Разложение арктангенса: Курс высшей математики, Т.1

Содержание

Курс высшей математики, Т.1

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. — 479 с.

Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей.

Для студентов университетов и технических вузов.

3. Величины постоянные и переменные.
4. Промежуток.
5. Понятие о функции.
6. Аналитический способ задания функциональной зависимости.
7. Неявные функции.
8. Табличный способ.
9. Графический способ изображения чисел.
10. Координаты.
11. График и уравнение кривой.
12. Линейная функция.
13. Приращение. Основное свойство линейной функции.
14. График равномерного движения.
15. Эмпирические формулы.
16. Парабола второй степени.
17. Парабола третьей степени.
18. Закон обратной пропорциональности.
19. Степенная функция.
20. Обратные функции.
21. Многозначность функции.
22. Показательная и логарифмическая функции.
23. Тригонометрические функции.
24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции.
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
25. Упорядоченное переменное.
26. Величины бесконечно малые.
27. Предел переменной величины.
28. Основные теоремы.
29. Величины бесконечно большие.

30. Монотонные переменные.
31. Признак Коши существования предела.
32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью.
33. Примеры.
34. Непрерывность функции.
35. Свойства непрерывных функций.
36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.
37. Примеры.
38. Число е.
39. Недоказанные предложения.
40. Вещественные числа.
41. Действия над вещественными числами.
42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела.
43. Свойства непрерывных функций.
44. Непрерывность элементарных функций.
ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
45. Понятие о производной.
46. Геометрическое значение производной.
47. Производные простейших функций.
48. Производные сложных и обратных функций.
49. Таблица производных и примеры.
50. Понятие о дифференциале.
51. Некоторые дифференциальные уравнения.
52. Оценка погрешностей.
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
53.

Производные высших порядков.
54. Механическое значение второй производной.
55. Дифференциалы высших порядков.
56. Разности функций.
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
57. Признаки возрастания и убывания функций.
58. Максимумы и минимумы функций.
59. Построение графиков.
60. Наибольшее и наименьшее значения функций.
61. Теорема Ферма.
62. Теорема Ролля.
63. Формула Лагранжа.
64. Формула Коши.
65. Раскрытие неопределенностей.
66. Различные виды неопределенностей.
§ 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных.
69. Производные сложных и неявных функций.

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ
70. Дифференциал дуги.
71. Выпуклость, вогнутость и кривизна.
72. Асимптоты.
73. Построение графиков.
74. Параметрическое задание кривой.
75. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
76. Особые точки кривых.
77.

Элементы кривой.
78. Цепная линия.
79. Циклоида.
80. Эпициклоиды и гипоциклоиды.
81. Развертка круга.
82. Кривые в полярных координатах.
83. Спирали.
85. Овалы Кассини и лемниската.
ГЛАВА III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
86. Понятие о неопределенном интеграле.
87. Определенный интеграл как предел суммы.
88. Связь определенного и неопределенного интегралов.
89. Свойства неопределенного интеграла.
90. Таблица простейших интегралов.
91. Правило интегрирования по частям.
92. Правило замены переменных. Примеры.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
94. Основные свойства определенного интеграла.
95. Теорема о среднем.
96. Существование первообразной функции.
97. Разрыв подынтегральной функции.
98. Бесконечные пределы.
99. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
100. Интегрирование по частям.
§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
101.

Вычисление площадей.
102. Площадь сектора.
103. Длина дуги.
104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям.
105. Объем тела вращения.
106. Поверхность тела вращения.
107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.
108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций.
109. Формула касательных и формула Понселе.
110. Формула Симпсона.

111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом.
112. Графические способы.
113. Площади быстро колеблющихся кривых.
§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм.
116. Интегрируемые функции.
117. Свойства интегрируемых функций.
ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
118. Понятие о бесконечном ряде.
119. Основные свойства бесконечных рядов.
120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
121. Признаки Коши и Даламбера.

122. Интегральный признак сходимости Коши.
123. Знакопеременные ряды.
124. Абсолютно сходящиеся ряды.
125. Общий признак сходимости.
§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
126. Формула Тейлора.
127. Различные виды формулы Тейлора.

128. Ряды Тейлора и Маклорена.
129. Разложение exp(x).
130. Разложение sin x и cos x.
131. Бином Ньютона.
132. Разложение log(1+x).
133. Разложение arctg x.
134. Приближенные формулы.
135. Максимумы, минимумы и точки перегиба.
136. Раскрытие неопределенностей.
§ 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ
137. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
138. Умножение абсолютно сходящихся рядов.
139. Признак Куммера.
140. Признак Гаусса.
141. Гипергеометрический ряд.
142. Двойные ряды.
143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды.
144. Равномерно сходящиеся последовательности функций.
145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
146. Свойства равномерно сходящихся рядов.

147. Признаки равномерной сходимости.
148. Степенные ряды. Радиус сходимости.
149. Вторая теорема Абеля.
150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ
152. О предельном переходе.
153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка.
154. Однородные функции.
155. Частные производные высших порядков.
156. Дифференциалы высших порядков.
157. Неявные функции.
158. Пример.
159. Существование неявных функций.
160. Кривые в пространстве и поверхности.
§ 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных.
162. Необходимые условия максимума и минимума функции.
163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных.
164. Примеры.
165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов функции.

166. Наибольшее и наименьшее значения функции.
167. Относительные максимумы и минимумы.
168. Дополнительные замечания.
169. Примеры.
ГЛАВА VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
170. Комплексные числа.
171. Сложение и вычитание комплексных чисел.
172. Умножение комплексных чисел.
173. Деление комплексных чисел.
174. Возвышение в степень.
175. Извлечение корня.
176. Показательная функция.
177. Тригонометрические и гиперболические функции.
178. Цепная линия.
179. Логарифмирование.
180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.
181. Примеры.
182. Кривые в комплексной форме.
183. Представление гармонического колебания в комплексной форме.
§ 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ
185. Разложение многочлена на множители.
186. Кратные корни.
187. Правило Горнера.
188. Общий наибольший делитель.
189. Вещественные многочлены.

190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами.

191. Уравнение третьей степени.
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.
193. Способ итерации.
194. Способ Ньютона.
195. Способ простого интерполирования.
§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
196. Разложение рациональной дроби на простейшие.
197. Интегрирование рациональной дроби.
198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы.
199. Интегралы вида…
200. Интегралы вида…
201. Интегралы вида…

Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
3. Интегральный признак сходимости Коши.
4. Примеры исследования рядов на сходимость.
§ 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами.
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.
§ 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
2. Абсолютно сходящиеся ряды.
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
4. Свойства условно сходящихся рядов.
§ 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
§ 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
2. Чебышевское расстояние между функциями.
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности.
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса.
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.
§ 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
1. Почленное интегрирование функциональных рядов.
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов.
§ 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
1. Функции комплексного переменного.
2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области.
ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости.
3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.
§ 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области.
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области.
3. Единственность разложения функции в степенной ряд.
§ 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
1. Показательная функция в комплексной области.
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера.
§ 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ
1. Вычисление значений функций и интегралов.
2. Вычисление пределов.
3. Метод последовательных приближений.
ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
2. Скалярное произведение функций.
3. Ортонормированные системы функций.
§ 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций.
§ 20. ЛЕММА РИМАНА
1. Кусочно гладкие функции.
2. Лемма Римана.
§ 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье.
2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье.
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье.
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье.
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье.
Ответы к упражнениям

7/7+\точек$?

Может ли кто-нибудь указать мне на доказательство или объяснить, если это простой ответ?

То, что я ищу, это момент, когда станет понятно, что тригонометрические функции и число Пи могут быть выражены в виде рядов. Много информации, которую я нахожу при поиске, похоже, указывает на арктан.

последовательности-и-ряды
тригонометрия

$\endgroup$

6 92\lt 1$ (то есть, если $|x|\lt 1$) и расходится, если $|x|\gt 1$. Известно, что при $x=1$ и $x=-1$ ряд сходится. Таким образом, радиус сходимости равен $1$, а равенство верно только для $x\in [-1,1]$ (то есть, если $|x|\leq 1$; в процессе мы получили две точки).

Однако у арктангенса есть хорошее свойство, а именно то, что $$\arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} — \arctan(x),$$ Итак, при заданном значении $x$ с $|x|\gt 1$ вы можете использовать это тождество для вычисления $\arctan(x)$, вычислив вместо этого $\arctan(\frac{1}{x})$ , и для этого аргумента ряд 92} $$ Вот альтернативное объяснение.

Пусть $y = \arctan(x)$, и попытайтесь найти $\frac{dy}{dx}$. У нас есть $$ у = \арктан(х) $$ $$ \ загар (у) = \ загар (\ арктан (х)) $$

Мы хотим упростить правую часть. {12000000000000}$ терминов с этим рядом.

$\endgroup$

Обобщенное разложение функции арктангенса в ряд на основе расширенного интегрирования средней точки

Расширение обобщенного ряда функции арктангенса на основе расширенного интегрирования средней точки

Абраров Санжар М.
Сиддики, Рехан
Джагпал, Раджиндер К.
Куайн, Брендан М.

Аннотация

В этой работе мы получаем обобщенное разложение функции арктангенса в ряд с помощью расширенного интегрирования средней точки (EMI). Алгоритмическая реализация расширения обобщенного ряда использует двухшаговую итерацию без сурдных и комплексных чисел. Выполненный нами вычислительный тест показывает, что такое обобщение повышает точность вычисления функции арктангенса на много порядков с увеличением целого числа $M$, связанного с подынтервалами в формуле EMI. Расширение обобщенного ряда может быть многообещающим для практических приложений. Это может быть особенно полезно в практических задачах, где необходимы обширные вычисления с плавающей запятой произвольной точности. Алгоритмическая реализация обобщенного разложения в ряд функции арктангенса показывает быструю скорость сходимости при вычислении цифр $\pi$ в формулах, подобных Мачину.

Публикация:

Электронные распечатки arXiv

Дата публикации:

Январь 2023

DOI:

10.