ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9.  § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30.  2+bx+c§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71.  Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95.  Координаты точки§ 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114.  Выражение векторного произведения через координаты сомножителей§ 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134.  Точка пересечения трех плоскостей§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155.  Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой§ 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168.  Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат§ 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190.  Два уравнения с двумя неизвестными§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216.  Эквивалентные бесконечно малые величины§ 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238.  Производная сложной функции§ 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259.  Выражение высших производных через дифференциалы§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279.  Второе достаточное условие максимума и минимума§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301.  Интегрирование по частям§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321.  Дифференциал интеграла§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342.  Кривизна§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364.  О знаке кривизны§ 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390.  Интегрирование рядов§ 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx§ 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности§ 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай)§ 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью§ 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия |
2.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в интервале , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
, (15)
если
в этом интервале выполняется условие: где остаточный
член формулы Тейлора, записанный в форме
Лагранжа, где —
положительное число меньше 1.
При ряд Тейлора называют рядом Маклорена: . (15)
Если в некотором интервале, содержащем точку , все производные ограничены некоторой константой, т.е. при любом n выполняется неравенство , где М – положительная постоянная, то . Тогда функция f(x) будет суммой ряда (15), причем только для тех значений х, при которых при (необходимое и достаточное условие равенства (15) в разложении f(x) в ряд Тейлора).
Приведем основные разложения в ряд Маклорена:
Биномиальный ряд
Причем это последнее разложение при является
абсолютно сходящимся рядом в граничных точках интервала,
т.е. при х=-1 и при х=1; при ряд расходится при
х=-1 и условно сходится при при х=1;
при ряд расходится на обеих границах
интервала (-1;1).
При разложении функции f(x) в ряд Тейлора по степеням х (когда ) преобразуют, если возможно, функцию f(x) к виду, допускающему использование основных разложений , а также сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. Затем определяют область сходимости полученного ряда к функции f(x).
Замечание. Если требуется разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , то сначала делают замену переменной , находят разложение по степеням t и затем возвращаются к переменной х.
Пример. Разложить ln x в ряд по степеням (х-1).
Решение. Имеем , то (t=x-1), где
область сходимости есть полуинтервал .
Задание 19. Разложить функции f(x) в ряд Тейлора по
степеням х.
Задача 3.
Решение. Данную рациональную функцию сначала разложим на элементарные дроби:
Так как
—
Геометрические прогрессии, сходящиеся соответственно при и , то окончательно имеем разложение функции в ряд:
(16)
Областью
сходимости которого является пересечение
интервалов .
Ответ: Формула (16) справедлива при -1<x<1.
Задача 4.
Решение. Имеем
Пользуясь биномиальным рядом при :
Подставим в разложении:
где или — бифакториал нечетных, — бифакториал четных чисел. Последнее равенство умножим почленно на , получаем искомое разложение f(x) по степеням х: , с областью сходимости ряда .
Многие интегралы не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Одним из способов приближенного вычисления таких интегралов является разложение подынтегральной функции в степенной ряд и его почленное интегрирование. Известно, что функция, бесконечно дифференцируемая в интервале сходимости (-R,R), разлагается в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.
,
если
в этом интервале сходимости
где-
остаточный член формулы Тейлора,
записанный в форме Лагранжа,
где
—
положительное число меньше 1.
Практически степенные ряды для многих функций можно найти формально, используя основные разложения функций или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Итак, чтобы вычислить интеграл с точностью ε, где
функция f(x) разложена в степенной ряд, имеющий радиус сходимости R>b, надо:
1) Разложить функцию в степенной ряд по степеням х: и определить его интервал сходимости. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то на таком отрезке можно интегрировать почленно полученный ряд, используя формулу Ньютона-Лейбница:
2) Вычислить сумму полученного числового ряда с
заданной точностью (оценивая остаток ряда). Заметим, что при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется.
Задание 20. Вычислить интеграл с точностью
Задача 1.
Решение.
Разлагаем
функцию в ряд Тейлора по степеням х (
,
=
). Получаем ряд: сходящийся также на всей числовой
прямой. Интегрируем ряд
Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся, члены которого убывают по абсолютной величине
при
и , то справедливо неравенство
(остаток ряда не превосходит
первого из отброшенных членов). Если , то тем более . Поэтому, оценив неравенство , находим количество членов ряда, необходимых для вычисления суммы с заданной точностью ε. Практически прикидывают, сколько надо взять членов ряда для заданной точности. Здесь достаточно взять первые два члена ряда, т.к. и, следовательно, . Вычисляем:
Ответ:
Задача 2.
Решение. Используем разложение
,
и заменяя в нем на , получаем ряд
,
сходящийся при всех . Интегрируем почленно полученный ряд
Так как , то оценивая это неравенство, получаем, что для вычисления интеграла с точностью достаточно взять два члена ряда, ибо . Вычисляем
Ответ:
Серияс питанием от сети переменного тока
Мотивирующие вопросы
Что такое степенной ряд?
Каковы некоторые важные области применения степенных рядов?
Какая связь между степенным рядом и рядом Тейлора?
В нашей работе с полиномами Тейлора и рядами Тейлора мы отметили, что полиномиальные функции являются простейшими функциями в математике, отчасти потому, что для их вычисления требуется только сложение и умножение. С точки зрения исчисления полиномы особенно хороши: мы можем легко дифференцировать или интегрировать любой многочлен. В свете нашей работы в разделе 8.5 мы теперь знаем, что несколько важных неполиномов имеют полиномиальные разложения. Например, для любого действительного числа \(x\text{,}\) 9к + \cdots\текст{,}
\end{уравнение*}
и мы пытаемся определить значения констант \(a_0\text{,}\) \(a_1\text{,}\) \(\ldots\text{.}\) Последняя ситуация исследуется в предпросмотре. 8.6.1.
Предварительный просмотр 8.6.1.
В главе 7 мы узнали о некоторых из многих важных приложений дифференциальных уравнений и узнали о некоторых подходах к их решению или анализу. Здесь мы рассмотрим важный подход, который позволит нам решать более широкий спектр дифференциальных уравнений.
Давайте рассмотрим известное дифференциальное уравнение экспоненциального роста населения, заданное выражением
.\begin{уравнение} у’ = ky\текст{,}\тег{8.6.1} \end{уравнение}
, где \(k\) — константа пропорциональности. Хотя мы можем решить это дифференциальное уравнение, используя методы, которые мы уже изучили, теперь мы используем другой подход, который можно применить к гораздо большему набору дифференциальных уравнений. В оставшейся части этого упражнения предположим, что \(k=1\text{.}\) Мы будем использовать наши знания о рядах Тейлора, чтобы найти решение дифференциального уравнения (8.6.1). 9k\) быть решением ДУ.
Два ряда равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые коэффициенты при одинаковых степенных членах. Используйте этот факт, чтобы найти связь между \(a_1\) и \(a_0\text{.}\)
Теперь запишите \(a_2\) через \(a_1\text{.}\) Затем запишите \(a_2\) через \(a_0\text{.}\)
Запишите \(a_3\) через \(a_2\text{.}\) Затем запишите \(a_3\) через \(a_0\text{.}\)
Запишите \(a_4\) через \(a_3\text{.}\) Затем запишите \(a_4\) через \(a_0\text{.}\)
Обратите внимание, что в (b)-(e) есть закономерность. Найдите общую формулу для \(a_k\) через \(a_0\text{.}\)
Напишите разложение в ряд для \(y\), используя только неизвестный коэффициент \(a_0\text{.}\). Исходя из этого, определите, какие знакомые функции удовлетворяют дифференциальному уравнению (8.6.1). ( Подсказка : сравните со знакомой серией Тейлора.)
Подраздел 8.6.1 Силовой ряд
Как показывает предварительное занятие 8.6.1, может быть полезно рассматривать неизвестную функцию, как если бы она имела ряд Тейлора, а затем определять коэффициенты на основе другой информации. Другими словами, мы определяем функцию как бесконечный ряд степеней \(х\), а затем определяем коэффициенты на основе чего-то помимо формулы для функции. Этот метод позволяет нам аппроксимировать решения многих различных типов дифференциальных уравнений, даже если мы не можем решить их явно. Это отличается от нашей работы с рядами Тейлора, поскольку мы не используем исходную функцию \(f\) для генерации коэффициентов ряда. 9k = \ frac {1} {1- \ frac {x} {2}} = \ frac {2} {2-x}
\end{equation*}
при условии, что \(-1 \lt \frac{x}{2} \lt 1\) (что гарантирует, что отношение меньше 1 по абсолютной величине). Таким образом, степенной ряд, определяющий \(f(x)=\frac{2}{2-x}\), сходится для \(-2 \lt x \lt 2\text{.}\)
Как и мы для ряда Тейлора мы определяем интервал сходимости степенного ряда (8.6.2) как множество значений \(х\), при которых ряд сходится. Как и в случае с рядом Тейлора, мы обычно используем тест отношений, чтобы найти значения \(x\), для которых степенной ряд сходится абсолютно, а затем проверяем конечные точки отдельно, если радиус сходимости конечен. 9{2k}}{(2k)!} + \cdots \end{уравнение*}
, чтобы найти разложение в степенной ряд для \(f'(x)\text{.}\)
Заметьте, что \(f(x)\) и \(f'(x)\) имеют знакомые ряды Тейлора. Что это за знакомые функции? Какие известные отношения демонстрирует наша работа?
Какое разложение в ряд для \(f»(x)\text{?}\) Какая знакомая функция есть \(f»(x)\text{?}\)
Наша работа в Упражнении 8. 6.3 применима в более общем плане. Соответствующая теорема, которую мы не будем доказывать, утверждает, что мы можем дифференцировать степенной ряд для функции \(f\) почленно и получить разложение в ряд для \(f’\text{,}\) и аналогичным образом мы можем интегрируем разложение в ряд для функции \(f\) почленно и получаем разложение в ряд для \(\int f(x) \ dx\text{.}\) Для обоих радиус сходимости результирующего ряда равен такой же, как и исходный, хотя возможно, что статус сходимости различных рядов может различаться в конечных точках. Формальное утверждение теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов следует. 9{k+1}}{k+1} + C, \\text{for} \ |x| \lt г\текст{.}
\end{уравнение*}
Эта теорема подтверждает шаги, которые мы предприняли в упражнении 8.6.4. Он говорит нам, что мы можем дифференцировать и интегрировать почленно внутри интервала сходимости, но не говорит нам, что происходит на концах этого интервала. Нам всегда нужно отдельно проверять, что происходит на конечных точках. Что еще более важно, мы можем использовать подход дифференциации или интегрирования ряда почленно для поиска новых рядов.
Пример 8.6.5.
Найдите разложение в ряд с центром \(x = 0\) для \(\arctan(x)\text{,}\) и его интервал сходимости.
Раствор.
Хотя мы могли бы многократно дифференцировать \(\arctan(x)\) и искать закономерности в значениях производной при \(x = 0\), пытаясь найти ряд Маклорена для \(\arctan(x)\) из определения оказывается, что гораздо проще использовать известные ряды познавательно. В Упражнении 8.6.3 мы обнаружили, что
9{2к+1}}{2к+1} \end{equation*}сходится как при \(x = -1\), так и при \(x = 1\text{;}\) в каждом случае мы имеем знакопеременный ряд с членами \(\frac{1 {2k+1}\), которые уменьшаются до \(0\text{,}\), и, таким образом, интервал сходимости разложения в ряд для \(\arctan(x)\) в уравнении (8.6.3) равен \ (-1 \le x \le 1\text{.}\)
Мероприятие 8.6.5.
Найдите разложение в степенной ряд для \(\ln(1+x)\) с центром в \(x=0\) и определите его интервал сходимости.
Подраздел 8.6.3 Резюме 9к\текст{.} \end{уравнение*}
Часто мы можем предположить, что решение данной задачи может быть записано в виде степенного ряда, а затем использовать информацию в задаче для определения коэффициентов в степенном ряду. Этот метод позволяет нам аппроксимировать решения некоторых задач, используя частичные суммы степенных рядов; то есть мы можем найти приближенные решения, которые являются многочленами.
Связь между степенными рядами и рядами Тейлора заключается в том, что они, по сути, одно и то же: на своем интервале сходимости степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. 9{(n)}(0) = n!a_n\) для каждого положительного целого числа \(n\text{.}\)
Объясните, как результат (b) говорит нам о следующем:
На интервале сходимости степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.
5.
В этом упражнении мы начнем со странного степенного ряда, а затем найдем его сумму. Последовательность Фибоначчи \(\{f_n\}\) — известная последовательность, первые несколько членов которой равны
\begin{уравнение*} f_0 = 0, f_1 = 1, f_2 = 1, f_3 = 2, f_4 = 3, f_5 = 5, f_6 = 8, f_7 = 13, \cdots\text{,} \end{уравнение*} 92}\) оценивается как 0. Почему результаты не должны вас удивить?
6.
Уравнение Эйри 2
\begin{уравнение} у» — ху = 0\текст{,}\тег{8.6.4} \end{уравнение}
можно использовать для моделирования незатухающей вибрирующей пружины с жесткостью пружины \(x\) (обратите внимание, что \(y\) является неизвестной функцией \(x\)). Таким образом, решение этого дифференциального уравнения расскажет нам о поведении системы пружина-масса по мере старения пружины (как автомобильный амортизатор). Предположим, что решение \(y=f(x)\) имеет ряд Тейлора, который можно записать в виде 9{к} = 0\текст{.}\тег{8.6.9} \end{уравнение}
Используйте уравнение (8.6.9), чтобы показать следующее:
\(a_{3k+2} = 0\) для каждого положительного целого числа \(k\text{,}\)
\(a_{3k} = \frac{1}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3k-1)(3k)} a_0 \text{ for } k \geq 1\text {,}\)
\(a_{3k+1} = \frac{1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3k)(3k+1)} a_1 \text{ for } k \geq 1 \текст{.
}\)
Используйте предыдущую часть, чтобы сделать вывод, что общее решение уравнения Эйри (8.6.4) равно 92xy = 0\) называется уравнением Эйри. Эти уравнения возникают во многих задачах, например при изучении дифракции света, дифракции радиоволн вокруг объекта, аэродинамики, коробления однородного столба под действием собственного веса.
Видео-вопрос: Напишите первые четыре члена разложения в степенной ряд для рациональной функции
Стенограмма видео
Напишите первые четыре члена степенного ряда функции 𝑓 of 𝑥 равно двум, деленным на два минус пять 𝑥 .
Нам дана рациональная функция 𝑓 от 𝑥, и нас попросили написать первые четыре члена степенного ряда, представляющего эту функцию 𝑓 от 𝑥. И есть несколько разных способов сделать это. Например, мы могли бы использовать непосредственно определение ряда Маклорена или ряда Тейлора, чтобы найти выражение для этого степенного ряда. Однако и то, и другое потребует трехкратной дифференциации нашей рациональной функции. Вместо этого мы можем использовать следующее представление степенного ряда, которое мы получили, используя наши знания о бесконечных геометрических рядах.
В частности, если мы установим наше начальное значение 𝑎 равным единице, а наше отношение последовательных членов 𝑟 равным 𝑥, то бесконечная сумма геометрического ряда с 𝑎 равным единице и 𝑟 равным 𝑥 будет равна единице, деленной на один минус 𝑥, пока абсолютное значение нашего отношения последовательных членов 𝑥 меньше единицы. И это полезный результат, который стоит запомнить, поскольку мы можем манипулировать им, чтобы найти представления степенных рядов для различных рациональных функций. Мы хотим манипулировать этим так, чтобы единица, деленная на один минус 𝑥, равнялась двум, деленным на два минус пять 𝑥.
Так как нам нужно два в числителе, первое, что мы сделаем, это умножим наш числитель и наш знаменатель на два. Конечно, умножение числителя и знаменателя на два не меняет нашего значения. Это дает нам два, деленное на два минус два 𝑥 равно сумме от 𝑛 равно нулю до ∞ от 𝑥 в 𝑛-й степени, если абсолютное значение 𝑥 меньше единицы. И это сейчас почти в том виде, в котором мы этого хотим. Однако нам нужны отрицательные пять 𝑥 вместо отрицательных двух 𝑥. И есть несколько разных способов думать об этом. Например, мы могли бы изначально назвать нашу переменную 𝑟 вместо 𝑥 для отношения последовательных членов.
Это дает нам следующий эквивалентный оператор. Затем мы хотим, чтобы отрицательные два 𝑟 были равны отрицательным пяти 𝑥. И если мы хотим, чтобы отрицательные два 𝑟 были равны отрицательным пяти 𝑥, мы можем разделить обе части этого уравнения на отрицательные два, что означает, что мы устанавливаем 𝑟 равным пяти больше, чем два 𝑥. Итак, все, что нам нужно сделать, это подставить 𝑟 равно пяти больше, чем два 𝑥 в это выражение. Таким образом, подстановка 𝑟 равно пяти на два 𝑥 в каждый экземпляр 𝑟 в этом уравнении дает нам, что два разделить на два минус два умножить на пять на два 𝑥 равно сумме от 𝑛 равно нулю до ∞ пяти на два 𝑥 все возводится в 𝑛-ю степень до тех пор, пока абсолютное значение числа пять больше двух 𝑥 меньше единицы.
Стоит отметить, что поскольку это происходит из бесконечного геометрического ряда, мы можем гарантировать, что наш степенной ряд сходится, когда абсолютное значение пяти больше двух 𝑥 меньше единицы. И мы можем гарантировать, что оно расходится, когда абсолютное значение пяти больше двух 𝑥 больше единицы. Однако в этом вопросе нас фактически не просят найти какие-либо интервалы сходимости, поэтому мы можем пропустить этот шаг. Далее мы можем немного упростить. В знаменателе нашей рациональной функции у нас есть отрицательные два, умноженные на пять на два, что, конечно, равно отрицательным пяти. Итак, это дает нам рациональную функцию два, деленную на два минус пять 𝑥, что, конечно же, равно нашей функции 𝑓 от 𝑥.
Помните, вопрос заключается только в том, чтобы найти первые четыре члена этого степенного ряда. Итак, все, что нам нужно сделать, это найти первые четыре члена этого ряда. Так что нам просто нужно расписать этот ряд термин за термином. Начнем с первого термина. Это когда 𝑛 равно нулю. Это дает нам пять на два 𝑥, возведенных в нулевую степень. И, конечно же, возведение числа в нулевую степень равно единице. Таким образом, первый член в этом расширении ряда равен единице.
Теперь перейдем ко второму члену. Это когда 𝑛 равно единице. Таким образом, мы получаем пять на два 𝑥, возведенные в первую степень. И, конечно же, возведение числа в первую степень не меняет его значения. Итак, наш второй срок — это просто пять больше, чем два раза 𝑥. Мы можем сделать то же самое, чтобы найти третий член в нашем ряду. Это когда 𝑛 равно двум. Мы получаем пять на два 𝑥 все в квадрате. Чтобы упростить это, нам нужно распределить квадрат по скобкам. Это дает нам пять на два, умноженное на 𝑥 в квадрате. И тогда мы можем просто вычислить пять на два в квадрате, чтобы получить 25, деленное на четыре.
Итак, третий член в нашем расширении ряда равен 25, умноженному на четыре, умноженное на 𝑥 в квадрате. И мы находим это точно таким же образом. Мы подставляем 𝑛 равно трем в наше слагаемое, что дает нам пять на два 𝑥 все в кубе.