Рациональные числа натуральные: Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные

N⊂Z⊂Q (множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел).

Введем понятие разности множеств. Разностью множеств А и В является такое множество, элементы которого принадлежат А, но не принадлежат В. Например, разностью множеств целых и натуральных чисел будет множество, состоящее из целых отрицательных чисел и нуля.

Всякое рациональное число можно представить в виде дроби mn, где m – целое число, а n – натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами. Например, 23=46=1015 или 5=51=153.

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем, которая является несократимой. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель 1.

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим дробь 14 в виде десятичной дроби. Для этого разделим ее числитель на знаменатель. Получим 0,25.

Попробуем представить в виде десятичной дроби дробь 837. Получим 0,216216216…

Сколько бы мы не продолжали деление, мы не получим в остатке ноль. В частном же будет повторяющаяся последовательность чисел после запятой. Такая дробь называется бесконечной десятичной периодической дробью. Повторяющаяся последовательность записывается в скобках: 0,(216) и читается это так: «нуль целых, двести шестнадцать в периоде».

357,025555.

триста пятьдесят семь целых, 2 сотых и 5 в периоде.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Если знаменатель дроби можно разложить на множители, которые представляют собой степени чисел 2 или 5, то такую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

1.1 Что такое числа? Рациональные числа

У нас есть много видов чисел, но все они начинаются с натуральных чисел , которые \(1, 2, 3\) и так далее.

Если вы посчитаете свои цифры и пальцы ног, вы придете к \(20\) (большинство из вас), и это натуральное число. Мы можем в нашем воображении считать, что эти натуральные числа продолжаются вечно, после миллиона, миллиарда, триллион и так далее.

Какие операции?

Есть сложения, вычитания, умножения и деления .

Вы можете сложить два натуральных числа вместе, и вы всегда получите другое натуральное число, как в известный факт, что один и один два.

С вычитанием дело обстоит сложнее. Если вычесть число, например число \(5\), из само по себе, вы получаете что-то новое, что-то, что вовсе не является натуральным числом. Мы называем это числом \(0\) или ноль . И если вы вычтете число, снова скажем \(5\), из меньшего числа, скажем \(3\), тогда вы получаете нечто новое, а именно отрицательное целое число, которое в данном случае равно \(-2\), называемое

Вы можете использовать числа, чтобы подсчитать количество копеек, которые у вас есть в кармане. Таким образом, у вас может быть пять пенни в твой карман. Ноль — это количество пенни, которое у вас было бы, если бы в вашем кармане была дырка, а все те, что вы положили в сразу выпал снова.

Теперь предположим, что вы идете в магазин, и владелец магазина достаточно глуп, чтобы отдать вам должное. Предположим далее, что у вас было пять копеек, и вы купили какую-то дорогую вещь стоимостью 11 копеек. Тогда отрицательное целое, \(-6\), представляет собой тот факт, что у вас не только нет пенни, но если бы вы получили еще шесть, вы были бы обязаны сдайте их, чтобы заплатить за этот предмет. Шесть – это количество пенни, которое вы должны были бы своему кредитору, если бы заплатить ему ваши \(5\) пенни, и он отдал вам предмет, а остальные деньги одолжил вам.

Таким образом, чтобы приспособиться к вычитанию и иметь возможность представлять «сумму долга» числами, мы расширяем естественный числа, включающие числа \(0\) и отрицательные значения натуральных чисел. Весь этот набор цифр, положительные натуральные числа, их отрицательные значения и 0 называется набором из целых чисел и обозначается буквой \(Z\).

Мы можем взять любые два члена \(Z\) и добавить их или вычесть их и в любом случае получить еще один член \(З\).

Я все это знаю, но я очень заржавел в реальных сложениях и вычитаниях. Я ошибаюсь в большинстве время я пытаюсь сделать их.

Большинство людей делают ошибку примерно один раз из десяти сложений или вычитаний однозначных цифр, которые они совершают. выполнять. Это означает, что если они добавляют или вычитают многозначные числа, например \(1234123\) и \(5432121\), у них есть отличный шанс получить неправильный ответ.

К счастью, сегодня это не имеет значения. Вы можете легко проверить сложения и вычитания на калькуляторе или в электронной таблице и посмотрите, получите ли вы один и тот же ответ несколько раз. К сожалению, я обычно делаю ошибка при вводе чисел для сложения или вычитания, или сложения вместо вычитания, или выполнения чего-либо еще в равной степени абсурд. Все, что это означает сегодня, это то, что я должен сделать каждый расчет по крайней мере три раза, чтобы иметь разумное шанс на правильность. Правда, количество моих усилий в три раза больше, чем могло бы быть, но в три раза очень мало усилия по-прежнему очень мало усилий.

Если у вас есть эта проблема, вам лучше всего добавлять или вычитать в электронной таблице. Тогда вы можете посмотреть на свой вычисления и использовать свое суждение относительно того, имеет ли это смысл. Вот несколько правил проверки на смысл.

Когда вы добавляете положительные числа, результат должен быть больше, чем оба из двух «сумм» , которые вы добавили. Если одно из чисел положительное, а другое отрицательное, величина (значение, если вы игнорируете любое знак минус) суммы должен быть меньше, чем величина большего из двух, а знак должен быть то из слагаемого с большей величиной.

Кроме того, младшие значащие цифры ваших чисел должны правильно складываться или вычитаться, если вы игнорируете остальные. Для например, если вы вычтете \(431\) из \(512\), то последняя цифра ответа должна быть \(1\), что равно \(2\) минус \(1\).

Если проверка выдает что-то подозрительное, повторите попытку вычислений, проявляя большую осторожность, особенно с входными данными.

Операция вычитания 5 из другого числа, отменяет операцию добавления \(5\) к другой номер. Таким образом, если вы выполняете обе операции, прибавляете пять, а затем вычитаете пять или наоборот, вы снова откуда вы начали: \(3 + 5 — 5 = 3\).

Сложение \(5\) и вычитание \(5\) считаются обратными операциями друг к другу из-за this property:

Кстати, почему \(0\) не является натуральным числом?

Не имею представления. Так люди определяли натуральные числа давным-давно, и никто особо не заботился об их изменении. это определение.

Еще в начальной школе вы также столкнулись с понятием умножения на . Это что-то вы можете сделать с двумя целыми числами, которые дадут третье, называемое их произведением . Ты был (я надеюсь) вынужден выучить таблицу умножения, которая дает произведение каждой пары однозначных чисел и затем научился использовать эту таблицу для умножения чисел с большим количеством цифр.

Я никогда не был хорош в этом .

В старину нужно было уметь делать эти вещи, сложения и умножения, хотя бы для того, чтобы уметь обращаться с деньги и совершать обычные покупки, не подвергаясь мошенничеству.

Теперь вы можете использовать калькулятор или компьютерную таблицу, чтобы делать эти вещи, если вы знаете, как вводить целые числа и , чтобы нажать кнопки \(+\) или \(-\) или \(*\) и = соответственно.

( К сожалению, этот факт заставил педагогов поверить, что им не нужно заставлять учеников проходить нудное изучение таблицы умножения.

Это наносит большой вред тем, кто этого не делает, из-за того, как работает наш мозг. оказывается что чем больше времени мы тратим на любую деятельность в детстве и даже во взрослом возрасте, тем больше площадь мозга получает то, что посвящено этой деятельности, и чем больше она становится, тем лучше мы справимся с этой деятельностью.

Таким образом, вы тратите меньше времени на изучение таблицы умножения, что приводит к уменьшению площади вашего мозг посвящен вычислениям, что препятствует вашему дальнейшему математическому развитию.

Ваши математические способности будут прямо пропорциональны количеству времени, которое вы посвящаете математике. думаю об этом. И это зависит от вас. )

Как только мы познакомились с умножением, возникает естественный вопрос: как мы можем отменить умножение? Что обратная операция, скажем, к умножению на \(5\), так что умножение, а затем выполнение этого равносильно выполнению ничего? Эта операция называется деление. Итак, вы научились делить целые числа. операция, обратная умножению на \(x\) — это деление на \(x\) , (если только \(x\) не равно \(0\)).

Теперь возникает проблема: если мы попытаемся разделить \(5\) на \(3\), мы не получим целое число. Итак, как мы и должны были расширить натуральные числа до целых, чтобы приспособить операцию вычитания, мы должны расширить наши числа из целых чисел включают также соотношения целых чисел , например \(\frac{5}{3}\), если мы хотим сделать деление определено для каждой пары ненулевых целых чисел. И мы хотим иметь возможность определять разделение, где бы мы ни находились. может.

Отношения целых чисел называются рациональными числами, и вы получаете единицу для любой пары целых чисел, если второе целое число, называемое знаменателем, не равно нулю. Соотношения типа \(\frac{5}{3}\), которые сами по себе не являются целыми числами, называется дроби.

После того, как мы ввели дроби, мы хотим предоставить правила их сложения и вычитания, а также правила умножения. и разделив их. Это начинает усложняться, но, к счастью для нас, у нас есть калькуляторы и электронные таблицы. которые могут делать все это без каких-либо жалоб, если у нас хватит ума ввести то, что мы хотим сделать.

Есть одна вещь, которую мы не можем делать с нашими рациональными числами, — делить на \(0\). Дивизия, в конце концов, является действием отмены умножения. Но умножение любого числа на 0 дает результат \(0\). Нет способа верни из этого произведения \(0\) то, на что ты умножил \(0\), чтобы получить его.

Конечно, складывать и умножать (а также вычитать и делить) дроби сложнее, чем делать это для целые числа. Чтобы умножить, скажем, \(\frac{a}{b}\) на \(\frac{c}{d}\), новый числитель является произведением старого единицы (а именно \(ac\)) и новый знаменатель является произведением старых (\(bd\)), поэтому произведение равно \(\frac{ac}{bd}\): \(\frac{a}{b}*\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\).

Обратная операция умножения на \(\frac{c}{d}\) — это умножение на \(\frac{d}{c}\), и эта обратная операция по определению операция деления на \(\frac{c}{d}\). Произведение любого числа на обратное всегда равно \(1\). Это означает, что \(\frac{d}{d}\) всегда \(1\) для любого \(d\), отличного от \(0\).

Таким образом, \(\frac{a}{b}\), деленное на \(\frac{c}{d}\), равно \(\frac{a}{b}\), умноженному на величину, обратную \(\frac{ CD}\) что равно \(\frac{a}{b}\), умноженному на \(\frac{d}{c}\). Ответ: \(\frac{ad}{bc}\).

Добавление немного сложнее. Понятие сложения можно применять как к объектам, так и к числам в следующий смысл. Мы знаем, например, что \(3+5\) равно \(8\). Значит, если у нас есть 3 редиски и выкопаем \(5\) больше, у нас будет \(8\) редиски (при условии, что никто не ел первую \(3\)). И то же самое верно для любые другие предметы вместо редиски. Это говорит нам, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Таким образом \(\frac{3}{a} + \frac{5}{a}\) — это \(\frac{8}{a}\), в котором \(\frac{1}{a}\) заменено редька. Мы применяем общее правило добавления подобных вещей к объекту \(\frac{1}{a}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно сначала изменить их так, чтобы знаменатели были одинаковыми, затем добавьте числители, как вы добавляли числа. Самый простой способ сделать это — сделать новый знаменатель продукт старых. Таким образом, чтобы найти \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\), вы сначала умножаете первый член на \(\frac{d}{d}\), а второй на \(\frac{b}{b}\), получив \(\frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd} \) и ответ \(\frac{ad+cb}{bd}\). Вы можете сделать то же самое для вычитания.

Вас, вероятно, заставляли выносить за скобки общие члены в числителе и знаменателе в этом ответе в школе, но вам не нужно делать это при вводе ответа в электронную таблицу, что значительно усложняет сложение дробей легче, когда вы используете электронные таблицы.

Подсчет рациональных чисел. Первое знакомство со сравнением… | by Haris Angelidakis

Haris Angelidakis

Читать

·

·

Счет – это одно из первых понятий, которым нас учат в начальной школе. Сначала учимся считать все подряд «до 10», затем «до 20» и так далее. Мы часто используем пальцы, чтобы вести счет. И в какой-то момент это щелкает, и тогда мы больше никогда не сомневаемся в концепции счета. Мы завоевали его. Теперь нам удобно отвечать на такие вопросы, как «сколько человек находится в этой комнате», «сколько у вас братьев и сестер» и т. д.

В этой статье мы вернемся к счету и попробуем копнуть немного глубже. В частности, мы зададим следующий вопрос:

Размер множества рациональных чисел больше, чем размер множества натуральных чисел?

[Отказ от ответственности: мы не будем давать очень формальное определение, но, надеюсь, последующее даст вам некоторое представление о ключевых понятиях, связанных с формальным определением счета.]

Всякий раз, когда нам нужно посчитать, скажем, набор предметов, мы чаще всего делаем перечисление. Это означает, что мы присваиваем каждому элементу различное натуральное число, начиная с числа 1.

Например, если мы видим перед собой белую, синюю и красную машины и хотим подсчитать, сколько машины перед нами, то мы можем проделать в уме следующее перечисление:

белая машина: 1-я машина — синяя машина: 2-я машина — красная машина: 3-я машина.

Итак, мы знаем, что перед нами 3 машины.

Разбивая процесс, который мы только что описали, мы неявно определили биекцию между набором автомобилей, которые мы видим, и набором {1, 2, 3}:

• белая машина → 1
• синяя машина → 2
• красная машина → 3

И это основная идея, лежащая в основе подсчета. Цитируя Википедию,

В математике суть подсчета множества и нахождения результата n состоит в том, что он устанавливает однозначное соответствие (или биекцию) множества с множеством чисел {1, 2 , …, и }.

Неформально набор чисел {1,…, n } можно рассматривать как прототип, который «определяет», как «выглядит» набор из n элементов.

Хотя это может показаться слишком педантичным, не добавляя многого к разговору, это ключевая идея, которая позволяет нам понять и расширить концепцию подсчета, как мы скоро увидим.

«Должно быть, потребовалось много веков, чтобы обнаружить, что парочка фазанов и пара дней были двумя экземплярами числа 2». — Бертран Рассел

Прочитав все вышеизложенное, любознательный читатель может подумать, можно ли такую ​​идею счета с помощью биекций распространить на бесконечные множества, такие как натуральные числа.

Непосредственное наблюдение в этом направлении состоит в том, что набор натуральных чисел не позволяет установить биекцию с {1, 2, …, n } для любого натурального числа n ; цитируя Википедию, «множества, не имеющие таких биекций, называются бесконечными множествами, а те множества, для которых такая биекция существует (для каких-то n ) называются конечными множествами».

Тем не менее, можно попытаться доказать, что два бесконечных множества A и B имеют «один и тот же размер», если существует биекция от A до B . И это действительно естественный способ рассуждать о размерах бесконечных множеств.

Так как мы использовали множество {1,…, n } в качестве прототипа для множеств из n элементов, для любого натурального числа n теперь мы будем использовать множество N = {0, 1, …} всех натуральных чисел в качестве нашего прототипа. Сначала поставим следующий вопрос:

Является ли набор целых чисел больше, чем набор натуральных чисел?

На такой вопрос можно ожидать сразу две реакции:

1. Они оба имеют бесконечный размер, так что же мы пытаемся сравнить??
2. Очевидно, что множество целых чисел строго больше, поскольку множество натуральных чисел является его строгим подмножеством.

Вопрос, поднятый в (1), уже обсуждался выше. В самом деле, мы не можем надеяться провести подсчет точно так же, как мы это делали для конечных множеств, но мы все же можем сравнивать два множества, проверяя, существует ли взаимное соответствие между их элементами.

Что касается вопроса, поднятого в (2), хотя и верно, что натуральные числа составляют строгое подмножество целых чисел, оказывается, что они не более чем целые числа в следующем смысле.

Теорема: существует биекция между натуральными и целыми числами.

Доказательство. Мы явно построим биекцию между двумя множествами. Пусть N обозначает множество натуральных чисел, а Z обозначает множество целых чисел. Точнее, определим функцию f: N → Z такое, что для каждого целого числа z существует натуральное число n такое, что f(n) = z .

Функция f определяется следующим образом:

• Для каждого четного натурального числа n = 2k , где k — натуральное число, положим f(n) = f(2k) = k .
• Для каждого нечетного натурального числа n = 2k-1 , где k — натуральное число, положим f(n) = f(2k-1) = -k .

Приведенная выше функция предлагает следующий «порядок» целых чисел:

0 → 0

1 → -1

2 → 1

3 → -2

4 → 2 900 05

5 → -3

6 → 3

и т. д.

Легко проверить, что приведенная выше функция отображает каждого натурального числа в некоторое целое число. Более того, для любого положительного неотрицательного целого числа k существует уникальных натуральное число n = 2k , которое отображается на него, и аналогично, для любого отрицательного целого числа k существует уникальное натуральное число n = -(2k+1) , которое отображается на него. Таким образом, функция f действительно биекция.

Мы заключаем, что множество натуральных чисел и множество целых чисел имеют одинаковый размер!

Приведенный выше результат показывает, что когда мы рассматриваем бесконечные множества, мы должны быть осторожны и не использовать нашу интуицию в отношении счета, интуицию, которую мы, скорее всего, развили, имея дело с конечными множествами.

Напоминаем, что набор рациональных чисел Q — это набор всех чисел, которые можно представить как частное p / q двух целых чисел, где p и q — целые числа и q не равно нулю.

На первый взгляд, множество рациональных чисел выглядит значительно больше, чем множество натуральных чисел, поскольку оно не только содержит его, но и содержит гораздо больше чисел в том смысле, что они могут приближать любое действительное число с произвольной точностью. . Таким образом, потенциально можно предположить, что они должны быть больше, чем натуральные числа, или, говоря более формально, что между натуральными и рациональными числами нет биекции.

Теперь мы докажем несколько парадоксальную теорему, которая показывает, что множество рациональных чисел оказывается того же размера, что и множество натуральных чисел!

Теорема: существует биекция между натуральными и рациональными числами.

Доказательство. Сначала формально определим множество Q рациональных чисел:

Q = { p / q : p — целое число и q — положительное натуральное число}.

Обратите внимание, что в приведенном выше определении мы требуем, чтобы знаменатель был строго положительным. Легко видеть, что это без ограничения общности, так как число p / (-q) равно (-p) / q , и, таким образом, приведенное выше множество действительно описывает множество рациональное число.

Для упрощения построения разобьем Q на Q₊ и Q₋ и множество {0}, где Q₊ содержит все положительные рациональные числа и Q₋ содержит все отрицательные рациональные числа. Сначала мы покажем, что существует биекция между множеством натуральных чисел и Q₊ . Это сразу означает, что существует биекция между набором натуральных чисел и Q₋ , поскольку для каждого положительного числа x >0 в Q₊ , -x находится в Q₋ , и наоборот . Затем мы используем прием, который мы использовали для перечисления целых чисел, а именно, мы «интерполируем» между положительными и отрицательными рациональными числами одно за другим; мы также добавляем 0 (ноль) в качестве первого элемента последовательности, и это даст нашу окончательную биекцию.

Итак, основное внимание мы уделяем построению биекции между множеством натуральных чисел и Q₊ . Для этого рассмотрим двумерную целочисленную сетку на положительном ортанте. Каждое положительное рациональное число можно записать как p / q , где p и q — положительные натуральные числа. Запись этого рационального числа в виде пары координат ( p,q ) показывает, что мы можем описать все такие числа точками пересечения следующей двумерной сетки.

Например, рациональное число 1/2 описывается точками (1,2), (2,4), (3,6) и т. д. Это показывает, что в сетке существует более одной точки, описывающей 1 /2. Важным свойством, которое нам нужно, является наличие хотя бы одной таких точек в сетке.

Теперь пронумеруем точки сетки следующим образом. Мы начинаем с (1,1) и движемся по диагоналям, которые идут снизу слева вверх справа, как показано на рисунке ниже, где нам нужно только следовать зеленой линии.

Это позволяет нам записать все точки приведенной выше сетки в виде последовательности; это означает, что каждой точке сетки соответствует индекс (т. е. натуральное число). Первые несколько элементов последовательности следующие:

• 1 → (1,1)
• 2 → (1,2)
• 3 → (2,1)
• 4 → (1,3)
• 5 → (2,2)
• 6 → (3,1)
• 7 → (1,4)
• 8 → (2,3)

и т. д.

Таким образом, для получения фактического перечисления из набора Q₊ , мы следуем зеленой линии, как указано выше, и всякий раз, когда мы встречаем точку ( p , q ), такую, что число p / q уже было описано с другой точкой сетки, которая зеленая линия уже прошла, просто игнорируем ее и продолжаем. Это означает, что мы создадим последовательность, содержащую все числа из Q₊ , или, другими словами, мы только что произвели биекцию между положительными натуральными числами и множеством В₊ !

Пусть f обозначает эту последовательность. В качестве уточнения и следуя зеленой линии выше, это дает

• f (1) = 1/1 = 1
• f (2) = 1/2
• f (3) = 2 /1 = 2
• f (4) = 1/3
• ̶f̶(̶5̶)̶ ̶=̶ ̶2̶/̶2̶ ̶=̶ ̶1̶ (поскольку число 1 уже появилось в нашей последовательности)
• ф (5) = 3/1 = 3
• f (6) = 1/4
• f (7) = 2/3

и т. д.

Теперь мы можем сразу получить нумерацию множества Q₋ , установив

g ( n 900 98 ) = — ф ( n ), для каждого натурального числа n > 0.

Теперь мы готовы определить биекцию h между натуральными и рациональными числами! Мы просто устанавливаем:

• h (0) = 0,
• h (2 n ) = f ( n ), для каждого натурального числа n > 0,
• h (2 n -1) = г ( 90 097 н ) = — ф ( n ), для каждого натурального числа n > 0.

Учитывая приведенное выше обсуждение, легко проверить, что приведенная выше функция h действительно является биекцией. А именно, для каждого натурального числа n существует единственное рациональное число h ( n ), которое отображается в него, и, наоборот, для каждого рационального числа p / q существует натуральное число n , для которого h ( n ) = p 9009 8 / кв . Мы сделали!

Надеюсь, вы получили первое представление о том, как вести счет в бесконечных множествах и сравнивать размеры таких множеств. Что наиболее важно, большая часть нашей интуиции, разработанной для конечных множеств, «ломается» при работе с бесконечностью, поэтому нужно быть очень осторожным и непредубежденным, когда имеешь дело с бесконечностью!

Существует очень богатая теория подсчета бесконечных множеств, которая показывает, что существует множество различных видов бесконечности, когда дело доходит до подсчета множеств, но это выходит за рамки данной статьи.