное число — это число в форме p/q, где p и q — целые числа, а q не равно 0. Примеры рациональных чисел включают 1/2, 2/7, 1/9, 9/3 и так далее. Формула рациональных чисел применяется к рациональным числам.
Формулы рациональных чисел:
\(\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} \,\,:\,\, p,q \in \mathbb{Z}; \,\, q\neq 0\ справа\}\)
\(\dfrac{x}{y} \pm \dfrac{m}{n}=\dfrac{x n \pm y m}{y n}\)
\(\dfrac{x}{y} \times \dfrac{m}{n}=\dfrac{x m}{y n}\)
\(\dfrac{x}{y} \div \dfrac{m}{n}=\dfrac{x n}{y m}\)
В чем разница между рациональными и иррациональными числами?
Рациональное число — это число, которое можно представить как отношение двух целых чисел в форме p/q, где знаменатель (q) не должен быть равен нулю. Иррациональное число не может быть выражено в виде дробей. Рациональные числа являются завершающими десятичными знаками, тогда как иррациональные числа не заканчиваются. Примером рационального числа является 11/2, а число Пи(π) равно 3,141592653589…….
Проверить, является ли 0 рациональным числом, используя формулу рациональных чисел?
Да, 0 — рациональное число, потому что это целое число, и его можно записать в виде: p/q = 0/1.
Следовательно, 0 — рациональное число. Формула рациональных чисел применяется к 0,
Найдите рациональное число между 1 и 2, используя формулу рациональных чисел.
Рациональное число от 1 до 2 = (1+2)/2
= 3/2
Использование рациональных чисел для решения задач
ВведениеПредставления рациональных чиселИдентификация операций из проблемных ситуацийИспользование плана решения проблемКраткий обзор
В предыдущем ресурсе вы использовали целые числа и простые рациональные числа для идентификации операций из проблемных ситуаций. Ключевые слова важны, поскольку они могут помочь вам определить, какие операции необходимо выполнить в определенной ситуации.
Порядок операций очень важен. Просмотрите аббревиатуру PEMDAS, чтобы помнить о порядке операций.
В этом ресурсе вы сосредоточитесь на применении операций, включая порядок операций, для решения значимых реальных проблем. Вам также может понадобиться преобразовать рациональные числа из одной формы в другую.
Вы можете представлять рациональные числа разными способами. Напомним, что рациональное число — это число, которое можно представить как отношение двух целых чисел.
Например, дробь 24 представляет собой отношение целых чисел 2 и 4. Ее можно записать в виде дроби или десятичного числа.
Используйте приведенный ниже интерактив, чтобы узнать, как преобразовывать различные представления рациональных чисел. Нажмите на преобразование, которое вы хотите выполнить, чтобы просмотреть дополнительную информацию о том, как выполнить это преобразование.
В предыдущем ресурсе вы создали список ключевых слов, указывающих на определенные операции.
Используйте интерактив ниже, чтобы просмотреть эти слова-подсказки. Нажмите на символ операции, чтобы увидеть слова-подсказки.
Часто возникает проблемная ситуация, включающая более одной операции. Ключевые слова могут помочь вам определить операции, которые вам нужно выполнить. Ключевые слова также могут подсказать, в каком порядке следует выполнять операции.
- Как вы видели в предыдущем разделе, аббревиатура PEMDAS сообщает вам порядок операций, когда вы знаете выражение. Как проблемная ситуация говорит вам, в каком порядке вам нужно выполнять операции?
- Как круглые скобки помогают вам написать выражение, чтобы обеспечить соблюдение правильного порядка операций?
В предыдущем разделе вы решили текстовые задачи, чтобы определить, какие операции следует использовать. Как только вы успешно идентифицировали операции, вы увидели, как символы группировки можно использовать для написания выражений, чтобы решить проблему.
Не у каждой проблемы есть выражение, готовое к решению. Обычно вам придется написать это выражение самостоятельно. Использование плана решения проблем, подобного приведенному ниже примеру, поможет вам создать такое выражение.
Практика
Используйте то, что вы видели в этом ресурсе, чтобы ответить на следующие вопросы. Помните, что вам может понадобиться преобразовать рациональные числа в эквивалентную форму или использовать план решения проблем.