Свойства дробей: доказательство, примеры применения
Основное свойство рациональной дроби
Главное определение свойства дробей: при умножении или делении числителя, или знаменателя дроби получается дробное значение равное ей по значению. Иными словами, значение дроби остается неизменным.
Определение
Преобразование дробного значения к новому знаменателю – это вычисление заданной дроби, которая равна дроби, но с наиболее большим значением в числителе и знаменателем.
Для того чтобы привести любую дробь к новому значению знаменателя, необходимо числитель и знаменатель перемножить на простое действительное число.
Выполнять преобразования обыкновенных дробей без приведения их общему наименьшему знаменателю были бы невозможны.
Определение
Сокращение дроби – перечень основных действий, проводимых с дробями, которые приводят к преобразованию дробных значений, и приведению к наименьшему знаменателю.
При сокращении дроби необходимо числитель и знаменатель разделить на общее простое натуральное число. Иначе данное значение еще называют общим знаменателем.
Не все дроби можно сократить, так как значения в числителе и знаменателе могут быть несократимыми.
Это означает, что значение дроби не изменится.
Пример №1: Необходимо дробь \[\frac{1}{2}\] перемножить на одно и тоже число, которое равно 2.
Для этого составим и запишем следующее выражение: \[\frac{1}{2}=\frac{1 \times 2}{2 \times 2}=\frac{2}{4}\].
В ходе вычисления получаем дробь равную \[\frac{2}{4}\]. Согласно основному свойству дроби \[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\].
Пример №2:
Числитель и знаменатель дробного значения, которое равно \[\frac{4}{8}\] разделим на одинаковое значение равное 2.
Составим и решим выражение следующего вида: \[\frac{4}{8}=\frac{4 \times 2}{8 \times 2}=\frac{2}{4}\]. Проведя необходимые вычисления получаем ответ \[\frac{2}{4}\].
Снова применяя основное свойство дроби получаем, что \[\frac{2}{4}=\frac{4}{8}\].
Определение
Дополнительный множитель — численное значение, на которое можно умножить числитель и знаменатель дроби и получить число равное дроби.
Свойство сокращения дроби
Любое дробное выражение можно сокращать, тем самым преобразовывая его в более простое значение. Процесс сокращения дробного значения опирается на правило основного свойства дроби.
Определение
Сокращение дробного значения — это процесс деления числителя и знаменателя на значение, которое является общим для двух данных.
Пример №1:
Нужно заданное числовое значение равное сократить.
Для это необходимо выполнить следующие действия:
- все числовые значения данной дроби умножить на максимальное значение (общий числовой делитель) для значений 2 и 4.
- определяется наименьший общий делитель, для значений 2 и 4.
- числитель и знаменатель нужно разделить на НОД, равный 2.
\[\frac{2}{4}=\frac{2 \div 2}{4 \div 2}=\frac{1}{2}\]
После выполнения всех необходимых вычислений и преобразований, получаем сокращенную дробь \[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\].
При этом исходное значение не изменилось, так как сокращение дроби сопровождалось делением значения числителя и знаменателя простое действительное число.
Пример №2:
В данном примере подробно рассмотрим сокращение дроби \[\frac{20}{40}\]. Чтобы преобразовать дробь в более удобный вид, для последующих вычислений, определим наименьший общий делитель (НОД). Так как числитель равен 20, а знаменатель — 40, общим делителем будет число 20.
Запишем выражение: \[\frac{20}{40}=\frac{20 \div 20}{40 \div 20}=\frac{1}{2}\].
Из решения видно, что довольна не удобная дробь \[\frac{20}{40}\] благодаря сокращению, преобразовалась в упрощенный вид.
Пример №3:
В данном примере нужно сократить заданную дробь \[\frac{32}{36}\], которая имеет значения в числителе и в знаменателе, неудобные для последующих вычислений в задачах разного типа.
Как в предыдущих примерах нужно выполнить идентичные действия согласно основному свойству дроби. Для заданной дроби определим общий делитель. В данном случае это будет значение равное 4. Числитель и знаменатель нужно разделить на наименьший делитель \[\frac{32}{36}=\frac{32 \div 4}{36 \div 4}=\frac{8}{9}\].
Однако существуют случаи, когда сократить дроби невозможно. Так как в числителе может быть задано простое число, которое делится только на единичное значение или на само себя. Следовательно, они сокращаются.
В алгебре такие значения называются несократимыми.
К несократимым дробям относятся значения вида: \[\frac{1}{2} ; \frac{3}{4} ; \frac{3}{5} \frac{5}{7} ; \frac{7}{13}\].
Сокращать дроби можно и иным способом. Он заключается в том, чтобы пропускать и не разъяснять подробно на какое значение делится числитель и знаменатель.
Если рассмотреть значение дроби \[\frac{32}{36}\], то можно сделать вывод, что при упрощении дроби, ее разделили на число 4.
А именно: числитель и знаменатель привели к общему делителю. \[\frac{32}{36}=\frac{32 \div 4}{36 \div 4}=\frac{8}{9}\].
Более сокращенная версия будет выглядеть так, что часть выражения: \[\frac{32 \div 4}{36 \div 4}\] опускается. И окончательный вариант при сокращении будет иметь следующий вид: \[\frac{32}{36}=\frac{8}{9}\].
Основная суть данного способа — это делитель сохранять в памяти и не переписывать его. В вышеприведенном примере значение 4 не записывалось, а в конечном итоге был записан только окончательный ответ.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Сокращение дроби упрощенным способом
Важно выполнить следующие действия:
- Числитель нужно разделить на общий делитель.
- Полученное значение записывается около числителя, при этом значение числителя необходимо перечеркнуть.
- Аналогичным образом нужно поступить и со знаменателем.
- Следующим действием, нужно все вычисленные значения собрать и получить новое значение дроби.
Выполнив все пункты алгоритма, можно сделать вывод, что произошло преобразование одной дроби в другую. Значения составленной дроби равно значению заданной, согласно основным правилам при решении дробных значений.
Существует способ сокращения дробей, который предварительно нужно разложить на простые числа значение числителя и знаменателя.
Пример №4:
Нужно сократить заданную дробь: \[\frac{9}{27}\]. Для этого изначально разложим на простые множители значение которое задано в числителе и знаменателе. Составим и запишем следующее выражение: .\[\frac{9}{27}=\frac{3 \times 3}{3 \times 3 \times 3}\].
Затем нужно применить второй упрощенный способ сокращения дроби. В числителе и в знаменателе определяем по одному простому числу и затем делим все множители на наименьший общий делитель для этих значений.
Затем нужно сократить значение равное трем в числителе и знаменателе.
Для этого нужно значение три разделить на НОД. Выполнив все вычисления получим и запишем выражение: \[\frac{9}{27}=\frac{3}{3 \times 3}\]
Следующим действие снова сократим числитель и знаменатель на три и получим выражение: \[\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\].
Так как больше сокращать не имеет смысла, получаем окончательное выражение равное \[\frac{1}{3}\].
Значение три в знаменателе сократить нельзя, так как знаменатель необходимо сокращать совместно с числителем, а значение числителя равно единице.
Окончательный ответ будет выглядеть так: \[\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\].
Когда необходимо применять основные правила и свойства дробей
- Основное свойство нужно применять в тех случаях, когда дробное число необходимо привести к наименьшему значению для знаменателя и числителя.
- Данное свойство играет огромную роль при сокращении дробей и приведения из более простому и удобному виду.
- Основное свойство дробей применяется только в случаях когда дроби являются сократимыми в числителе и в знаменателе нет простых чисел следующего типа: \[\frac{1}{3}\].
Калькулятор сокращения дробей
Пи равно трём. Часть II.
См. также Часть I
UPDATE 07-05-2010:
См. также Часть III. Предел функции
END OF UPDATE.
«приближённо можно оценивать длину окружности по формуле 6.28R»
http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_21.html
На этом же подготовительном отделении были естественно задачи с ответами. Какого же было моё удивление, когда вместо того чтобы обнаружить ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$, скажем в качестве ответа, чему равен $\sin{\frac{\Pi}{3}}$, я обнаружил ответ $0.866$.
Ниже я приведу реконструкцию моего диалога с другим учеником (Д).
Ниже есть продолжение.
Вы не видете математические формулы в блоге?
Я: В книжке ответ не правильный, правильный ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а не $0.866$.
Другой ученик посмотрел на меня не понимающими глазами и сказал:
Д: Ну, а чему равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$?
Я несколько опешил, и сказал:
Я: Что значит чему равно, этому же и равно.
Другой ученик подумал не много и выдал:
Д: Я не понял, что ты там говорил про иррациональные числа… но чтобы узнать, чему равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, ты берёшь калькулятор и считаешь.
Я выпал в осадок. Всё же, я предпринял последнюю безуспешную попытку:
Я: Сколько знаков в твоём калькуляторе?
Д: Восемь.
Я: А чтобы «записать» $\sqrt{3}$ тебе нужно гораздо больше.
Д: Не понимаю тебя.
Я: Давай я тебе кое-что покажу.
Беру у него из рук калькулятор.
Я: Возьмём тройку. Если я посчитаю корень $n$-ой степени из $3$, а потом возведу результат в степень $n$ я должен получить $3$, так?
Д: Так.
Я: И не важно, чему равно $n$, хоть сто, хоть двести, хоть сколько.
Д: Ну, да. Не понимаю, к чему ты клонишь.
Я: Вот смотри, вводим тройку и начинаем вычислять квадратный корень… Теперь из результата вычисляем опять квадратный корень.
..И опять…
…Я нажимаю и нажимаю на квадратный корень, числа всё уменьшаются и уменьшаются, приближаясь к единице справа… Пока не получил, что-то вроде $1.0000001$.
Я: А теперь смотри, я нажимаю ещё раз на квадратный корень — ответ не меняется. Я пытаюсь возвести это число в квадрат — ответ не меняется. Я не могу восстановить назад тройку!
Д: Странно, не понимаю.
Я: Всё дело в том, что на каждом этапе вычисления мы теряли те цифры, которые не вместились в калькулятор, так как квадратный корень был вычислен только приближённо, так как корень из трёх число иррациональное, а калькулятор показывает только фиксированное количество знаков после запятой, т.е. рациональные числа…
UPDATE 04-03-2011:
Как мне было сказано в комментариях, последняя моя фраза может ввести в заблуждение, поэтому сделаю здесь разъяснение. Я не утверждаю, что калькулятор может показать все рациональные числа, я говорю лишь о том, что всё, что показывает калькулятор есть рациональное число.
{100}}$.
Эти примеры демонстрируют два «типа» чисел «недоступные» для калькулятора. Периодические десятичные дроби с периодом отличным от нуля ($\frac{1}{3}$=0,33333…=0,(3) ноль целых три в периоде, т.е. имеет период равный 3) и числа с большим абсолютным значением.
END OF UPDATE
Калькулятор умножения и деления рациональных выражений
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.2002 
10.2006 
10.2002 
07.2001 
02.2003 
Решатель комплексных рациональных выражений
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
